最近筆者在研究三角形不等式時, 發現了幾個優美的不等式, 僅供讀者參考。

如右圖在 $\triangle ABC$ 中, 設三邊長 $BC=a$, $AC=b$, $AB=c$ 點 $D$, $E$, $F$ 分別是三邊 $BC, AC, AB$ 的中點,, 並且記 \begin{eqnarray*} AD&=&m_a=\frac{\sqrt{2(b^2+c^2)-a^2}}{2}\hskip 8cm~\\[6pt] BE&=&m_b=\frac{\sqrt{2(a^2+c^2)-b^2}}{2}\\[6pt] CF&=&m_c=\frac{\sqrt{2(a^2+b^2)-c^2}}{2} \end{eqnarray*}

命題1. $a$, $b$, $c$; $m_a$, $m_b$, $m_c$ 分別是 $\triangle ABC$ 三角形的三邊和三條中線, 則有 \begin{equation} \frac{m_c^2}{c^2}+\frac{m_b^2}{b^2}\ge \frac{m_b^2+m_c^2}{bc}\label{1} \end{equation}

證明： 把中線公式代入\eqref{1} 的左右兩邊得 $$\frac{2a^2+2b^2-c^2}{4c^2}+\frac{2a^2+2c^2-b^2}{4b^2}\ge \frac{4a^2+b^2+c^2}{4bc}$$ 因此證明 \eqref{1} 等價於證明 $$b^2(2a^2+2b^2-c^2)+c^2(2a^2+2c^2-b^2)-bc(4a^2+b^2+c^2)\ge 0$$ 整理得 $$(b-c)^2(2b^2+2c^2+2a^2+3bc)\ge 0$$ 上式顯然成立, 當且僅當 $b=c$ 時取到等號。

命題2. $a$, $b$, $c$; $m_a$, $m_b$, $m_c$ 分別是三角形的三邊和三條中線, 則有 \begin{equation} \frac{c^2}{m_c^2}+\frac{b^2}{m_b^2}\ge \frac{b^2+c^2}{m_bm_c}\label{2} \end{equation}

證明： \eqref{2} $\Leftrightarrow 4b^2m_c^2+4c^2m_b^2\ge 4m_bm_c(b^2+c^2)$。 由文 [1] 的結果 $4m_bm_c\le 2a^2+bc$ 只需要證明不等式 $4b^2m_c^2+4c^2m_b^2\ge(2a^2+bc)(b^2+c^2)$ 成立即可。 把中線公式代入 \eqref{2} 的左邊得 \begin{eqnarray*} &&\hskip -25pt b^2(2a^2+2b^2-c^2)+c^2(2a^2+2c^2-b^2)-(2a^2+bc)(b^2+c^2)\\ &=&(b-c)^2(2b^2+2c^2+3bc)\ge 0 \end{eqnarray*} 上式顯然成立, 當且僅當 $b=c$ 時取到等號。

可以看出其結構十分的優美, 利用上面的命題又得

推論1. $a$, $b$, $c$; $m_a$, $m_b$, $m_c$ 分別是三角形的三邊和三條中線, 則 $$\frac{b}{m_b}+\frac{c}{m_c}\ge \frac{b+c}{\sqrt{m_bm_c}}$$

證明： 給不等式 \eqref{2} 兩邊都加上 $\frac{2bc}{m_bm_c}$ 並開方便得到結果。

推論2. $a$, $b$, $c$; $m_a$, $m_b$, $m_c$ 分別是三角形的三邊和三條中線, 則有 $$\frac{c^2}{m_c^2}+\frac{b^2}{m_b^2}\ge \frac{2am_a}{m_bm_c}.$$

證明： $(2am_a)^2=a^2(2b^2+2c^2-a^2)\le \Big(\frac{2b^2+2c^2-a^2+a^2}{2}\Big)^2=(b^2+c^2)^2$ 以及命題 \eqref{2} 得到 $$\frac{c^2}{m_c^2}+\frac{b^2}{m_b^2}\ge \frac{b^2+c^2}{m_bm_c}\ge \frac{2am_a}{m_bm_c}.$$

推論3. $a$, $b$, $c$; $m_a$, $m_b$, $m_c$ 分別是三角形的三邊和三條中線, 則有 $$\frac{m_a^2}{a^2}+\frac{m_b^2}{b^2}+\frac{m_c^2}{c^2} \ge \frac38\Big(\frac bc+\frac cb+\frac ac+\frac ca+\frac ab+\frac ba\Big)\ge \frac 94.$$

證明： 由命題 \eqref{1} 可得 $$\frac{m_a^2}{a^2}+\frac{m_b^2}{b^2}+\frac{m_c^2}{c^2}\ge \frac{a(m_b^2+m_c^2)+b(m_a^2+m_c^2)+c(m_a^2+m_b^2)}{2abc}$$ 將不等式左邊的 $m_a$, $m_b$, $m_c$ 以中線公式代入, 可得 $$\frac{m_a^2}{a^2}+\frac{m_b^2}{b^2}+\frac{m_c^2}{c^2}\ge \frac 1{8abc}[4(a^3+b^3+c^3)+ab^2+a^2b+bc^2+b^2c+a^2c+ac^2]$$ 再由常見的不等式 $a^3+b^3\ge a^2b+ab^2$ ($a,b$ 為非負實數), 因此得 \begin{eqnarray*} 4(a^3+b^3+c^3)&\ge&2a^2b+2ab^2+2b^2c+2bc^2+2a^2c+2ac^2\\ \frac{m_a^2}{a^2}+\frac{m_b^2}{b^2}+\frac{m_c^2}{c^2}&\ge& \frac 1{8abc}[3a(b^2+c^2)+3b(a^2+c^2)+3c(a^2+b^2)]\\ &=&\frac 38\Big(\frac bc+\frac cb+\frac ac+\frac ca+\frac ab+\frac ba\Big)\\ &\ge&\frac 38(2+2+2)=\frac 94 \end{eqnarray*} 當且僅當 $b=c=a$ 時取到等號。

---本文作者任教中國寧夏固原市五原中學---