--- 導數真正是甚麼? --- 答: 極限
--- 積分真正是甚麼? --- 答: 極限
--- 無窮級數 $a_1+a_2+a_3+\cdots$ 真正是甚麼? --- 答: 極限
這就導致了底下的問題
--- 極限是甚麼? --- 答: 數
所以最終的問題是:
--- 數是甚麼?

--- Augustin Cauchy (1789$-$1846) ---

$\S$ 1. 前言

西元1872年是不平凡的一年, 這一年, 有好幾位 (五位! Weierstrass, Dedekind, Méray, Heine, Cantor) 數學家同時提出了實數系統建構的理論。 他們不約而同地出版他們的著作討論困惑人們2500年之久的無理數問題, 他們出發點不同, 方法也各異, 但他們都把有理數當做已知的東西, 從而描述實數系統。他們描述的方法雖異, 但從數學的結構觀點來看, 所描述的卻是同樣的東西。 他們的目標是: 在不預先假設無理數存在的條件下, 建立一個令人滿意的無理數理論。 然後把無理數和有理數合在一起構成實數, 之後為實數建立一個可靠的連續性理論。 如此數學分析 (主要研究實變量的實函數), 才能有一個牢靠的基礎。

Georg Cantor (1845$-$1918) 的父母都是猶太裔, 他的父親生於丹麥的哥本哈根, 年輕時移居俄國聖彼得堡, 1845年3月3日數學家 Georg Cantor 誕生於此。 1856年舉家遷往德國的法蘭克福, 之後 Cantor 就一直在德國接受教育, 後來進入柏林大學。 他的博士論文是從鑽研高斯的 "Disquisitiones Arithmeticae" 得到啟發而研究不定方程。 後來在大數學家 Weierstrass 學派的影響下研究 Fourier 級數, 從而創造著名的無限數學 --- " 集合論"。

Charles Méray (1835$-$1911)是法國數學家, 他主要是研究 Lagrange 早年的工作, 針對 Lagrange 只作出猜測的工作, 加以嚴格的數學證明。 他發表關於無理數的算術理論是等價於 Cantor 的理論, 但顯然他的工作並沒有受到 Weierstrass 與 Dedekind 的影響。

Richard Dedekind (1831$-$1916) 是德國數學家, 他是高斯的閉門弟子 (那時高斯已75歲高齡), Dedekind 主要是研究Euler積分, 但使他名垂千古的是與 Cantor 共同創造集合論與實數理論的Dedekind斷口 (Dedekind cut), 另外根據整數論的研究, 他創造了代數學的重要概念 --- 理想 (ideal), 他取這個名稱主要是為了紀念德國數學家 Ernst Kummer (1810$-$1893)。 Dedekind 思想開放, 治學嚴謹, 是1880年代勇於探討無限 (infinite) 的少數數學家。 他是Cantor號召的數學同好, 他們從1872年到1899年書信往返達27年, 在彼此旗鼓相當的對話中, 可以看見兩位智者彼此切磋琢磨互相砥礪, 在嚴厲的評論中逼對方給出最好的數學成果。 這些書信是數學文學中最美的作品。

從技術層面而言 Dedekind 斷口與 Cantor 的基本序列解決了實數的理論, 它們反映了兩個互相等價的事實: 最小上界原理, Cauchy 的收斂性原理。 數學分析的基礎: 極限, 連續性原理 就是奠基於這些原理與長度和距離等幾何概念之上。 Dedekind 或 Cantor-Méray 的實數建構看來很抽象, 但它們卻可經由已知的有理數來定義的清清楚楚。 它們更可用來澄清連續與極限的觀念, 使微積分立於堅固的邏輯基礎上,使分析學的嚴謹化達成目的。

$\S$ 2. Cantor-Méray 的實數理論

『數學在其發展中是完全自由的, 它只受下述自明的關注所制約, 即它的概念既要內在地不存在矛盾, 還要參予確定與此前形成的, 已經存在著的和已被證明的概念之關係 (藉助定義貫串起來)。 特別地, 在引入新數時, 數學只遵循:在給出它們的定義時使之具有某種確定性, 並且在某些情況下, 使之與舊數有某種關係, 在特定的場合中這種關係一定會使它們 (新數跟舊數) 互相區別開來。 只要一個數滿足這些條件, 數學只能而且必須把它看作是存在且實在的東西。 這正是我在第四段中關於為什麼必須把有理數 、 無理數和複數看作與有限正整數一樣是實存的所建議的理由。』

--- G. Cantor (1845$-$1918) ---

第一個實數系統建構的理論是 G. Cantor 和 C. Méray (1835$-$1911) 於1872年提出的。 當我們問一有理數列 \begin{equation} %(2.1) a_n = 2 \cdot \frac{2\cdot 2}{1\cdot3} \cdots \frac{2n\cdot 2n}{(2n-1)\cdot (2n+1)} \end{equation} 的極限為什麼? 在有理數系中我們實在無法說 $a_n$ 的極限是甚麼, 也就是說有理數系不完備, 我們就把它擴大, 使其有極限, 一個有理數列 $\{x_n\}_n$, 如果當 $m$, $n$ 夠大時, $|x_n-x_m|$ 就會小到任何預定範圍內, 則稱 $\{x_n\}_n$ 為一 Cauchy 數列。

定義 2.1 (有理Cauchy數列). $\{x_n\}\subset{\Bbb Q}$ 是一個有理 Cauchy 數列, 意思是對於每個 $\epsilon\gt 0$, 都存在$\omega\in{\Bbb N}$, 使得 \begin{equation} %(2.2) \forall m, n \ge \omega \quad \Longrightarrow \quad |x_n-x_m%y_n | \lt \epsilon \end{equation}

如果把一 Cauchy 數列相應的點標在直線上, 則這些點終究會擠在一起。 Cantor-Méray 希望他們的實數系會使 ${x_n}$ 趨近於一實數, 所以乾脆就讓 $\{x_n\}_n$ 代表一實數, 也就是實數等於所有的有理數 Cauchy 數列, 但是另一有理數 Cauchy 數列 $\{y_n\}$ 亦可能與 $\{x_n\}$ 趨近於同一實數, 所以如果 $x_n-y_n\rightarrow 0$ 則 在 Cantor-Méray 系統中, 我們就認定 $\{x_n\}$和 $\{y_n\}$ 代表同一實數。 Cantor-Méray 的思維方式是: 藉由 Cauchy 數列, 來定義全等關係 (equivalent relation), 再由全等關係得出全等類 (equivalent class), 而全等類就代表實數; $$ \hbox{Cauchy數列} \quad \Longleftrightarrow \quad \hbox{全等關係} \quad \Longleftrightarrow \quad \hbox{全等類} $$ 整個架構是從 Cauchy 數列開始, 因此需要距離 (metric) 的概念, 事實上Cantor的方法可以推廣至距離空間 (metric space)。

全等關係, 全等類

我們分別用有理數列與 $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$ 對應 \begin{eqnarray*} \sqrt{2} \quad &\leftrightarrow& \quad \{1.4; \quad 1.41; \quad 1.414; \quad \cdots\} \\ \sqrt{3} \quad &\leftrightarrow& \quad \{1.7; \quad 1.73; \quad 1.732; \quad \cdots\} \end{eqnarray*} 則 $\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}$ 與底下有理數列對應 $$ \sqrt{2} \cdot \sqrt{3} \quad \leftrightarrow \quad \{2.38; \quad 2.4393; \quad 2.449048; \quad \cdots\} $$ 但另一方面 $$ \sqrt{6} \quad \leftrightarrow \quad \{2.4; \quad 2.44; \quad 2.449; \quad \cdots\} $$ 依據我們對 $\sqrt{2}\cdot\sqrt{3}$ 與 $\sqrt{6}$ 的認識, 這兩個 " 數" 是一樣的, 因此有必要鑑定這兩個有理數列。 為此我們引進全等關係 (equivalent relation), 全等類 (equivalent class) 的概念。

定義 2.2 (全等關係). 兩個有理 Cauchy 數列 $\{x_n\}$, $\{y_n\}$, 對任意正有理數 $\epsilon$ 若滿足 \begin{equation} %(2.3) \lim_{n\to\infty} (x_n -y_n) =0, \quad \hbox{存在正整數}~ N \ge 1, \quad \forall n \ge N \quad \Longleftrightarrow \quad |x_n-y_n| \lt \epsilon \end{equation} 則稱數列 $\{x_n\}$, $\{y_n\}$ 為全等或等價 (equivalent), 記為 $\{x_n\}\sim\{y_n\}$。

由這個定義不難證明全等關係滿足:

1. 反身性 (reflexive): $\{x_n\}\sim\{x_n\}$
2. 對稱性 (symmetric): $\{x_n\}\sim\{y_n\} \Longrightarrow \{y_n\}\sim\{x_n\}$
3. 遞移性 (transitive): $\{x_n\}\sim\{y_n\}, \{y_n\}\sim\{z_n\} \Longrightarrow \{x_n\}\sim\{z_n\}$

有了全等關係就可以造全等類, $$ \overline{\{x_n\}} = \{\{y_n\} ~|~ \{y_n\} \hbox{是有理數列且 $\{y_n\}\sim\{x_n\}$}\} $$

定義 2.3 (Cantor-Méray). 實數 ($\Bbb R$) 是所有有理 Cauchy 數列之全等類的集合: \begin{equation} %(2.4) {\Bbb R} = \{\overline{\{x_n\}} ~|~ \hbox{$\{x_n\}$ 是 Cauchy 有理數列}\} \end{equation}

在 Cantor-Méray 的思想體系中, 有理 Cauchy 數列 $\{x_n\}_n$ 就代表一實數, 兩個有理數 Cauchy 數列 $\{x_n\}$, $\{y_n\}$如果滿足 $|x_n-y_n|\to 0$, $n\to\infty$ 則在 Cantor-Méray 系統中就認定 $\{x_n\}$和 $\{y_n\}$代表同一實數。

此系統最具體的表示就是無窮小數, 任意無窮小數 \begin{equation} %(2.5) x = a_0 + \sum_{m=1}^{\infty} \frac{a_m}{10^m}, \qquad a_m \in \{0, 1, \ldots, 9\}, \quad \hbox{$a_0$為整數}, \end{equation} 都可看成 Cauchy 數列 $\{x_n\}$, $$ x_n = a_0 + \sum_{m=1}^{n} \frac{a_m}{10^m} $$ 至於原來的有理數 $x\in{\Bbb Q}$, 也可相應到一 Cauchy 數列 $\{x_n\}$ 其中任一 $x_n$ 都和 $x$ 相等(常數數列): \begin{equation} %(2.6) x \quad \leftrightarrow \quad \overline{\{x, x, x, \cdots\}} \end{equation} 因此 $x$ 是一個實數, 有理數是實數的子集合, ${\Bbb Q}\subset{\Bbb R}$。 在 Cantor-Méray 的實數系, 任何一個實數, 例如 $\pi$, $e$, $\sqrt{2}$, $0.\dot{6}$, $\cdots$ 代表一大群的數, 而且這些數 (有理數) 彼此都非常接近。

『這樣 $\sqrt{3}$ 只是一個待求數的符號, 但卻不是它的定義, 而是按我的方法 $\sqrt{3}\approx (1.7, 1.73$, $1.732, \cdots)$。』

--- G. Cantor (1845$-$1918) ---

四則運算

有理數有四則運算 (加, 減, 乘, 除), 那麼在 Cantor-Méray系統中如何定義兩個有理 Cauchy 數列的四則運算與大小關係呢? 令 $x=\overline{\{x_n\}}$, $y=\overline{\{y_n\}}$ 代表兩個實數我們定義加法, 乘法如下: \begin{equation} %(2.7) x + y := \overline{\{x_n+y_n\}}, \qquad x \cdot y := \overline{\{x_n\cdot y_n\}} \end{equation} 這個定義不會有問題發生。因為 $\{x_n+y_n\}$, $\{x_n\cdot y_n\}$ 是有理 Cauchy 數列: $$ |(x_n+y_n) - (x_m+y_m)| \le |x_n-x_m| + |y_n-y_m| \to 0, \qquad n, m \to \infty $$ \begin{eqnarray*} |x_n\cdot y_n - x_m\cdot y_m| &=& |x_n\cdot y_n - x_m\cdot y_n + x_m\cdot y_n - x_m\cdot y_m| \\ &\le& |y_n| |x_n-x_m| + |x_m| |y_n-y_m| \to 0, \qquad n, m \to \infty \end{eqnarray*} 其次必須保證這個定義是 well-defined, 若 $\{x_n'\}$ 與 $\{x_n\}$ 表同一實數, $\{y_n'\}$ 與 $\{y_n\}$ 表同一實數, 則 $$ (x_n+y_n) - (x_n'+y_n') = (x_n-x_n') + (y_n-y_n') \to 0 , \qquad n \to \infty $$ $$ (x_n\cdot y_n) - (x_n'\cdot y_n') = (x_n-x_n')y_n + x_n'(y_n-y_n') \to 0 , \qquad n \to \infty $$ 因此 $\overline{\{x_n+y_n\}}$, $\overline{\{x'_n+y'_n\}}$, 代表相同的實數, 同理 $\overline{\{x_n\cdot y_n\}}$, $\overline{\{x'_n\cdot y'_n\}}$, 也代表相同的實數。 至於除法, 則必須先要求 ${{y_n}\neq{0}}$, 如此則存在夠大的 $n_0$ 使得當 $n\geq n_0$ 時 $|y_n|\gt r\gt 0$, 此時定義除法為 \begin{equation} %(2.8) x \div y = \overline{\{x_n\}} \div \overline{\{y_n\}} = \overline{\Big \{\frac{x_n}{y_n}\Big \}}_{n=n_0}^{\infty} \end{equation} 按這樣的定義有理 Cauchy 數列 $\overline{\Big \{\displaystyle\frac{x_n}{y_n}\Big \}}_{n=n_0}^{\infty}$ 所代表的實數與前 $n_0$ 項無關。 另外 $x=\overline{\{x_n\}}$ 之加法反元素與乘法反元素定義為 \begin{equation} %(2.9) -x = \overline{\{-x_n\}}, \qquad x^{-1} = \overline{\{x_n^{-1}\}} = \overline{\{1/x_n\}} \end{equation} 而加法, 乘法及加法與乘法間的運算關係也會滿足體 (field) 的要求。

定理 2.4 (體, field). $({\Bbb R}, +, \cdot)$ 是一個體 (field)。

1. 交換律 (加法): 　 $x+y=y+x$
2. 結合律 (加法): 　 $(x+y)+z=x+(y+z)$
3. 加法單位元素 0: 　 $0+x=x$
4. 加法反元素 $-x$: 　 $-x+x=0$
5. 交換律 (乘法): 　 $x\cdot y=y\cdot x$
6. 結合律 (乘法): 　 $(x\cdot y)\cdot z=x\cdot(y\cdot z)$
7. 乘法單位元素 1: 　 $1\cdot x=x$
8. 乘法反元素 $x^{-1}$, $(x\not=0)$: 　 $x^{-1}\cdot x=1$
9. 乘法對加法分配律: 　 $x\cdot(y+z)=x\cdot y+x\cdot z$

大小關係

定義2.5 (大小關係: order). 令 $x=\overline{\{x_n\}}$, $y=\overline{\{y_n\}}$ 代表任意兩個實數其大小關係 (order) 可如此定義: \begin{equation} %(2.10) \begin{array}{lcl} x \lt y & \quad \Longleftrightarrow & \quad \exists \epsilon' \gt 0, \quad \exists N \ge 1, \quad \forall n \ge N, \quad x_n \lt y_n - \epsilon' \\ x \le y & \quad \Longleftrightarrow & \quad x \lt y \quad \hbox{或} \quad x = y \end{array} \end{equation}

特別要注意的是 $\epsilon'$ 的選取必須是有理數, 否則 Cantor-Méray 的理論無法適用。 令 $x=\overline{\{x_n\}}=\overline{\{x'_n\}}$, $y=\overline{\{y_n\}}=\overline{\{y'_n\}}$, 滿足 $x_n'-x_n\le\epsilon_1$, $y_n-y_n'\le\epsilon_2$ 則 $$ x_n' - y_n' = (x_n'-x_n) + (y_n-y_n') + (x_n-y_n) \le \epsilon_1 + \epsilon_2 - \epsilon' = \epsilon'' $$ 所以大小的定義與所選取的 Cauchy 有理數列無關。由這定義再加上 ${\Bbb R}$ 是一個體 (field), 可以證明實數 ${\Bbb R}$ 是一個有序體 (ordered field)。

定理 2.6 (有序體, ordered field). 已知 $x=\overline{\{x_n\}}$, $y=\overline{\{y_n\}}$, $z=\overline{\{z_n\}}$ 是任意三個實數, 則

1. 反身性 (reflexive): 　 $x\le x$
2. 反對稱性 (antisymmetric): 　 $x\le y, \quad y\le x \quad \Longrightarrow \quad x=y$
3. 遞移性 (transitive): 　 $x\le y, \quad y\le z \quad \Longrightarrow \quad x\le z$
4. $x\le y \quad \Longrightarrow \quad x+z\le y+z$
5. $0\le x, \quad 0\le y \quad \Longrightarrow \quad 0\le xy$

在代數中滿足上述不等式關係的體稱為有序體 (ordered field), 有理數與實數都是有序體, 那此二種數系的差別在哪裡呢? 實數有一個特殊的性質 " 實數中的 Cauchy 數列一定有極限值", 也就是說 實數是完備的(complete), 這是實數與有理數最大的差異。實際上, 可以證明: 實數是唯一的完備有序體。

說到大小, 我們還需要絕對值, 為此先引進 total 的概念:

引理 2.7 (total). $x$, $y$ 是任意兩個相異實數, $x\not=y$, 則 $x\lt y$ 或 $y\lt x$。

在證明引理 2.7 之前, 我們首先釐清 $x\not=y$ 的意義, 在 Cantor-Méray 的系統下, 兩個實數相等是指它們是全等的有理 Cauchy 數列, 因此 $x=\overline{\{x_n\}}\not=y=\overline{\{y_n\}}$ 意思是 \begin{equation} %(2.11) \{x_n\} \not\sim \{y_n\} \quad \Longleftrightarrow \quad \exists \epsilon \gt 0 \quad \forall N \ge 1, \quad \exists n \ge N, \quad |x_n-y_n| \ge \epsilon \end{equation}

引理2.7之證明: 令$x=\overline{\{x_n\}}$, $y=\overline{\{y_n\}}$是兩相異實數, 即滿足 (2.11), 另外 $\{x_n\}$, $\{y_n\}$ 是有理 Cauchy 數列, 存在$N_1, N_2\in{\Bbb N}$ 滿足 \begin{eqnarray*} && |x_n-x_{n+k}| \lt \frac{\epsilon}{3}, \qquad n \ge N_1, \qquad k \ge 1 \\ && |y_n-y_{n+k}| \lt \frac{\epsilon}{3}, \qquad n \ge N_2, \qquad k \ge 1 \end{eqnarray*} 選取$N=\max\{N_1, N_2\}$, 則由 (2.11) 知道有兩種可能性 $$ x_n - y_n \ge \epsilon \qquad \hbox{或} \qquad y_n - x_n \ge \epsilon $$ 顯然 $\forall k\ge 1$, $x_{n+k}$, $y_{n+k}$ 總是落在半徑 $\epsilon'=\frac{\epsilon}{3}$ 的圓盤內, 因此 \begin{eqnarray*} && \exists \epsilon' = \frac{\epsilon}{3} \gt 0, \quad \exists N \ge 1, \quad \forall n \ge N, \quad x_n \le y_n - \epsilon' \\ && \exists \epsilon' = \frac{\epsilon}{3} \gt 0, \quad \exists N \ge 1, \quad \forall n \ge N, \quad y_n \le x_n - \epsilon' \end{eqnarray*} 這相當於說 $x\lt y$ 或 $y\lt x$。

如果大小關係滿足引理 2.7, 我們特別稱為 total, 因此就可以定義絕對值 (absolute value)。

定義 2.8 (total). $x=\overline{\{x_n\}}$ 是一實數則其絕對值為 $|x|=\overline{\{|x_n|\}}$

由定義 2.8 容易證明三角不等式 $|x+y|\le|x|+|y|$。 藉由 Cantor-Méray 的思想體系, 可以把無理數 (irrational number) 建立在一個合理且嚴格的數學理論基礎上, 這個方法 $$ \hbox{Cauchy數列} \quad \Longleftrightarrow \quad \hbox{全等關係} \quad \Longleftrightarrow \quad \hbox{全等類} $$ 也實際提供我們如何將任意一個非完備距離空間完備化 (completion) 的方法。

$\S$ 3. Dedekind 的實數理論

『上面把有理數比做直線, 結果使直線上充滿了間隙, 它是不完備的、不連續的, 而我們則把直線看成是沒有間隙的、完備的和連續的。直線的連續性是什麼意思？ 這個問題的答案必須包含研究所有連續區域時所根據的科學基礎, 只是泛泛而談其最小子集的不間斷的連接性, 不會產生什麼結果, 我們必須要有連續性的一個精確定義, 使它可以成為邏輯推理的基礎。 長時期以來, 我對這些事情進行了深入思考, 但始終沒有取得成果, 一直到最近我才發現我所要尋求的答案。 不同的人對於我的發現將會有不同的判斷, 但我相信大多數人都會覺得它平凡無奇。 在上一段中我曾指出, 直線上每一點 $p$ 都將直線分成兩部分, 使得其中一部分的點都在另一部分的點的左方。 我確信, 連續性的實質就在於它的反面, 也就是下面的原理, 如果直線上所有的點都屬於兩類, 使得第一類中每一點都在另一類中每一點的左方, 那麼就存在唯一的一個點, 它產生了把直線分成兩部分的分劃。』

--- R. Dedekind (1831$-$1916) ---

在西元 1872 年左右除 Cantor 及 Méray 外, R. Dedekind 提出另一種描述實數的方法。 對 Dedekind 而言, 他所選取的假設是

任何單調有界的實數序列都有極限存在。

他的想法如下: 在一直線 (實數線) 上, 我們先規定好原點 $0$ 及 單位長 (規定為 $1$), 則所有有理數都可以依據其大小 (與原點之距離) 及正負對應到此線上。 如果我們在直線上砍一刀, 在斷口 (cut) 左邊的所有有理數集合稱為 $A_1$, 其右邊的有理數集合稱為$A_2$。 若斷口正好是有理數, 則此有理數可以任意規定屬於 $A_1$ 或 $A_2$。 這個斷口就稱為 Dedekind 斷口 (Dedekind cut) 以 $(A_1, A_2)$ 表之。 $(A_1, A_2)$這種集合有下列性質 :

1. $A_1$, $A_2$ 都含有有理數, $A_1\not=\emptyset$, $A_2\not=\emptyset$
2. $A_1$ 及 $A_2$ 的聯集為有理數; $A_1\bigcup A_2={\Bbb Q}$
3. $A_1$ 中的有理數必小於 $A_2$ 中的有理數, $a_1\in A_1, a_2\in A_2\Longrightarrow a_1\lt a_2$。

因為 $A_1$, $A_2$ 都是有理數, 所以這種集合從最大值, 最小值的觀點來分類有底下三種情形

1. $A_1$ 有最大, $A_2$ 沒有最小有理數
2. $A_1$ 沒有最大, $A_2$ 有最小有理數
3. $A_1$ 沒有最大, $A_2$ 沒有最小有理數

我們藉幾何直觀而得 $A_1$, $A_2$這兩個集合, 反過來, 我們可以完全捨棄幾何, 而考慮滿足上述兩個性質的有理數子集合 $A_1$, $A_2$。 這樣的 $A_1$, $A_2$ 稱為一個斷口 (cut), 以 $(A_1, A_2)$ 表之。 一個斷口 $(A_1, A_2)$ 滿足 (1) 或 (2) 則 $(A_1, A_2)$ 所代表的就是這個有理數, 如果滿足 (3) 則 $(A_1, A_2)$ 代表的就是一個無理數。 所以 Dedekind 斷言說 $(A_1, A_2)$ 就代表一個實數,而且實數的全體就是所有 Dedekind 斷口的集合。 如果 $A_1$ (或$A_2$) 中有最大 (或小) 的有理數, 則 $(A_1, A_2)$ 代表的就是這個有理數。 因此可知有理數可用兩種斷口表示, 而且 Dedekind 的實數系確實是有理數系的擴張。

在 Dedekind 的系統中如何定義四則運算與大小關係呢? 若 $\alpha$, $\beta$ 為任意兩個 Dedekind 斷口 $$ \alpha = (A_1, A_2), \qquad \beta = (B_1, B_2) $$ 令 $C_2:=\{a+b|a\in A_2, b\in B_2\}$, $C_1={\Bbb Q}-C_2$ 則新的斷口 $(C_1, C_2)$ 代表一個實數, 記為 $\gamma=(C_1, C_2)$ 所以加法就定義為 $$ \alpha + \beta = \gamma, \qquad (A_1, A_2) + (B_1, B_2) = (C_1, C_2) $$ 由這個定義可以證明加法滿足交換律與結合律, 所以 $({\Bbb R}, +)$ 形成一個 abelian 群 (abelian group), 而 0 是加法單位元素。

其次是乘法, 首先考慮兩個 Dedekind 斷口都位於原點右方; $\alpha, \beta\ge 0$, 令 $D_2:=\{a\cdot b|$ $a\in A_2, b\in B_2\}$, $D_1={\Bbb Q}-D_2$, 則新的斷口 $\delta=(D_1, D_2)$ 是一個實數, 我們就定義 $$ \alpha \cdot \beta = \delta, \qquad \alpha \ge 0, \qquad \beta \ge 0 $$ 其他情形則定義如下: \begin{eqnarray*} \alpha \cdot \beta &=& -((-\alpha)\cdot\beta), \qquad \alpha \lt 0, \qquad \beta \ge 0 \\ \alpha \cdot \beta &=& (-\alpha)\cdot(-\beta), \qquad \alpha \lt 0, \qquad \beta \lt 0 \\ \alpha \cdot \beta &=& -(\alpha\cdot(-\beta)), \qquad \alpha \gt 0, \qquad \beta \lt 0 \end{eqnarray*} 在這個定義下可以證明乘法滿足交換律, 結合律與分配律, 所以 $({\Bbb R}, +, \cdot\,)$ 形成一個體 (field), 而 1 是乘法單位元素。

關於大小關係, 從幾何的角度來看是很直觀的 $$ \alpha \le \beta \quad \Longleftrightarrow \quad A_1 \subset B_1, \quad (A_2 \supset B_2) $$ 可以證明 \begin{eqnarray*} \alpha \ge \beta \quad &\Longrightarrow& \quad \alpha + \gamma \ge \beta + \gamma \\ \alpha \ge \beta, \quad \gamma \ge 0 \quad &\Longrightarrow& \quad \alpha \cdot \gamma \ge \beta \cdot \gamma \end{eqnarray*} 所以 Dedekind 的實數系是一個有序體 (order field)。

定義 3.1. 已知任意集合 $A\subset{\Bbb R}$, 如果 $\alpha\in{\Bbb R}$ 滿足

1. $\forall a\in A, \quad a\le \alpha$
2. $\forall \epsilon \gt 0, \quad \exists a\in A, \quad a\gt \alpha-\epsilon$

我們就稱 $\alpha\in{\Bbb R}$ 是集合 $A$ 的最小上界 (記為 $\alpha:=\sup A$)。

條件 (1) 告訴我們 $\alpha$ 是一個上界, 條件 (2) 則是說 $\alpha$ 往下降 $\epsilon$ 之後 $\alpha-\epsilon$ 便不再是最小上界了, 換句話說 $\alpha$ 的確是最小上界。 有時我們把這性質稱為最小上界公理。

現在不管是不是有理數, 就直接在實數線上砍一刀定義斷口 $(A_1, A_2)$

1. $A_1\not= \emptyset, \quad A_2\not=\emptyset, \quad {\Bbb R}=A_1\bigcup A_2$
2. $\alpha_1 \in A_1, \quad \alpha_2\in A_2\quad \Longrightarrow \quad\alpha_1\lt \alpha_2$

所有在 ${\Bbb R}$上的斷口 $(A_1, A_2)$ 從最大值, 最小值的觀點來看可以分為兩種情形:

1. $A_1$ 有最大, $A_2$ 沒有最小值
2. $A_1$ 沒有最大, $A_2$ 有最小值

這裡所說的最大值, 最小值是實數值, 這點是與前面以有理數為基礎最大的差別, 我們將上面這個性質稱為 實數的連通性或連續性。 它的意思是在實數線上任意砍一刀, 所得到的斷口總是一個實數, 而且這個實數 (記為 $\alpha$) 表示為 $$ \alpha := \sup A_1 = \inf A_2 $$ $$ \alpha_1 \le \alpha, \qquad \forall \alpha_1 \in A_1 $$ $$ \alpha \le \alpha_2, \qquad \forall \alpha_2 \in A_1 $$ 我們可以取的更特殊 (利用有理數) $$ \alpha = \sup A, \qquad A \subset {\Bbb Q} $$ $$ \alpha = \lim_{n\to\infty} a_n, \qquad a_n \in {\Bbb Q} $$ 所以 Dedekind 的實數系是以最小上界 ($\sup$) 或最大下界 ($\inf$) 為理論基礎。 Cantor 對於實數的造法與 Dedekind 不同之處, 在於它沒有用到有理數是有序的這個事實, 他的出發點是 Cauchy 數列的集合。

$\S$ 4. 實數的連續性原理 (完備性理論)

完備性有不同但等價的定義, 例如; 所有的Cauchy數列都有極限, 單調有界數列必收斂, 有界的數列必有聚點, $\ldots$ 等, 對 Dedekind 而言他的出發點是

任何單調有界的實數數列都有極限存在

定理 4.1 (Dedekind原理). 已知實數的兩個集合 $X, Y\subset{\Bbb R}$, $X\bigcap Y=\emptyset$ 且滿足 $$ x \lt y, \qquad \forall x \in X, \quad \forall y \in Y $$ 則存在 $\xi\in{\Bbb R}$ 使得 $x\le\xi\le y$。

定理 4.2 (Cantor原理). 已知實數 $a_1, a_2, a_3, \ldots, a_n, \ldots; b_1, b_2, b_3, \ldots, b_n, \ldots$ 滿足 $\lim_{n\to\infty} |b_n-a_n|\to 0$ $$ [a_{n+1}, b_{n+1}] \subset [a_n, b_n], \qquad n = 1, 2, 3, \ldots $$ 則存在 $\xi\in{\Bbb R}$ 使得 $x\in\bigcap\limits_{n=1}^\infty [a_n, b_n]$。

定理 4.3 (Cauchy原理). 所有的 Cauchy 數列都有極限。

定理 4.4 (Weierstrass原理). 已知 $\{a_n\}\subset{\Bbb R}$ 是一遞增數列 $(a_{n-1}\le a_n\le a_{n+1})$ 且有上界 $M$, $a_n\le M$, $\forall n\in{\Bbb N}$, 則存在 $\alpha\in{\Bbb R}$ 使得 $\lim_{n\to\infty} a_n=\alpha$, 換言之; 遞增且有上界的數列必收斂。

如果遞增數列換為遞減數列, 上界換為下界, 定理 4.4 仍然成立 ( 遞減且有下界的數列必收斂), 此時 $\alpha=\inf A=\inf \{a_1, a_2, a_3, \ldots\}$;

1. $a\ge\alpha$, $\quad \forall a\in A$
2. $\forall \epsilon\gt 0$, $\quad \exists a\in A \quad a\lt \alpha+\epsilon$

定理 4.5 (Archimedes原理). 已知 $a, b\in{\Bbb R}$ 且 $a\gt 0$, 則存在 $n\in{\Bbb N}$ 使得 $na\gt b$, 換言之; $\lim_{n\to\infty} \frac{b}{n}=0$。

[註解]: 如果先假設 Archimedes 原理成立, 則定理 4.1$-$4.4 等四個連續性原理是等價的。

定理 4.6 (Bolzano, 1817). 已知 $M\in{\Bbb R}$ 是一個固定數, $A$ 是實數的一個非空子集且有上界, $$ A \subset {\Bbb R}, \quad A \not= \emptyset, \quad \exists M, \quad\hbox{使得}\ x \le M,\quad \forall x \in A $$ 則存在一實數 $\xi\in{\Bbb R}$ 使得 $\xi=\sup A$。

證明: Bolzano 的想法是二分法, 由於 $A\not=\emptyset$, 可以選取一點 $\alpha_0\in A$ 且 $\alpha_0$ 不是一個上界, 所以 $\alpha_0\le M$, 我們取一點 $\beta_0$ (可以是 $M$) 是一個上界, 然後取中間點 $\gamma=\displaystyle\frac{\alpha_0+\beta_0}{2}$, 此時有兩種可能性; 如果$\gamma$是 $A$ 的上界, 則令 $\alpha_1=\alpha_0$, $\beta_1=\gamma$; 如果 $\gamma$ 不是 $A$ 的上界, 則令 $\alpha_1=\gamma$, $\beta_1=\beta_0$; 然後重複這個步驟可以造出一系列的區間 $[\alpha_n, \beta_n]$, 長度為 $\beta_n-\alpha_n=(\beta_0-\alpha_0)/2^n$, 其中 $\{\alpha_n\}$ 是遞增數列, $\{\beta_n\}$ 是遞減數列, 而且 $$ [\alpha_0, \beta_0] \supset [\alpha_1, \beta_1] \supset [\alpha_2, \beta_2] \supset \cdots \supset [\alpha_n, \beta_n] \supset \cdots $$ 其長度是依等比數列 $\{1/2^n\}$ 遞減, 因此 $$ |\alpha_n-\alpha_{n+k}| \le \beta_n - \alpha_n = \frac{\beta_0-\alpha_0}{2^n} \qquad |\beta_n-\beta_{n+k}| \le \beta_n - \alpha_n = \frac{\beta_0-\alpha_0}{2^n} $$ 所以 $\{\alpha_n\}$, $\{\beta_n\}$ 都是 Cauchy 數列, 又因為 $\beta_n-\alpha_n=(\beta_0-\alpha_0)/2^n\to 0$, Cauchy 數列 $\{\alpha_n\}$, $\{\beta_n\}$ 有相同的極限, 記為 $\xi$ $$ \alpha_0 \le \beta_n \quad \Longrightarrow \quad \alpha_0 \le \xi,\quad \forall\, n $$ 所以 $\xi$ 是 $A$ 的上界, 事實上 $\xi$ 是 $A$ 的最小上界, $\xi=\sup A$, 因為$\forall\epsilon\gt 0$, $\exists\alpha_n$ 使得 $\alpha_n\gt \xi-\epsilon$。

Cantor-Méray 的實數系具有完備性, 那麼 Dedekind 的實數理論是否也有這性質呢? Cantor-Méray 的理論, 完備性 (completeness) 是以 Cauchy 數列來定義: 所有的Cauchy數列都有極限。 但 Dedekind 的理論是從斷口著手, 因此其它定義方式乃是必然的, 對 Dedekind 的理論而言, 利用上界, 下界的觀念是最自然不過的了!

這個定理說明了 Dedekind 的實數系統具有完備性, 因此是一個完備有序體 (complete order field)。 然而 Cantor-Méray 與 Dedekind 造出的實數系是否相同? 是相同! Cantor-Méray 及 Dedekind 兩種實數系統之間存有一個一對一且映成的函數 $f$, 滿足下列關係: 令 $a$, $b$ 表 Cantor-Méray 系統的實數, 而 $*$ 表四則運算, 則 $f(a*b)=f(a)*f(b)$, 且若 $a\geq b$ 則 $f(a)\geq f(b)$, 有一定理 : 完備有序體只有一個。 然而 Cantor-Méray, 及 Dedekind 的實數系皆為完備有序體, 所以這二個實數系統 " 相同"。

參考文獻

---本文作者任教國立交通大學應用數學系---