2005年江西省高考理科壓軸題: 設拋物線 $\Gamma: y=x^2$ 的焦點為 $F$, 動點 $P$ 在直線 $l: x-y-2=0$ 上運動, 過點 $P$ 作拋物線的兩條切線 $PA$ 、 $PB$, 且與拋物線 $\Gamma$ 分別相切於 $A$ 、 $B$ 兩點, (1)求 $\Delta APB$ 的重心 $G$ 的軌跡方程; (2)證明 $\angle PFA=\angle PFB$。

標準答案與好多雜誌提供的都是純粹的解析法, 因為解析法本身運算麻煩, 為了簡化思維, 所以筆者對此題進行了古典幾何法的深入探索, 直接將此題的結論推廣到圓錐曲線中, 並加強了推廣命題。

1.1 若(如圖1.1)圓錐曲線 $\Gamma$ 的割線 $AB$ 延長交相應於

焦點 $F$ 的準線 $l$ 於 $C$, $AF$ 交 $\Gamma$ 於 $D$, 則 $CF$ 平分 $\angle AFB$ 的外角 $\angle BFD$

證明: 分別過 $A$ 、 $B$ 作 $AA'\bot\, l$, $BB'\bot\, l$, 知 $BB':AA'=BC:AC$; 根據圓錐曲線統一定義知 $AF=e\cdot AA'$, $BF=e\cdot BB'$; 所以 $AF:BF=AC:BC$, 由三角形外角平分線性質定理知$CF$ 平分 $\angle AFB$ 的外角 $\angle BFD$。

1.2 若(如圖1.2)圓錐曲線 $\Gamma$ 的切線 $PQ$ 交相應於焦點

$F$ 的準線 $l$ 於 $Q$, 則 $\angle PFQ$ 為直角。

證明: 根據切線的定義, 當圖1.1中的 $B$ 點無限接近至與 $A$ 重合時, 割線變為切線, 由1.1知 $\angle PFQ$ 為直角。

1.3 若(如圖1.2)圓錐曲線 $\Gamma$ 的切線 $PQ$ 交相應於焦點 $F$ 的準線 $l$ 於 $Q$, $O$ 為 $PQ$ 上的任

意一點, 且 $OK\bot\, l$, $OH\bot\, PF$, 則 $HF=e\cdot OK$。

證明: 由1.2知 $OF\bot\, FP$, $\because OH\bot\, FP$, $\therefore FH:FP=QO:QP$, 過點 $P$ 作 $PP'\bot\, l$, $\because OK\bot\, l$, $\therefore QO:QP=OK:PP'$, 即 $OK:PP'=FH:FP$, 又據圓錐曲線統一定義知 $PF=e\cdot PP'$, 所以 $HF=e\cdot OK$。

2.1 若(如圖2.1) $O$ 為焦點為 $F$ 的圓錐曲線 $\Gamma$ 外的一

點, 過點 $O$ 作 $\Gamma$ 的兩條切線 $OA$ 、 $OB$, 切點分別是 $A$ 、 $B$, 且 $A$ 、 $B$ 點在 $\Gamma$ 的同支上, 則 $\angle OFA=\angle OFB$ ("同支"是指橢圓、拋物線及雙曲線的一支)。

證明: 過 $O$ 點作 $OH_1\bot\, AF$, $OH_2\bot\, BF$, $OK\bot\, l$, 由1.3知 $OK\cdot e=H_1F$, $OK\cdot e=H_2F$, 故 $H_1F=H_2F$。 在 $Rt\Delta OH_1F$ 與 $Rt\Delta OH_2F$ 中, $OF$ 公用, $H_1F=H_2F$, 所以 $\Delta OH_1F\cong\Delta OH_2F$, $\therefore \angle OFA=\angle OFB$。

2.2 若(如圖2.2) $O$ 為焦點為 $F$ 的圓錐曲線 $\Gamma$ 外的一

點, 過點 $O$ 作 $\Gamma$ 的兩條切線 $OA$ 、 $OB$, 切點分別為 $A$ 、 $B$, 且 $A$ 、 $B$ 點在 $\Gamma$ 的異支上, 則 $\angle OFA+\angle OFB=\pi$ ("異支"是專指雙曲線的兩支)。

證明: 過 $O$ 點作 $OH_1\bot\, AF$, $OH_2\bot\, BF$, $OK\bot\, l$, 由1.3知 $OK\cdot e=H_1F$, $OI\cdot e=H_2F$, 故 $H_1F=H_2F$。 在 $Rt\Delta OH_1F$ 與 $Rt\Delta OH_2F$ 中, $OF$ 公用, $H_1F=H_2F$, 所以 $\Delta OH_1F\cong \Delta OH_2F$, $\therefore \angle OFH_1=\angle OFH_2$。 又 $\because \angle AFH_2+\angle H_2FO+\angle OFH_1=\pi$, $\therefore \angle OFA+\angle OFB=\pi$。

若 $O$ 為焦點為 $F$ 的圓錐曲線 $\Gamma$ 外的一點, 過點 $O$ 作 $\Gamma$ 的兩條切線 $OA$ 、 $OB$, 切點 $A$ 、 $B$ 在 $\Gamma$的同支上, 延長 $AB$ 交準線於 $K$, 延長 $BF$ 至 $Q$, ①當切點 $A$, $B$ 在對稱軸的異側時(如圖3.1); ② 當切點 $A$, $B$ 在對稱軸的同側時(如圖3.2); 則 $\angle OFK$ 為直角("同支"是指橢圓、拋物線及雙曲線的一支)。

證明: ① 由1.1知 $\angle QFK=\angle AFK$, 又由2.1知 $\angle BFO=\angle AFO$, 但是 $\angle AFO=\angle OFQ+2\angle QFK$, 並且 $\angle OFQ+\angle BFO=\pi$, 故 $2(\angle OFQ+\angle QFK)=\pi$, 所以 $\angle OFK$ 為直角。

② 由1.1知: $\angle AFK=\angle QFK$, 又由 $\angle AFO=\angle BFO$, 因為 $\angle QFK+\angle AFK+\angle AFO+\angle BFO=\pi$, 即 $2(\angle AFK+\angle AFO)=\pi$, 所以 $\angle OFK$ 為直角。

圓錐曲線問題的純幾何證法與解析法相較而言, 純幾何法顯得優越多, 讀者不妨在解決問題時, 多一法考慮, 必有異種收穫。

---本文作者任教於陝西省西安東方中學---