32102 Steinhaus三角形—數學實驗的一個案例
Steinhaus三角形—數學實驗的一個案例

### 2. 緣起---Steinhaus的問題

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Harborth的論文完整的證出來, 當 $n=0$ 或 3 (mod 4) 時, 含有一半正號及一半負號的三角形確實存在。我的故事就是從讀了這一篇文章開始。 當時我給了自己一個更一般的問題: 給定正整數 $n$, 在所有 $2^{n}$ 個 $n$ 階Steinhaus三角形中, 正號的個數的可能值有那些?

$0$ $0$ $1$ $0$ $1$ $0$ $0$
$0$ $1$ $1$ $1$ $1$ $0$
$1$ $0$ $0$ $0$ $1$
$1$ $0$ $0$ $1$
$1$ $0$ $1$
$1$ $1$
$0$

### 3. 自助天助------CDC電腦幫忙做實驗

 $n$ S(n) 1 0 1 2 0 2 3 0 3 4 4 0 4 5 6 7 5 0 5 6 7 8 9 10 6 0 6 8 10 12 14 7 0 7 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 8 0 8 11 13 $\sim$ 22 24 9 0 9 12 13 15 $\sim$ 27 30 10 0 10 14 16 $\sim$ 34 36 37 11 0 11 15 16 18 $\sim$ 41 44 12 0 12 17 21 $\sim$ 48 52 13 0 13 18 19 23 $\sim$ 57 60 61 14 0 14 20 24 $\sim$ (偶數) 66 70 15 0 15 21 22 27 28 30 33 $\sim$ 75 80 16 0 16 23 29 $\sim$ 32 35 37 $\sim$ 86 90 91 17 0 17 24 25 31 $\sim$ 35 38 $\sim$ 95 97 102 18 0 18 26 32 34 35 37 40 $\sim$ 104 106 108 114 19 0 19 27 28 35 36 39 43 $\sim$ 118 120 121 126 127 20 0 20 29 37 38 40 41 44 45 47 $\sim$ 132 134 140

### 4. 近道------觀察及推想可能的定理

CDC的電腦幫忙算出來的這些資料, 呈現了許多規則, 讓我挑幾個來說一說。

$S(n)$的最小元素為0, 再來就是 $n$, 接下來的第三個是什麼? 這在略大一點的 $n$ 就可看出一個端倪, 似乎是再增加 $n/2$ 左右。 事實上, 確實有 \begin{eqnarray*} && \#T_{n}(\overline {01}) = \#T_{n}(01\overline 0) = n-1 + \lfloor n/2\rfloor, \\ && \#T_{n}(\overline {10}) = \#T_{n}(11\overline 0) = n-1 + \lceil n/2\rceil. \end{eqnarray*} 複雜一點的推演可以得到:

### 參考文獻

H. Harborh, Solution of Steinhaus'problem with plus and minus signs, J. Combin. Theory, Series A, 12 (1972), 253-259. H. Steinhaus, One Hundred Problems in Elementary Mathematics, Pergamon Press, Oxford, 1963. G. J. Chang, Binary triangles, Bull. Inst. Math. Academia Sinica, 11 (1983), 209-225.

---本文作者任教於臺灣大學數學系---