31403 工程數學教學拾趣

### 案例二 高斯消去法的矩陣操作(線性代數), ,

 自由度 $A$ 轉換矩陣 $a^T Aa$ $P_{4\times 1} = \left [ \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right ]$ $\left [ \begin{array}{c} U_1 \\ U_2 \\ U_3 \\ U_4 \end{array} \right ]$ $A_{4\times 4}=$$\left [ \begin{array}{ccccccc} 5 & & -4 & & 1 & & 0 \\ -4 & & 6 & & -4 & & 1 \\ 1 & & -4 & & 6 & & -4 \\ 0 & & 1 & & -4 & & 5 \end{array} \right ] a_{4\times 3}= \left [ \begin{array}{ccccc} \displaystyle\frac{4}{5} & & \displaystyle\frac{-1}{5} & & 0 \\ 1 & & 0 & & 0 \\ 0 & & 1 & & 0 \\ 0 & & 0 & & 1 \end{array} \right ] \overline{A}_{3\times 3}= \left [ \begin{array}{ccccc} \displaystyle\frac{14}{5} & & -\displaystyle\frac{16}{5} & & 1 \\ -\displaystyle\frac{16}{5} & & \displaystyle\frac{29}{5} & & -4 \\ 1 & & -4 & & 5 \end{array} \right ] P_{3\times 1} = \left [ \begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right ] \left [ \begin{array}{c} \\ U_2 \\ U_3 \\ U_4 \end{array} \right ] A_{3\times 3}= \left [ \begin{array}{ccccc} \displaystyle\frac{14}{5} & & -\displaystyle\frac{16}{5} & & 1 \\ -\displaystyle\frac{16}{5} & & \displaystyle\frac{29}{5} & & -4 \\ 1 & & -4 & & 5 \end{array} \right ] a_{3\times 2}= \left [ \begin{array}{cccc} \displaystyle\frac{8}{7} & & -\displaystyle\frac{5}{14} \\ 1 & & 0 \\ 0 & & 1 \end{array} \right ] \overline{\overline{A}}_{2\times 2}= \left [ \begin{array}{cccc} \displaystyle\frac{15}{7} & & -\displaystyle\frac{20}{7} \\ -\displaystyle\frac{20}{7} & & \displaystyle\frac{65}{14} \end{array} \right ] P_{1\times 1} = \left [ \begin{array}{c} \displaystyle\frac{8}{7} \\ -\displaystyle\frac{5}{14} \end{array} \right ] \left [ \begin{array}{c} \\ \\ U_3 \\ U_4 \end{array} \right ] \overline{\overline{A}}_{2\times 2}= \left [ \begin{array}{cccc} \displaystyle\frac{15}{7} & & -\displaystyle\frac{20}{7} \\ -\displaystyle\frac{20}{7} & & \displaystyle\frac{65}{14} \end{array} \right ] a_{2\times 1}=$$\left [ \begin{array}{c} \displaystyle\frac{4}{3} \\ 1 \end{array} \right ]$ $A_{1\times 1}^3 = \left [\displaystyle\frac{5}{6} \right ]$ $P_{1\times 1} = \left [\displaystyle\frac{7}{6} \right ]$

### 案例四 Poisson積分公式的另類導法(偏微分方程)

#### 方法1 - 以退化核尋求映像源並推導Poisson積分公式

 圖2. 二維內域拉普拉斯問題 圖3. 二維問題的極座標表示

 圖5(a). 格林函數(內區 $0\!\lt \!\rho\!\lt \!R$, Eq.(18)) 圖5(b). 格林函數(環區 $R\!\lt \!\rho\!\lt \!a$, Eq.(19))

 圖6(a). 封閉型的格林函數圖(Eq.(16)) ($a=1$, $R=0.8$, $R'=1.25$, $\theta=0$) 圖6(b). 級數型的格林函數(Eq.(20)) ($a=1$, $R=0.8$, $R'=1.25$, $M=50$, $\theta=0$)

#### 方法2 - 零場積分方程法 (不需映像源觀念)

 內域問題 外域問題 輔助系統 基本解 格林函數 封閉型Poisson積分式 $u(R, \theta)\!=\!\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi}\!\! \frac{(a^2\!-\!R^2)} {a^2\!+\!R^2\!-\!2aR\cos(\phi\!-\!\theta)} f(\phi)d\phi$$0\lt R\lt a,~~0\lt \theta\lt 2\pi u(R, \theta)\!=\!\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi}\!\! \frac{(R^2\!-\!a^2)} {a^2\!+\!R^2\!-\!2aR\cos(\phi\!-\!\theta)} f(\phi)d\phi a\lt R\lt \infty,~~0\lt \theta\lt 2\pi 級數型Poisson積分式 u(R, \theta)\!\!=\!\!\frac{1}{2\pi}\! \int_0^{2\pi}\!\! \Big \{\!1\!+\!2\!\!\sum\limits_{m=1}^\infty\!\! \frac{R^m}{a^m} \cos(m(\theta\!-\!\phi))\!\Big \}$$0\lt R\lt a,~~0\lt \theta\lt 2\pi$ $u(R, \theta)\!\!=\!\!\frac{1}{2\pi}\! \int_0^{2\pi}\!\! \Big \{\!1\!+\!2\!\!\sum\limits_{m=1}^\infty\!\! \frac{a^m}{R^m} \cos(m(\theta\!-\!\phi))\!\Big \}$ $\times f(\phi)d\phi$ $\times f(\phi)d\phi$ $a\lt R\lt \infty,~~0\lt \theta\lt 2\pi$ 問題描述

 內域問題 外域問題 輔助系統 基本解 格林函數 封閉型Poisson積分式 $u(R,\! \theta,\! \overline{\varphi})\!=\!\frac{1}{4\pi} a(a^2\!-\!R^2)\! \int_0^{2\pi}\!\! \int_0^\pi\!\! \Big\{\frac{\sin\varphi}{[a^2\!+\!R^2\!-\!2aR\cos\gamma]^{\frac{3}{2}}}$ $\times f(\phi, \varphi)\Big\}d\phi d\varphi$$0\lt R\lt a,~0\lt \theta\lt 2\pi,~0\lt \overline{\varphi}\lt \pi u(R,\! \theta,\! \overline{\varphi})\!=\!\frac{-1}{4\pi} a(a^2\!-\!R^2)\! \int_0^{2\pi}\!\! \int_0^\pi\!\! \Big\{\frac{\sin\varphi}{[a^2\!+\!R^2\!-\!2aR\cos\gamma]^{\frac{3}{2}}} \times f(\phi, \varphi)\Big\}d\phi d\varphi a\lt R\lt \infty,~0\lt \theta\lt 2\pi,~0\lt \overline{\varphi}\lt \pi 級數型Poisson積分式 u(R,\! \theta,\! \overline{\varphi})\!\!=\!\!\frac{1}{4\pi}\! \int_0^{2\pi}\!\! \int_0^\pi\!\! \Big\{\frac{-1}{a^2}\!+\!\!\sum\limits_{m=0}^n \!\sum\limits_{n=1}^\infty\!\! \frac{(n\!-\!m)!}{(n\!+\!m)!} \times\! \cos(m(\varphi\!-\!\!\overline{\varphi})) p_n^m\!(\cos\phi))\! p_n^m(\cos\theta) \frac{R^n}{a^n} \times \sin\varphi(2n\!+\!1) \Big\}f(\phi, \varphi) d\phi d\varphi 0\lt R\lt a,~0\lt \theta\lt 2\pi,~0\lt \overline{\varphi}\lt \pi u(R,\! \theta,\! \overline{\varphi})\!\!=\!\!\frac{1}{4\pi}\! \int_0^{2\pi}\!\! \int_0^\pi\!\! \Big\{\frac{a}{R}\!-\!\!\sum\limits_{m=0}^n \!\sum\limits_{n=1}^\infty\!\! \frac{(n\!-\!m)!}{(n+m)!} \times\! \cos(m(\varphi\!-\!\overline{\varphi})) p_n^m\!(\cos\phi))\! p_n^m(\cos\theta) \frac{a^{n\!+\!1}}{R^{n\!+\!1}} \times \sin\varphi\Big\} f(\phi, \varphi) d\phi d\varphi a\lt R\lt \infty,~0\lt \theta\lt 2\pi,~0\lt \overline{\varphi}\lt \pi 問題描述 ### 案例五 矩陣分解(高等工數與連體力學), 連體力學是一切力學的基礎。 力學所關切的實際問題是在於各種不同的環境負荷條件下, 物體承受外力所產生之變形行為。 在工程的問題上, 通常是假設其物體為一完全之連續體, 而來探討其力學行為, 這其中不外乎包含了流體、氣體、甚至於固體。 完全連續體的定義是捨棄其物體由原(分)子所構成之事實, 在這條件下物體內部在微觀的狀態下是不存在任何空隙或是裂縫等情形; 而在巨觀下, 整個物體可視為一個單體且為連續介質, 則這樣的介質才可稱之為完全連續體。 連體力學研究的立足點則是以古典力學之理論來探討其連續體之相關行為並得其合理之解釋, 連體力學即是研究此一理想性的連續體之特性; 許多的理論也都是建立在這假設之上, 固體力學及流體力學皆在其涵蓋的範圍內。 在連體力學中, 極分解(polar decomposition)是用來描述變形過程的方法, 極分解乃是將一變形梯度矩陣 F 分解成 VR 或是 RU 型式, 前者為將變形行為拆解為先旋轉後伸縮, 而後者則是先伸縮後旋轉。在矩陣的運算過程中, 奇異值分解法是相當有用的一種方法, 而且奇異值分解法也成功地被應用在諸多問題上, , , 。 然而, 在諸多文獻中並沒有談論到極分解與奇異值分解法彼此之間的關連性。 此案例將以奇異值分解法(Singular value decomposition)用來了解並解釋連體力學中的變形之行為, 並討論在奇異值分解法中左酉矩陣及右酉矩陣的幾何意義, 因而可說明在極分解中左、右酉矩陣 (\Phi,\Sigma) 與正交矩陣 R 之關聯。 藉由簡剪平面(Simple Shear Plane)變形一例來論證使用奇異值分解法的技巧與變形之行為, 而且在例中也將說明奇異值分解法中的左酉矩陣及右酉矩陣在產生變形及未變形之兩系統中所提供之對偶基底。 如果在變形前及變形後之彈性體中的微小元素分別以右酉及左酉矩陣之對偶基底來表示時, 則產生變形之過程中, 在新座標轉換系統上可以用一個簡單的對角矩陣來作轉換即可。 從這個範例中我們也可看出奇異值與特徵值的關係。 #### 奇異值分解法(SVD): 是將矩陣作譜分解的工具。 一過定矩陣 [A]_{m\times n}, 設 m 是方程的數量, 而 n 是未知數的數目, 則我們可以得到下式$$ [A]_{m\times n} [x]_{n\times 1} = [b]_{m\times 1}, \quad \hbox{其中}~m \gt n $$SVD會將矩陣 [A]_{m\times n} 分解成$$ [A]_{m\times n} = [\Phi]_{m\times m} [\Sigma]_{m\times n} [\Psi]_{n\times n}^T  \hbox{式中 }[\Sigma]=\left [ \begin{array}{ccccc} \sigma_n &~& \cdots &~& 0 \\ \vdots &~& \ddots &~& \vdots \\ 0 &~& \cdots &~& \sigma_1 \\ \vdots &~& \ddots &~& \vdots \\ 0 &~& \cdots &~& 0 \end{array} \right ]_{m\times n}, \quad m \gt n $$其中 \sigma_i 為第 i 個奇異值, 且 \sigma_n\ge\sigma_{n-1} \cdots\cdots\ge\sigma_1, [\Phi]_{m\times m} 及 [\Psi]_{n\times n}^T 為左酉矩陣及右酉矩陣, 且由特徵向量所構成。 在式中所使用之上標符號" T "表轉置。 任一變形梯度矩陣 F 可被分解為 VR 或是 RU 兩種形式, 寫成如下$$ F = VR = RU $$而式中前者可以將物體產生變形的過程分解為先旋轉而後伸縮、而後者則是分解為先伸縮而後旋轉。 我們可以藉由上式之模式, 將物體的任一變形行為分為兩個變形階段來各別討論, 來探討其變形過程上之物理意義。 任一變形梯度矩陣 F, 為未變形前微小單元 dX 轉換成變形後微小單元 dx 之轉換矩陣, 如圖8所示  (a) 變形前與變形後之連續體 (b)變形前與變形後 圖8 依極分解之定理可將變形梯度矩陣 F 分解為 $$%(32) F = VR = RU$$ 其中 R 為一正交旋轉矩陣, V 及 U 皆為一特定之對稱矩陣, 且 V 及 U 可以由下式來求得 \begin{eqnarray} U &=& \sqrt{F^TF} \\ %(33) V &=& \sqrt{FF^T} \\ %(34) R &=& FU^{-1} %(35) \end{eqnarray} 若依SVD之技巧來分解, 則矩陣 F 可分解成 $$%(36) F = \Phi \Sigma \Psi^T$$ 其中 \Sigma 為一對角矩陣且為由 F 之奇異值所構成, \Phi 及 \Psi 分別為左酉矩陣及右酉矩陣。 若將式(36)式代入式(33)、(34)兩式, 可以得到 \begin{eqnarray} U &=& \Psi \Sigma \Psi^T \\ %(37) V &=& \Phi \Sigma \Phi^T %(38) \end{eqnarray} 再將式(37)式代入式(35)式中, 亦可導得 $$%(39) R = \Phi \Psi^T$$ 經整理後可得下表3。 表3 矩陣之關係式  梯度矩陣 F 右伸縮矩陣 U 左伸縮矩陣 V 旋轉矩陣 R 極分解 F=VR=RU U=\sqrt{F^TF} V=\sqrt{FF^T} R=FU^{-1} SVD分解 F=\Phi\Sigma\Psi^T U=\Psi\Sigma\Psi^T V=\Phi\Sigma\Phi^T R=\Phi\Psi^T 其中, \Psi 與 \Phi 分別為 FF^T 與 F^TF 的模矩陣。 而 \Sigma^2 則為 F^TF 或 FF^T 的特徵值所組成的對角矩陣。 再者, 根據SVD分解之基本定義, 我們還可以得到下式 \begin{eqnarray} F \psi_i &=& \sigma_i \phi_i \\ %(40) F^T \phi_i &=& \sigma_i \psi_i %(41) \end{eqnarray} 式中 \sigma_i 是矩陣 F 的第 i 個奇異值, 而 \phi_i 及 \psi_i 分別為 \Phi 及 \Psi 之第 i 個行向量。 根據式(37)和(38), 我們很輕易地可以發現 U 和 V 矩陣含有相同之奇異值 \sigma_i 及各別的特徵向量 \psi_i 與 \phi_i。 若未變形之微小單元 dX 可以用 \psi_i 的基底來表示, 我們可以令一新向量 dY $$%(42) dY = \Psi^T dX$$ dY 即是 dX 分解在單位方向向量 \Psi 的分量值。 同理, 若變形後之微小單元 dx 可以用 \phi_i 的基底來表示, 我們也可以令一新向量 dy $$%(43) dy = \Phi^T dx$$ dy 即是 dx 分解在單位方向向量 \Phi 的分量值。 且依據 FdX=dx, dy 及 dY 可以推導出 $$%(44) dy = \Sigma dY$$ 此表示若未變形前向量 dX 分解在單位方向向量 \Psi 上的分量值為 dY=(\alpha, \beta, \gamma), 則變形後向量 dx 分解在單位方向向量 \Phi 上的分量值為 dy=(\alpha\sigma_1, \beta\sigma_2, \gamma\sigma_3), 由此可發現兩個轉換之向量可由一簡單之對角矩陣 \Sigma 來做映射, 而分別建立在 \Psi 及 \Phi 之參考座標上。 考慮一物體之簡剪(Simple Shear)變形行為, 條件可表示成下式 \begin{eqnarray} x_1 &=& X_1 + \frac{2}{\sqrt{3}} X_2 \\ %(45) x_2 &=& X_2 \\ %(46) x_3 &=& X_3 %(47) \end{eqnarray} 即 $$%(48) \left [ \begin{array}{c} dx_1 \\ dx_2 \\ dx_3 \end{array} \right ] = \left [ \begin{array}{ccccc} 1 &~& \displaystyle\frac{2}{\sqrt{3}} &~& 0 \\ 0 &~& 1 &~& 0 \\ 0 &~& 0 &~& 1 \end{array} \right ] \left [ \begin{array}{c} dX_1 \\ dX_2 \\ dX_3 \end{array} \right ]$$ 則我們可以得到 $$%(49) F = \left [ \begin{array}{ccccc} 1 &~& \displaystyle\frac{2}{\sqrt{3}} &~& 0 \\ 0 &~& 1 &~& 0 \\ 0 &~& 0 &~& 1 \end{array} \right ]$$ 根據式(33)、(34)及(35)可得 \begin{eqnarray} U &=& \sqrt{F^TF} = \left [ \begin{array}{ccccc} \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} &~& \displaystyle\frac{1}{2} &~& 0 \\ \displaystyle\frac{1}{2} &~& \displaystyle\frac{5}{2\sqrt{3}} &~& 0 \\ 0 &~& 0 &~& 1 \end{array} \right ] \\ %(50) V &=& FR^{-1} = \left [ \begin{array}{ccccc} \displaystyle\frac{5\sqrt{3}}{6} &~& \displaystyle\frac{1}{2} &~& 0 \\ \displaystyle\frac{1}{2} &~& \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} &~& 0 \\ 0 &~& 0 &~& 1 \end{array} \right ] \\ %(51) R &=& FU^{-1} = \left [ \begin{array}{ccccc} \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} &~& \displaystyle\frac{1}{2} &~& 0 \\ -\displaystyle\frac{1}{2} &~& \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} &~& 0 \\ 0 &~& 0 &~& 1 \end{array} \right ] = \left [ \begin{array}{ccccc} \cos(-30^\circ) &~& -\sin(-30^\circ) &~& 0 \\ \sin(-30^\circ) &~& \cos(-30^\circ) &~& 0 \\ 0 &~& 0 &~& 1 \end{array} \right ] %(52) \end{eqnarray} 考慮一變形前之向量 \Big (\displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}}, 1, 0\Big ), 則我們可以得到$$ dX = \Big (\frac{1}{\sqrt{3}}, 1, 0\Big )^T $$代入方程式 dx=FdX 中, 取 F=VR 或 F=RU, 皆可得到$$ dx = (\sqrt{3}, 1, 0)^T$$變形圖過程可繪出如下: 未變形之方向向量$dX$及變形之過程$(F=RU)$可以先後分解為一長度伸縮比例為$\sqrt{3}$之操作, 及角度旋轉$-30^\circ$之過程, 如圖9(a)所示。 反之,$F=VR$則是先產生角度旋轉$-30^\circ$, 而後長度伸長$\sqrt{3}$倍, 如圖9(b)所示。 而根據SVD的方法, 矩陣$F$可以分解為下列形式 $$%(53) F = \left [ \begin{array}{ccccc} \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} &~& -\displaystyle\frac{1}{2} &~& 0 \\ \displaystyle\frac{1}{2} &~& \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} &~& 0 \\ 0 &~& 0 &~& -1 \end{array} \right ] \left [ \begin{array}{ccccc} \sqrt{3} &~& 0 &~& 0 \\ 0 &~& \displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}} &~& 0 \\ 0 &~& 0 &~& 1 \end{array} \right ] \left [ \begin{array}{ccccc} \displaystyle\frac{1}{2} &~& \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} &~& 0 \\ -\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} &~& \displaystyle\frac{1}{2} &~& 0 \\ 0 &~& 0 &~& -1 \end{array} \right ]$$ 式中 \begin{eqnarray} && [\Phi] = \left [ \begin{array}{ccccc} \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} &~& -\displaystyle\frac{1}{2} &~& 0 \\ \displaystyle\frac{1}{2} &~& \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} &~& 0 \\ 0 &~& 0 &~& -1 \end{array} \right ] = \left [ \begin{array}{ccccc} \cos(30^\circ) &~& -\sin(30^\circ) &~& 0 \\ \sin(30^\circ) &~& \cos(30^\circ) &~& 0 \\ 0 &~& 0 &~& -1 \end{array} \right ] \\ %(54) && [\Sigma] = \left [ \begin{array}{ccccc} \sqrt{3} &~& 0 &~& 0 \\ 0 &~& \displaystyle\frac{1}{\sqrt{3}} &~& 0 \\ 0 &~& 0 &~& 1 \end{array} \right ] %(55) \end{eqnarray} $$%(56) [\Psi]^T = \left [ \begin{array}{ccccc} \displaystyle\frac{1}{2} &~& \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} &~& 0 \\ -\displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} &~& \displaystyle\frac{1}{2} &~& 0 \\ 0 &~& 0 &~& -1 \end{array} \right ] = \left [ \begin{array}{ccccc} \cos(-60^\circ) &~& -\sin(-60^\circ) &~& 0 \\ \sin(-60^\circ) &~& \cos(-60^\circ) &~& 0 \\ 0 &~& 0 &~& -1 \end{array} \right ]$$ 可得 \begin{eqnarray} \Psi\Sigma\Psi^T &=& \left [ \begin{array}{ccccc} \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} &~& \displaystyle\frac{1}{2} &~& 0 \\ \displaystyle\frac{1}{2} &~& \displaystyle\frac{5}{2\sqrt{3}} &~& 0 \\ 0 &~& 0 &~& 1 \end{array} \right ] \\ %(57) \Phi\Sigma\Phi^T &=& \left [ \begin{array}{ccccc} \displaystyle\frac{5\sqrt{3}}{6} &~& \displaystyle\frac{1}{2} &~& 0 \\ \displaystyle\frac{1}{2} &~& \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} &~& 0 \\ 0 &~& 0 &~& 1 \end{array} \right ] \\ %(58) \Phi\Psi^T &=& \left [ \begin{array}{ccccc} \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} &~& \displaystyle\frac{1}{2} &~& 0 \\ -\displaystyle\frac{1}{2} &~& \displaystyle\frac{\sqrt{3}}{2} &~& 0 \\ 0 &~& 0 &~& 1 \end{array} \right ] = \left [ \begin{array}{ccccc} \cos(-30^\circ) &~& -\sin(-30^\circ) &~& 0 \\ \sin(-30^\circ) &~& \cos(-30^\circ) &~& 0 \\ 0 &~& 0 &~& 1 \end{array} \right ] %(59) \end{eqnarray} 將式(57)$\sim$(59)與式(50)$\sim$(52)的結果比較, 則$U$,$V$,$R$和$\Phi$,$\Sigma$,$\Psi$這兩者的相關聯性, 可發現完全符合最初的推導。 再者, 若考慮一變形前向量$(1, 1, 0)$, 則我們可以得到 $$%(60) dX = (1, 1, 0)^T$$ 且在式(42)中我們可以得到 $$%(61) dY = \Big (\frac{1+\sqrt{3}}{2}, \frac{1-\sqrt{3}}{3}, 0\Big )^T$$$dY$為$dX$分解在單位方向向量$\Psi$的分量值。 而由式(44)中亦可得到 $$%(62) dy = \Big (\frac{3+\sqrt{3}}{2}, \frac{-3+\sqrt{3}}{6}, 0\Big )^T$$$dy$為$dx$分解在單位方向向量$\Phi$的分量值。 若將式(62)中的$dy$代入式(43)中我們可以得到下式 $$%(63) dx = \Big (1 + \frac{2}{\sqrt{3}}, 1, 0\Big )^T$$ 而式(63)則與$FdX$吻合。 雖然這中間的運算過程有點繁雜, 但在幾何方面的解釋上, 對於長度之伸縮及角度之變化卻有了更明確的說明。 未變形前向量$dX$分解在單位方向向量$\Psi$上的分量值為$dY=(\alpha, \beta, \gamma)$, 則變形後向量$dx$分解在單位方向向量$\Phi$上的分量值為$dy=(\alpha\sigma_1, \beta\sigma_2, \gamma\sigma_3)$, 由例題中之數值則可輕易發現這兩者間的轉換關係存在, 且可將未變形前及變形後之參考座標分別建立在$\Psi$及$\Phi$之座標上, 則變形之行為可用一簡單之對角矩陣$\Sigma$來做映射, 其中對偶基底$\psi_1$,$\psi_2$,$\psi_3$與$\phi_1$,$\phi_2$,$\phi_3$如圖9(c)所示 本案例, 我們試著以SVD的方法來取代極分解的方法, 並解釋物體產生變形的過程。 以SVD分解的方法來重新檢視極分解在數學、力學物理與幾何上的意義, 並建立其間的關係。 得知在兩種方法中各個矩陣彼此間的相關性及組成內涵。 而平面物體產生變形的過程分為伸縮及旋轉兩方面, 在例題中也可以很清楚地來表現出來。 文中並提出未變形前與變形後的兩個參考座標系統, 即為在奇異值分解法中的右酉矩陣及左酉矩陣在兩系統中所提供之對偶基底。 如果在變形及未變形之物件中的微小元素皆以其右酉及左酉矩陣之對偶基底來表示, 則其產生變形之過程中, 在新座標系統上可以用一個簡單的對角矩陣來作轉換。 此一結果, 對於數學式的計算或是矩陣的運算效率上有其正面之意義。 透過一簡剪的變形範例更能驗證本研究的正確性。 ### 結語 本文列舉五個工程數學的有趣案例, 進行說明。並從中了解教學與研究如何整合, 嘗試以不同於一般教科書方式來了解工程數學的物理與力學內涵, 並提供學生另一思路提高學生學習的興趣。工數並非現代八股, 一成不變, 而是生動活潑, 一些奧妙有趣的關係, 仍待我們去發掘, 唯有以啟發代替填鴨, 才能教出一些對工數有興趣, 且將其運用自如的學生。 我想這才是工程師學習工程數學的目的(有趣與有用)。 本文一些更詳細資料可參閱網頁或講義。也歡迎對工程數學有興趣的師生予以賜教。 感謝國科會大學生研究專題NSC-90-2815-C-022-005-E與NSC-88-2815-C-019-003-E贊助, 李慶鋒、林盛益與吳清森先生所提供數值算例, 亦一併致謝。 ### 參考文獻 海大河工工數Website課程相關 http://msvlab.hre.ntou.edu.tw/, 2007。 陳正宗, 工程數學講義, 基隆, 2007。 林聰悟與林佳慧, 數值方法與程式, 圖文社, 台北市, 1997。 國立台灣海洋大學教學優良教師經驗分享, 海洋大學, 基隆, 2001。 吳清森, 無網格法及邊界元素法於薄膜及板問題之退化尺度分析, 海洋大學河海工程研究所碩士論文, 基隆, 2004。 林盛益, 邊界元素法於板自由振動之數學分析與數值研究, 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---本文作者現任教於海洋大學河海工程學系特聘教授---