在國中數學課程的「三角形的基本性質」這一單元中, 一般都會有關於正五角星 、 正六角星的內角和求和問題給學生練習, 學生不外乎是利用三角形的內角和定理、外角定理來求解 (見圖一 、 圖二), 又因為求出來的正五角星內角和是 $180^\circ$、 正六角星內角和是 $360^\circ$, 所以學生不免會好奇其他的正 $n$ 角星的內角和會有怎樣的規則性? 我試著從不同的角度來切入問題, 利用「圓周角的度數是所對的弧度數的一半」這個性質讓整個問題處理起來非常簡潔清楚, 而且結論也很漂亮。

這裡所談論的正 $n$ 角星是可內椄於一圓內, 且每一內角的大小都相同。 先以正九角星為例, 將圓周九等分後, 將等分點編號為 1$\sim$9, 令兩頂點之間相隔弧的數目為 $d$, 且 $1\lt d\lt \Big [\displaystyle\frac{9}{2}\Big ]$, 討論: (1) 當 $d=4$ 時, 按 (1, 5, 9, 4, 8, 3, 7, 2, 6) 的順序將點連接起來, 得一正九角星 (見圖三), 因為每一個內角所對的弧都是圓周的 $\displaystyle\frac{1}{9}$ 等分, 所以九個內角總和是周角 $(360^\circ)$ 的 $\displaystyle\frac{1}{2}$, 也就是 $180^\circ$。 (2) 當 $d=3$ 時, 按 (1, 4, 7) 、 (2, 5, 8) 、 (3, 6, 9) 的順序將點連接起來, 得一正九角星 (見圖四), 因為每一個內角所對的弧都是圓周的 $\displaystyle\frac{3}{9}$ 等分, 所以九個內角總和是周角的 $\displaystyle\frac{3}{2}$, 也就是 $540^\circ$。 (3) 當 $d=2$ 時, 按 (1, 3, 5, 7, 9, 2, 4, 6, 8) 的順序將點連接起來, 得一正九角星 (見圖五), 因為每一個內角所對的弧都是圓周的 $\displaystyle\frac{5}{9}$ 等分, 所以九個內角總和是周角的 $\displaystyle\frac{5}{2}$, 也就是 $900^\circ$。

再以正十角星為例, 將圓周十等分後, 將等分點編號為 1$\sim$10, 令兩頂點之間相隔弧的數目為 $d$, 且 $1\lt d\lt \Big [\displaystyle\frac{10}{2}\Big ]$, 討論: (1)當 $d=4$ 時, 按 (1, 5, 9, 3, 7) 、 (2, 6, 10, 4, 8) 的順序將點連接起來, 得一正十角星 (見圖六), 因為每一個內角所對的弧都是圓周的 $\displaystyle\frac{2}{10}$ 等分, 所以十個內角總和恰為周角, 也就是 $360^\circ$。 (2) 當 $d=3$ 時, 按 (1, 4, 7, 10, 3, 6, 9, 2, 5, 8) 的順序將點連接起來, 得一正十角星 (見圖七), 因為每一個內角所對的弧都是圓周的 $\displaystyle\frac{4}{10}$ 等分, 所以十個內角總和是周角的 2 倍, 也就是 $720^\circ$。 (3) 當 $d=2$ 時, 按 (1, 3, 5, 7, 9) 、 (2, 4, 6, 8, 10) 的順序將點連接起來, 得一正十角星 (見圖八), 因為每一個內角所對的弧都是圓周的 $\displaystyle\frac{6}{10}$ 等分, 所以十個內角總和是周角的 3 倍, 也就是 $1080^\circ$。

利用這樣的想法, 我們可推知: 因為兩頂點之間相隔弧的數目為 $d$, 所以正 $n$ 角星的每一個內角度數為 $360^\circ\times\displaystyle\frac{n-2d}{n}\times\frac{1}{2}$, 所以可歸納整理出正 $n$ 角星的內角和公式為 $180^\circ\times(n-2d)$, 其中 $1\lt d\lt \Big [\displaystyle\frac{n}{2}\Big ]$; 可參考下面的附表 (單位: 度)。

1. 可一筆畫的圖形: 有些資料把正 $n$ 角星 ($n$ 為奇數) 視為正 $n$ 邊形中所有最長的對角線所形成的圖形, 因此不論 $n$ 的大小如何, 其內角總和都是 $180^\circ$; 而且此正 $n$ 角星一定可以一筆畫完成。 當 $n$ 為偶數時, 就把正 $n$ 角星改為所有次長的對角線所形成的圖形, 其內角總和就為 $360^\circ$; 可是此正 $n$ 角星不一定可以一筆畫完成。又有些資料把正 $n$ 角星視為將正 $n$ 邊形的每一邊延長所相交成的圖形, 如此其內角總和就為 $180^\circ\times(n-4)$; 這些正 $n$ 角星就不一定可以一筆畫完成。 我們也可以觀察發現到: 當 $n$ 、 $d$ 互質時, 此正 $n$ 角星一定可以一筆畫完成。 也由於五角星可以一筆畫完成, 其線條的五個交點被古人認為是可以封閉惡魔的「門」, 於是古人將五角星用在天使的封印上, 用來防止惡魔的侵犯。 (見圖九)。
   

   

   
   
2. 軸對稱性: 正 $n$ 角星是軸對稱圖形, 有 $n$ 條對稱軸。
3. 旋轉不變性: 繞中心點旋轉 $\displaystyle\frac{360^\circ}{n}$, 所得的圖形與原圖形重合。
4. 利用橡皮筋性質 (拓樸的不變性), 公式 $180^\circ\times(n-2d)$, 其中 $1\lt d\lt \Big [\displaystyle\frac{n}{2}\Big ]$ 亦可適用於非正 $n$ 角星的內角求和中。 我利用 GSP 繪圖做實驗性數學, 來佐證這個論點 (見圖十)。
   

   

   
   
5. 五角星的歷史: 五角星 (pentagram) 一詞出於希臘語中的 pentagrammos, 原意大概是「五條直線的」。 最早對五角星的使用被發現是在美索不達米亞的文獻資料中 (大約公元前3000年)。 在巴比倫語的文獻中, 五角星的頂點可能表示定位: 前 、 後 、 左 、 右 、 上; 這些方向有一個占星學上的涵意, 代表五個星球: 木星 、 水星 、 火星 、 土星和金星。 最有趣的是由地球望去, 圍著太陽的金星軌道每 8 年重複一次, 它自成的 5 個交叉點恰好畫出一個近乎完美的五角星。 五角星也是魔術的代表符號, 用正的五角星作魔法陣是白魔法, 用倒的五角星則是象徵黑魔法。 初期基督教會亦用五角星代表耶穌的五個傷口, 現在則多代表異教徒和撒旦主義者。 現今世界上許多國家的國旗上有五角星, 如美國 、 越南 、 摩洛哥 $\cdots$ 等 (見圖十一)。 據說摩洛哥國旗上的五角星代表神和摩洛哥之間的聯繫。
   

   

   
   
6. 黃金比例 (golden ratio): 因為正五角星的線條比例藏著漂亮的黃金比例 0.618 (見圖十二), 相傳古希臘的畢達哥拉斯學派 (school of Pythagoras) 將正五角星視為完美的圖形並把它當作學派的標記; 又因為它看起來像五個聯繫在一起的大寫英文字母「A」, 所以又稱它為「五芒星」(見圖十三)。
   
   

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