前幾天的一堂數學競賽課上, 原本安排了詳細的計畫, 內容充分。 在講解第一道不等式習題的時候, 需要用到: $x, y\in R$, $\displaystyle\frac{x^2+y^2}{2}\ge\Big (\frac{x+y}{2}\Big )^2$ 的結論, 也沒想那麼多, 直接給出, 因為上競賽課的同學, 基礎都較好, 應該不會有什麼問題, 哪知道坐在前排的一個同學一個小聲的嘀咕, 卻改變了整堂課的進程, 特與朋友們一起分享:
[同學1] (小聲嘀咕) 給的不等式這麼巧, 未知量前面都是 $\displaystyle\frac{1}{2}$, 和為 1 $\cdots$ 。
說者無心, 聽者有意, 明顯的感覺到周圍的同學也聽見了同學1的小嘀咕。 因此, 我也沒有急著往下講解, 順勢: 「剛才同學1在下面產生了疑問, 為何左右兩邊的未知量的係數都是 $\displaystyle\frac{1}{2}$, 而且和是 1, 請同學們思考思考這個問題。」
話音剛落, 平時比較喜歡思考的一位同學舉起了手。
[同學2]: (舉手站起來了) 按照如此說法的話, 假設係數不像上面都等於 $\displaystyle\frac{1}{2}$, 而只要求兩個係數和等於 1的時候是否也成立呢? 即有 $m, n\in R^+$, $m+n=1$, 使得 \begin{equation} %(1) mx^2 + ny^2 \ge (mx+my)^2. \end{equation}
下面不禁發出嘖嘖的讚歎聲, 也有同學表示懷疑。
「很好,」 我立刻給予了表揚, 「不論是否對錯, 敢於做出這樣的猜想, 確實很棒。 那下面我們看看, 這個猜想對麼?」 下面歸於平靜, 只有沙沙的筆摩擦著紙的聲音。 「打斷一下, 有哪位同學願意到黑板上來做出你的結論呢?」 不久, 同學3給予我回應。
[同學3]: 因為三角函數當中有 1的代換, 我也大膽的模仿這個方法, 如下 \begin{eqnarray*} m + n = 1, && \\ mx^2 + ny^2 &=& (m+n)(mx^2+ny^2) \\ &=& m^2x^2 + n^2y^2 + mn(x^2+y^2) \\ &\ge& m^2x^2 + n^2y^2 + mn(2xy) \\ &=& (mx+ny)^2, \end{eqnarray*}
同學2的猜想是正確的。剛剛解答完畢, 同學4立刻舉手, 我示意同學3回到座位。
「同學3的證明很漂亮, 同學4好像有話要說。」 我說道。
[同學4]: 兩個未知量 不等式成立, 不知道擴大到 3個元素是否也成立呢? \begin{equation} %(2) p\hbox{、 } q\hbox{、 } r \in R^+, ~p + q + r = 1, ~~px^2 + qy^2 + rz^2 \ge (px+qy+rz)^2 \end{equation} 式子是否成立呢?
[師]: 同學們思考思考, 這個命題是否為真命題呢?
[生5]: 那我來試試: \begin{eqnarray*} && \hskip -25pt (p+q+r)(px^2+qy^2+rz^2) \\ &=& p2x^2+q^2y^2+r^2z^2+pqy^2+prz^2+pqx^2+qrz^2+prx^2+qry^2 \\ &=& p^2x^2+q^2y^2+r^2z^2+(pqy^2+pqx^2)+(prz^2+prx^2)+(qrz^2+qry^2) \\ &\ge& p^2x^2+q^2y^2+r^2z^2+2pqxy+2prxz+2qryz \\ &=& (px+qy+rz)^2 \end{eqnarray*}
[師]: (帶頭鼓掌) 課堂發展到此程度, 我也順水推舟, 把原有的教學計畫停下來。 同學5的探索精神值得我們學習。
[生6]: 能否推廣到更多元素呢? (跟著後面, 就有同學提出來, 課堂的氣氛進入了小高潮。) 即 $\forall\, a_i\in R^+$ $(i=1, 2, \ldots, m)$, $\displaystyle\sum_{i=1}^m a_i=1$, 則 \begin{equation} %(3) \sum_{i=1}^m {a_ix_i}^2 \ge \bigg (\sum_{i=1}^m a_ix_i\bigg )^2 = \cdots\cdots \end{equation}
[師]: 很好, 有人想挑戰麼? 下面會意的一片笑聲。
[生7]: 老師, 我來嘗試: 模仿上面的證明方法, 展開之後運用均值不等式應該可以證明, 前不久我剛研究過柯西不等式, 此處給出一個較為簡單的證明, 如下: $$ \sum_{i=1}^m {a_ix_i}^2 = \sum_{i=1}^m \Big (\sqrt{a_i}\Big )^2 \sum_{i=1}^m \Big (\sqrt{a_i} x_i\Big )^2 \ge \bigg (\sum_{i=1}^m \sqrt{a_i} \sqrt{a_i}x_i\bigg )^2 = \bigg (\sum_{i=1}^m a_ix_i\bigg )^2. $$
下面一陣躁動, 更多的給出是讚歎與欣賞, 我及時的加以了表揚與鼓勵。
[生8]: 老師, 同學們, 對不起, 我打斷一下, 剛才同學2在給出 (1) 式時候, 我就在想 $m+n=1$ 的條件很強, 而同學3給我們的證明給了我一定的啟示, 我把 (1) 變為 $m, n\in R^+$, 使得 \begin{equation} %(4) (m+n)(mx^2+ny^2) \ge (mx+ny)^2, \end{equation} 此式子經過證明是真命題, 我就在想此結論能否往更高次方上推廣呢?
[師]: 此問題思考的很好, 下面我們一起研究研究這個問題, 下面頓時安靜了下來。
[生9]: 我一開始猜想 $m, n\in R^+$, 使得 $(m+n)(mx^3+ny^3)\ge(mx+ny)^3$, 但此式左右兩邊參量次數不一致, 可以猜想如下: \begin{equation} %(5) m, n \in R^+, ~\hbox{ 使得 }~ (m+n)^2(mx^3+ny^3) \ge (mx+ny)^3, \end{equation} 證明如下: \begin{eqnarray*} && \hskip -25pt (m+n)^2(mx^3+ny^3) \\ &=& (m^2+2mn+n^2)(mx^3+ny^3) \\ &=& m^3x^3 + n^3y^3 + (m^2ny^3+m^2nx^3+m^2nx^3) + (mn^2y^3+mn^2y^3+mn^3x^3) \\ &\ge& m^3x^3 + n^3y^3 + 3 \root 3 \of {m^2ny^3 \times m^2nx^3 \times m^2nx^3} + 3 \root 3\of{mn^2y^3 \times mn^2y^3 \times mn^3x^3} \\ &=& m^3x^3 + n^3y^3 + 3m^2nx^2y + 3mn^2xy^2 \\ &=& (mx+ny)^3, \end{eqnarray*} 此猜想得證實。
[師]: $\ldots\ldots$
剛要開口作點評價與引導, 就被同學打斷了。
[生10]: 和上面類似 $m, n\in R^+$, $p\in N^*$ 使得 \begin{equation} %(6) (m+n)^{p-1}(mx^p+ny^p) \ge (mx+ny)^p, \end{equation} 不知道對不對?
下面學生出現躁動, 議論聲紛紛, 課堂達到了白熱化的程度。
[師]: 很好, 此命題是不是真命題呢?
[生11]: $p\in N^*$, 能考慮用數學歸納法證明麼?
[師]: 好思路, 有同學願意上來嘗試麼?
[生12]: 我來嘗試, $p=1$ 顯然成立。
假設當 $p=k$ 時命題成立, 即 $(m+n)^{k-1}(mx^k+ny^k)\ge(mx+ny)^k$。
則當 $p=k+1$ 時, \begin{eqnarray*} && \hskip -25pt (m+n)^k (mx^{k+1}+ny^{k+1}) \\ &=& (m+n)^{k-1} (mx^k+ny^k) (m+n) \frac{mx^{k+1}+ny^{k+1}}{mx^k+ny^k}, \end{eqnarray*} 此時只需證明 $(m+n)\displaystyle\frac{mx^{k+1}+ny^{k+1}}{mx^k+ny^k}\ge mx+ny$, 即 $$ (m+n)(mx^{k+1}+ny^{k+1}) \ge (mx+ny)(mx^k+ny^k). $$ 下面證明上式成立: \begin{eqnarray*} && \hskip -25pt (m+n)(mx^{k+1}+ny^{k+1}) - (mx+ny)(mx^k+ny^k) \\ &=& mn(x^{k+1}+y^{k+1}-xy^k-x^ky) = mn(x-y)(x^k-y^k), \end{eqnarray*} $x-y$ 與 $x^k-y^k$ 符號顯然相同, 故 \begin{eqnarray*} && \hskip -25pt mn(x-y)(x^k-y^k) \ge 0 \\ &\Rightarrow& (m+n)(mx^{k+1}+ny^{k+1}) - (mx+ny)(mx^k+ny^k) \ge 0, \end{eqnarray*} 即當 $p=k+1$ 時命題也成立, 由上述可知道, 原命題成立。
[師]: 「漂亮。」(全班鼓起了雷鳴般的掌聲)
[生13]: 「老師, 您看, (3)、 (6) 兩者之間有什麼關聯? (3) 式項數多, 而 (6) 式指數高。」
疑問聲, 稱讚聲 $\cdots\cdots$
[師]: 「生13觀察的很仔細, 下面我們一起分析, 能否把 (3)、 (6) 結合起來呢?」
下面一片寂靜, 眾生思考著。
觀察上述式子, 我在黑板上嘗試著寫下: $$ a_i \in R^+, ~x_i \in R, ~(i = 1, 2, \ldots, m), ~n \in N^*, ~\bigg (\sum_{i=1}^m a_i\bigg )^{n-1} \sum_{i=1}^m (a_ix_i^n) \ge \bigg (\sum_{i=1}^m a_ix_i\bigg )^n. $$
鈴--- 下課鈴聲響起。
[師]: 「同學們, 我嘗試著綜合 (3)、 (6) 得出上述結論, 請同學們判斷是真還是假, 若是真, 請同學們嘗試證明, 若是假, 請舉出反例, 下節課我們再加以研究。」
反思: 整節課把一開始所給的不等式從兩條路加以推廣, 一條路從項數增加的角度加以推廣, 另一方面從指數增加的角度加以推廣, 並沒有涉及多高深的數學知識, 也沒有多麼偉大的發明創造, 或許如此的結論早已被人研究出來了, 但對於我的學生和我來說, 無疑是一次原創性的創造, 何嘗不是一種快樂呢? 這樣一堂課是一堂探索的課, 在探索的過程中體驗數學的魅力, 學生自主學習, 合作交流有機的結合起來, 也是我在傳統競賽教學模式中有益的補充。
---本文作者任教安徽滁州中學---