筆者任教於高中幾年, 經歷教科書種種變革, 自舊課綱、95暫綱、99課綱, 而數學科的內容變化幅度以99課綱最為明顯, 主因是在單元順序的調整, 以致教學現場面臨一些以往沒有的問題, 例如：自編教材的數學歸納法單元中, 例題 $$\hbox{「試以數學歸納法證明 $\sum\limits_{k=1}^n k^2 \!=\!\dfrac{n(n\!+\!1)(2n\!+\!1)}6$」。}$$ 因單元調整使得 $\sum$ 的介紹出現在歸納法之後, 這樣的題目因缺乏 $\sum$ 先備知識, 而必須移除或修改。

在不同單元性質的證明, 也面臨這樣的問題, 教學上的證明方法或補充給學生的知識也必須進行修改或刪除, 如相關係數的性質 $-1\le r\le 1$ 在新課綱中有提到, 但來源與證明課本往往省略不談, 學生對此提出疑問時, 站在第一線的教師仍不得不面對如此問題, 因此筆者提供高一下相關係數的性質 $-1\le r\le 1$ 如何說明給高一學生, 供各位先進做為參考。

以下兩點為課本中已提到, 高一生之先備知識

令 $x_i$ 表第 $i$ 筆原數據, $\mu$ 表原數據的平均數, $\sigma$ 表原數據的標準差, 則 $x'_i=\dfrac{x_i-\mu}\sigma$, $x'_i$ 即第 $i$ 筆標準化後新數據, 此時 $x'_i=\dfrac 1\sigma x_i-\dfrac \mu\sigma$, 故新的平均數 $\mu'=\dfrac 1\sigma\cdot \mu-\dfrac \mu\sigma=0$, 由定義 $\sigma^2=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^n (x_i-\mu)^2}{n}$ 可知 $\sum\limits_{i=1}^n(x_i-\mu)^2=n\cdot \sigma^2$ 故 $\sum\limits_{i=1}^n(x')^2=\dfrac 1{\sigma^2}\sum\limits_{i=1}^n(x_i-\mu)^2=\dfrac 1{\sigma^2}\cdot n\cdot \sigma^2=n$ 得新的標準差 $\sigma'=\sqrt{\dfrac{\sum\limits_{i=1}^n(x')^2}n}=\sqrt{\dfrac nn}=1$。

設有 $n$ 對 $(x_1,y_1)$, $(x_2,y_2), \ldots,(x_n,y_n)$ 數據, 若將數據標準化為 $(x'_i;y'_i)$, 則相關係數 $$r=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^n x'_iy'_i}n$$ 若數據未標準化, 以變數 $x,y$ 直接計算相關係數 \begin{eqnarray*} \hbox{則}&&r=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^n x'_iy'_i}n=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^n\Big(\dfrac{x_i-u_x}{\sigma_x}\times \dfrac{y_i-u_y}{\sigma_y}\Big)}n=\dfrac 1{n\sigma_x\sigma_y}\sum\limits_{i=1}^n(x_i-\mu_x)(y_i-u_y)\\ \hbox{且}&&\sigma_x\sigma_y=\sqrt{\dfrac{\sum\limits_{i=1}^n (x_i-\mu_x)^2}{n}} \sqrt{\dfrac{\sum\limits_{i=1}^n (y_i-\mu_y)^2}{n}}\\ &&\hskip .7cm =\dfrac 1n \sqrt{\sum\limits_{i=1}^n (x_i-\mu_x)^2}\sqrt{\sum\limits_{i=1}^n (y_i-\mu_y)^2} \end{eqnarray*} 故相關係數可表成 $$r=\dfrac{\sum\limits_{i=1}^n(x_i-u_x)(y_i-u_y)}{\sqrt{\sum\limits_{i=1}^n (x_i-\mu_x)^2}\sqrt{\sum\limits_{i=1}^n (y_i-\mu_y)^2}}$$ 下面針對不同課綱說明 $-1\le r\le 1$。

(1) 利用科西不等式證明(適用舊課綱) \begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n(x'_i)^2\cdot \sum\limits_{i=1}^n(y'_i)^2&\ge&\Big(\sum\limits_{i=1}^n x'_iy'_i\Big)^2\\ \dfrac{\Big(\sum\limits_{i=1}^n x'_iy'_i\Big)^2}{\sum\limits_{i=1}^n(x'_i)^2\cdot\sum\limits_{i=1}^n(y'_i)^2}\le 1&\Rightarrow& -1\le \dfrac{\sum\limits_{i=1}^n x'_iy'_i}{\sqrt{\sum\limits_{i=1}^n(x'_i)^2}\cdot \sqrt{\sum\limits_{i=1}^n(y'_i)^2}}\le 1\\ &\Rightarrow& -1\le\dfrac{\sum\limits_{i=1}^n x'_iy'_i}{n}\le 1 \end{eqnarray*} 證明過程相當簡潔, 也容易理解, 因此在舊課綱教學中是慣用的證明方式。

(2) 新課綱可使用的證明 \begin{eqnarray*} \hbox{可利用}&&\sum\limits_{i=1}^n(x'_i\pm y'_i)^2\ge 0\\ &\Rightarrow&\sum\limits_{i=1}^n(x'_i)^2\pm\sum\limits_{i=1}^n 2x'_iy'_i+\sum\limits_{i=1}^n(y'_i)^2\ge 0\\ &\Rightarrow&-\Big(\sum\limits_{i=1}^n(x'_i)^2+\sum\limits_{i=1}^n(y'_i)^2\Big)\le \sum\limits_{i=1}^n 2x'_iy'_i\le \sum\limits_{i=1}^n(x'_i)^2+\sum\limits_{i=1}^n(y'_i)^2\\ &\Rightarrow& -2n\le 2\sum\limits_{i=1}^n x'_iy'_i\le 2n\\ &\Rightarrow& -1\le\dfrac{\sum\limits_{i=1}^n x'_iy'_i}n\le 1 \end{eqnarray*} 當 $r=1$ 等號成立時 $\sum\limits_{i=1}^n (x'_i-y'_i)^2=0\Rightarrow y'_i=x'_i$, 即 $\dfrac{y_i-\mu_y}{\sigma_y}=\dfrac{x_i-\mu_x}{\sigma_x}$, 得 $(y_i-\mu_y)=\dfrac{\sigma_y}{\sigma_x}(x_i-\mu_x)$ 則原數據 $x_i,y_i$ 皆在同一直線 $(y-\mu_y)=\dfrac{\sigma_y}{\sigma_x}(x-\mu_x)$ 上, 斜率 $\dfrac{\sigma_y}{\sigma_x}$ 為正, 當 $r=-1$ 等號成立時 $\sum\limits_{i=1}^n (x'_i+y'_i)^2=0\Rightarrow y'_i=-x'_i$, 即 $\dfrac{y_i-\mu_y}{\sigma_y}=-\Big(\dfrac{x_i-\mu_x}{\sigma_x}\Big)$, 得 $(y_i-\mu_y)=-\dfrac{\sigma_y}{\sigma_x}(x_i-\mu_x)$ 則原數據 $x_i,y_i$ 皆在同一直線 $(y-\mu_y)=-\dfrac{\sigma_y}{\sigma_x}(x-\mu_x)$ 上, 斜率 $\dfrac{\sigma_y}{\sigma_x}$ 為負。

99課綱的內容對教師仍有許多教學現場必須克服的問題, 筆者拋轉引玉, 以期科內彼此交流, 增進教學技巧, 對內容不完善的部分, 亦希望各位先進不吝指教。

---本文作者任教台南市立南寧高中---