任何一個數學命題的成立都需要證明; 證明的意義在於提供有關命題成立的論述, 因此至少要做到以嚴謹的推理確認從已知到結論的邏輯脈絡。但是不可否認: 使命題成立的嚴謹推理並不代表對命題內容的完整分析。 一個最好的例子就是《幾何原本》第6卷的命題2 $^{[ \hbox{註1}]}$, 該命題談的是相似三角形基本定理, 內容如下(《原本》144頁):

如果一條直線平行於三角形的一邊, 則它截三角形的兩邊成比例線段; 又, 如果三角形的兩邊被截成比例線段, 則截點的連線平行於三角形的另一邊。

《原本》對此命題的證明相當巧妙, 它使用了面積關係: 亦即對等高或同高的兩個三角形而言, 其面積之比就是底邊之比(見《原本》143頁命題1)。 以下我們先略述《原本》有關此命題正敘述的證明, 至於逆敘述的部分, 證明方法與正敘述相同。 讀者可參考《原本》145頁。 如圖一, 在三角形 $ABC$ 中, 線段 $DE$ 平行於 $BC$, 連 $BE$、 $DC$ 兩條輔助線

由於 $DE$ 平行於 $BC$, 所以 $\triangle DEB$ 和 $\triangle DEC$ 等面積; 易見 $\triangle ADE$ 和 $\triangle DEB$ 的面積比等於 $\triangle ADE$ 和 $\triangle$ DEC的面積比, 又因為前一個面積比等於 $AD$ 和 $DB$ 的長度比, 而後一個面積比等於 $AE$ 和 $EC$ 的長度比, 因此 $DE$ 截 $\triangle ABC$的兩邊成比例線段, 命題得證。

不難看出, 《原本》對此命題的證明並不直接, 因為它把邊長的比例問題提升到面積的比例問題。 以通俗的話來說, 就是把一維的問題擺在二維的框架之中, 因而證明看起來如刀切豆腐, 鋒利無比。 問題是, 我們真的從這個證明理解了 $\overline {AD}:\overline {DB}$ 等於 $\overline {AE}:\overline {EC}$ 嗎? 不妨回到這個問題最基本的狀態------ $\overline {AD}=\overline {DB}$ 或者是 $D$ 是$\overline {AB}$ 中點的情形, 此時命題是這麼說的(圖二):

過 $\triangle ABC$ 一邊 $\overline {AB}$ 的中點 $D$ 作一條平行於底邊 $\overline {BC}$ 的直線, 則此直線必定通過 $\overline {AC}$ 的中點。

常見的證明是過 $E$ 作 $\overline {AB}$ 的平行線, 然後利用 ASA 定理證明 $\triangle ADE$ 和 $\triangle EFC$ 全等, 因而得到 $\overline{AE}=\overline{EC}$ (圖二)。

上面這個證明不必將問題轉化成面積, 可以很清楚的看到為什麼 $\overline {AD}:\overline {DB}$ 等於 $\overline {AE}:\overline {EC}$。 事實上, 這樣的證明方法稍加整修就可以推廣到下面這個命題(圖三):

如果 $\overline {AD}:\overline {DB}=n:m$ 其中 $n$, $m$ 為正整數, 並且 $DE$ 平行 $BC$, 則 $\overline {AE}:\overline {EC}=n:m$ $^{[ \hbox{註2}]}$

換句話說, 當 $\overline {AD}$ 和 $\overline {DB}$ 之比是有理數時, 本命題可以用相當直接的方式證明, 但是當 $\overline {AD}$ 和 $\overline {DB}$ 的比值是一個無理數的時候, 圖二或圖三的直接證明便無法進行, 必須採用別的方法; 面積方法此時展現了它的優越性 $^{[ \hbox{註3}]}$。

為什麼面積方法可以解決比值是無理數的情形? 要回答這個問題, 至少要先回到面積的定義。 在平面幾何中, 單位正方形的面積可以說是面積定義的基礎 $^{[ \hbox{註4}]}$。 因此之故, 任何一個邊長為有理數的正方形, 面積都可以合理的定成是邊長的平方。 問題同樣發生在邊長是無理數的情形: 當正方形的邊長是無理數的時候, 面積當然還是邊長的平方。 只不過, 這樣的結果必須透過極限。一旦透過極限論證, 正方形的面積是邊長的平方、長方形的面積是長寬之積都能成立; 甚至包括平行四邊形的面積是底高之積等等。 可以這麼說, 表面上《原本》第6卷的命題2使用了面積證明, 骨子裡可是使用了無理數與有理數的極限關係; 如果早就有極限的語言, 相似三角形基本定理根本可以直接證明, 完全不必訴求面積證法。

如果把《原本》的證明比做魔術, 面積就是魔術師的帽子, 極限則是從帽子中掏出的鴿子。 在鴿子出現之前, 表演不會結束, 觀眾千萬要睜大眼睛, 拭目以待 $^{[ \hbox{註5}]}$。

註1: 本文所引出自於台北九章出版社出版的《歐幾里得幾何原本》一書(簡稱《原本》)。
註2: 證明的方法是從 $\overline {AB}$ 的每一個整數分點作 $\overline {BC}$ 的平行線, 這些平行線加上 $\overline {DE}$ 一共有 $n+m-1$ 條, 它們依序交到 $\overline {AC}$ , 並且將 $\overline {AC}\, n+m$ 等分。
註3: 當 $\overline {AD}:\overline {DB}$ 是無理數時, 筆者並不清楚是否有比利用面積證明更精簡的方法。
註4: 單位正方形是指邊長為1的正方形。
註5: 相似三角形基本定理是三角學的基礎, 從而發展出正、餘弦定理, 構築坐標幾何。

---本文作者為台大數學系退休教授---