考慮兩條不共旋轉中心, 且以等角速率反向旋轉的兩條直線 $L_1$ 、 $L_2$。 若以 $L_1$ 之旋轉中

心為 $(-1, 0)$, $L_2$ 旋轉中心為 $(1, 0)$, 並設時間為 0 時, $L_1$ 、 $L_2$ 與 $x$ 軸正向所夾之有向角分別為 $\alpha$ 、 $\beta$, 如右圖所示, 再設 $L_2$ 經時間 $t$ 後所轉的角為 $\varphi(t)$, 則 $L_1$ 經時間 $t$ 後所轉的角為 $-\varphi(t)$, 因此, $L_1$ 、 $L_2$ 在時間 $t$ 時的交點為 $$ \left \{ \begin{array}{l} L_1 : y = \tan[\alpha-\varphi(t)] \cdot (x+1) \\ L_2 : y = \tan[\beta+\varphi(t)] \cdot (x-1), \end{array} \right. $$

解得 \begin{eqnarray} x &=& \frac{\tan[\beta+\varphi(t)]+\tan[\alpha-\varphi(t)]}{\tan[\beta+\varphi(t)]-\tan[\alpha-\varphi(t)]} \nonumber \\ &=& \frac{\sin(\alpha+\beta)}{\sin[2\varphi(t)+\beta-\alpha]} \nonumber \\ &=& \sin(\alpha+\beta) \cdot \csc[2\varphi(t)+\beta-\alpha], \\ %(1) y &=& \frac{2\cdot\tan[\beta+\varphi(t)]\cdot\tan[\alpha-\varphi(t)]}{\tan[\beta+\varphi(t)]-\tan[\alpha-\varphi(t)]} \nonumber \\ &=& \frac{\cos[2\varphi(t)+\beta-\alpha]-\cos(\alpha+\beta)}{\sin[2\varphi(t)+\beta-\alpha]} \nonumber \\ &=& \cot[2\varphi(t)+\beta-\alpha] - \cos(\alpha+\beta) \cdot \csc[2\varphi(t)+\beta-\alpha]. %(2) \end{eqnarray} 當 $\alpha+\beta$ 為 $k\pi$ ($k$ 為整數)時, (1)式化為 $x=0$, 而(2)式化為 $$ y = \cot[2\varphi(t)+\beta-\alpha] \pm \csc[2\varphi(t)+\beta-\alpha], $$ 其值為所有實數。因此在 $\alpha+\beta$ 為 $k\pi$ ($k$ 為整數)時, $L_1$ 、 $L_2$ 之交點軌跡即為 $y$ 軸。 其次, 若 $\alpha+\beta$ 不為 $k\pi$ ($k$ 為整數), 則由 (1)$\times\cos(\alpha+\beta)+$(2)$\times\sin(\alpha+\beta)$ 可得 \begin{equation} %(3) \cos(\alpha+\beta)x + \sin(\alpha+\beta)y = \sin(\alpha+\beta) \cdot \cot[2\varphi(t)+\beta-\alpha], \end{equation} 將(1)式 、 (3)式分別化為 $$ \csc(\alpha+\beta)x = \csc[2\varphi(t)+\beta-\alpha], ~~~~ \cot(\alpha+\beta)x + y = \cot[2\varphi(t)+\beta-\alpha], $$ 即可得 \begin{equation} %(4) \csc^2(\alpha+\beta)x^2 - [\cot(\alpha+\beta)x+y]^2 = 1, \end{equation} 化簡得 $$ x^2 - 2\cot(\alpha+\beta)xy - y^2 = 1. $$ 因此, 只要 $\alpha+\beta$ 不為 $k\pi$ ($k$ 為整數), 由二次曲線的分類法則可知上述二次方程式在坐標平面上的圖形為一雙曲線。 意即 $L_1$ 、 $L_2$ 之交點軌跡為一雙曲線。

進一步地, 由(4)式可得此雙曲線的兩漸近線為 $$ \csc(\alpha+\beta)x \pm [\cot(\alpha+\beta)x+y] = 0, $$ 化簡得 $$ y = \tan \Big [\frac{1}{2}(\alpha+\beta)\Big ] \cdot x ~~\hbox{、}~~ y = -\cot \Big [\frac{1}{2}(\alpha+\beta)\Big ] \cdot x, $$ 故可知此雙曲線的中心為 $(0, 0)$, 即 $L_1$ 、 $L_2$ 之旋轉中心的中點。又因為 $$ -\cot \Big [\frac{1}{2}(\alpha+\beta)\Big ] \cdot \tan \Big [\frac{1}{2}(\alpha+\beta)] = -1, $$ 因此, 兩漸近線互相垂直, 意即 $L_1$ 、 $L_2$ 之交點軌跡為一等軸雙曲線。 又 $(1, 0)$ 、 $(-1, 0)$ 滿足(4)式, 這表示 $L_1$ 、 $L_2$ 之旋轉中心落在此等軸雙曲線上。

根據上述討論, 若給定直線 $L_1$ 、 $L_2$ 的初始位置, 及 $L_1$ 、 $L_2$ 的旋轉中心 $O_1$ 、 $O_2$, 則以尺規可作出 $L_1$ 、 $L_2$ 之交點軌跡之漸近線、 貫軸、 共軛軸、 頂點、 焦點, 作法如下:

1. 作射線 $O_1O_2$ 並選取其截 $L_1$、 $L_2$ 所得的一組同位角 $\alpha$ 、 $\beta$;
2. 過 $O_1$、 $O_2$ 之中點 $O$ 作一直線 $M_1$, 使射線 $O_1O_2$ 截其所得 $\alpha$ 之同位角為 $\frac{1}{2}(\alpha+\beta)$, 再作直線 $M_2$ 垂直 $M_1$ 於 $O$, 則 $M_1$、 $M_2$ 為所求之漸近線;
3. 過 $O$ 作直線 $N_1$、 $N_2$ 使其為 $M_1$、 $M_2$ 交角之分角線, 其中 $N_2$ 與 $O_1$、 $O_2$ 位於 $M_1$、 $M_2$ 所交出的同一組對頂角範圍內, 則 $N_1$ 為所求之共軛軸, $N_2$ 為所求之貫軸;
4. 在 $N_2$上, $O$ 的兩側作點 $A_1$、 $A_2$, 使 $\overline{OA_1}=\overline{OA_2}=\sqrt{d(O_2, M_1)\times d(O_2, M_2)}$, 其中 $d(O_2, M_1)$ 、 $d(O_2, M_2)$ 分別代表點 $O_2$ 到直線 $M_1$ 的距離、 點 $O_2$ 到直線 $M_2$ 的距離, 則 $A_1$ 、 $A_2$ 為所求之頂點;
5. 在 $N_2$上, $O$ 的兩側作點 $F_1$ 、 $F_2$, 使 $\overline{OF_1}=\overline{OF_2}=\sqrt{2OA_1}$, 則 $F_1$ 、 $F_2$ 為所求之焦點.

---本文作者原任教台北縣立清水高中，現任教於國立政大附中---