蘇意雯教授的「詩情畫意談數學」(《數學傳播》總151期)一文, 將古代的一些中國數學詩收集起來欣賞, 增加了今人學習數學的興趣, 讀後受益良多。 最近, 筆者也注意到在現代數學和中國古詩文之間, 可以在意境上有所溝通。

數字嵌入詩詞, 早已有之。 鄭板橋有詠雪詩：

一片二片三四片, 五片六片七八片;
千片萬片無數片, 飛入梅花總不見。

詩句抒發了詩人對漫天雪舞的感受。 不過, 詩中儘管嵌入了數字, 卻實在和數學沒有什麼關係。

數學和古典人文的連接, 貴在意境。 早年講到數列極限, 總會用「一尺之棰, 日取其半, 萬世不竭」（莊子《天下篇》）與之相聯繫。 後來徐利治先生將之發展到用古詩來描述連續變數的極限。 記得是 1993 年, 在無錫黿頭渚開過一次數學方法論的研討會。 有一天下午, 徐先生作報告。 他說了一個故事。

「我在《數學分析》課堂上, 先在黑板上寫了李白的名詩：

故人西辭黃鶴樓, 煙花三月下揚州。
孤帆遠影碧空盡, 唯見長江天際流。

然後問同學們哪一句可以和極限概念相通？ 大家的共同回答是「孤帆遠影碧空盡」, 這說明數學和詩詞是可以溝通的」。 徐先生的演講觸動了我的心弦, 我似乎看到了數學和人文意境互相溝通的隧道, 於是陸續收集了一些例子。

(一) 《道德經》與自然數公理

老子《道德經》裏有名句：

「道生一, 一生二, 二生三, 三生萬物。」

這 13 個字, 簡直是一組中國化的自然數公理。 它透露以下的資訊：

$\bullet$ 自然數是一個接一個地「生」出來的;

$\bullet$ 1 「加 1」, 就能生出 2; 2 再「加1」就能生出 3; 不斷地「加 1」 就能生出萬;

$\bullet$ 自然數裏有 1, 2, $\ldots$ 等等, 多得不得了, 沒完沒了;

$\bullet$ 1 前面還有一個「道」, 在數學上用 0 代表。

一年級小學生, 不妨把它背下來。這既不困難, 也不囉嗦。其中有熟悉的一、二、三、萬等數字, 又有「生」這個極為生動傳神的動詞, 容易領會。

(二) 《道德經》與數學歸納法

眾所周知, 數學歸納法原理是和自然數公理等價的。 一生二, 二生三, 相當於數學歸納法中 $n=1,2$ 時, 命題成立的要求。 關鍵是要獲得「三生萬物」的結果。 然而, 要「生」出萬物 (自然數全體) 來, 必須要每個與 $n$ 有關的命題都能「生」出 與 $n+1$ 有關的命題。 這是數學歸納法原理的精髓。

現在中學數學課堂裏常用多米諾骨牌來比喻數學歸納法。 但多米諾骨牌畢竟是有限的。 到頭來就是因為總有第 $n$ 塊倒下卻不能讓第 $n+1$ 塊倒下, 因而不得不終止。 說白了, 就是 $n$ 命題「生」不出 $n+1$ 命題來。

因此, 為了要三生萬物, 就必須生生不息, 即保證每個 $n$ 命題不僅自己成立, 還必須會「生」, 保證能夠生出 $n+1$ 命題來。 數學歸納法後半部分要做的不在於檢驗「$n$ 命題」是不是正確, 要做的事情是 $n$ 命題能不能「生」的問題。 強調一個「生」的動詞, 保證每個 $n$ 命題都能「生」, 正是《道德經》告訴我們的數學歸納法。

(三) 《登幽州台歌》與愛因斯坦的四維時空

初唐陳子昂有一首劃時代的《登幽州台歌》：

前不見古人, 後不見來者;
念天地之悠悠, 獨愴然而涕下。

一般的語文解釋說：前兩句俯仰古今, 寫出時間綿長; 第三句登樓眺望, 寫出空間遼闊。 第四句描繪了詩人孤單寂寞悲哀苦悶的情緒, 兩相映照, 分外動人。 然而, 從數學上看來, 這是一首闡發時間和空間感知的佳句。 前兩句表示時間可以看成是一條直線(一維空間)。 陳老先生以自己為原點, 前不見古人指時間可以延伸到負無窮大, 後不見來者則意味著未來的時間是正無窮大。 後兩句則描寫三維的現實空間： 天是平面, 地是平面, 悠悠地張成三維的立體幾何環境。 全詩將時間和空間放在一起思考, 感到自然之偉大, 產生了敬畏之心, 以至愴然涕下。 這樣的意境, 數學家和文學家可以共有。 尤其是, 把時間和空間放在一起思考, 可以說也在意境上與愛因斯坦的四維時空學說相銜接。

(四) 葉紹翁《遊園不值》與無界變數

宋朝葉紹翁有詩云：

應憐屐齒印蒼苔, 小扣柴扉久不開。
春色滿園關不住, 一枝紅杏出牆來。

貴州六盤水師專的楊光強老師對我說, 他在講無限大和無界變數時都會引用此詩, 學生每每會意而笑。 實際上, 無界變數是說, 無論你設置怎樣大的正數 $M$, 變數總要超出你的範圍, 即有一個變數的絕對值會超過 $M$。 於是, $M$ 可以比喻成無論怎樣大的園子, 變數相當於紅杏。 無界變數相當於無論怎麼大的園子, 總至少有一支紅杏會越出園子的範圍。 詩和數學的意境如此切合, 竟把枯燥的數學語言形象化了。

(五) 杜甫的名詩《登高》與實無限、潛無限

《登高》詩云：

風急天高猿嘯哀, 渚清沙白鳥飛回。
無邊落木蕭蕭下, 不盡長江滾滾來。
萬里悲秋常作客, 百年多病獨登臺。
艱難苦恨滿霜鬢, 潦倒新停濁酒杯。

我們關注的是其中的第三、第四兩句 ： 「無邊落木蕭蕭下, 不盡長江滾滾來」。前句指的是「實無限」, 即實實在在全部完成了無限過程的結果。 例如區間 $[a,b]$ 中具有無限多個點, 就是一種實無限。 杜甫所說的「無邊落木」是指「所有的落木」, 那是一個已被我們一覽無餘的實無限集合。 後一句則是指所謂的潛無限了。 儘管到現在為止, 長江水還是有限的, 卻永遠不會停止。 它沒完沒了, 不斷地「滾滾」而來。 數學的無限顯示出「冰冷的美麗」, 杜甫詩句中的「無限」則體現出悲壯的人文情懷, 但是在意境上, 彼此是溝通的。

(六) 賈島的《尋隱者不遇》與純粹存在性定理

賈島有一首五言絕句云：

松下問童子, 言師採藥去。
只在此山中, 雲深不知處。

這首小詩在人文意境上和數學存在性定理彼此相通。 事實上, 這種只知其「有」, 卻並不知道具體是「誰」的數學存在性定理很多。 如在小學裏就有抽屜原理出現。 $M$ 個蘋果放到 $N$ 個抽屜裏 ($M \gt N$), 那麼必有一個抽屜裏的蘋果至少為兩個, 但是究竟是哪一個抽屜？ 裏面確切的蘋果數目是多少, 我們並不知道。 其餘如代數基本定理, 微積分裏有連續函數的介值性定理, 以及微分中值定理等等, 都是只知根或某個介值、 中值的存在, 但是不知道它們究竟在哪裡。 賈島的詩句斷定隱者「只在此山中」, 卻 「雲深不知處」。這與數學的意境何等契合！ 如果說文學家欣賞「雲深不知處」的蒼茫意境, 而數學家則會關注難以名狀的一種不確定性。

(七) 蘇軾的《琴詩》與反證法

蘇軾有一首哲理詩云

若言琴上有琴聲, 放在匣中何不鳴?
若言聲在指頭上, 何不於君指上聽?

數學上常用反證法。 %你要駁倒一個論點, 你只要將此論點「假定」為正確, 然後據此推出明顯錯誤的結論, 就可以推翻原論點。 要證明一個命題, 只要先將此命題的反面假定為正確, 然後據此推出明顯錯誤的結論, 就可以從反面證明原命題的正確性。

《琴詩》的意境與此相通。

命題： 琴聲不在琴上。

證明： 用反證法。 假設「琴上有琴聲」, 那麼琴放在匣中應該「鳴」。 這和琴放在匣中不鳴的事實矛盾, %這和琴放在匣中的事實矛盾。 因此假設「琴上有琴聲」是錯的。 原命題正確。　　　證畢

由此可見, 人文的論辯和數學的證明, 都需要遵循邏輯規則。

(八) 李商隱的詩句 ： 「相見時難別亦難」與因式分解

因式分解課上, 說說唐詩宋詞, 別有一番風味。 初中學習「因式分解」內容, 沒有什麼實際背景可以依靠, 學生學起來很枯燥。 如果我們把兩個因式的相乘和分解, 用兩個人的「相見」和「分別」作「擬人化」的比喻, 那麼就有許多詩句可以聯想了。 李煜詞有 ： 「無限江山, 別時容易見時難」。 李商隱的詩句有 ： 「相見時難別亦難」。 這樣一來, 我們不妨說「相乘容易分解難」。 事實上, 兩個因式相乘有演算法規則可循, 依次去做就是了。 比較容易。 但是給一個多項式, 要拆成兩個因式, 卻並非一定有章可循, 往往要動腦筋, 使用技巧才能解比較困難。 更進一步, 聯想到當今的密碼技術與大素數的分拆困難有關, 正是相乘容易而分解難, 在意境上可以有所借鑒。

(九) 古詩的對仗與數學的對稱：變化中的不變

中國古詩講究對仗。 這是指上句變為下句之後, 雖然位置變了, 可是許多性質不能變。 例如王維《山居秋暝》中的名句：

明月松間照, 清泉石上流。

其中的上句雖然變為下句, 但是, 字數不變, 名詞對名詞, 動詞對動詞, 形容詞對形容詞, 意義上相通, 都是自然景色。 存在著許多不變性。 聯想到數學的軸對稱, 對稱軸的左右兩邊, 翻折過去。圖形位置是變了, 但是大小形狀都沒有變, 由此看來, 數學的對稱和文學的對仗, 可以說是異曲同工。

對聯和對仗, 是漢字獨有的文化現象, 現在居然和西方數學有如此的關聯, 令人叫絕。

(十) 蘇軾《題西林壁》詩與勒貝格積分

蘇軾有名句云

橫看成嶺側成峰, 遠近高低各不同。
不識廬山真面目, 只緣身在此山中。

如果將前兩句比喻黎曼積分和勒貝格積分的關係, 相當有趣。 蘇軾詩意是 ： 同是一座廬山, 橫看和側看各不相同。 勒貝格則說, 比如數一堆摞好了的硬幣, 你可以一疊疊地豎著數, 也可以一層層橫著數, 同是這些硬幣, 計算的思想方法卻差異很大。 從數學上看, 同是函數 $y=f(x)$ 形成的曲邊梯形面積 $M$, 也是橫看和側看不相同。 實際上, 如果分割函數 $y=f(x)$ 的定義域 $[a,b]$ 然後作和 $\sum\limits_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i$ 用以近似 $M$, 那是黎曼積分的思想, 而分割值域 $[m,n]$ 作和 $\sum\limits_{i=1}^n y_imE(x,y_{i-1}\le f(x)\le y_i)$ 近似表示 $M$, 則是勒貝格積分的思想 (這裏的 $m$ 是勒貝格測度)。

同是橫看和側看, 數學意境和人文意境竟可以相隔時空得到共鳴, 發人深思。

(十一) 韓愈名詩《早春》與數學中的「大範圍」

韓愈有詩句云

天街小雨潤如酥, 草色遙看近卻無。

突然想到, 詩的第二句當是拓撲學上局部和整體的一種文學意境描寫。 就曲面來說, 遠看可以有整體的區分, 例如球面和環面彼此不同。 但是, 近看卻都差不多, 都是一個「圓片」 ： 二維的歐氏平面的局部。 這正如整體的草色只能「遙看」, 一旦近了, 到局部狀態, 那種「草色」就「近看無」了。

除了以上的十一例之外, 數學活動中的人文意境, 還會有許多其他的方面。 例如王國維用宋詞來描述做學問的三重意境 ：

昨夜西風凋碧樹, 獨上高樓, 望盡天涯路。　　　　　　　　《蝶戀花》晏殊
衣帶漸寬終不悔, 為伊消得人憔悴。 　　　　　　　　　　 《蝶戀花》柳永
眾裏尋他千百度, 驀然回首, 那人卻在燈火闌珊處。　　　　《青玉案》辛棄疾

這同樣適用於數學學習。 確實, 一個學生如果沒有經歷過這樣的數學解題意境, 數學大概是學不好的了。

---本文作者任教華東師範大學數學系---