31306 平面三角公式之幾何淵源
平面三角公式之幾何淵源

自19世紀德國生物學家海克爾(E. Haeckel, 1843 $\sim$ 1919)所提出的生物發生學定律-- "個體發育史重蹈種族發展史"被應用於教育後, "歷史發生原理"便應運而生。 就數學教育而言, 該原理說的是: 學生對數學概念的認知過程與數學概念的歷史發展過程具有相似性。 德國數學家F·克萊因(F. Klein, 1849 $\sim$ 1925)、 法國數學家龐加萊(H. Poincare, 1854 $\sim$ 1912)、 匈牙利數學家和數學教育家波利亞(G. Polya, 1887 $\sim$ 1985)、 荷蘭數學家和數學教育家弗賴登塔爾(H. Freudenthal, 1905 $\sim$ 1990)、 美國數學家和數學教育家M. 克萊因(M. Kline, 1908 $\sim$ 1992)等都是該原理的支持和提倡者。 龐加萊主張, 數學課程的內容應完全按照歷史發展順序展現給讀者, 他指出:

"動物學家堅持認為, 在一個短時期內, 動物胚胎的發育重蹈所有地質年代其祖先們的發展歷史。 人的思維發展似乎也是如此。教育工作者的任務就是讓孩子的思維經歷其祖先之所經歷, 迅速通過某些階段而不跳過任何階段。鑒於此, 科學史應該是我們的指南。"(Kline, 1970)

波利亞指出: "只有理解人類如何獲得某些事實或概念的知識, 我們才能對人類的孩子應該如何獲得這樣的知識作出更好的判斷。" 弗賴登塔爾則稱"年輕的學習者重蹈人類的學習過程, 儘管方式改變了"(Ernest, 1998)。

因此, 數學歷史作為考察數學教學有效性的一個重要視角, 長期以來一直受到數學教育家們的普遍關注, 我們從眾多教育取向的數學史研究(如Cajori, 1917; Kline, 1958; Hallerberg等, 1969; Kline, 1970; Katz, 1998; Katz, 2000b等等)中可以看出這一點。就三角學而言, 早在20世紀60年代, Aaboe就曾指出: 該學科的歷史發展順序是更為自然的教學順序(Katz, 2000a)。 因此, 對於學生視若畏途的三角公式, 教材編寫者和教師理應參考其發展歷史。 然而, 數學史文獻(包括教育取向的數學史研究文獻)中, 對三角學歷史反映不足(Grattan-Guinness, 1994), 數學教師對該課題缺乏深入瞭解。本文試圖通過對17世紀以前平面三角公式歷史淵源的考察, 尋求三角公式的教學啟示和教學素材。

1. 托勒密

在三角學發展的初期, 天文學家關心的是一段長度已知的弧所對弦的長度。 如圖1所示, 在單位圓中, 弧長(圓心角) $\alpha$ 所對弦長( Chord $\alpha$)與我們今天的正弦之間的關係是 \begin{equation} %(1) Chord~\alpha = 2\sin \frac{\alpha}{2} \end{equation}

法國數學史家坦納裏(P. Tannery, 1843 $\sim$ 1904)認為, 早在天文學家希帕霍斯(Hippachus, 前2世紀) 之前, 阿基米德(Archimedes, 前287 $\sim$ 前212)和阿波羅尼斯(Apollonius, 前260 $\sim$ 前190) 可能已經編制過弦表, 阿基米德的折弦定理 設 $ABC$ 為圓之折弦(由弦 $AB$ 和 $BC$ 構成), 過 $ABC$ 弧之中點向折弦之較長弦引垂線, 則垂足為折弦之中點。 似乎就是一個證據。 希臘三角學創始人希帕霍斯、梅內勞斯(Menelaus, 1世紀)都製作過弦表, 可惜沒有流傳下來。

西元2世紀, 古希臘天文學家托勒密(C. Ptolemy, 85? $\sim$ 165?) 為造出從1/2度到180度每隔1/2度所有弧的弦表(造表方法可參閱Smith,1925; Brendan,1965), 提出了後人以其名字命名的定理: 圓內接四邊形兩對角線乘積, 等於兩組對邊乘積之和。 利用該定理, 已知兩角所對弦, 就可以求出它們的和或差所對的弦長。

如圖2, 設 $ABCD$ 是直徑為1 托勒密將直徑分成120等分, 將每一小部分的長度作為弦長的單位。 的圓 $O$ 的內接四邊形, 對角線 $BD$ 為圓之直徑。$\angle ABD$ $=\alpha$, $\angle DBC=\beta$, 則由托勒密定理, 在四邊形 $ABCD$ 中: $AC \cdot BD=AD \cdot BC+AB \cdot CD$, 即 \begin{equation} %(2) Chord~2(\alpha+\beta) = Chord~2\alpha~Chord~(\pi-2\beta) + Chord~(\pi-2\alpha)~Chord~2\beta \end{equation}

其中, $Chord(\pi-2\alpha)$ 可由畢氏定理得到 $$ [Chord~(\pi-2\alpha)]^2 + [Chord~2\alpha]^2 = 1$$

圖1
圖2

此即我們今天的平方關係式 \begin{equation} %(3) \sin^2\alpha+\cos^2\alpha = 1 \end{equation} 由(1)可知, (2)就是我們今天的和角公式 \begin{equation} %(4) \sin (\alpha+\beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta \end{equation} 類似地, 在四邊形 $AEBD$ ($EC$ 為直徑)中應用托勒密定理可得 \begin{equation} %(5) \cos (\alpha+\beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta \end{equation}

若圓內接四邊形 $ABCD$ 的一邊 $BC$ 為圓 $O$ 的直徑(如圖3), 設 $\angle ABC=\alpha$, $\angle DBC=\beta$, 則由托勒密定理可得 \begin{equation} %(6) \sin (\alpha-\beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta \end{equation} 類似地, 在圓內接四邊形 $ABEC$ ($ED$ 為直徑)中應用托勒密定理有 \begin{equation} %(7) \cos (\alpha-\beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta \end{equation} 托勒密為了製作弦表, 還利用了另外一個公式, 即我們今天的半角公式: \begin{equation} %(8) \sin^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1-\cos\alpha}{2} \end{equation} 托勒密的推導方法如圖4所示。 $\angle BAC=\alpha$, $AC$ 為圓的直徑($=2R$), $AD$ 為 $\angle BAC$ 的平分線, 在 $AC$ 上取 $AE=AB$, 作 $DF\bot AC$, 垂足為 $F$。則有 $$CD^2 = FC \cdot AC = \frac{1}{2} EC \cdot AC = \frac{1}{2}(AC-AB) \cdot AC$$

圖3
圖4

因此 \begin{equation} %(9) (Chord\ \alpha)^2 = \frac{1}{2} [2R - Chord(\pi-2\alpha)] \cdot 2R \end{equation} 此即公式(8)。

2. 帕普斯

三角公式與幾何命題之間的密切關係, 也明顯地反映於古希臘亞歷山大晚期的幾何學家帕普斯(Pappus, 西元4世紀初)《數學彙編》的幾何命題之中。 《數學彙編》是一部"關於希臘幾何學的手冊或指南"(Heath, 1921), 它不僅為我們保留了許多重要的希臘數學史料(如倍立方問題的解法、阿基米德半正多面體等等), 而且也包含了許多帕普斯自己的命題。帕普斯對蜜蜂"智慧"的讚美、對畢氏定理的推廣、 三等分角的圓錐曲線解法、鞋匠刀形內切圓問題、軌跡問題、圓錐曲線的統一定義、 關於旋轉體體積和表面積的形心定理(今稱"古爾丁定理")等等, 在今天都已廣為人知(具體可參閱一些數學史專著的介紹, 如Heath, 1921; Boyer, 1968; Kline, 1972; Eves, 1983等)。《數學彙編》第5卷第4部分是對阿基米德《論球與圓柱》的評注, 其中, 帕普斯給出了下面兩個命題:

命題1: 如圖5, 設 $H$ 是以 $AB$ 為直徑的半圓上的一點, $CE$ 是半圓在點 $H$ 處的切線, $CH\!=\!HE$。 $CD$ 和 $EF$ 為 $AB$ 的垂線, $D$ 、 $F$ 為垂足。 則 $(CD+EF)\cdot CE=AB\cdot DF$。

命題2: 如圖6, 設 $C$ 、 $E$ 是以 $AB$ 為直徑的半圓上的兩點, $CD$ 和 $EF$ 為 $AB$ 的垂線, $D$ 、 $F$ 為垂足, $CEK$ 弧為半圓。則 $(CD+EF)\cdot CE=EK\cdot DF$。

在圖5中, 過 $H$ 作 $AB$ 的垂線, 垂足為 $G$; 過 $E$ 作 $CD$ 的垂線, 垂足為 $I$。 易知 Rt$\triangle OGH$ 與 Rt$\triangle CIE$ 相似。於是 $\frac{CE}{OH}=\frac{IE}{GH} =\frac{DF}{GH}$, 或即 $GH\cdot CE=OH\cdot DF$。但 $GH=\frac{1}{2}(EF+CD)$, $OH=\frac{1}{2}AB$, 故得命題1的結論。在圖6中, 作 $OH\bot CE$ 於 $H$。 作垂線 $HG$ 、 $EI$, 由 Rt$\triangle OGH$ 與 Rt$\triangle CIE$ 的相似性, 即可證得命題2。

圖5
圖6

托勒密的兩個命題為我們提供了許多三角公式的幾何模型。 設 $\angle HOB=\alpha$, $\angle COH=\angle EOH=\beta$, $OC=OE=1$, 則 $\angle COD=\pi-(\alpha+\beta)$, $\angle EOF=\alpha-\beta$。 於是有: \begin{eqnarray*} && OH = \cos\beta, \quad HG=\sin\alpha\cos\beta, \quad OG=\cos\alpha\cos\beta, \\ && HE=\sin\beta, \quad HJ=CL=\cos\alpha\sin\beta, \quad JE=\sin\alpha\sin\beta. \end{eqnarray*} 因 $CD=LD+CL=HG+HJ$, $OF=OG+JE$, $EF=HG-HJ$, $OD=DG-OG=JE-OG$, 故分別得公式(4)-(7)。

當 $\alpha+\beta\lt \frac{\pi}{2}$ 時, 上述方法正是Young (1957)所介紹的和角公式的第一種推導法, 因簡潔、直觀而為一些中學數學教師用於課堂教學。

又因 $HG=\frac{1}{2}(CD+EF)$, $HJ=\frac{1}{2}(CD-EF)$, $JE=\frac{1}{2}(OF+OD)$, $OG=\frac{1}{2}(OF-OD)$, 故 \begin{eqnarray} && \sin\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}\ [\ \sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)\ ] \\ %(10) && \cos\alpha\sin\beta = \frac{1}{2}\ [\ \sin(\alpha+\beta) - \sin(\alpha-\beta)\ ] \\ %(11) && \sin\alpha\sin\beta = \frac{1}{2}\ [\ \cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)\ ] \\ %(12) && \cos\alpha\cos\beta = \frac{1}{2}\ [\ \cos(\alpha-\beta) + \cos(\alpha+\beta)\ ] %(13) \end{eqnarray}

若所設的角不變, 而 $OG=1$, 因 $\angle HCL=\alpha$, 故得 $HG=\tan\alpha$, $OH=\sec\alpha$, $CH=\sec\alpha\tan\beta$, $CL=CH\cos\alpha=\tan\beta$, $LH=\tan\alpha\tan\beta$。 於是在直角三角形 $COD$ 中: $$\tan(\angle COD)=\frac{CD}{OD}=\frac{HG+CL}{OG-LH}~(\alpha+\beta\lt \frac{\pi}{2}) \quad \hbox{或} \quad \frac{HG+CL}{LH-OG}~(\frac{\pi}{2}\lt \alpha+\beta\lt \pi)$$ 因此我們有 \begin{equation} %(14) \tan(\alpha+\beta) = \frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta} \end{equation}

如圖7和8, 設 $\angle COD=\alpha$, $\angle EOF=\beta$, $OC=OE=1$, 則 $\angle COE=\pi-(\alpha+\beta)$, $\angle OHG=\angle CEI=\frac{\alpha-\beta}{2}$, $\angle OEH=\frac{\alpha+\beta}{2}$ 。 於是有: \begin{eqnarray*} && OH = \sin\frac{\alpha+\beta}{2}, \quad HG = \sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}, \quad OG = \sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}, \\ && HE = \cos\frac{\alpha+\beta}{2}, \quad HJ = \cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2}, \quad JE = \cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}. \end{eqnarray*}

圖7
圖8

因 $CD+EF=2GH$, $CD-EF=CI=2HJ$, $OD+OF=DF=2JE$, $OD-OF=-2OG$, 故 \begin{eqnarray} && \sin\alpha + \sin\beta = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} \\ %(15) && \sin\alpha - \sin\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2} \\ %(16) && \cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2} \\ %(17) && \cos\alpha - \cos\beta = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2} %(18) \end{eqnarray}

又梯形 $ECDF$、 三角形 $COD$ 、 $EOF$ 、 $COE$ 的面積分別為 \begin{eqnarray*} && S_{\hbox{梯形}ECDF} = \frac{1}{2}(EF+CD)\cdot DF = \frac{1}{2}(\sin\alpha+\sin\beta)\cdot (\cos\alpha+\cos\beta), \\ && S_{\triangle COD} = \frac{1}{2} OD\cdot CD = \frac{1}{2} \sin\alpha\cdot\cos\alpha, \\ && S_{\triangle EOF} = \frac{1}{2} OE\cdot EF = \frac{1}{2} \sin\beta\cdot\cos\beta, \\ && S_{\triangle COE} = \frac{1}{2} OC\cdot OE\cdot \sin(\alpha+\beta) = \frac{1}{2} \sin(\alpha+\beta), \end{eqnarray*} 而梯形 $ECDF$ 的面積等於三角形 $COD$ 、 $COE$ 、 $EOF$ 的面積之和, 因此 $$\frac{1}{2}\sin\alpha\cos\alpha + \frac{1}{2}\sin\beta\cos\beta + \frac{1}{2}\sin(\alpha+\beta) = \frac{1}{2}(\sin\alpha+\sin\beta)\cdot(\cos\alpha+\cos\beta)$$ 或即 \begin{equation} %(19) \sin\alpha\cos\alpha + \sin\beta\cos\beta + \sin(\alpha+\beta) = (\sin\alpha+\sin\beta)\cdot(\cos\alpha+\cos\beta) \end{equation} 由此即得和角正弦公式(4)。 等式(19)對應著圖9中的菱形面積與圖10中的兩個矩形面積相等。

圖9
圖10

另一方面, 在三角形 $CIE$ 和 $COE$ 中, 由余弦定理和畢氏定理分別可得: \begin{eqnarray*} && CE^2 = CI^2 + IE^2 = (\sin\alpha-\sin\beta)^2 + (\cos\alpha+\cos\beta)^2, \\ && CE^2 = OC^2 + OE^2 + 2OC\cdot OE\cos(\alpha+\beta) = 2 + 2\cos(\alpha+\beta). \end{eqnarray*} 故得和角餘弦公式(5)。

3. 阿布 $\cdot$ 韋發

10世紀阿拉伯人阿布 $\cdot$ 韋發(Abu'l-Wefa, 940 $\sim$ 998) 是三角學歷史上最早使用所有六種三角函數、並研究它們之間關係的天文學家和數學家。 他所知道的同角三角函數關係如下: \begin{eqnarray} && \tan\alpha : 1 = \sin\alpha : \cos\alpha \ ; \\ %(20) && \cot\alpha : 1 = \cos\alpha : \sin\alpha \ ; \\ %(21) && \sec^2\alpha = 1 + \tan^2\alpha \ ; \\ %(22) && \csc^2\alpha = 1 + \cot^2\alpha. %(23) \end{eqnarray} 從圖11中很容易發現關係式(3)、(20)-(23)。 要注意, 在16世紀之前, 三角函數並不是用比率, 而只是用線段來表示的。

圖11
圖12

阿布 $\cdot$ 韋發製作了每隔 $15'$ 的正弦和正切表。 在半徑為 $R$ 的圓上, 他獲得了如下關係: \begin{eqnarray} && \frac{2R - Chord(180^\circ - 2\alpha)}{Chord~\alpha} = \frac{Chord~\alpha}{R} \\ %(24) && \frac{Chord~2\alpha}{Chord~\alpha} = \frac{Chord(180^\circ - \alpha)}{R} %(25) \end{eqnarray} 其中(24)與(9)等價; 而(25)則由圖12中三角形 $ABC$ 和三角形 $CDO$ 的相似性得到, 它等價於倍角正弦公式 \begin{equation} %(26) \sin\alpha = 2\sin\frac{\alpha}{2}\cos\frac{\alpha}{2} \end{equation}

值得注意的是, 阿布 $\cdot$ 韋發還得到了等價於(4)和(6)的公式: \begin{eqnarray} && \sin(\alpha+\beta) = \sqrt{\sin^2\alpha-\sin^2\alpha\sin^2\beta} + \sqrt{\sin^2\beta-\sin^2\alpha\sin^2\beta} \\ %(27) && \sin(\alpha-\beta) = \sqrt{\sin^2\alpha-\sin^2\alpha\sin^2\beta} - \sqrt{\sin^2\beta-\sin^2\alpha\sin^2\beta} %(28) \end{eqnarray} 其中 $\alpha$ 和 $\beta$ 均為銳角。從形式上看, 這兩個公式明顯刻上了幾何方法的烙印。 如圖13所示, 在直徑為1的圓 $O$ 中, $\angle AOB=2\alpha$, $\angle BOC=2\beta$, 設 $\alpha\gt \beta$, $\alpha+\beta\lt \pi$, $\alpha+\beta\not=\frac{\pi}{2}$, $BD\bot AC$。 取 $\angle POB=2\beta$, 又按托勒密的做法(圖4), 在 $AC$ 上取 $AQ=AP$。 於是 $BQ=BP=BC$, 從而得 $DQ=DC$。於是, $AB=\sin\alpha$, $BC=\sin\beta$, $AC=\sin(\alpha+\beta)$, $AP=\sin(\alpha-\beta)$, $BD=\sin\alpha\sin\beta$。因 \begin{eqnarray*} && AC = AD + DC = \sqrt{AB^2-BD^2} + \sqrt{BC^2-BD^2}, \\ && AP = AQ = AD-DQ = AD-DC = \sqrt{AB^2-BD^2} - \sqrt{BC^2-BD^2}, \end{eqnarray*} 故得(27)和(28)。

圖13
圖14

儘管上述方法能夠符合阿布 $\cdot$ 韋發的原意, 但我們很難用它來推導更多的三角公式。 事實上, 我們可以用更好的方法來推導更多的公式。 在直徑為1的圓 $O$ 中, 仍取 $\angle AOB=2\alpha$, $\angle BOC=2\beta$, $\alpha\gt \beta$, $\alpha+\beta\lt \pi$, $\alpha+\beta\not=\frac{\pi}{2}$, $BD\bot AC$。 作 $OE$ 垂直於 $AC$, 垂足為 $E$, 延長 $BD$ 交圓於 $F$, 作 $OG$ 垂直於 $BF$, 垂足為 $G$。 延長 $BO$ 和 $AO$, 分別交圓於 $H$ 和 $K$, 分別過 $H$ 、 $K$ 作 $AC$ 和 $BF$ 的垂線, 垂足為 $N$ 、 $M$。連接 $CK$ 、 $KF$ 、 $CF$ 、 $OF$ 、 $HF$ 和 $AH$ , 如圖14所示。 易知 $\angle OBF=\angle OFB=\angle EOB=\alpha-\beta$, $\angle AKC=\alpha+\beta$, $\angle OFC=\angle OCF=\alpha$, $FC=\cos\alpha$, 從而有 \begin{eqnarray*} && AC = \sin(\alpha+\beta), \quad HF = \sin(\alpha-\beta), \quad KC = \cos(\alpha+\beta), \quad BF = \cos(\alpha-\beta), \\ && AD = \sin\alpha\cos\beta, \quad CD = \cos\alpha\sin\beta, \quad FD = \cos\alpha\cos\beta, \quad BD = \sin\alpha\sin\beta \end{eqnarray*} 於是由 $AC=AD+DC$, 得和角正弦公式(4); 由 $HF=AD-AN=AD-DC$, 得差角正弦公式(6); 由 $KC=FD-FM=FD-BD$, 得和角余弦公式(5); 由 $FB=FD+BD$, 得差角余弦公式(7)。

另一方面, 因 \begin{eqnarray*} && AE = CE = \frac{1}{2}\sin(\alpha+\beta), \quad ED = OG = \frac{1}{2}\sin(\alpha-\beta), \\ && BG = FG = \frac{1}{2}\cos(\alpha-\beta), \quad GD = OE = \frac{1}{2}\cos(\alpha+\beta), \end{eqnarray*} 故由 $AD=AE+ED$, $CD=CE-ED$, $FD=FG+GD$, $BD=BG-GD$ 分別得積化和差公式(10)-(13)。

圖15
圖16

當 $\alpha+\beta=\frac{\pi}{2}$ 時, 四個積化和差公式成了倍角正弦和餘弦公式。 如圖15所示, $AC$ 是圓 $O$ 的直徑, $AC=1$, $\angle AOB=2\alpha$。 於是在三角形 $BDC$ 中, 由 $\sin\alpha=\displaystyle\frac{\frac{1}{2}\sin 2\alpha}{\cos\alpha}$ 和 $\cos\alpha=\displaystyle\frac{\frac{1}{2}(1+\cos 2\alpha)}{\cos\alpha}$ 分別得 \begin{eqnarray} && \sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha \\ %(29) && \cos 2\alpha = 2\cos^2\alpha - 1 %(30) \end{eqnarray} 在三角形 $BDA$ 中, 由 $\sin\alpha=\displaystyle\frac{\frac{1}{2}(1-\cos 2\alpha)}{\sin\alpha}$ 和 $\cos\alpha=\displaystyle\frac{\frac{1}{2}\sin 2\alpha}{\sin\alpha}$ 分別得 \begin{eqnarray} %(31) && \cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha \\ %(31) && \sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha \nonumber \end{eqnarray} 在三角形ABC中, 由射影定理和面積公式分別可得 \begin{eqnarray} %(32) && \sin^2\alpha = \frac{1-\cos 2\alpha}{2}, \nonumber \\ && \cos^2\alpha = \frac{1+\cos 2\alpha}{2}, \nonumber \\ && \cos^2\alpha - \sin^2\alpha = \cos 2\alpha \ ; \\ %(32) && \frac{1}{2}\cdot\sin\alpha\cdot\cos\alpha = \frac{1}{4}\sin 2\alpha. \nonumber \end{eqnarray} 事實上, Woods (1936)、Dorwart (1942)等即曾作過類似的推導。

4. 比爾吉與克拉維斯

早期三角學的歷史是與天文學密切相關的。 事實上, 在15世紀德國數學家雷格蒙塔努斯(Regiomontanus, 1436 $\sim$ 1476) 撰寫《論各種三角形》之前的歐洲, 三角學一直依附於天文學, 為天文計算服務。 1510左右, 德國天文學家維納(J. Werner, 1468 $\sim$ 1522)為了簡化天文計算, 率先使用了後人以其名字命名的三角公式(12)。例如, 要計算98,436 $\times$ 79,253, 可設 $\sin\alpha=0.49218$, $\sin\beta=0.79253$。從三角函數表中查得 $\alpha$ 和 $\beta$, 然後又從三角函數表中查得 $\cos(\alpha+\beta)$, $\cos(\alpha-\beta)$, 根據維納公式, 即得 $2\sin\alpha\sin\beta$。將小數改成整數, 就得到所求的乘積。

這種方法被稱為"加減術", 主要為在天文臺從事研究工作的天文學家所使用。 16世紀丹麥著名天文學家弟谷(Tycho Brahe, 1546 $\sim$ 1601)以及他的助手們就曾使用過這種方法, 他們還知道公式(13)。但弟谷的"加減術"知識是否源於維納的手稿, 公式(12)是不是他自己的發現, 仍有待數學史家的考證。"加減術"成了納皮爾(J. Napier, 1550 $\sim$ 1617) 和比爾吉(J. Burgi, 1552 $\sim$ 1632)的對數思想的先驅。

公式(12)和(13)最早正式發表於16世紀著名天文學家烏爾索斯(N. R. Ursus, 1551 $\sim$ 1600) 於1588年出版的《天文學基礎》一書中。 烏爾索斯告訴我們, 瑞士著名鐘錶匠、對數發明者之一比爾吉給出過公式(12)的幾何證明。 烏爾索斯還說, 從比爾吉的證明中可以很容易地推導出公式(13)。 Thoren(1998)認為, 公式(13)最早可能就是比爾吉本人發現並證明的, 時間約在1585年左右。 可惜比爾吉的具體證明沒有流傳下來。

16世紀德國著名數學家和天文學家克拉維斯(C. Clavius, 1537 $\sim$ 1612)讀過烏爾索斯的著作, 但他似乎對維納、比爾吉、弟谷等人的工作一無所知, 因而把公式(12)和(13)錯誤地歸功於烏爾索斯的發現。 在出版於1593年的天文著作《星盤》( Astrolabium)中, 克拉維斯分三種情形對公式(12)作了全面而清晰的證明(Smith, 1959)。

(1) $\alpha + \beta = \displaystyle\frac{\pi}{2}$

如圖16所示, 在單位圓 $O$ 中, $\angle AOB=\beta$, $\angle BOC=\alpha$, $\alpha+\beta=\frac{\pi}{2}$。過點 $B$ 作 $OA$ 的垂線, 垂足為 $H$, 交圓於 $K$; 又作 $OC$ 的垂線, 垂足為 $G$。分別過點 $A$ 、 $H$ 和 $K$ 作 $OB$ 垂線, 垂足分別為 $E$ 、 $L$ 、 $N$。於是 $$\frac{OA}{AE} = \frac{OH}{HL} = \frac{BG}{\displaystyle\frac{1}{2}KN}$$ 即 $$\frac{1}{\sin\beta} = \frac{\sin\alpha}{\displaystyle\frac{1}{2}\sin 2\beta} = \frac{\sin\alpha}{\displaystyle\frac{1}{2}\sin 2\alpha}.$$ 於是得 $$\sin\alpha\sin\beta = \frac{1}{2}\sin 2\alpha = \frac{1}{2}\sin 2\beta,$$ 或即 \begin{eqnarray*} && \sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha, \\ && \sin 2\beta = 2\sin\beta\cos\beta. \end{eqnarray*}

(2) $\alpha + \beta \lt \displaystyle\frac{\pi}{2}$

如圖17所示。在單位圓 $O$ 中, $\angle AOB=\beta$, $\angle COD=\alpha$, $\alpha+\beta\lt \frac{\pi}{2}$, $OA\bot OD$。過點 $C$ 作 $OA$ 的垂線, 垂足為 $H$ , 交圓於 $K$; 分別過點 $A$ 、 $H$ 、 $K$ 作 $OB$ 垂線, 垂足分別為 $E$ 、 $L$ 、 $N$; 又過點 $C$ 作 $OB$ 、 $OD$ 、 $KN$ 、 $HL$ 的垂線, 垂足分別為 $F$ 、 $G$ 、 $P$ 、 $U$。 因 $\angle BOC=\frac{\pi}{2}-\alpha-\beta$, 故 $\angle OCF=\alpha+\beta$; 因 $\angle KON=\frac{\pi}{2}-\alpha+\beta$, 故 $\angle OKN=\alpha-\beta$。 於是, 在直角三角形 $COG$ 、 $AOE$ 、 $OCF$ 和 $KON$ 中分別有: \begin{eqnarray*} && CG = \sin\alpha, \quad OG = \cos\alpha, \quad AE=\sin\beta, \quad OE = \cos\beta; \\ && OF = \sin(\alpha+\beta), \quad CF = \cos(\alpha+\beta), \quad ON = \sin(\alpha-\beta), \quad KN = \cos(\alpha-\beta). \end{eqnarray*} 於是 $$\frac{OA}{AE} = \frac{OH}{HL} = \frac{CG}{HU-LU} = \frac{CG}{\displaystyle\frac{1}{2}(KN-CF)},$$ 即 \begin{equation} %(33) \frac{1}{\sin\beta} = \frac{\sin\alpha}{\displaystyle\frac{1}{2}[\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)]} \end{equation} 此即公式(12)。

圖17
圖18

克拉維斯只證明了公式(12), 但我們完全可以進一步證明其他三個積化和差公式(10)、 (11)和(13)。 在圖17中, 從 $$\frac{OA}{OE} = \frac{OH}{OL} = \frac{CG}{\displaystyle\frac{1}{2}(OF+ON)}$$ 得 \begin{equation} %(34) \frac{1}{\cos\beta} = \frac{\sin\alpha}{\displaystyle\frac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)]} \end{equation} 即得公式(10); 從 $$\frac{OA}{OE} = \frac{HC}{UC} = \frac{OG}{\displaystyle\frac{1}{2}(OF-ON)}$$ 得 \begin{equation} %(35) \frac{1}{\sin\beta} = \frac{\cos\alpha}{\displaystyle\frac{1}{2}[\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)]} \end{equation} 此即公式(11); 從 $$\frac{OA}{OE} = \frac{CH}{HU} = \frac{OG}{\displaystyle\frac{1}{2}(KN+CF)}$$ 得 \begin{equation} %(36) \frac{1}{\cos\beta} = \frac{\cos\alpha}{\displaystyle\frac{1}{2}[\cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta)]} \end{equation} 此即公式(13)。

(3) $\alpha+\beta\gt \displaystyle\frac{\pi}{2}$

如圖18所示。在單位圓 $O$ 中, $\angle AOB=\beta$, $\angle COD=\alpha$, $\alpha+\beta\gt \frac{\pi}{2}$, $OA\bot OD$。作圖同上。 此時, 因 $\angle BOC=\alpha+\beta-\frac{\pi}{2}$, 故 $\angle OCF=\pi-(\alpha+\beta)$; 因 $\angle KON=\frac{\pi}{2}-\alpha+\beta$ $(\alpha\gt \beta)$ 或 $\frac{\pi}{2}+\alpha-\beta$ $(\alpha\lt \beta)$, 故 $\angle OKN=\alpha-\beta$ $(\alpha\gt \beta)$ 或 $\beta-\alpha$ $(\alpha\lt \beta)$。因此, 在直角三角形 $OCF$ 和 $KON$ 中分別有: $OF=\sin(\alpha+\beta)$, $CF=-\cos(\alpha+\beta)$, $ON=\sin(\alpha-\beta)$ $(\alpha\gt \beta)$ 或 $-\sin(\alpha-\beta)$ $(\alpha\lt \beta)$, $KN=\cos(\alpha-\beta)$。於是 $$\frac{OA}{AE} = \frac{OH}{HL} = \frac{CG}{HU+CF} = \frac{CG}{\displaystyle\frac{1}{2}(KN+CF)},$$ 故仍有公式(31)成立。類似可導出其他三個公式。

或許, 克拉維斯的方法在今天看來顯得很繁瑣, 但我們必須知道: 17世紀, 特別是英國數學家沃利斯(J. Wallis, 1616 $\sim$ 1703)以前, 三角公式往往是用比例形式來表達的, 因此, 克拉維斯利用相似比來導出比例形式的積化和差公式, 也就不足為奇了。

實際上, 我們完全可以將克拉維斯改進得更簡單一些, 使其適合於今天的課堂教學; 同時, 我們還可以進一步導出更多的三角公式。考慮 $\alpha+\beta\lt \frac{\pi}{2}$ 的情形, 在圖17中, 作 $HM\bot KN$ 於 $M$, 易得: \begin{eqnarray*} && OL = OH\cos\beta = CG\cos\beta = \sin\alpha\cos\beta, \\ && HL = OH\sin\beta = CG\sin\beta = \sin\alpha\sin\beta, \\ && UC = HC\sin\beta = OG\sin\beta = \cos\alpha\sin\beta, \\ && HU = HC\cos\beta = OG\cos\beta = \cos\alpha\cos\beta, \\ && OF = \sin(\alpha+\beta), \quad CF = \cos(\alpha+\beta), \\ &&ON = \sin(\alpha-\beta), \quad KN = \cos(\alpha-\beta).\hskip 6cm~ \end{eqnarray*} 因此, 由 $OF=OL+UC$, $CF=HU-HL$, $ON=OL-NL=OL-UC$, $KN\!=\!KM+MN\!=\!HU+HL$, 分別得和角與差角公式(4)-(7); 由 $OL=\frac{1}{2}(OF+ON)$, $UC=\frac{1}{2}(OF-ON)$, $HL=\frac{1}{2}(KN-CF)$, $HU=\frac{1}{2}(KN+CF)$, 分別得積化和差公式(10)-(13)。

類似可證 $\alpha+\beta\gt \frac{\pi}{2}$ 的情形。

5. 韋達

與克拉維斯同時代的法國數學家韋達(F. Viète, 1540 $\sim$ 1603), 是歷史上第一個將代數方法引入三角學的數學家, 他系統地利用所有的六種三角函數來解平面和球面三角形; 最早研究一般的 $n$ 倍角公式; 最早利用三倍角余弦公式來解三次方程。 但韋達在推導三角公式時, 仍然經常使用幾何方法。韋達給出了同角三角函數更多的關係式: \begin{eqnarray} && 1 : \sec\alpha = \cos\alpha : 1 = \sin\alpha : \tan\alpha \ ; \\ %(37) && \csc\alpha : \sec\alpha = \cos\alpha : 1 = 1 : \tan\alpha \ ; \\ %(38) && 1 : \csc\alpha = \cos\alpha : \cot\alpha = \sin\alpha : 1 %(39) \end{eqnarray} 這些關係式從圖11中都可以直接得到。在圖19中, 設 $BD=1$, 則得韋達的另外兩個等式: \begin{eqnarray} && \csc\alpha + \cot\alpha = \cot\frac{\alpha}{2} \ , \\ %(40) && \csc\alpha - \cot\alpha = \tan\frac{\alpha}{2}. %(41) \end{eqnarray}

值得注意的是, 韋達用幾何方法推導了和差化積公式(15)。如圖18, 設 $\angle AOB=\alpha$, $\angle BOC=\beta$ 是單位圓 $O$ 的兩個圓心角。不妨設 $\alpha$ 和 $\beta$ 為銳角, 且 $\alpha\gt \beta$。過 $A$ 、 $C$ 分別作 $OB$ 的垂線 $AD$ 、 $CE$, 垂足為 $D$ 、 $E$。 延長 $AD$ 交圓 $O$ 於 $G$, 連 $OG$ 、 $CG$。又作 $CF\bot AG$, 垂足為 $F$。 又過圓心 $O$ 作 $AC$ 的垂線, 垂足為 $H$, 作 $HI\bot OB$, 垂足為 $I$。 則因 $AH=CH$,

圖19
圖20

故得 $DI=IE$。於是 $$\sin\alpha+\sin\beta = AD+CE = AF = AC\cdot\cos\frac{\alpha-\beta}{2} = 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}.$$

利用韋達的上述方法, 我們也可以證明其餘的和差化積公式(16)-(18): \begin{eqnarray*} && \sin\alpha-\sin\beta = AD - CE = DG - DF = FG = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cdot\sin\frac{\alpha-\beta}{2} \ ; \\ && \cos\alpha-\cos\beta = OD - OE = -DE = -CF = -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\sin\frac{\alpha-\beta}{2} \ ; \\ && \cos\alpha+\cos\beta = 2OI = 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}. \end{eqnarray*}

若將韋達的方法用於圖14, 則延長 $OE$, 交圓於 $S$; 分別過點 $O$ 和 $S$ 作 $AB$ 的垂線, 垂足分別為 $T$ 和 $R$, 如圖21所示。於是三角形 $ABS$ 就是韋達圖20中的三角形 $AGC$。

至於和角與差角公式以及積化和差公式, 我們可以用從帕普斯命題導出三角公式的方法來推導: 如圖22, 分別過點 $A$ 、 $D$ 、 $G$ 作 $OC$ 的垂線, 垂足分別為 $M$ 、 $N$ 、 $P$; 分別過點 $D$ 、 $G$ 作 $AM$ 的垂線, 垂足分別為 $R$ 、 $S$, $GS$ 與 $DN$ 的延長線交於 $T$。 則由 $AM=AR+DN$, $OM=ON-DR$, $GP=AR-DN$ 和 $OP=ON+NP=ON+DR$ 即得公式(4)-(7); 由 $AR=\frac{1}{2}(AM+GP)$, $DN=\frac{1}{2}(AM-GP)$, $DR=\frac{1}{2}(OP-OM)$ 和 $ON=\frac{1}{2}(OP+OM)$ 分別得(10)-(13)。

圖21
圖22

6. 餘論

從托勒密定理, 到帕普斯的幾何命題, 到阿布$\cdot$韋發的和角與差角公式, 再到維納、比爾吉和克拉維斯的積化和差公式以及韋達的和差化積公式, 三角公式的早期歷史表明: 幾何定理乃是三角公式的源泉, 幾何方法是推導三角公式不可或缺的方法。 如果我們接受歷史發生原理, 那麼, 數學歷史就是一面鏡子, 是M $\cdot$ 克萊因所說的"教學之指南"(Albers & Alexanderson, 1985), 因而我們在教材編寫和教學設計上, 就有必要更多地使用幾何方法。

三角公式的早期歷史, 同時也為我們提供了很好的教學材料: 阿布 $\cdot$ 韋發和韋達可能使用過的圖11, 完全可以用於同角三角函數關係式的教學; 托勒密定理可以用於和角與差角公式的教學; 帕普斯的幾何命題則可以用於和角、差角、積化和差、和差化積等公式的教學; 阿布 $\cdot$ 韋發、克拉維斯、韋達等數學家的方法(本人的或我們復原的), 不僅可以被改進成合適的教學素材, 而且也大大開闊了我們的視野, 加深了我們對三角公式的理解。

最後, 我們必須指出, 在韋達以前, 由於天文學家和數學家過於依賴幾何方法, 因而三角公式的發展受到了極大的限制。韋達首次將代數方法引入三角學, 從而最早獲得了一般的 $n$ 倍角公式, 這對於一個僅僅依靠幾何方法的古代數學家而言是難以想像的。 對此, 韋達曾驚歎說: "對於等分角的分析涉及到了迄今無人發現的秘密! " (Cajori, 1926)正是這個秘密的發現, 使韋達得到了解三次方程的新工具, 並成功解出了比利時數學家羅曼努斯(A. Romanus, 1561 $\sim$ 1615)於1593年提出的45次方程。 更讓16世紀以前的數學家無法想像的是, 在18世紀歐拉的《無窮分析引論》中, 三角公式層出不窮, 但已見不到任何幾何的影子, 這大概連韋達也是始料不及的。如果說幾何學是三角學的母體, 那麼代數學則是三角學的翅膀。如果借用晚清數學家華蘅芳(1833 $\sim$ 1902)"傍晚之星"的比喻, 那麼16世紀以前依存于幾何學母體的三角公式仿佛"初見一點, 旋見數點, 又見數十點", 而16世紀以後插上代數學翅膀的三角公式則是"燦然佈滿天空"了。

參考文獻

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---本文作者現任教於上海華東師範大學數學系---