歷來討論重差術的文章很多, 最具代表性的當推中研院數學所李國偉教授的兩篇論文 (註一) 。
本文的一些觀點在李教授的論文中多已提到, 談不上創新；
只是想將《周髀算經》中有關測日遠近及大小的紀載與重差術連結, 同時具體的點出「損益寸千里」這句話在重差術中扮演的關鍵角色 (註二) 。
本文的第一部分略複習重差術, 並指出「重差」--- 兩竿影差與兩竿距的比值 --- 是測量模型的一個內在常數。
只要掌握這個常數, 便可測出竿子與被測物的距離。
本文的第二部分詳細介紹《周髀》如何測日遠近及日徑大小, 雖然《周髀》只用一根竿子 (單表) (重差術要用兩根 (雙表)),
但是《周髀》用「勾之損益寸千里」來代替了重差術中的關鍵常數。「損益寸千里」雖然不切實際, 但似乎對重差術的發明有相當啟發, 這一點在李國偉的論文中也有提到
(見註一, 從單表到雙表一文, 「表」就是立在地上的竿子) 。
(一)
重差術出於劉徽原置於《九章算術》內有關勾股如何用於測量的專章, 在唐初選定算經十書時, 才由九章分出, 單成一部《海島算經》, 重差術的方法可由下例來說明 (註三):
今有望海島, 立兩表, 齊高三丈, 前後相去千步, 令後表與前表參相直。從前表卻行一百二十三步, 人目著地, 取望島峰, 與表末參合。 從後表卻行一百二十七步, 人目著地, 取望島峰, 亦與表末參合。問島高及去表各幾何？答曰：島高四里五十五步, 去表一百二里一百五十步。 術曰：以表高乘表間為實, 相多為法除之, 所得加表高, 即得島高。求前表去島遠近者, 以前表卻行乘表間為實, 相多為法除之, 得島去表數。
如圖一, $E,F$ 是人目, $\overline{CD}=\overline{AB}=h=3$丈=5步 是表高, $\overline{BD}=1000$步 是兩表間距, $\overline{BE}=123$步, $\overline{DF}=127$步, $\overline{PQ}=y$ 是島峰之高, $\overline{QB}=x$ 是前表到海島 $Q$ 的距離。
利用兩個直角三角形 $PQE$ 和 $PQF$, 可以立下聯立方程式： \begin{equation} \left\{\begin{array}{l} \dfrac{y}{x+\overline{BE}}=\dfrac{h}{\overline{BE}}\\ \dfrac{y}{x+\overline{BD}+\overline{DF}}=\dfrac{h}{\overline{DF}} \end{array}\right. \label{1} \end{equation} 式中 $h$ 是立竿的高度, $h=\overline{CD}=\overline{AB}$, 由此解出 $x$ 和 $y$。
現在, 我們要從另一個角度來看同樣的問題。為了方便說明, 將圖一中的 $P$ 點想成是一個點光源, $\overline{DF}$ 和 $\overline{BE}$ 分別是立竿的竿影, 我們要問：
影長 $s(=\overline{DF})$ 如何隨立竿到 $Q$ 點的距離 $d(=\overline{QD})$ 而變化？
如圖二：
因此, 我們需要立第二根竿子來決定 $\dfrac{h}{y-h}$, 如圖一所示, 令竿距 $\overline{QB}$ 為 $d'$, 影長 $\overline{BE}$ 為 $s'$, 則同樣有： $$s'=\dfrac{h}{y-h}d'$$ 與 \eqref{2} 式相減得 $$s-s'=\dfrac{h}{y-h}(d-d')$$ 從而解出 \begin{equation} \dfrac sd=\dfrac h{y-h}-\dfrac{s-s'}{d-d'}\label{3} \end{equation}
由於第一個差 $s-s'$ 和第二個差 $d-d'$ 都是已知, 求其比值得到 $\dfrac h{y-h}$ 而解 $y$ 值。 上述二差之比稱為重差, 知道重差便可從 $s$ 求 $d$。 一個具體的說法是：
$\dfrac{s-s'}{d-d'}$ 其實代表每當竿子移動一個單位時, 影長的差額。想像我們把竿子移到圖一中的 $Q$ 點, 此時竿子無影, 因此顯然有 \begin{equation} d=\overline{QD}=\dfrac s{\dfrac{s-s'}{d-d'}}\label{4} \end{equation}
以圖一來說, $s=\overline{DF}=127$, $s-s'=127-123=4$, $\overline{BD}=d-d'=1000$, 所以 $\dfrac{s-s'}{d-d'}=\dfrac 4{1000}=\dfrac 1{250}$ 代表每向 $Q$ 點移動 250 步影長會減 1 步, 由於起始的影長是 127 步, 所以 $$\overline{QD}=127\times 250 \,\hbox{步}$$ 而所謂"前表去島遠近"指的是 $x=\overline{QB}=\overline{QD}-\overline{BD}=127\times 250-1000$ 步。
我們作一個簡短的總結：
在重差術中, 之所以要立兩根竿子, 主要是想求得式 \eqref{3}, 亦即每移動一個單位, 影長的差額。 由於 $P$ 點為光源, 所測之點 $Q$ 處不會有影子, 所以一旦得出單位影長差 \eqref{3}, 即可以影長除以單位影長差而得到立竿點到所測之點的距離 \eqref{4}。
(二)
事實上, 《周髀》就是用類似的想法來測太陽的遠近, 請見引文 (註四):
夏至南萬六千里, 冬至南十三萬五千里, 日中立竿無影。 此一者天道之數。周髀長八尺, 夏至之日晷一尺六寸。 髀者, 股也。 正晷者, 勾也。 正南千里, 勾一尺五寸。 正北千里, 勾一尺七寸。
這段話的意思是：在夏至的時候, (在洛陽) 立竿見影, 影長1尺6寸, 但是若把竿子南移千里, 影長會變成1尺5寸, 少了1寸, 而若將竿子北移千里, 影長會變成1尺7寸, 多了1寸 (並見註二) 。
因此, 若向南方走1萬6千里, 就會到達影子消失的地方, 所以說日中立竿無影 (註五), 這個地方當然是在太陽的正下方。
從本文第一部分的總結可知《周髀》的方法和重差術類似, 只不過若是重差術就必須立兩根距離為1千里的竿子來看出影長之差為1寸。 《周髀》當然不可能靠立兩根竿子來得到「勾之損益寸千里」, 這是因為一則地面不是平的, 二則太陽光射向地球, 不能視為圖一中的點光源 $P$。 從太陽往地球射的光線反而因為距離遙遠, 應該看成是平行光線。而立於各地的竿子影長之有差異是因為地球表面緯度的關係。 如果地面真的是平的, 而太陽沒那麼遠, 可以看成點光源的話, 那麼就本文第一部分的討論, 竿子之間的距離每差上千里, 影長之差必定是一個常數, 只是不知道是不是1寸罷了。 由是觀之《周髀》對重差術一定有相當的啟發。
《周髀》接著又說：
日益表南, 晷日益長。 候勾六尺。 即取竹, 空徑一寸, 長八尺, 捕影而視之, 空正掩日, 而日應空之孔。 由此觀之, 率八十寸而得徑一寸。故以勾為首, 以髀為股。 從髀至日下六萬里而髀無影, 從此以上至日, 則八萬里。 若求斜至日者, 以日下為勾, 日高為股。 勾、股各自乘, 併而開方除之, 得斜至日。從髀所旁至日所十萬里。 以率率之, 八十里得徑一里, 十萬里得徑千二百五十里。 故曰日徑千二百五十里。
這一段的意思是說從夏至以後, 太陽南移, 日影越來越長。等到有一天, 日影長6尺的時候, 如圖：
另外, 從立竿處用一根直徑為1寸, 長80寸的空心竹管看太陽, 剛好從管孔中看到全部的太陽, 因此由相似形縮放關係, 太陽的直徑是日地距離的八十分之一。 以10萬里除以80, 得到1250里, 所以說太陽的直徑是1250里。
從《周髀》這段文字可以看出古人對太陽的遠近和太陽的大小都非常有興趣, 並且發展了幾何方法來探索這些現象。 以現代的數據看來, 日地距離是 $1.49\times 10^8$ 公里, 太陽直徑是 $1.39\times 10^6$ 公里, 兩者相除是107, 而《周髀》所得是80, 雖不中亦不遠。 尤其是以空心竹管測日的視直徑 (angular size), 和古希臘的測法是一致的, 只不過當時古希臘得到的是110比1, 比《周髀》的80比1準得多。 至於為什麼要等到「候勾6尺」才來測日之大小, 可能是直角三角形三邊比 中, 8相應立竿的高度, 斜邊的長比較好算吧。
註一、 (1) 李國偉 (1984) 〈初探「重差」的內在理路〉, 《科學史通訊》第三期。
(2) 李國偉 (1995) 〈從單表到雙表---重差術的方法論研究〉, 《中國科技史論文集》, 聯經, 台北。
註二、 《周髀》中言及
法曰：周髀長八尺, 勾之損益寸千里。
這句話的意思是以八尺高的立竿測日影, 若是將竿南 (北) 移千里, 影長便會短 (長) 一寸。一般認為這個法則並不可靠, 詳見本文的討論。
《周髀》約成書於秦漢之際, 是一部數理天文學著作。 唐朝李淳風編算經十書,《周髀》為十書之首, 第二部是《九章算術》, 第三部就是《海島算經》。
註三、中國古代的單位, 1步等於6尺, 1丈等於10尺, 1尺等於10寸, 1里等於300步, 相當於1800尺。 在秦漢之際, 1尺大約是23公分, 因此一里大約是414公尺。
註四、周髀一詞又指在東周時立於洛陽長8尺的表或竿子, 髀是大腿骨的意思, 指直立的竿子, 如圖：
勾指日影。以下引文均出自《周髀》。
註五、至於說冬至南十三萬五千里, 那是因為根據《周髀》在冬至時立在洛陽的竿子影長13尺5寸, 同樣靠著「勾之損益寸千里」, 將竿子南移13萬5000里, 便會「日中立竿無影」。
---本文作者為台大數學系退休教授---