令 $F$ 及 $d$ 分別為平面上的定點及給定直線, 且令 $e$ 為正實數, 則點 $P$ 滿足 $PF=ePd$ (其中記號 $Pd$ 表示點 $P$ 到直線 $d$ 的距離) 的軌跡稱為圓錐曲線。 點 $F$ 稱為此圓錐曲線的焦點, 直線 $d$ 稱為此圓錐曲線的準線, 而正實數 $e$ 稱為此圓錐曲線的離心率。

當 $e\lt 1$ 時, 這個圓錐曲線是個橢圓, 它是一個具有中心對稱的封閉曲線。 當 $e=1$ 時, 這個圓錐曲線是個拋物線, 它是一個雙側對稱的開曲線。 當 $e\gt 1$ 時, 這個圓錐曲線是個雙曲線, 它是具有兩個分支的開曲線, 並且整個軌跡是中心對稱。

離心率為 $\sqrt{2}$ 的雙曲線稱為直角雙曲線。 在座標平面上, 令點 $F$ 的座標為 $(\sqrt{2}, 0)$ 且令直線 $d$ 的方程式為 $x=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}$, 令點 $V$ 為 $(1, 0)$。 因為 $VF=\sqrt{2}-1=\sqrt{2}(1-\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}})$, 故點 $V$ 在此雙曲線上。 令點 $O$ 為座標平面上的原點, 且令直角雙曲線上的一點 $P$ 之座標為 $(x, y)$, 其中 $x\ge 1$, 則 $P$ 可以被參數 $t$ 來表示, 參數 $t$ 為曲線三角形 $OVP$ 面積的雙倍。 由點 $P$ 作 $x$ 軸之垂線, 令垂足為點 $M$。 定義 $\cosh t=OM=x$, $\sinh t=PM=y$, 這兩個就是基本的雙曲函數。 其他的函數也可以加以定義, 例如 $\tanh t=\displaystyle\frac{\sinh t}{\cosh t}$。

從直角雙曲線的方程可得到 \begin{equation} %(1) \cosh^2 t - \sinh^2 t = 1. \end{equation}

稍後我們將證明 $t=\ln(x+y)$, 其中 $\ln$ 是高等數學中的自然對數函數。 在此處我們只需知道對於 $A\gt 0$ 且 $B\gt 0$ 時, $\ln A+\ln =\ln AB$ 及若 $\ln A=\ln B$, 則 $A=B$。

現在我們來推導雙曲函數的和角公式, 即 \begin{eqnarray} \cosh (t_1+t_2) &=& \cosh t_1 \cosh t_2 + \sinh t_1 \sinh t_2; \\ %(2) \sinh (t_1+t_2) &=& \sinh t_1 \cosh t_2 + \cosh t_1 \sinh t_2. %(3) \end{eqnarray} 令點 $P_1$、 $P_2$ 的參數分別為 $t_1$、 $t_2$, 令點 $P_3$ 的參數為 $t_3\!=\!t_1\!+\!t_2$, 則上述公式即為 $x_3\!=\!x_1x_2\!+\!y_1y_2$, $y_3\!=\!x_1y_2\!+\!y_1x_2$。 如果我們證明了 $t=\ln(x+y)$, 再利用 $t_3=t_1+t_2$, 就可得到 $$ \ln(x_3+y_3) = \ln(x_1+y_1) + \ln(x_2+y_2) = \ln(x_1+y_1)(x_2+y_2), $$ 即推出 \begin{equation} %(A) x_3 + y_3 = x_1x_2 + y_1y_2 + x_1y_2 + y_1x_2. \tag*{(A)} \end{equation}

我們將由 (A) 式分別推得 (2) 及 (3) 式。首先我們把此方程重寫為： $$ x_3 - x_1\sqrt{x_2^2-1} - x_2\sqrt{x_1^2-1} = x_1x_2 + \sqrt{(x_1^2-1)(x_2^2-1)} - \sqrt{x_3^2-1}, $$ 將等式兩邊平方再化簡後可得： $$ x_1x_3\sqrt{x_2^2-1} + x_2x_3\sqrt{x_1^2-1} = x_1x_2\sqrt{x_3^2-1} + \sqrt{(x_1^2-1)(x_2^2-1)(x_3^2-1)}, $$ 重複上述過程, 可得： \begin{equation} %(B) x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 - 1 - 2x_1^2x_2^2 = 2x_1x_2\sqrt{(x_1^2-1)(x_2^2-1)}. \tag*{(B)} \end{equation} 將上式重寫為： \begin{eqnarray*} x_3^2 &=& x_1^2x_2^2 + 2x_1x_2\sqrt{(x_1^2-1)(x_2^2-1)} + x_1^2x_2^2 - x_1^2 - x_2^2 + 1 \\ &=& (x_1x_2)^2 + 2x_1x_2\sqrt{(x_1^2-1)(x_2^2-1)} + \Big (\sqrt{(x_1^2-1)(x_2^2-1)}\Big )^2. \end{eqnarray*} 兩邊分別取平方根即可得 (2) 式。另外可以將 (B) 重寫為 \begin{eqnarray*} x_3^2 - 1 &=& x_1^2x_2^2 - x_1^2 + 2x_1x_2\sqrt{(x_1^2-1)(x_2^2-1)} + x_1^2x_2^2 - x_2^2 \\ &=& \Big (x_1\sqrt{x_2^2-1}\Big )^2 + 2x_1\sqrt{x_1^2-1} ~x_2\sqrt{x_2^2-1} + \Big (x_2\sqrt{x_1^2-1}\Big )^2. \end{eqnarray*} 兩邊分別取平方根即可得 (3) 式。

現在我們來證明第一節中所提及的曲線三角形 $OVP$ 的面積為 $\displaystyle\frac{1}{2}\ln(x+y)$。

利用初等微積分, 曲線三角形 $MVP$ 的面積為 $I=\displaystyle\int_1^x \sqrt{w^2-1}dw$。 將 $w$ 用 $\sec\theta$ 替換, 並將 $\sec^{-1} x$ 記為 $r$, 則上述積分式變成 \begin{eqnarray*} I &=& \int_0^r \sqrt{\sec^2 \theta-1} \tan\theta \sec\theta d\theta \\ &=& \int_0^r \tan^2 \theta \sec\theta d\theta. \end{eqnarray*} 利用部分積分, 令 $u=\tan\theta$, $dv=\tan\theta\sec\theta d\theta$, 則 $du=\sec^2 \theta d\theta$ 且 $v=\sec\theta$。所以 \begin{eqnarray*} I &=& \tan\theta \sec\theta\Big|_0^r - \int_0^r \sec^3 \theta d\theta \\ &=& xy - \int_0^r (\tan^2 \theta+1) \sec\theta d\theta \\ &=& xy - I - \int_0^r \sec\theta d\theta \\ &=& xy - I - \ln(\sec\theta+\tan\theta)\Big|_0^r \\ &=& xy - \ln(x+y) - I. \end{eqnarray*} 由上式得到 $I=\displaystyle\frac{1}{2}(xy-\ln(x+y))$。 因為三角形 $OMP$ 的面積為 $\displaystyle\frac{1}{2}xy$, 我們即證明出所宣稱的曲線三角形 $OVP$ 的面積為 $\displaystyle\frac{1}{2}\ln(x+y)$, 而 $t=\ln(\cosh t+\sinh t)$。

令點 $P$ 之座標為 $(x, y)$, 此處仍要求 $x\gt 0$, 但允許 $y\lt 0$, 則曲線三角形 $OVP$之面積可能為負值。 將它記為 $-t$, 其中 $t\gt 0$。因為對稱關係, 我們可得 $\cosh(-t)=\cosh t$ 及 $\sinh(-t)=-\sinh t$, 所以 $-t=\ln(\cosh t-\sinh t)$。將此式與 $t=\ln(\cosh t+\sinh t)$ 合併, 可得 \begin{eqnarray} \cosh t &=& \frac{e^t+e^{-t}}{2}; \\ %(4) \sinh t &=& \frac{e^t-e^{-t}}{2}. \end{eqnarray} 其中 $e$ 為自然對數的底。方程式 (1) 至 (5) 是基本的雙曲函數中最重要的幾個公式。

---本文作者任教University of Alberta, Canada---