『深入研究大自然是所有數學發現最富饒的來源, 不僅對於決定良好的目標有好處, 也有助於排除含糊的問題、無用的計算。 這是建立分析學本身的手段, 也協助我們發現科學裡最緊要、最應永遠維繫的概念。 最基本的概念就是表現自然事件的概念。』

---《熱的解析理論》 J. Fourier (1768--1830) ---

西方文明泉源之一是希伯來文明, 其主要代表則是聖經。 聖經不是一本書, 而是很多書 (共66卷) 的統稱。如果把聖經從中間打開, 讀者肯定看到的是詩篇 (Psalm), 詩篇的希臘文 (str-inged instrument) 是由弦樂而來。詩篇的主要作者之一: 大衛王就是豎琴高手, 聽說他的音樂可以醫治 (掃羅王) 頭痛。 就希臘文的原意來看, 詩必須有音樂才足以構成詩篇。 沒有音樂的詩是缺少活力的。猶太人是詩的民族, 充滿感情, 快樂時他們登爬喜悅的高峰；痛苦時陷入失望的深淵, 而他們的文字便是他們的音樂。

『 人一代一代過去, 但他們的心靈依舊。我們若夠聰明, 也應該從這些詩篇中獲得安慰。我們今天受的苦, 在我們以前的人早已受過, 我們後來的人仍舊要受。』

---《聖經的故事》 房龍---

Fourier 分析的起源正如詩篇的意義, 是從弦樂器也就是弦振動開始。 一般我們將法國數學家 Jean d'Alembert (1717--1783) 於 1747 年發表的論文 《張緊的弦振動時形成的曲線研究》 視為偏微分方程的開端。 在這篇文章中 d'Alembert 藉由牛頓定律推導出第一個偏微分方程 (弦振動方程或波動方程) \begin{equation} {\partial^2 u \over \partial t^2} - c^2 {\partial^2 u\over\partial x^2}=0, \qquad c^2 ={{\cal T}\over \rho} \label{2.1} \end{equation} 這裡 ${\cal T}$ 是琴弦的拉力、 $\rho$ 是密度、 $c$ 則是琴弦的傳播速度。 並且只用到微積分的知識, 他就證明了弦振動方程 \eqref{2.1} 的解 $u(x,t)$可以表示為 \begin{equation} u(x,t) = f(x-ct) +g(x+ct) \label{2.2} \end{equation} 其中 $f$、$g$ 是任意的好函數 (意思是二次可微), 通常我們稱 \eqref{2.2} 為 d'Alembert 公式以紀念他的貢獻。 在 d'Alembert 之前, 英國科學家 Brook Taylor (1685--1731) 就研究了弦振動問題, 並發表了小提琴弦的基本振動頻率公式； 它完全由琴弦的長度、拉力與密度所決定, 但是 Taylor 並沒有採用偏導數的概念, 也因此並沒有得到波動方程 \eqref{2.1}。

波動方程 \eqref{2.1} 是一個描述波形(二階)變化率的微分方程, 除了空間的變化率之外, 還有時間的變化率(代表加速度), 它基本上是牛頓第二運動定律的產物, \eqref{2.1} 告訴我們「琴弦每一小段的加速度都與這一小段所受的拉力成正比」。 如果把初始條件與外力 $h(x,t)$ 考慮進來 \begin{equation} \left\{ \begin{array}{ll} \hbox{(D.E.)} &\qquad {\partial^2 u \over \partial t^2} - c^2 {\partial^2 u\over\partial x^2}=h(x,t), \qquad t\gt 0, \quad x\in {\Bbb R}\\ \hbox{(I.C.)} &\qquad u(x,0) = f(x), \qquad {\partial u\over \partial t}(x,0)= g(x) \end{array} \right. \label{2.3} \end{equation} 則d'Alembert公式 \eqref{2.2} 可以進一步推廣為 \begin{eqnarray} u(x,t) &=& {1\over 2}\big( f(x-ct) + f(x+ct)\big) +{1\over 2c} \int_{x-ct}^{x+ct} g(\xi) d\xi\cr &&+{1\over 2c} \int_0^t \int_{x-c(t-\tau)}^{x+c(t-\tau)} h(\xi,\tau) d\xi d\tau \label{2.4} \end{eqnarray} 簡單的量綱(因次)分析(dimensional analysis)可以判斷 \eqref{2.4} 的合理性。 首先由初始值 \begin{eqnarray*} u(x,0) = f(x) \quad &\Longrightarrow&\quad [f]=[u] \cr {\partial u\over \partial t}(x,0) = g(x) \quad &\Longrightarrow&\quad [g]=\bigg[{\partial u\over \partial t}\bigg]=[u]{\rm T}^{-1} \end{eqnarray*} 其次方程式本身也告訴我們 $$ {\partial^2 u \over \partial t^2} \approx c^2 {\partial^2 u\over\partial x^2} \approx h(x,t) \quad \Longrightarrow\quad [c]={\rm L}{\rm T}^{-1}, \quad [h]=[u]{\rm T}^{-2} $$ 因此 \eqref{2.4} 每一項的量綱都是 $[u]$, 換句話說 d'Alembert 公式 \eqref{2.4} 是量綱平衡, 所以從物理的角度來看 \eqref{2.4} 這個解是合理且自然的。 初始值 ${\partial u\over \partial t}(x,0)=g(x)$ 告訴我們初速度 $g(x)$ 基本上是 $u(x,t)$ 的一階微分, 所以 \eqref{2.4} 的第二式是函數 $g(x)$ 的一次積分。另外波動方程本身則說明非齊次項 $h(x,t)$ 是 $u(x,t)$ 的二階微分, 所以 \eqref{2.4} 最後一項是 $h(x,t)$ 的二重積分。 這肯定了我們的理念: 「方程式本身是會講話的。」

與 d'Alembert 同年代的瑞士數學家 L. Euler (1707--1783), 從 d'Alembert 的研究成果出發也推得波動方程(有邊界), 並且給了一個特殊的三角級數解: \begin{eqnarray} u(x,t) &=& \sum_{n=1}^\infty a_n \sin {n\pi x\over L} \cos {n\pi ct\over L}\nonumber\\[-8pt] \label{2.5}\\[-8pt] u(x,0) &=& \sum_{n=1}^\infty a_n \sin {n\pi x\over L} \nonumber \end{eqnarray} 這就是 Fourier 級數的最初形式。 在此之前瑞士 Bernoulli 家族的 Daniel Bernoulli (1700--1782) 在 1727 年也研究了波動方程, 他引進分離變數法 (separation of variables) , 根據他的理論, 最一般的解可以表示為無窮多個正弦波的疊加 (即三角級數)。因此與 d'Alembert 及 Euler 的成果有差異, 後來法國數學家 Louis Lagrange (1736--1813) 也加入這一場為期將近一個世紀的論戰。 整個論戰的核心是那種函數才可以表示成三角函數之和, 在那個年代人們對於「函數是什麼？」仍然是非常的分歧。 這個問題一直要等到法國數學家Fourier才解決, 而Fourier分析就是這場論戰的結晶, 最後歷史也還給 D. Bernoulli一個公道:

『d'Alembert與Euler所提出的新曲線, 全都只是Taylor振動$($三角級數$)$的組合而已。』

---Daniel Bernoulli (1700-1782)---

我們回到波動方程的初邊值問題 $$\left\{\begin{array}{lcl} &\hbox{(D.E.)}&\quad~ {\partial^2 u\over \partial t^2} = c^2 {\partial^2 u\over \partial x^2}, \qquad 0\leq x \leq L, \qquad 0 \leq t, \\[7pt] &\hbox{(B.C.)}&\quad~ u(0,t)= u(L,t)=0, \qquad 0 \leq t, \\[5pt] &\hbox{(I.C.)}&\quad~ u(x,0)= f(x),\quad {\partial u\over \partial t} (x,0)=g(x), \qquad 0\le x\le L \end{array}\right. $$ 按 D. Bernoulli 的分離變數法, 我們可以假設 $u(x,t)=T(t)\varphi(x)$, 代入方程式得 \begin{equation}\left\{\begin{array}{lcl} T''(t) + c^2 \lambda^2 T(t) &=&0\\[6pt] \varphi''(x) +\lambda \varphi(x)&=&0,\qquad \varphi(0)=\varphi(L)=0 \end{array}\right.\label{3.1} \end{equation} 對 $\varphi(x)$ 而言, 這就是著名的 Sturm-Liouville 問題, 即所謂的固有值問題 (eigenvalue problem), 為什麼呢？ 顯然 $\varphi=0$ 是一個無聊解(trivial solution)！ 除了 $\varphi=0$ 之外是否有其它真正有聊的解呢？ 所以由此自然而然就衍生出微分方程的固有值問題。 類似於線性代數的理論, 我們可以計算得固有值與固有函數 \begin{equation} \lambda_n = \bigg({n\pi \over L}\bigg)^2,\qquad \varphi_n(x) = \sin {n \pi x \over L},\qquad n=1,2,\cdots \label{3.2} \end{equation} 將 $\lambda_n$ 代入 $T$ 滿足的方程式並令其解為 $T_n$ \begin{equation} T_n(x) = a_n \cos {n\pi ct \over L} + b_n \sin {n \pi ct\over L},\qquad n=1,2,\cdots \label{3.3} \end{equation} 其中 $a_n$、$b_n$ 是任意的常數。所以由重疊原理(線性), 一般解可以表示為 \begin{equation} u(x,t) =\sum_{n=1}^\infty T_n(t) \varphi_n(x) =\sum_{n=1}^\infty \bigg(a_n \cos {n\pi ct \over L} + b_n \sin {n \pi ct\over L}\bigg) \varphi_n(x) \label{3.4} \end{equation} 現在的問題是如何決定係數 $a_n$、 $b_n$ 呢？ $$ 『回到方程式！』 $$

還好原來的問題有兩個初始值(按牛頓定律我們需要最開始的位置與速度, 才能決定粒子的運動軌跡)。 所以 \begin{equation}\left\{\begin{array}{lcl} f(x) &=& u(x,0)= \displaystyle\sum_{n=1}^\infty a_n \sin {n\pi x \over L} \\[5pt] g(x) &=& \displaystyle{\partial u\over \partial t}(x,0)= \displaystyle\sum_{n=1}^\infty {n\pi c \over L}b_n \sin {n\pi x \over L} \end{array}\right.\label{3.5} \end{equation} 利用垂直(正交)的概念可得 \begin{equation}\left\{\begin{array}{lcl} a_n &=& \displaystyle{2\over L} \int_0^L f(x) \sin \displaystyle{ n\pi x\over L} dx \\ b_n &=& \displaystyle{2\over n\pi c} \int_0^L g(x) \sin \displaystyle{ n\pi x\over L} dx \end{array}\right.\label{3.6} \end{equation} 事實上, Euler 就是利用這方法推導出Fourier係數$a_n$、$b_n$。

由弦振動方程的解 \eqref{3.4} 我們看到, 弦的固有振動在整個弦上具有 整數個正弦半波的形式, 每個固有振動都有一定的頻率, 而且這些 頻率可以按大小順序排列為 $$ {c\pi \over L},\quad 2{c\pi \over L},\quad 3{c\pi \over L},\quad\cdots, \quad n{c\pi \over L},\quad \cdots $$ 頻率 ${c\pi \over L}$ 稱為基音頻率, 其它的頻率是所謂的泛音頻率。 固有函數 $\varphi_n(x)= \sin {n\pi x\over L}$ 在區間 $0\le x\le L$ 中改變 $n-1$ 次符號, 固有函數等於0 的點稱為波節或節點 (node)。 在弦的振動第一泛音的波節所對應的點固定不動則基音就消失, 我們只聽到第一泛音, 也就是提高了八度音。

按照我們對一般解 \eqref{3.4} 的認識, 振幅 $u(x,t)$ 與係數 $a_n$、$b_n$ 必須具有相同的量綱: $[u]=[a_n]=[b_n]$, 事實上也的確是如此。 簡單的量綱分析得 \begin{eqnarray*} [a_n] &=& {1\over {\rm L}} [f] 1 {\rm L} =[f]=[u] \cr [b_n] &=& {1\over [c]} [g] 1 {\rm L} ={1\over {\rm L} {\rm T}^{-1}}{[u]\over {\rm T}}{\rm L}=[u] \end{eqnarray*} 依三角函數的常識判斷, 有正弦波必然也有餘弦波 $\cos {n\pi x \over L}$。 為何弦振動只有正弦波解？餘弦波那裡去了呢？ 這裡面有非常深刻的物理及數學內涵, 簡而言之, 就是對稱性(symmetry)。 對邊界條件 $u(0,t)=0$ 而言 (我們稱為 Dirichlet 邊界條件), 直觀上, 可以這麼看:一個好函數在原點(邊界點)的值等於0, 若要將此函數週期性平滑地擴張到整個實數軸的左邊, 那麼必然是一個奇函數, 我們稱為奇函數擴張(odd function extension), 因此弦振動的解只有正弦波。 同理可以想像如果邊界值是 ${\partial u\over \partial x}(0,t)=0$ (Neumann邊界條件) 則弦振動的解是餘弦波, 因為在原點的微分等於0, 函數在原點左右兩邊差不多是對稱, 所以必定是一偶函數, 我們稱為偶函數擴張(even function extension), 因此弦振動的解只有餘弦波。

藉由 Euler 公式 $e^{i\theta} =\cos \theta +i\sin \theta$, 可以將波動方程的解 \eqref{3.4}--\eqref{3.6}, 表示得更精簡: \begin{eqnarray} f(x) \sim \sum_{-\infty}^\infty c_n e^{i{n\pi x\over L}} &=& {a_0\over 2} + \sum_{n=1}^\infty \bigg( a_n \cos { n\pi x\over L} + b_n \sin {n\pi x\over L}\bigg)\nonumber\\[-7pt] \label{3.7}\\[-7pt] c_n &=&{1\over 2L} \int_{-L}^L f(x) e^{i{n \pi x\over L}} dx\nonumber \end{eqnarray} \eqref{3.7} 這個漂亮的公式告訴我們 Fourier 級數真正的主角是 $\{ e^{i{n\pi x\over L}}\}$, 它扮演的角色正如連續函數中的多項式 $\{ x^n\}$ 所扮演的一樣。因為 $\{ e^{i{n\pi x \over L}}\}$ 是一個複數, 自然就會有如此的困惑: \eqref{3.7} 右邊的無窮級數是實數值, 那麼左邊的無窮級數真的是實數值嗎？ 這問題問得好！多少人是照單全收就如此迷糊過了一輩子。 這問題的答案仍然是「對稱性」, 因為負的足碼 $-n$ 與正的足碼 $n$ 正好是共軛, 所以相加之後是一實數, 因此結論 \eqref{3.7} 的左式也必然是實數值。 如果所取的級數不是左右對稱, 則不能肯定是否是一實數！

Fourier 級數 \eqref{3.7} 還可以藉由三角函數的和差化積(或積化和差)改寫為 \begin{equation} f(x)={1\over 2L}\int_{-L}^L f(\xi) d \xi + \sum_{n=1}^\infty{1\over L}\int_{-L}^L f(\xi) \cos {n\pi (x-\xi) \over L} d\xi \label{3.8} \end{equation} 在這裡我們看到褶積(convolution)自然而然出現, 這是一個深刻的理論, 與對稱性、不變量有關, 這裡主要是平移不變(時間或空間)。

波動方程也許是有史以來最重要的方程式, 就連愛因斯坦的質能公式 $E=mc^2$ 也比不上。這是一個極為有趣的例子, 說明了數學是如何隱身於大自然之中。 同時也是古希臘精神的重現 $$ 『 大自然是依數學來設計的。』 $$ 關於熱我們是否也有同樣的論證？

《熱的解析理論》--- 號稱為應用解析 (分析) 的聖經, 是Fourier最著名的著作於1822年出版, 但其中大部分的內容可追溯至1807年, 他呈送給巴黎科學院的一篇論文, 當時經過了 3L(Lagrange、Laplace、Legendre) 審查後, 被科學院拒絕。 在1811年才又提交修改後的論文, 並獲得巴黎科學院的大獎, 這篇文章開闢了數學史上富有成果的新篇章, 該文章主要是研究金屬棒、圓盤、立方體的熱傳導問題, 最簡單的情形是 \begin{equation} \left\{\begin{array}{lcl} &\hbox{(D.E.)} &\quad~ {\partial u\over \partial t} = k {\partial^2 u\over \partial x^2}, \qquad t\gt 0, \qquad 0\lt x\lt L \\[7pt] &\hbox{(B.C.)} &\quad~ u(0,t) = u(L,t) = 0,\qquad t\gt 0 \\[5pt] &\hbox{(I.C.)} &\quad~ u(x,0) = f(x),\qquad 0\lt x\lt L \end{array}\right. \label{4.1} \end{equation} 仿 D. Bernoulli 的分離變數法, Fourier 也可以將熱傳導的解表示為三角級數。 但是Fourier 更將 D. Bernoulli 與 Euler 的成果發展成一般的理論, 因此今天我們稱之為 Fourier 級數而不僅僅是三角級數。 在該論文中, 他做出了令人驚訝的結論: 由任意繪出的圖形且定義在有限閉區間的任何函數都可以被分解為 正弦函數與餘弦函數的和。 $$ f(x) ``=" {a_0\over 2} +\sum_{n=1}^\infty (a_n \cos nx + b_ n \sin nx), \qquad 0\le x\le 2\pi $$ 「函數是否真的等於其Fourier級數？」或者換個角度說: 「函數 $f$ 之 Fourier 級數是否收斂到函數 $f$？」 這個問題就成為整個數學分析發展的核心。為此不同的收斂概念應運而生: 逐點收斂、一致收斂、絕對收斂、 $L^p$-收斂, 甚至弱收斂 (weak convergence)等等。而對應的就是函數空間(function space)的問題, 這些都大大地豐盛了數學的內涵而且也構成了近代分析的絕大部分。 對於這個問題, 第一個突破性的發展是德國數學家 G. L. Dirichlet (1805--1859), 他在 Fourier 的影響與鼓勵下研究 Fourier 級數的收斂性, 這件工作也成為他最負盛名的成就。 這件事引導他將函數的概念一般化, 並給出了一個處處不連續的函數 $$ f(x) =\left\{\begin{array}{lcl} 1,&&x\in [0,1]\cap {\Bbb Q} \\[5pt] 0,&& x\in [0,1] - {\Bbb Q} \end{array}\right. $$ 今天我們稱之為 Dirichlet 函數, 由於他開創性的工作, B. Riemann (1826--1866) 特別尊稱他是 Fourier 分析真正的奠基者。

真正的不連續函數是經由 Riemann 在Fourier級數的收斂性上的工作 才進入數學的主流。 在 Fourier 的工作中已經表露了有必要讓積分對不連續函數也有意義, 所以 Riemann 在1854年的就職演說中特別提出這個問題 $$ 我們如何瞭解積分 \int_a^b f(x) dx？ $$ 他的答案就是今天我們仍然沿用的 Riemann 積分。 Riemann 使可積性的概念明確化, 用的是我們現在稱做 Riemann 積分的定義, 這個定義在20世紀推廣至更一般的 Lebesgue 積分。 繼 Riemann 之後, 德國數學家 Cantor$\cdots$ 等等不少第一流的數學家對此 問題都有重要的貢獻。 1876 年 Paul du Bois Reymond (1831--1889) 造出了連續的週期函數其 Fourier 級數在某些點發散。 蘇聯數學家 A. Kolmogorov (1903--1987) 更造出了一個可積函數其Fourier級數到處發散。所以怎樣的函數才可能收斂呢？ 這個問題在1966年由瑞典數學家 L. Carleson 解決。他證明 $L^2$-函數(平方可積函數)是對的, 後來美國數學家 R. Hunt 利用插值法推廣到 $L^p(1\lt p)$ 函數都是對的。

如果只有 Fourier 級數, 那麼 Fourier 就不值得稱為 Fourier。 他進一步考慮週期 $2L\to\infty$, 意思是無窮大的週期或非週期函數。 藉由 Riemann 和與 Riemann-Lebesgue 引理, 得到所謂的 Fourier 積分公式 \begin{equation} f(x) = {1\over \pi} \int_0^\infty d\xi \int_{-\infty}^\infty f(y) \cos \xi(x-y) dy \label{5.1} \end{equation} 讀者可以驗證 \eqref{5.1} 是量綱平衡, 要提醒的是圓周率 $\pi$ 無法丟掉。 可以稱這項是演化過程 ($L\to \infty$) 所留下來的 DNA。 無論是 $2\pi$ 或 $2L$ 週期函數, 基本上都是考慮在圓上的函數, 如今變成 $(-\infty, \infty)$, 必定有 $\pi$ 以便留下圓的基因。

由 \eqref{5.1} 我們可以進一步得到 Fourier 變換 \begin{equation} \widehat{f}(\xi)= \int_{-\infty}^\infty f(x) e^{-i\xi x} dx,\qquad f(x)={1\over 2\pi} \int_{-\infty}^\infty \widehat{f}(\xi) e^{i\xi x} d\xi \label{5.2} \end{equation} 實際上由 \eqref{5.1} 可以衍生其他不同的 Fourier 變換之定義, 但不管是哪一種定義, 最終 Fourier 變換與逆變換合併在一起時 $\pi$一定要出現。

Fourier 積分是研究一條無窮長的線上的熱傳導問題所發展出來, 頻率與週期的關係是 $$ \hbox{基本頻率} = {1\over \hbox{週期}} $$ 如果一個波需要無限長的時間才能完成一個週期, 那麼它的頻率將非常接近0, 所以當週期接近無限大時, 頻率之間沒有間隙, 而頻譜就成為連續的, 因此當週期是無限大時, 所有的頻率都會出現。

Fourier 變換比 Fourier 級數更豐富、應用更廣, 甚至有許多 Fourier 分析的書乾脆直接從這裡開始。 Fourier 變換已經是現代數學分析的核心, 是解偏微分方程還有其他分析不可或缺的工具, 甚至近代物理或科技許多領域都會用到, 在量子力學中物質波是透過 Fourier 分析而具體表現。 值得一提的 Heisenberg 測不準 (不確定性) 原理是可以利用 Fourier 變換來證明的, 這是 Hermann Weyl (1885--1955) 的傑作。 證明的方法是 Cauchy-Schwarz 不等式而且連帶地, 當等式成立時, 就是最穩定的情形是基態 (ground state), 正是 Gaussian (高斯函數)。

《熱的解析理論》是記載了 Fourier 與 Fourier 積分之誕生的重要文獻, 在數學史與科學史都公認是一部劃世代的經典著作。 Fourier在這部名著中所發展的方法與解微分方程的強而有力的工具, 還有留下來待解的問題, 除了極大的推動19世紀以後數學的發展之外, 也更豐富了數學與科學的生命。

Fourier的研究成果是典型數學美的表現, 而Fourier分析猶如一首數學的長詩。 他證明了, 所有的聲音(複雜的或簡單的)都可以用數學的方式加以描述, 由於Fourier的研究, 使得音樂的樂章也能表示成數學的形式。 現代的音樂愛好者顯然應該把Fourier的貢獻看作與貝多芬一樣的偉大。

Fourier的理論和方法幾乎滲透到近代物理的所有部門。 1826年歐姆(Georg Simon Ohm, 1787--1854)利用熱傳導聯想到電傳導, 用熱效應的辦法對電進行實驗研究, 從而得出著名的電傳導公式, 即歐姆定律。 高斯(1781--1840)與Poisson(1777--1855) 也把《 熱的解析理論》裡面的方法應用到電學, 並得到豐碩的成果。著名物理學家 J. C. Maxwell (1831-1879) 曾把《 熱的解析理論》 稱為一首偉大的數學的詩, 而物理學家 Lord Kelvin (1824--1907) 不但稱之為數學的詩, 而且宣稱他自己在數學物理的全部生涯都受到這部著作的影響。 隨著數學的形式化、公理化、抽象化與一般化而漸漸失去活力, 由於沒有創新的觀點、沒有新的目標, 數學可能很快在其邏輯證明的嚴格性下枯竭, 一旦實質性的東西消失, 數學的發展便停滯。 不少有遠見的數學家不禁要問說: $$ 『我們是否該回到 Fourier？』 $$

---本文作者任教國立交通大學應用數學系---