某一個星期六的早上, 我的學生小庭約我到某知名速食店, 坐定之後, 小庭就迫不急待地問: 「什麼是歸納法?」我回答:「舉一個例子來說明: 若有一個袋子, 裏面有100顆撞球, 你從袋子中摸出第一個球是紅色, 再摸出第二個球也是紅色, 如此, $\ldots\ldots\ldots$, 一直到第20個球都是紅色, 我們心中不禁會"猜想"(或推測)這袋子中的100個球全部都是紅色的。 (不然的話, 怎麼會那麼剛剛好連續抽20個球都是紅色的。) 這種由少數已知去"猜想"(或推測)全部的想法, 就叫做"歸納法"。 若我們把袋中的80個球都倒出來, 驗證我們的"猜想"(或推測)是否正確? (即驗證這袋中的100個球是否全部都是紅色的?) 不管驗證的結果是正確或錯誤, 這種驗證就叫做"歸納法的證明"。」

小庭再問:「那"數學歸納法的證明"又是什麼呢? 」

我又回答:「再舉一個例子來說明: 以前我們學過$1+2+3+\cdots\cdots+n=\displaystyle\frac{n(n+1)}{2}$, 證明如下: $1+2+3+\cdots\cdots+n=x$ \begin{eqnarray*} && \frac{n + (n-1) + (n-2) + \cdots\cdots + 1 = x} {(n+1) + (n+1) + (n+1) + \cdots\cdots + (n+1) = 2x} \\ && n(n+1) = 2x \\ &&\frac{n(n+1)}{2} = x \end{eqnarray*} 以上是等式的證明, 不是數學歸納法的證明, 真正數學歸納法的證明是: 證明等式 $1+2+3+\cdots\cdots+n=\displaystyle\frac{n(n+1)}{2}$ 的 $n$ 在所有自然數中, 等式都成立。」

小庭又問:「那要怎麼去證明等式 $1+2+3+\cdots\cdots+n=\displaystyle\frac{n(n+1)}{2}$ 的 $n$ 在所有自然數中, 等式都成立呢? 」

我說:「你可以把"步驟一" $n=1$ 代入等式的兩邊去驗證是否相等? 即等式左邊 $=1$, 等式右邊$=\displaystyle\frac{1\times(1+1)}{2}=\frac{1\times 2}{2}=1$, $1=1$, 等式成立。 "步驟二" $n=2$ 代入等式的兩邊去驗證是否相等? 即等式左邊$=1+2=3$, 等式右邊$=\displaystyle\frac{2\times(2+1)}{2}=\frac{2\times 3}{2}=3$, $3=3$, 等式成立。請你試試看, 把 $n=3$ 代入, $n=4$代入, $\cdots\cdots$。」

小庭立刻在計算紙上寫下"步驟三" $n=3$ 代入等式的兩邊, 即等式左邊$=1+2+3=6$, 等式右邊$=\displaystyle\frac{3\times(3+1)}{2}=\frac{3\times 4}{2}=6$, $6=6$, 等式成立。 "步驟四" $n=4$ 代入等式的兩邊, 即等式左邊$=1+2+3+4=10$, 等式右邊$=\displaystyle\frac{4\times(4+1)}{2}=\frac{4\times 5}{2}=10$, $10=10$, 等式成立。 "步驟五" $n=5$ 代入等式的兩邊, 即等式左邊$=1+2+3+4+5=15$, 等式右邊$=\displaystyle\frac{5\times(5+1)}{2}=\frac{5\times 6}{2}=15$, $15=15$, 等式成立。 "步驟六" $n=6$ 代入等式的兩邊, 即等式左邊$=1+2+3+4+5+6=21$, 等式右邊$=\displaystyle\frac{6\times(6+1)}{2}=\frac{6\times 7}{2}=21$, $21=21$, 等式成立。 $\cdots\cdots\cdots$, 小庭大聲叫道:「老師, 救命啊! 這要做到什麼時候才能把所有的自然數都驗證完呢? 」

我說:「因為自然數有無限多個, 所以你用這種驗證方式, 終生你都無法驗證完, 當然, 古聖先哲也有你我這樣的困擾, 還好經過許多數學家的努力, 已幫我們想出下列好方法, 可以說明 $n$ 在所有的自然數中, 等式都成立。說明如下: 」

"步驟一" $n=1$代入等式的兩邊, 即等式左邊$=1$, 等式右邊$=\displaystyle\frac{1\times(1+1)}{2}=\frac{1\times 2}{2}=1$, $1=1$, 等式成立。

"步驟二" 假設 $n=k$ 時, 等式成立, 試證: $n=k+1$ 時, 等式也成立, 即

已知: $1+2+3+\cdots\cdots\cdots+k=\displaystyle\frac{k(k+1)}{2}$

求證: $1+2+3+\cdots\cdots+k+(k+1)=\displaystyle\frac{(k+1)(k+2)}{2}$

證明: 由已知 $1+2+3+\cdots\cdots\cdots+k=\displaystyle\frac{k(k+1)}{2}$, 使用等量公理, 對等式的兩邊同加 $(k+1)$, 得 $1+2+3+\cdots\cdots+k+(k+1)=\displaystyle\frac{k(k+1)}{2}+(k+1) =\frac{k^2+k+2k+2}{2}=\frac{k^2+3k+2}{2}=\frac{(k+1)(k+2)}{2}$

"步驟三" 同"步驟二"之理, 可證 $n=k+2$, $n=k+3$, $n=k+4$, $\cdots\cdots\cdots$, 等式都成立。所以我們得證 $n$ 在所有自然數中, 等式都成立。

以上"步驟一, 步驟二, 步驟三"的證明方法, 就是"數學歸納法的證明"。

小庭很懷疑地問:「為什麼"步驟一, 步驟二, 步驟三"的證明方法, 就能說明 $n$ 在所有的自然數中, 等式都成立? 」

我答:「這裏用骨牌倒下去來說明: "步驟一"就好像第一塊骨牌倒下去。 "步驟二"就好像如果前 $k$ 塊骨牌都倒下去, 則第 $(k+1)$ 塊骨牌也一定會倒下去。 "步驟三"就好像說明了全部骨牌都會倒下去。」

小庭說:「我在課本看到關於不等式"數學歸納法的證明", 有許多地方不懂, 請老師也舉一個例子來解說。」

我說:「好, 我就舉"對於每一個自然數 $n\ge 5$, 試證: $2^n\gt n^2$"來說明。」

證明如下:

"步驟一" $n=5$ 代入, 不等式左邊 $2^5=32$, 不等式右邊 $5^2=25$, $32\gt 25$, 不等式成立。

"步驟二" 假設 $n=k\gt 5$ 時, 不等式成立, 試證: $n=k+1$ 時, 不等式也成立。即

已知: $2^k \gt k^2$

求證: $2^{k+1} \gt (k+1)^2$

證明: 由已知 $2^k \gt k^2$, 使用等量公理, 對等式的兩邊同乘 2,

得 $2^k \cdot 2 \gt 2k^2 \Rightarrow 2^{k+1} \gt 2k^2$ $\cdots\cdots\cdots$ ①

設 $2^{k+1} =$ 甲數, $2k^2 =$ 乙數, $(k+1)^2 =$ 丙數

由① 式知甲數 $\gt $ 乙數, 如果能證出乙數 $\gt $ 丙數, 則由遞移律知甲數 $\gt $ 丙數。即完成證明 $2^{k+1} \gt (k+1)^2$, 那怎麼去證明乙數 $\gt $ 丙數呢? 我用下表說明:

腦中的思考活動		書寫正式證明
$\begin{array}{l} \hbox{先假設乙數 }\gt \hbox{ 丙數已成立} \\ \hskip .5cm 2k^2 \gt (k+1)^2 \\ \Rightarrow 2k^2 \gt k^2+2k+1 \\ \Rightarrow k^2 -2k\gt 1 \\ \Rightarrow k(k-2) \gt 1 \\ \Rightarrow k \gt 1\hbox{ 且 }k-2 \gt 1 \\ \Rightarrow k \gt 5 \gt 1\hbox{ 且 }k-2 \gt 3 \gt 1 \hskip 1.3cm~ \end{array}$		$\begin{array}{l} \hskip .5cm k \gt 5 \gt 1\hbox{ 且 }k-2 \gt 3 \gt 1 \hskip 1.3cm~ \\ \Rightarrow k \gt 1\hbox{ 且 }k-2 \gt 1 \\ \Rightarrow k(k-2) \gt 1 \\ \Rightarrow k^2-2k \gt 1 \\ \Rightarrow 2k^2 \gt k^2+2k+1 \\ \Rightarrow 2k^2 \gt (k+1)^2 \\ \\ \end{array}$

所以 $2^{k+1} \gt (k+1)^2$ 證畢

* 注意: 書寫正式證明正好與腦中的思考活動逆向。

小庭問:「上述表中的正式證明不能直接想出來嗎? 」

我答:「這是不可能的事情, 除非你跟神一樣絕頂聰明或你已做過這題, 而你我皆凡人, 正常人應該是在草稿紙上寫出腦中的思考活動, 再把它逆向寫出來。」

小庭又問:「請問什麼題目要用逆向思考? 」

我答:「在"數學歸納法的證明"這領域中, 除了等式之外, 其他大部分都是逆向思考。 這種逆向思考的證法, 存乎一心, 有需要的時候就可以使用。 記得我讀國中的時候, 遇到一位數學老師, 在證平面幾何學的證明題時, 就是從後面寫起, 再從前面寫, 最後竟合在一起證完了。當初覺得很神奇, 也對這位老師很崇拜, 後來發現這種逆向證法, 在數學證明時常常使用, 也就覺得沒有什麼了。」

"步驟三" 同"步驟二"之理, 可證 $n\ge 5$ 時, $n$ 在所有的自然數中, 不等式都成立。

小庭說:「我在課本看到關於整除方面"數學歸納法的證明", 也有許多地方不懂, 請老師也舉一個例子來解說。」

我說:「好, 我再舉下例, 試證: 對每一個自然數 $n$, 都有 $18|(2^{2n}+24n-10)$」 證明如下:

"步驟一" $n=1$ 代入, 得 $18|(2^{2\times 1}+24\times 1-10)$ $\Rightarrow$ $18|4+24-10$ $\Rightarrow$ $18|18$, 整除成立。

"步驟二" 假設 $n=k$ 時, 整除成立, 試證: $n=k+1$ 時, 整除也成立。即

已知: $18|(2^{2k}+24k-10)$

求證: $18|[2^{2(k+1)}+24(k+1)-10]$

在此先複習整除的性質, 若 $a$, $b$, $c$, $m$, $n$ 均為整數, $a|b$ 且 $a|c$ $\Rightarrow$ $a|mb+nc$ (即公因數整除兩倍數的任意線性組合)

證明:

腦中的思考活動	書寫正式證明
$18~|~[2^{2(k+1)}+24(k+1)-10]$	$18~|~18$
$\Rightarrow~18~|~(2^{2k+2}+24k+24-10)$	$\Rightarrow~18~|~18(4k-3)$
$\Rightarrow~18~|~(4\times 2^{2k}+24k+14)\cdots\cdots$ ①	$\Rightarrow~18~|~(72k-54) \cdots\cdots$ ③
由已知 $18~|~(2^{2k}+24k-10) \cdots\cdots$ ②	由已知 $\Rightarrow~18~|~(2^{2k}+24k-10)$
① , ② 式使用 $a~|~b$ 且 $a~|~c \Rightarrow a~|~mb+nc$,	$\Rightarrow 18~|~4\times(2^{2k}+24k-10)$
其中取 $m=-1$, $n=4$, 得	$\Rightarrow 18~|~(4\times 2^{2k}+96k-40)$
$18~|~[-(4\times 2^{2k}+24k+14)$	$\Rightarrow 18|(2^{2(k+1)}+96k-40) \cdots\cdots$ ④
$+4(2^{2k}+24k-10)]$	將③ , ④ 式使用 $a~|~b$ 且 $a~|~c \Rightarrow a~|~mb+nc$,
$\Rightarrow~18~|~(72k-54)$	其中取 $m=-1$, $n=1$, 得
$\Rightarrow~18~|~18(4k-3)$	$18~|~[-(72k-54)+(2^{2(k+1)}+96k-40)]$
$\Rightarrow~18~|~18$	$\Rightarrow 18~|~[2^{2(k+1)}+24(k+1)-10]$ 證畢

"步驟三" 同"步驟二"之理, 可證 $n$ 在所有的自然數中, 整除都成立。

小庭說:「我在課本上看到"對每一個自然數 $n$, 試證: $2^{8n+2}-2^{4n}$ 的個位數字都是 8", 不知如何證明, 請老師教我。」

我說:「$2^{8n+2}-2^{4n}-8$ 的個位數字必為 0, 即 $10|(2^{8n+2}-2^{4n}-8)$, 你可以仿照上述證明, 便可證出來。」

小庭問:「在幾何學上, 有沒有"數學歸納法的證明" ? 」

我答:「當然有, 最著名的就是 $n$ 個正方形經過切割, 必可重新組合成一個大正方形, $n$ 在所有自然數中 $(n\ge 2)$, 上述都成立。」證明如下:

"步驟一" $n=2$ 代入, "$\square$ 代表正方形, 即試證: $\square ABCD+\square EFGC=\square AHFI$ (如下圖)

設 $\overline{AB}=\overline{BC}=\overline{CD}=\overline{DA}=a$, $\overline{EF}=\overline{FG}=\overline{GC}=\overline{CE}=b$, 延長 $\overrightarrow{CB}$ 至 $I$ 點, 使 $\overline{BI}=b$, 在 $\overline{DC}$ 上取一點 $H$, 使得 $\overline{DH}=b$, 再連接 $\overline{AH}$, $\overline{HF}$, $\overline{FI}$ 與 $\overline{IA}$

求證: 四邊形 $AHFI$ 為正方形

證明: 因為 $\triangle ADH \cong \triangle HFG \cong \triangle IEF \cong \triangle ABI$ (SAS全等, $a$ 直角 $b$)

所以 $\overline{AH}=\overline{HF}=\overline{FI}=\overline{IA}$ (對應邊), 得四邊形 $AHFI$ 為菱形, 在 $\triangle ADH$ 中, $\angle ADH+\angle DHA+\angle HAD =180^\circ$, $\angle ADH=90^\circ$, $\angle DHA+\angle HAD=90^\circ$, 因為 $\triangle ADH \cong \triangle HGF$, 所以 $\angle HAD=\angle FHG$ (對應角), 代換得 $\angle DHA+\angle FHG=90^\circ$, 又因 $\angle DHA+\angle AHF+\angle FHG =180^\circ$ (一直線), 代換得 $90^\circ+\angle AHF=180^\circ$, 移項得 $\angle AHF=90^\circ$, 所以四邊形為正方形, 證畢。

* 實際操作: 將 $\triangle ADH$ 切割下來補在 $\triangle ABI$, $\triangle HGF$ 切割下來補在 $\triangle IEF$, 即形成大正方形 $AHIF$, 所以就有 $\square ABCD+\square EFGC=\square AHFI$

* 結論: 兩正方形經切割必可重新組合成一個大正方形。

"步驟二" 假設 $n=k$ 成立, 試證: $n=k+1$ 也成立 , 即

已知: $\square A_1B_1C_1D_1+\square A_2B_2C_2D_2+\square A_3B_3C_3D_3 +\cdots\cdots+\square A_kB_kC_kD_k$ $=\square JKLM$

求證: $\square A_1B_1C_1D_1+\square A_2B_2C_2D_2+\square A_3B_3C_3D_3 +\cdots\cdots+\square A_kB_kC_kD_k$ $+\square A_{k+1}B_{k+1}C_{k+1}D_{k_1}=\square NOPQ$

證明:

由已知 $\square A_1B_1C_1D_1+\square A_2B_2C_2D_2+\square A_3B_3C_3D_3 + \cdots+A_kB_kC_kD_k=\square JKLM$ 使用等量公理對等式兩邊同加 $\square A_{k+1}B_{k+1}C_{k+1}D_{k+1}$ 得

$\square A_1B_1C_1D_1\!+\!\square A_2B_2C_2D_2\!+\!\square A_3B_3C_3D_3 \!+\!\cdots\!+\!\square A_kB_kC_kD_k\!+\!\square A_{k+1}B_{k+1}C_{k+1}D_{k+1}$

$=\square IKLM+A_{k+1}B_{k+1}C_{k+1}D_{k+1}=\square NOPQ$ (由"步驟一"知)

"步驟三" 同"步驟二"之理, 可得 $n$ 個正方形經過切割必可重新組合成一個大正方形, $n$ 在所有自然數中 $(n\ge 2)$, 上述都成立。

小庭說:「在"步驟一"中, 圖形的輔助線是誰想出來的, 好神奇噢! 」

我說:「這是清初數學家梅文鼎先生想出來的, 這是中國人的光榮! 為什麼? 我們試想清初那個時代, 幾乎是所有的知識份子都在讀四書五經, 準備八股科舉, 對於數學可以說冷門到嗤之以鼻。 而梅文鼎出生距利馬竇與徐光啟合繹"幾何原本"的出版才不到三十年, 以當時的時空環境, 能想出輔助線, 並在數學史上佔有一席之地, 這令我們不得不佩服梅文鼎先生的智慧! 講到這裏, 我們身為中國人應該更有自信才對! 」

最後小庭非常高興地與我一起走出速食店, 我聽到小庭一直都小聲哼著 You light up my life 的調子。 (全文完)

後記

這是一篇高中教材教法的作品, 希望能拋磚引玉, 鼓勵更多高中數學老師能把自己的教學智慧寫出來, 如此, 我們數學老師才能一代薪傳一代, 我們的數學教學才會不斷地進步, 我們也才能一代比一代強!

---本文作者任教於大直高中---