圓是萬形之源, 方是萬體之基。 圓在人們生活中隨處可見。 "最完美的圖形是圓" (意大利詩人但丁 (A. Dante) 語)。 當然, 圓也是人類最早瞭解的幾何圖形之一: 太陽是圓的, 滿月是圓的, 樹木、花草莖的截面也是圓的, ...。
我國古籍「墨子」上已有 "一中同長" 的圓的定義。 對於圓的作法古人也知道: 沒有規矩不成方圓。 「史記」中就有夏禹治水時 "左準繩, 右規矩" 的記載。 漢朝武梁祠造像中已出現規、矩圖案:
人們很早就會計算圓, 然而它的周長與直徑的比今已知是個無限不循環小數, 它被稱為圓周率。
古希臘人認為: 圓周率值是構成萬物的基礎。 由此可看出他們對於圓周率值的崇仰。
算圓, 確切地講算圓周率很早就引起人們的濃厚興趣, 這不僅依其自身計算的艱辛而極富挑戰, 其展開式的數字奧秘也更具魅力。 兩千多年來, 人們在圓周率的研究、計算上走過漫長而又艱難的旅徑。
一. 圓周率計算小史
如今人們知道: 圓周率是一個無理數, 完全精確計算它不可能。 古人起初是給其近似。
我國古算書「周髀算經」中已有 "徑一周三" 的圓周率記載, 人稱 "古率", 西方「聖經」中也有圓周率取此值之說 (「舊約」中「列王記」第七章)。
古代埃及蘭德紙草 (1858年為蘇格人 H. Rhind 收藏而得名)
中給出圓周率的值為
歐幾里得 (Euclid) 幾何的出現, 使得圓周率的計算與正多邊形聯繫起來。
由阿基米德 (Archimedes) 創造的圓內接或外切 (從正六邊形起始)
正多邊形邊數不斷加倍, 來求圓周率近似值的方法 (這在我國稱為 "割圓法")
差不多延續了兩千年光景, 這兒不擬詳述, 概況請見下表中部份資料
| 年 代 | 發 現 (明) 者 | 方 法 及 出 處 | 結 論 |
| 公元前240 | 阿基米德 | 割圓法 (載「圓的度量」) 至正96邊形 | ${223\over 71}$ 與 ${22\over 7}$ 之間值約 3.14 |
| 150 | 托勒玫 (C. Ptolemy) | 割圓法 (載「數學匯編」) | ${377\over 120} \approx 3.1416$ |
| 約480 | 祖沖之 | 割圓法至正$192\sim 3072$邊形 | ${22\over 7}$ (約率)、${355\over 113}$ (密率) |
| 530 | [印] 阿利亞波塔 (Aryabhata) | ${62832\over 20000}=3.1416$ | |
| 1150 | 印] 波什迦羅 (Bh$\overline{\rm a}$skara) | 割圓法至正384邊形 | ${3927\over 1250}=3.1416$ |
| 1579 | [法] 韋達 (F. Viète) | 割圓至正$6\cdot 2^{16}$邊形 | 3.141592654 |
| 1585 | 安索尼措恩 (A. Anthoniozoon) | ${355\over 113}$ | |
| 1593 | [荷] 阿$\cdot$羅芒烏斯 (A. Romanus) | 割圓至正$2^{30}$邊形 | 小數點後15位 |
| 1610 | [德] 魯道夫 (Ludolph van, C.) | 割圓至$2^{62}$邊形 | 小數點後35位 |
| 1630 | 格林貝格 (Grienberger) | 小數點後39位 |
值得一提的是: 魯道夫曾請人將他花費畢生精力算得的 $\pi$ 值刻在他的墓碑上, 人稱 "魯道夫數"。
三角學的出現, 使得人們對於圓周率的計算又多了一種方法 --- 利用反三角函數。
微積分發明後, 又將它與級數聯繫到一起, 從而使得圓周率的計算速度大為提高。 $\pi$
值計算部分公式及結果 (用級數方法) 請看下表
| 年代 | 發 現 (明) 者 | 方 法 及 出 處 | 結 論 |
| 1699 | 夏普 (A. Sharp) | ${\pi\over 4}=1-{1\over 3}+{1\over 5}-\cdots$ | 小數點後71位 |
| 1706 | 馬青 (J. Machin) | ${\pi\over 4}=4$ tg$^{-1} {1\over 5}-$ tg$^{-1}{1\over 239}$ 及上式 | 小數點後100位 |
| 1719 | 朗依 (De Lagny) | ${\pi\over 4}=1-{1\over 3}+{1\over 5}-\cdots$ | 小數點後112位 |
| 1841 | W. Rutherford | ${\pi\over 4}=4$ tg$^{-1} {1\over 5}+$ tg$^{-1}{1\over 70}+$ tg$^{-1} {1\over 99}$ | 小數點後200位 |
| 1853 | 小數點後400位 | ||
| 1873 | 尚可斯 (W. Shanks) | ${\pi\over 4}=4$ tg$^{-1} {1\over 5}-$ tg$^{-1}{1\over 239}$ | 小數點後707位 |
| 1948 | D. F. Ferguson | ${\pi\over 4}=3$ tg$^{-1} {1\over 4}+$ tg$^{-1}{1\over 20}+$ tg$^{-1} {1\over 1985}$ | 小數點後808位 |
表中尚可斯的計算裡第528位有誤, 因而他的正確位數只有527位。 又最後一行是電子計算機問世前, 靠人的手工計算的圓周率最多位數。
電子計算機出現後, 人們在圓周率計算上有了長足進展, 隨著計算機的進步和計算方法的改善, 人們可以在不很長的時間內, 算出過去靠手工根本無法完成的工作, 儘管取 $\pi$ 的40位值就足以使得銀河系周徑的計算精確到一個質子大小。
| 年份 | 計 算 者 | 計 算 機 型 號 | 花費機時 (小時) | 結果數位 (小數點後) |
| 1949 | Aberdeen | ENIAC | -- | 2037 |
| 1959 | F. Genuys | IBM 704 | -- | 16167 |
| 1961 | J. W. Wrench | IBM 7090 | -- | 100265 |
| 1973 | Guillarol | CDC 7600 | -- | $10^7$ |
| 1986 | Bailey | Cray-2 | $2.9\times 10^7$ | |
| 1986 | [日] 金田康正 | HITACHI S-810/20 | 8 | $3.3554\times 10^7$ |
| 1987 | 同上 | NEC s$\times 2$ | 36 | $2^{27}$ (約 $10^8$) |
| 1988 | 同上 | HITACHI s-820 | 6 | $2.01326\times 10^8$ |
| 1989 | 同上 | $5.3687\times 10^8$ | ||
| 1989 | [美] 格戈里 (Gregory) 等 | IBM 3090 | $10.1\times 10^8$ | |
| 1995 | [加] 伯爾溫 (Bulwer) 等 | 56 | $42.9\times 10^8$ | |
| 1997 | [日] 金田康正 | 37 | $515.396\times 10^8$ | |
| 1999 | 同上 | HITACHI SR8000 | 37 | $2061.5843\times 10^8$ |
| 2002 | 同上 | HITACHISR8000/MPP | 601 | $12411\times 10^8$ |
二. 圓周率的計算公式、方法
前文已述, 圓周率是一個無限不循環小數, 故無法求其精確值, 因而表示起來多有不便。
第一個想到用字母表示它的是英國人奧托蘭特 (W. Oughtred)。 1737年他率先用 ${\pi\over \delta}$ 表示圓周率 ($\pi$ 是希臘文圓周的第一個字母, $\delta$ 是直徑的第一個字母)。
據傳此前 (1706年) 英國人瓊斯 (W. Jones) 已率先用 $\pi$ 表示圓周率了, 而後經歐拉 (L. Euler) 竭力倡舉使得用 $\pi$表示圓周率得以廣泛流行、且沿至今日。
如前所述, 我們已大體知道 $\pi$ 的計算方法有三種:
這裡值得一提的是: 1800年普伐夫 (J. F. Pfaff) 發現, 圓外切與內接正 $n$ 邊形邊數翻倍時, 它們的邊有著整齊的關係, 如若記 $a_n$、 $b_n$ 分別為圓外切與內接正 $n$ 邊形邊長, 則邊數翻倍時有: $$a_{2n}={2a_nb_n\over a_n+b_n},\quad b_{2n}=\sqrt{a_na_{2n}}.$$
此公式對於割圓法計算 $\pi$ 來講是重要和方便的。
(2) 微積分中的級數展開 $$\hbox{如}\tan^{-1}x=\int_0^x {dt\over 1+t^2}=x-{x^3\over 3} +{x^5\over 5}-{x^7\over 7}+\cdots\quad \hbox{(取 $x=1$)}\quad $$
如拉瑪奴揚 (S. A. Ramanujan) 公式 $${1\over \pi}={\sqrt{8}\over 9801}\sum_{n=0}^\infty {(4n)!\over (n!)^4} \cdot {(1103+26390n)\over 396^{4n}}.$$
當然還有一些其他非傳統方法, 稍後我們簡單敘及。 下面稍詳開列上述方法中 $\pi$ 的幾種級數展式結果, 至於割圓法這兒不再囉嗦。
$\pi$ 的 幾 個 級 數 表 達 式
| 年代 | 發 現 者 | $\pi$ 的 表 達 式 |
| 1579 | 韋達 (F. Viète) | ${2\over \pi}=$ ${\sqrt{2}\over 2}\cdot {\sqrt{2+\sqrt{2}} \over 2}\cdot {\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}\over 2}\cdots$ |
| 1650 | 瓦里士 (J. Wallis) | ${\pi\over 2}={2\cdot 2\cdot 4\cdot 4\cdot 6\cdot 6\cdot 8\cdot\cdots\over 1\cdot 3\cdot 3\cdot 5\cdot 5\cdot 7\cdot 7\cdot\cdots}$ |
| 1650 | 布魯斯凱爾 (L. Brouncker) | ${4\over \pi}=1+{1^2\over 2+{3^2\over 2+ {5^2\over 2+\cdots}}}$ |
| 1671 | 格列高里 (J. Gregry) | ${\pi\over 4}=1-{1\over 3}+{1\over 5}-{1\over 7} +\cdots$ |
| 1699 | 沙普 (A. Sharp) | ${\pi\over 6}={1\over \sqrt{3}}(1-{1\over 3\cdot 3} +{1\over 5\cdot 3^2}-{1\over 7\cdot 3^3}+\cdots)$ |
| 1676 | 牛頓 (I. Newton) | ${\pi\over 3}=1+{1\over 4\cdot 3!}+{1\cdot 3^2\over 4^2\cdot 5!}+{1\cdot 3^2\cdot 5^2\over 4^3\cdot 7!}+\cdots$ |
| 1706 | 馬青 (J. Machin) | ${\pi\over 4}=4({1\over 5}\!-\!{1\over 3\cdot 5^2}\!+\! {1\over 5\cdot 5^3}\!-\!\cdots)\!-\!({1\over 239}\!-\!{1\over 3\cdot 239^2} \!+\!{1\over 5\cdot 239^3}\!-\!\cdots)$ |
| 1735 | 歐拉 | ${\pi^4\over 90}=1+{1\over 2^4}+{1\over 3^4}+{1\over 4^4}+\cdots$
${\pi^2\over 6}=1+{1\over 2^2}+{1\over 3^2}+{1\over 4^2}+\cdots$ $\cdots\cdots\cdots\cdots$ |
表中的馬青公式還可以依 ${\pi\over 4}$ 的反正切表達式不同而得到不同的級數表達式;
而歐拉的表達式則是他通過大膽類比而猜測的 (後人已給出證明)
順便講一句, 歐拉由於對該式的猜測還悟及到: $$\zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty {1\over n^s}=\prod_{\hbox{ p 遍歷質數}} (1-{1\over p^s})^{-1}\quad (s\gt 1)$$
進而黎曼 (C. F. B. Rimann) 引入了 $\zeta(z)=\sum_{n=1}^\infty {1\over n^z}$ ($z$ 是複數) 即 Rimann 函數且提出了著名的猜想 (若有機會我們另文介詔)。
這些級數已幫助人們大大地加快了 $\pi$ 的計算速度。 隨著計算機運速度的提高, 人們也希望有更好的算法與之配套, 利用某些特殊函數可以做到這一點, 比如拉瑪奴揚的橢圓函數公式, 他是在1914年的文章 "模方程和 $\pi$ 的逼近" 文中給出的, 即我們前文提到過的公式: $${1\over \pi}={\sqrt{8}\over 9801} \sum_{n=0}^\infty {(4n)!\over (n!)^4} \cdot {(1103+26390n)\over 396^{4n}}.$$
1985年戈斯佩爾 (Gosper) 利用上述公式編出程序將 $\pi$ 算至小數點後1700萬位。
當然, $\pi$ 有時也可展開成另外某些連分數形式, 比如 (為的是下面的應用): $$\pi=3+{1\over 7} \begin{array}{c}\ \\[-14pt] + \end{array} {1\over 15} \begin{array}{c}\ \\[-14pt] + \end{array} {1\over 1} \begin{array}{c}\ \\[-14pt] + \end{array} {1\over 292} \begin{array}{c}\ \\[-14pt] + \end{array} {1\over 1} \begin{array}{c}\ \\[-14pt] + \end{array} {1\over 1} \begin{array}{c}\ \\[-14pt] + \end{array} \cdots$$ 它的漸近分數依次為, $${3\over 1},\ {22\over 7},\ {333\over 106},\ {355\over 113},\ {103993\over 33102},\ {104348\over 33215},\ldots$$
(請注意 ${22\over 7}$, ${355\over 113}$ 的最佳漸近性, 它們分別稱"約率"和"密率"自有道理)
在電子計算機發明以前, 計算 $\pi$ 值是一項十分艱辛的工作, 因而人們還試圖尋找計算 $\pi$ 的其他途徑 (看上去似乎 "離經背道", 其實則是另闢蹊徑, 哪怕只是近似計算), 我們僅舉幾類以示代表。
1. 布豐 (G. L. L. Buffon) 投針法 (蒙特卡羅法)
18世紀末法國數學家布豐對概率論在博奕遊戲中的應用感興趣, 於1777年提出 (他是在1773年發現的) 隨機投針的機 (概) 率與 $\pi$ 之間的關係 (以題為 "或然性的算術嚐試" 發表):
平面上作距離為 $2a$ 的一組平行線, 然後隨機地向上面擲一顆長度為 $2l$ 的針 (或細鐵絲)。 針落下後有兩種情形發生: 或著針與平行線中的某條相交, 或者與任何平行線皆不相交。
記下投針總次數 $N$ 與針和平行線相交的次數 $n$, 則 $\pi\approx {2lN\over an}$。
它的道理我們簡述如下:
設針長為 $2l$, 且 $M$ 為其中點, 又 $y$ 為 $M$ 至其最近平行線的距離, 且 $\varphi$ 為針與平行線的夾角。 這樣: $$0\le y\le a,\quad 0\le \varphi\le\pi.$$
顯然, 針與平行線相交 $\Longleftrightarrow y\le l\sin \varphi$。
這樣, 針與平行線相交的概率 \begin{eqnarray*} p&=&{1\over \pi a}\int_0^\pi d\varphi \int_0^{l\sin \varphi} dy\\ &=&{1\over \pi a}\int_0^\pi l\sin \varphi d\varphi\\ &=&{2l\over \pi a}. \end{eqnarray*}
由於 $\pi={2l\over ap}={2l\over a}\cdot {1\over p}$, 又 $p\approx {n\over N}$, 則 $\pi\approx {2l\over a}\cdot {N\over n}$。
下表給出歷史上四人通過投針得到 $\pi$ 的近似值情況:
| 年份 | 試驗者 | $a$ | $l$ | $N$ | $n$ | $\pi$ 值 |
| 1853 | Wolf | 45 | 36 | 5000 | 2532 | 3.1596 |
| 1855 | Smith | -- | -- | 3204 | 1015 | 3.1535 |
| 1894 | Fox | -- | -- | 1121 | 357 | 3.1419 |
| 1911 | Lazzarini | 3 | 25 | 3408 | 1808 | 3.1415929 |
順便一提: 此方法後來發展成為一種風格獨具的數值計算方法---Monte Carlo 法 (又稱隨機試驗法), 它既能求解確定型問題, 又能求解隨機型問題。 隨著電子計算機的進步, 該方法在計算數學中的地位越來越重要。 至於投針終止次數 $N$ 的選擇, 勢必影響著 $\pi$ 值的精度, 由此引發一門新的學科分支 --- 最優停止論的出現。
為了近似計算 $\pi$ 的值, 高斯 (C. F. Gauss) 創造了格點法: 在半徑為 $r$ 的圓中數出其中所含的格點數 $f(r)$, 這裡圓心位於某一格點處, $r$ 為一整數, 從面積關係可以推得 $\pi$ 值滿足 $f(r)\approx \pi r^2$。 比如我們若得到下表數據 (這兒以格點右下角位於圓內算):
| $r$ | 10 | 20 | 30 | 100 | 200 | 300 | $\cdots$ |
| $f(r)$ | 317 | 1257 | 2821 | 31417 | 125629 | 282697 | $\cdots$ |
因高斯推得 $|{f(r)\over r^2}-\pi|\lt {4\sqrt{2}\pi \over r}$, 故 $\lim_{r\to\infty}|{f(r)\over r^2}-\pi|=0$, 即 $\lim_{r\to\infty} {f(r)\over r^2}=\pi$。
故由上表數據我們可有下面諸個 $\pi$ 的近似值
| $r$ | 10 | 20 | 30 | 100 | 200 | 300 | $\cdots$ |
| ${f(r)\over r^2}\approx \pi$ | 3.17 | 3.1425 | 3.134 | 3.1417 | 3.140725 | 3.14107 | $\cdots$ |
上表最後一數已精確至 $\pi$ 的小數點後第3位。
3. 由星際分佈觀測推算 $\pi$
1995年英國「自然」雜誌4月號上刊載了伯明翰阿斯頓大學計算機科學和應用數學系的羅伯特 $\!\cdot$馬修斯 (R. Matthews) 提出利用夜空中亮星分佈的觀測推算 $\pi$ 的值。 其理論基礎是: 任取兩個自然數, 其互質的概率是 ${6\over \pi^2}$。
他挑選了夜空中100個最亮的星, 然後分別計算每對之間的角距。 他檢查了其中100萬對因子, 從中獲得的 $\pi$ 值約為3.12772, 其誤差沒有超過0.005。
當然人們還可以用許多其他方法計算 $\pi$ 值, 比如利用 Euler 函數 $\varphi(n)$ (小於 $n$ 且與 $n$ 互質的整數個數) 等, 這兒不再贅述 (看上去似乎是捨近求遠, 然而不失為一種方法)。
三. ${\pi}$ 的數字特徵
圓周率值 $\pi$ 是一個奇妙的數字,
特別是當人們借用電子計算機將它的值算至成百上千億位後, 更是從中發現了許多奧妙。
先來看個小例子
$\pi$ 的前六位數字3.14159...中, 314159本身是一個質數, 不僅如此, 請注意:
$31+41+59=131$ 是一個質數;
$31^2+41^2+59^2=304091$ 也是一個質數;
314159的逆序數951413還是一個質數。
我們再來看看 $\pi$ 中的其他數字現象。
首先看重覆數字的出現的情況: $\pi$ 的小數點後710150位後連續出現七個3, 而在3204765位後又連續出現七個3。
從24658601位開始連續出現九個7, 此外還有連續出現九個8、九個9等數字現象。
在 $\pi$ 的小數點後 995998 位開始出現數字 23456789 這種除1之外的全部數碼的有序排列; 而在 2747956 位起出現 876543210 這種數碼的倒序; 同時在 26160634 位開始出現 2109876543, 它恰好是十個數碼的有序排列 (稍有打亂)。
在 $\pi$ 的小數點後一千萬位中, 數碼314159至少出現6次; 3141592出現5次; 31415926只出現兩次。
從3開始 $\pi$ 的連續數字中至某一位恰好是質數的, 人們至少發現4個, 它們分別是: 3、 31、 314159 和 31415926535897932384626433832795028841。
反序中的質數則更多 (從3至某數位全部數字的反序) 比如: 3、 13、 51413、 951413、 2951413、 53562951413、...
從52638位起連續出現14142135這八個數字, 它恰好是 $\sqrt{2}$ 的前八位數字。
又 $\pi$ 的小數點後一、三、七位數字和分別是: $$1,\ 6(=1+4+1),\ 28(=1+4+1+5+9+2+6),$$ 它們恰好是三個完全數 (你還可以看到: $1=1$, $6=1+2+3$, $28=1+2+3+\cdots+7$, 即它們都是三角形數)。
美國人哈肯 (W. Haken) 曾猜測 (至今未獲證):
$\pi$ 的前 $n$ 位數字組成的數: 3、 31、 314、 3141、 31415、... 中不會有完全平方數。
此外, 對於 $\pi$ 的展式中十個數碼出現的多寡等問題, 法國人讓$\cdot$蓋尤 (M. J. Guilloud) 統計了 $\pi$ 的前100萬位數字中十個數碼出現的頻率, 得出的結論是大致相同 (見表):
| 數 碼 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| 出現次數與平均值的差異 | -41 | -242 | +26 | +229 | +230 | +259 | -452 | -200 | -15 | +106 |
這個問題又稱數字正則問題
然而這一點人們尚不詳 (由此它影響 $\pi$ 的展開數字能否當作為隨機數使用)。
對於 $\pi$ 中數字也還可從趣味角度去探索, 比如有人研究了 $\pi$
的前32位數字出現的有趣數字現象
仔細觀察可以發現: 此32個數字中有兩個26, 以第二個26為中心前後有三對對稱數字: 79、 32、 38分佈其兩旁; 且其前後兩個兩位數之和為89, 它恰好是32個數字中前13個數字中的末兩個組成的數。
前13個數字以26為中心, 前後五數總和為50, 它恰好為此32個數字中末兩位數字組成的兩位數50對應。
此外前面所述三對數79、 32、 38的諸數字和恰好為32。 類似的問題不多講了。
四. ${\pi}$ 與 ${e}$ 及其他
$\pi$ 在數學乃至整個自然科學中, 皆有重要應用, 人們在研究、計算、應用的同時, 也順便發現了它的某些有趣特性以及它與其它重要常數間的關聯。
用0、 1、 2、...、 8、 9這十個數字 (每個皆要用, 且僅用一次) 組成一個分式去表示 $\pi$ 值, 其中近似程度最高的是: $${97468\over 31025}=3.1415954875...$$ 它的精度已達小數點後5位 (當然還有其他表達式, 如 ${37869\over 12054}$、 ${76591\over 24380}$、....、但精確度不如上式)。
一位美國名叫舒伯特 (G. Shombert) 的學者認為: 在 $\pi$ 的展開式中必然會出現自然對數底 $e=2.718...$ 的前 $n$ 位數字, 且與3.141...交替出現, 即有 $$3.141\cdots2718\cdots 3141\cdots 2718\cdots$$
然而這只是猜測而已。 可加拿大渥太華的一位化學家杜格伯格 (R. G. Dugglebg) 發現: $$\pi^4+\pi^5\approx e^6,$$
請注意 $\pi^4+\pi^5\approx 403.42877...$, 而 $e^6\approx 403.42879...$, 它們之間相差不到0.00005。 當然它們之間更縝細的關係早在兩百多年前已由歐拉給出: $$e^{i\pi}+1=0\quad \hbox{或}\quad e^{i\pi}=-1.$$
此外也有人從 $\pi$ 和 $e$ 的展式中尋找數字規律, 且發現: 它們在第13、 17、 18、 21、 34、...等數位上的數碼相同:
他甚至猜測: $\pi$ 和 $e$ 展式數碼平均每10位將會有一次重迭。
這一猜想至今尚未獲證
$\pi$ 的奇特的數字現象及它與某些數學結論的聯繫, 有些事出偶然,
有些則蘊含著極為深刻的數學背景, 或許目前我們還不曾認識 (其實公式 $e^{i\pi}+1=0$
已對上述現象作了詮釋, 只是人們尚未完全 "解讀" 它), 這一點亦可見
比如, 1800年德國數學家高斯發現: 若記 $R(z)$ 為自然數 $z$ 表成兩整數平方和的方式數, 則 $\lim_{z\to\infty} {R(z)\over z}=\pi$。 此即說: 從平均意義上講, 非負整數表成兩整數平方和的方法 (種類) 數的數學期望值是 $\pi$。 這裡面奧秘人們尚不知曉。
數學公式中與 $\pi$ 有關的比比皆是, 比如:
計算階乘估計的斯特林 (Stirling) 公式: $n!\sim \sqrt{2n\pi} ({n\over e})^n$, 概率中計算正態分佈的概率公式: $P(x)={1\over \sqrt{2\pi}} \int_x^\infty e^{-{t^2\over 2}}dt$ 等等。
五. $\pi$ 的超越性
人們很早就認識到 $\pi$ 的十進制小數展開式無限且不循環性, 然而真的確切證明這一點卻是晚近的事情 (其實, 這一點亦可從割圓方法求圓周率中看出)。
1771年萊伯特 (Lambert) 第一個給出 $\pi$ 的無理性的嚴格證明。
而後法國數學家勒讓德 (A. M. Legenolre) 在考慮無理數分類時, 率先提出超越數概念。
1844年, 柳維爾 (J. Liouville) 指出: 代數無理數不能用有理數 "很好地" 逼近, 也隱約地指出了超越數的存在。 他證明了 (這是 Roth 於1995年改進的結論):
若 $\alpha$ 是代數無理數, 則對於任意固定的 $k\gt 2$, 不等式 $|\alpha-{p\over q}| \lt q^{-k}$ 只有有限個有理數解 ${p\over q}$, 其中 $q\gt 0$, 且 $p$, $q$ 互質。
其實當康托 (G. Cantor) 證明了代數數 "可數" 時, 已確定超越數存在, 且知超越比代數數 "多得多"。
1873年厄爾米特 (C. Hermite) 證明了 $e$ 的超越性。
1882年林德曼 (C. L. F. Lindemann) 證明了 $\pi$ 的超越性
這一點亦可在證得 $e$ 的超越性後簡單說明說明如次。 首先我們可以證明: 若 $x_1$, $x_2,\ldots$, $x_n$ 是不同的代數數 (實或複的), 又 $p_1$, $p_2,\ldots,p_n$ 是不全為零的代數數, 則 $$p_1e^{x_1}+p_2e^{x_2}+\cdots+p_ne^{x_n}\not= 0,$$
今取 $n=2$, $p_1=1$, $x_2=0$, 有 $e^{x_1}+p_2\not= 0$。 故知當 $x_1$ 是非零代數數時, $e^{x_1}$ 不是代數數 (顯然 $x_1=1$ 時, $e^1=e$ 不是代數數)。
又由 Euler 公式 $e^{i\pi}=-1$, 即 $e^{i\pi}+1=0,$ 知 $e^{i\pi}$ 是代數數 (值為 $-1$)。 而由上 $x_1$ 是非零代數數時, $e^{x_1}$ 不是代數數, 從而 $i\pi$ 不是代數數 (且非零)。
又 $i$ 是代數數, $\pi$ 則不是代數數, 否則它們的積是代數數。 從而 $\pi$ 是超越數。
由於 $\pi$ 的超越性證明, 使得尺規作圖三大難題之一, "化圓為方" 問題得以否定解決。
由上我們已經看出: 由計算圓周率而引發的 $\pi$ 的計算、研究等問題, 已不單單是幾何計算的課題, 它牽動著數學的許多分支與學科, 比如函數論、計算方法、計算機科學、天體物理學等的研究, $\pi$ 的涵義早已遠遠超越了它自身! "圓周率值是構成萬物的基礎" 也許並不誇張!
參考文獻
---本文作者吳振奎任教於中國天津商學院---