I. 柯西積分公式 (Cauchy integral formula)
在大學的單複變課程裡, 通常我們說在複平面 $\Bbb{C}$ 上, 一個定義在域 $D$ (domain) 的 $C^1$ 函數 $f(z)=u(z)+iv(z)$, $z=x+iy$, 是解析函數 (holomorphic function), 假如 $f$ 滿足所謂的柯西--黎曼方程 (Cauchy-Riemann equation) 如下: \begin{equation}%1.1 {\partial u\over \partial x}={\partial v\over\partial y},\quad {\partial u\over \partial y}=-{\partial v\over \partial x},\quad \forall z\in D. \end{equation} 由此, 我們就可以得到許多關於 $f$ 的很好性質。 單複變分析的發展, 亦於焉開始。
為了方便起見, 我們引進如下之一階偏微分算子 (first order partial differential operator): \begin{equation}%1.2 {\partial\over \partial\overline z}={1\over 2}\bigg({\partial\over\partial x}+i{\partial\over\partial y}\bigg).\end{equation} 經由直接的運算, 我們得到 $$ {\partial f\over\partial\overline z}={1\over 2}\bigg({\partial u\over\partial x}-{\partial v\over\partial y}\bigg)+{i\over 2}\bigg({\partial u\over\partial y}+{\partial v\over\partial x}\bigg). $$ 換句話說, 一個 $C^1$ 函數 $f$ 是解析函數, 亦即 $f$ 滿足 (1.1) 的充分且必要條件為 \begin{equation} {\partial f\over\partial\overline z}=0. \end{equation} 從這樣的一個觀點來看, 我們可以發現在單複變分析的領域裡, 最主要的一個課題其實就是在了解 $\overline{\partial}$--方程 (1.3) 的解的行為; 也就是說, 給定一個函數 $g$, 我們如何去得到及研究一個解 $f$ 使得 \begin{equation}%1.4 {\partial f\over\partial\overline z}=g. \end{equation} 當 $g\equiv 0$ 時, 此時的解就是所謂的解析函數。 所以接著我們就要先來看看如何解 $\overline{\partial}$--方程 (1.4)。 在此之前, 我們可以利用 (1.2) 中所引進的算子, 經由一個基底的轉換, 把任何 $C^1$ 函數 $f$ 的 1--形式 (1-form) 做如下的改寫 $$df={\partial f\over\partial x}dx+{\partial f\over\partial y}dy ={\partial f\over\partial z}dz+{\partial f\over\partial \overline z}d\overline z.$$ 這裡 ${\partial\over\partial z}={1\over 2}({\partial\over\partial x}-i{\partial\over \partial y})$, $dz=dx+idy$。 由此, 亦可看出一個函數 $f$ 是解析函數的充分且必要條件就是 $f$ 的 1--形式 $df$ 是由 $dz$ 所生成的。 現在, 我們開始證明柯西積分公式。
定理 1.5:
假設 $D$ 是 $\Bbb{C}$ 上一個具有 $C^1$ 邊界的有界域 (bounded domain)。 則對於任何一個 $g\in C^1(\overline D)$ 的函數, 我們有如下的表現 \begin{equation} g(z)={1\over 2\pi i}\bigg(\int\limits_{bD}{g_{(\zeta)}\over\zeta-z}d\zeta+\iint_{D}{{\partial g\over\partial\overline\zeta}\over\zeta-z}d\zeta\wedge d{\overline \zeta}\bigg), \end{equation} 其中 $z$ 為 $D$ 上之任意點。
證明:
這個定理的證明主要是 Stokes 定理的一個簡單應用。 對於任何一點 $z\in D$, 我們考慮一個挖掉以 $z$ 為圓心, 半徑為一很小正數 $\varepsilon$ 的域 $D_\varepsilon=D\backslash\overline{B}(z;\varepsilon)$, 其中 ${B}(z;\varepsilon)=\{\zeta\in\Bbb{C}\Big|~|\zeta-z|\lt \varepsilon\}$。 利用 Stokes 定理, 可以把邊界 $bD_{\varepsilon}$ 上的線積分轉換成 $D_{\varepsilon}$ 上的積分, 而得到 $$ \int\limits_{bD}{g(\zeta)\over\zeta-z}d\zeta-\int\limits_{bB_\varepsilon}{g(\zeta)\over\zeta- z } d\zeta=\int\limits_{bD_{\varepsilon}}{g(\zeta)\over\zeta-z} d\zeta =\iint_{D_\varepsilon}d\bigg({g(\zeta)\over\zeta-z}d\zeta \bigg) =\iint_{D_\varepsilon}{{\partial g\over\partial\overline\zeta}\over\zeta-z}d\overline\zeta\wedge d\zeta.$$ 當 $\varepsilon\rightarrow 0$ 時, 不難看出每一項都會收斂。 因此 (1.6) 就得證。
由定理 1.5 可以很快的得到一個簡單推論, 就是如果 $g$ 是 $D$ 上的一個解析函數, 則函數 $g$ 就可由 $g$ 的邊界值對柯西核 (Cauchy kernel), ${1\over 2\pi i}\cdot{1\over\zeta-z}$, 在邊界上積分而得到。 這樣也間接地說明了解析函數是可以由冪級數 (power series) 來表現的。
以下我們將假設 $D$ 是 $\Bbb{C}$ 上的一個有界域, 同時具有 $C^1$ 邊界和連通的 (connected) 補集 $\Bbb{C}\backslash D$。 對於任意 $f\in C^k(\overline D)$, $k\in\Bbb{N}$, 我們定義 \begin{equation}%1.7 u(z)={1\over 2\pi i}\iint_D{f(\zeta)\over\zeta-z}d\zeta \wedge d{\overline\zeta },\quad\forall z\in\Bbb{C}. \end{equation}
下面的定理說明由 (1.7) 所定義出來的函數 $u(z)$ 就可以用來解 ${\overline\partial}$--方程 (1.4)。
定理 1.8:
$D$ 為 $\Bbb{C}$ 上一個有界域如上所述。 假設 $f\in C^k(\overline D)$, $k\in\Bbb{N}$, 並且定義 $u(z)$ 如 (1.7), 則我們有
- (i) $u\in C^k(D)$ 且在 $D$ 上 ${\partial u\over\partial\overline z}=f$,
- (ii) $u$ 的支集 (support) 包含於 $\overline {D}$ 的充分且必要條件為 \begin{equation} \iint_{D} f(\zeta)\zeta^m d\zeta\wedge d{\overline \zeta}=0,\quad\forall m\in\{0\}\cup\Bbb{N}. \end{equation}
證明:
在 (i) 的證明中, 我們先假設 $f\in C_0^k(\Bbb{C})$, 則 \begin{eqnarray*} u(z)&=&{1\over 2\pi i}\iint_{\Bbb{C}}{f(\zeta)\over\zeta-z}d\zeta\wedge d{\overline \zeta}\\ &=&{1\over 2\pi i}\iint_{\Bbb{C}}{f(\eta+z)\over\eta}d \eta \wedge d{\overline \eta}.\end{eqnarray*} 由此, 可以容易看出 $u\in C^k(\Bbb{C})$。 此時, 如果我們選一條封閉的 $C^1$ 路徑 $\Gamma$ 使得其內部 $D$ 包含 $f$ 的支集, 則利用定理 1.5, 當 $z\in D$ 時, 我們可以得到 \begin{eqnarray*} {\partial u\over\partial\overline z }&=&{1\over 2\pi i}\iint_{\Bbb{C}} {{\partial f\over\partial{\overline\eta}}(\eta+z)\over\eta}d \eta\wedge d{\overline \eta}\\ &=&{1\over 2\pi i}\iint_{\Bbb{C}}{{\partial f\over\partial\overline\zeta}\over\zeta-z}d \zeta\wedge d{\overline \zeta}\\ &=&{1\over 2\pi i}\bigg(\int\limits_{D}{f(\zeta)\over\zeta-z}d \zeta+\iint_{D}{{\partial f\over\partial\overline\zeta}(\zeta)\over\zeta-z}d \zeta\wedge d{\overline \zeta}\bigg)\\ &=&f(z). \end{eqnarray*} 這樣就得到 (i) 在此特殊情形下的證明。 對於一般的情形, 我們選取一個無窮平滑 (smooth) 的切割函數 $\chi$ (cut-off function) 使得 $\chi\in C^\infty_0(D)$ 且 $\chi\equiv 1$ 在 $z$ 的一個很小的開鄰域 $U$ (open neighborhood) 上, 所以 \begin{eqnarray*} u(z)&=&{1\over 2\pi i}\iint_{D}{f(\zeta)\over\zeta-z}d \zeta\wedge d{\overline \zeta}\\ &=&{1\over 2\pi i}\iint_{D}{(\chi f)(\zeta)\over\zeta-z}d \zeta\wedge d{\overline \zeta}+{1\over 2\pi i}\iint_{D}{((1-\chi)f)(\zeta)\over\zeta-z}d \zeta\wedge d{\overline \zeta}\\ &=&u_1(z)+u_2(z). \end{eqnarray*} 很容易地可以看出 $u_2$ 為 $U$ 上之一解析函數, 而 $u_1$ 可以上面的方式來討論, 因而, 當 $z\in U$ 時, $$ {\partial u\over\partial\overline z}(z)={\partial u_1\over\partial\overline z}(z)+{\partial u_2\over \partial\overline z}(z)=(\chi f)(z)+0=f(z). $$ (i) 的證明就全部完成。
至於 (ii) 的證明, 首先我們注意到 $u$ 在 $\Bbb{C}$ 上是連續的, 並且在 $\Bbb{C}\backslash\overline {D}$ 上為解析的。 因此, 如果 (1.9) 式成立的話, 當 $|z|\gt |\zeta|$ 對於所有 $\zeta\in\overline {D}$ 都對時, 我們有 \begin{eqnarray*} u(z)&=&{1\over 2\pi i}\iint_{D}{f(\zeta)\over\zeta-z}d \zeta\wedge d{\overline \zeta}\\ &=&{-1\over 2\pi i}\sum_{m=0}^\infty\bigg(\iint_{D}f(\zeta)\zeta^m d \zeta\wedge d\overline{\zeta}\bigg)z^{-m-1}\\ &=&0. \end{eqnarray*} 所以由解析函數的恆等定理 (identity theorem), 當 $z\in\Bbb{C}\backslash\overline {D}$, 我們得到 $u(z)\equiv 0$。
反過來說, 假如 $u$ 的支集包含於 $\overline {D}$, 則由上面的討論亦很容易推得 (1.9) 式必須要成立。 定理 1.8 的證明即告完成。
定理 1.8 很清楚的指出, 一般而言, 在 $\Bbb{C}$ 上對於 $\overline\partial$--方程 (1.4), 我們是無法得到一個解 $u$ 使得它的支集是緊緻的 (compact)。 在第二、三節裡, 我們將利用單複變上的柯西積分公式, 來探討多複變 (several complex variables) 上的一些基本問題。
II. Hartogs 延拓定理 (Hartogs extension theorem)
現在我們讓 $D$ 是多元複變空間 $\Bbb{C}^n$, $n\ge 2$, 上的一個域, $D$ 上的點記為 $z\!=\!(z_1,\ldots,z_n)$, $z_j=x_j+iy_j$, $1\le j\le n$。 我們說 $D$ 上一個 $C^1$ 函數 $f(z)$ 為解析函數, 如果 $f(z)$ 對每一個變數都是解析的, 亦即, $f$ 滿足下面的方程式 \begin{equation}%2.1 {\partial f\over\partial\overline z_j}=0,\quad 1\le j\le n. \end{equation} 這裡 ${\partial\over\partial\overline z_j}={1\over 2}({\partial\over \partial x_j}+i{\partial\over\partial y_j})$。 $D$ 上所有解析函數所形成的函數空間, 我們將之記為 $O(D)$。
因此, 在多複變分析領域裡, 很自然地, 我們就必須考慮下面的 $\overline\partial$--方程組, 稱為柯西--黎曼方程; 也就是說, 給定函數 $f_1,\ldots,f_n$, 我們要找一個函數解 $u$ 使得 \begin{equation}%2.2 {\partial u\over\partial\overline z_j}=f_j,\quad 1\le j\le n. \end{equation} 當 $f_j\equiv 0$ 時, $1\le j\le n$, (2.2) 的解就是所有的解析函數。 由於 $n\gt 1$, 這樣的方程組顯然是過度確定的 (overdetermined)。 所以, 在一般的情形下, (2.2) 顯然是無解的, 除非先前給定的函數 $f_j$ 滿足某些特定的必要條件。 如果在 $D$ 上存在一個 $C^2$ 的解 $u$ 滿足 (2.2), 則馬上可以得到 \begin{equation}%2.3 {\partial f_k\over\partial\overline z_j}={\partial f_j\over\partial\overline z_k},\quad 1\le j,~k\le n. \end{equation} 因此, (2.3) 是我們解 $\overline\partial$--方程 (2.2) 的一個必要條件。 下面的定理說明, 事實上, (2.3) 也是解 (2.2) 的一個充分條件。 但更值得注意的是, 在 $n\gt 1$ 時, 若 $f_j$ 有緊緻支集, 則我們也可以得到一個具有緊緻支集的解 $u$。
定理 2.4:
假設 $f_j\in C_0^k(\Bbb{C}^n)$, $n\ge 2$, $k\in\Bbb{N}$, $1\le j\le n$ 且 $f_j$ 滿足條件 (2.3)。 則存在一個函數 $u\in C_0^k(\Bbb{C}^n)$ 滿足 (2.2)。 同時, $u$ 在 $\Bbb{C}^n\backslash(\cup_j~{\rm supp}~f_j)$ 的無界分支域 (unbounded component) 上恆為零。 這裡 ${\rm supp}\ f_j$ 記為 $f_j$ 的支集。
證明:
利用在第一節中 (1.7) 所得到關於 $\overline\partial$--方程 (1.4) 的解, 我們定義 \begin{eqnarray*} u(z)&=&{1\over 2\pi i}\iint_{\Bbb{C}}{f_1(\zeta,z_2,\ldots,z_n)\over\zeta-z_1}d \zeta\wedge d\overline{\zeta}\\ &=&{1\over 2\pi i}\iint_{\Bbb{C}}{f_1(\eta+z_1,z_2,\ldots,z_n)\over\eta}d \zeta\wedge d\overline{\zeta}. \end{eqnarray*} 因此, 很容易得到 $u\in C^k(\Bbb{C}^n)$。 接著由定理 1.8, 我們首先有 $${\partial u\over\partial\overline z_1}=f_1.$$
至於 $j\gt 1$ 時, 則利用條件 (2.3), 亦可證得 \begin{eqnarray*} {\partial u\over\partial\overline z_j}&=&{1\over 2\pi i}\iint_{\Bbb{C}}{{\partial f_1\over\partial\overline z_j}(\zeta,z_2,\ldots,z_n)\over\zeta-z_1}d \zeta\wedge d\overline{\zeta}\\ &=&{1\over 2\pi i}\iint_{\Bbb{C}}{{\partial f_j\over\partial\overline\zeta}(\zeta,z_2,\ldots,z_n)\over\zeta-z_1} d \zeta\wedge d\overline{\zeta}\\ &=&f_j. \end{eqnarray*} 所以, $u$ 滿足 $\overline\partial$--方程 (2.2)。 另外由 $u$ 的定義我們也知道 $u$ 在 $\Bbb{C}^n\backslash(\cup_j~{\rm supp}~f_j)$ 的無界分支域上為解析的。 更進一步, 當 $|z_2|+\cdots+|z_n|$ 很大時, 因為 $f_j\equiv 0$, $1\le j\le n$, 我們得到 $u(z)\equiv 0$。 是以根據解析函數的恆等定理, $u(z)\equiv 0$ 在 $\Bbb{C}^n\backslash(\cup_j~{\rm supp}~f_j)$ 的無界分支域上。 定理 2.4 也因此得證。
有了定理 2.4 之後, 我們回過頭來看多複變裡所謂的 Hartogs 延拓定理。 首先, 我們檢視複平面 $\Bbb{C}$ 上的一個亞純函數 (meromorphic function) $f(z)={1\over z}$。 這個函數在零點有一個一階的極點 (pole), 也因此 $f$ 是無法解析延拓 (holomorphic continuation) 到整個複平面。 然而, 很奇特地, 在多複變裡如此的現象, 並不復存在。 大致上說, 在多複變裡, 假如有一函數在一緊緻集的外圍是解析的, 那麼它一定可以解析延拓到這整個緊緻集上。 底下我們就證明這樣子的一個結果。
定理 2.5 (Hartogs 延拓定理):
假設 $D$ 是 $\Bbb{C}^n$, $n\ge 2$, 中的一個有界域, 同時 $K$ 是 $D$ 上的一個緊緻子集使得 $D\backslash K$ 為連通的。 則任意一個定義在 $D\backslash K$ 上的解析函數, 都可以解析延拓到整個 $D$ 上。
證明:
首先我們選一個切割函數 $\chi\in C_0^\infty(D)$ 使得 $\chi\equiv 1$ 在 $K$ 的一個開鄰域上。 如果 $g\in O(D\backslash K)$, 則很容易可以看出 $f_j=-g{\partial \chi\over\partial\overline z_j}$, $1\le j\le n$, 滿足條件 (2.3) 且具有緊緻支集。 所以, 根據定理 2.4, 存在一個函數 $u\in C_0^\infty(\Bbb{C}^n)$ 使得 $$ {\partial u\over\partial\overline z_j}=-g{\partial \chi\over\partial\overline z_j},\quad 1\le j\le n, $$ 並且在 $\Bbb{C}^n\backslash D$ 的一個鄰域上 $u(z)\equiv 0$。 所以 $$ G=(1-\chi)g-u $$ 就是由 $g$ 所延拓而得到在 $D$ 上的一個解析函數。 定理 2.5 的證明也就完成了。
III. 解析域 (domain of holomorphy)
在這一節當中, 我們也將利用柯西積分公式來對多複變上的解析域做一些探討。 首先我們做如下的定義。
定義 3.1:
假設 $D$ 是 $\Bbb{C}^n$, $n\ge 1$, 上的一個域。 我們說 $D$ 是一個解析域 (domain of holomorphy), 如果在 $D$ 上存在一個解析函數使得任何一個 $D$ 上的邊界點 (boundary point) 都是它的奇異點 (singular point); 換言之, 在 $D$ 上存在一個解析函數, 它是無法經由解析延拓跨過任何邊界點。
因此, 一個 $\Bbb{C}^n$ 上的域如果是解析域的話, 那麼它就是某一個解析函數的最大定義域。 在單複變裡, 這是對的。 也就是說, 任何複平面 $\Bbb{C}$ 上的一個域 $D$ 都是解析域。 因為, 若 $p\in bD$ 為邊界上的一個點, 則 $g(z)={1\over z-p}$ 就是一個 $D$ 上的解析函數, 且 $g$ 有一個奇異點在 $p$。 至於要構造一個在整個邊界 $bD$ 都奇異的解析函數, 方法之一是應用 Weierstrass 分解定理 (Weierstrass factorization theorem)。 但是在這裡我們要以一個不同的方式來構造如此的一個解析函數。 這樣的看法有助於探討多複變上的情形。
定理 3.2:
若 $D$ 是 $\Bbb{C}$ 上的一個域, 則 $D$ 是一個解析域。
定理 3.2 的證明需要用到下面一個關鍵的結果。
定理 3.3:
假設 $K$ 是 $D\subseteq\Bbb{C}$ 上的一個緊緻子集且 $z_0\in D\backslash K$。 如果 $D\backslash K$ 上包含 $z_0$ 的分支域 (component) 不會相對緊緻 (relatively compact) 於 $D$, 則在 $D$ 上存在有一解析函數 $h$ 使得 $|h(z_0)|\!\gt \!\sup_{z\in K}|h(z)|$。 利用 Runge 逼近定理 (Runge approximation theorem) 我們即可證得定理 3.3。 事實上, 我們可以要求 $|h(z_0)|$ 任意的大且 $\sup_{z\in K} |h(z)|$ 任意的小。 比如說, 讓 $m=(|h(z_0)|+\sup_{z\in k}|h(z)|)/2$, 則只要取足夠大的 $k\in\Bbb{N}$, 函數 $({h\over m})^k$ 就可以滿足我們所求。 底下我們開始證明定理 3.2。
定理 3.2 的證明:
首先我們把 $D$ 上所有座標為有理數的點蒐集起來, 稱之為 ${\cal P}$。 很明顯地, 集合 ${\cal P}$ 是可數的且在 $D$ 上為稠密的。 利用 ${\cal P}$ 我們再重新構造 $D$ 上的一個點列 $\{\zeta_j\}_{j=1}^\infty$ 使得 ${\cal P}$ 上的每一個點在此點列上都會出現無窮多次。 接下來, 我們用一序列遞增的緊緻子集 $\{K_j\}_{j=1}^\infty$ 來逼近 $D$, 這些 $K_j$ 定義如下: $$ K_j=\{z\in D\Big|~{\rm dist}~(z,{D}^c)\ge{1\over j}\}\cap\overline{B(0;j)},\quad j\in\Bbb{N}. $$ 這裡 dist$(z,D ^c)$ 表示點 $z$ 到 $D$ 的補集的距離, 另外 $B(0;j)=\{z\in\Bbb{C}\Big|~|z|\lt j\}$。 所以我們有 $K_j\subseteq {K \hskip -5pt ^{^{^{\circ}}}}_{j+1}$, ${K \hskip -5pt ^{^{^{\circ}}}}_{j+1}$ 表示 $K_{j+1}$ 的內點所形成的集合。 對於每一個 $i$, 我們將以 $\zeta_i$ 為圓心且包含於 $D$ 的最大開圓盤記為 $B_{\zeta_{i}}$。 如此, 我們就可依序選出一個 $\{K_j\}$ 的子序列 $\{K_{n_j}\}$ 使得對每一個 $j$, 選一個點 $z_j\in (B_{\zeta_j}\setminus K_{n_j})\cap {K \hskip -5pt ^{^{^{\circ}}}}_{n_{j+1}}$ 和一個解析函數 $f_j\in O(D)$ 滿足 $$|f_j(z)|\lt {1\over 2^j},\quad z\in {K_{n_j}}$$ 和 $$|f_j(z_j)|\ge\sum_{i=1}^{j-1}|f_i(z_j)|+j+1.$$ 這裡 $f_j$ 的存在性是由定理 3.3 所得到的, 也是證明整個定理 3.2 的關鍵。 接著, 我們定義 $$ h(z)=\sum_{j=1}^\infty f_j(z). $$ 由 $f_j$ 的選取方式, 很容易可以看出 $h$ 在 $D$ 上定義了一個解析函數, 且 $$ |h(z_j)|\ge|f_j(z_j)|-\sum_{i=1}^{j-1}|f_i(z_j)|-\sum_{i=j+1}^\infty|f_i(z_j)| \ge j. $$ 這也說明了 $h$ 在整個邊界都是奇異的。 因為如果 $h$ 可以經由解析延拓跨過任何一個邊界點的話, $h$ 就會在某一個圓盤 $B_{\zeta_i}$ 上為有界。 由於有無窮多個點 $z_j$ 出現在此一圓盤, 上面的估計說明這是不可能的。 因此, 定理 3.2 就得證了。
現在我們如果在高維度複空間 $\Bbb{C}^n$, $n\ge 2$, 上考慮同樣的問題, 我們會發現情況完全改觀, 並不是每一個域都是解析域。 我們先以下面一個位於 $\Bbb{C}^2$ 的例子來說明。 在 $\Bbb{C}^2$ 我們定義一個域 $\Omega$ 如下: \begin{eqnarray*} \Omega&=&\{(z_1,z_2)\in\Bbb{C}^2\Big|~|z_1|\lt 1\quad\hbox{且}\quad {1\over 2}\lt |z_2|\lt 1\}\\ &&\ \cup\{(z_1,z_2)\in\Bbb{C}^2\Big|~|z_1|\lt {1\over 2}\quad\hbox{且}\quad |z_2|\lt 1\}. \end{eqnarray*} 對於 $\Omega$ 上任意的解析函數 $f$, 利用柯西積分公式, 我們定義 $$ F(z)={1\over 2\pi i}\int_\Gamma {f(z_1,w)\over w-z_2}dw, $$ 此時的積分路徑 $\Gamma=\{w\in\Bbb{C}\Big|~|w|={3\over 4}\}$。 由 $F(z)$ 的定義, 不難看出 $F\in O(D_1)$, $D_1=\{(z_1,z_2)\in\Bbb{C}^2\Big|~|z_1|\lt 1$ 且 $|z_2|\lt 1\}$, 並且當 $|z_1|\lt {1\over 2}$, $|z_2|\lt 1$ 時, 由柯西積分表現得到 $F(z)=f(z)$。 接著再利用解析函數的恆等定理, 我們有 $F\Big|_{\Omega}=f$。 換言之, $\Omega$ 上的任意一個解析函數 $f$ 都可以解析延拓到一個更大的域 $D_1$, 這說明了 $\Omega$ 不是一個解析域。
同樣的我們也可以利用第二節中所介詔的 Hartogs 延拓定理來說明此一現象。 我們只要讓 $D=B_1\backslash\overline {B_{1\over 2}}$, 這裡 $B_r=\{z\in\Bbb{C}^n\Big|~|z|\lt r\}$。 Hartogs 延拓定理說明半徑為 ${1\over 2}$ 的球面 $S_{1\over 2}$ 並不會構成 $D$ 上解析函數往內延拓的障礙。 所以 $D$ 上任何解析函數都可以解析延拓至 $B_1$。 $D$ 也就不是一個解析域。
因此, 在多複變領域裡, 對於如何去確定一個域為解析域, 就成為一個很重要的課題。 此時, 我們回憶一下定理 3.2 的證明, 正如其中所述, 整個定理證明的關鍵就在於定理 3.3。 但是, 定理 3.3 的敘述, 一般而言, 在高維度時卻是錯的! 我們還是用上面所定義的域 $\Omega$ 來說明此一現象。 我們考慮 $\Omega$ 上的一個緊緻子集 $S=\{({3\over 4}, {3\over 4}e^{i\theta})\Big|~\theta\in[0,2\pi]\}$。 同時讓 $z_0=({3\over 4},{5\over 8})\in\Omega\backslash S$。 由於 $\Omega$ 上的解析函數 $h$ 都可以解析延拓到 $D_1$, 根據解析函數的最大模原則 (maximum modulus principle) $|h(z_0)|\le\max_{z\in S}|h(z)|$。 所以定理 3.3 在此情況下是不成立的。
為了克服上述的困難, 對於 $D$ 上的一個緊緻子集 $K$, 我們可以考慮它的解析凸體 $\hat{K}_{D}$ (holomorphically convex hull), 定義如下: \begin{equation}%3.4 \hat{K}_{D}=\bigg\{z\in {D}\Big|~|f(z)|\le\sup_K |f|,\quad \forall f\in O(D)\bigg\}. \end{equation} 由(3.4) 可以很明顯的看出 $K\subseteq \hat {K}_{D}$, 且 $\hat{K}_{D}$ 是 $D$ 上的一個閉集, 但卻不一定是 $D$ 上的一個緊緻子集。 同時, 若 $z_0\in {D}\backslash\hat {K}_{D}$, 則存在有一個 $D$ 上的解析函數 $f$ 使得 $|f(z_0)|\gt \sup_K |f|$, 而此正是證明定理 3.2 的關鍵條件。 再一次以上面的例子 $\Omega$ 和 $S$ 來解釋, 可以看出 $z_0=\left({3\over 4},{5\over 8}\right)\in \hat{S}_{\Omega}=\left\{\left({3\over 4}, z_2\right)\Big|~{1\over 2}\lt |z_2|\le {3\over 4}\right\}$, 以致於定理 3.3 無法成立! 注意到此時 $\hat{S}_{\Omega}$ 並不會相對緊緻於 $\Omega$! 因此, 一個 $D$ 上的緊緻子集 $K$ 若具有 $K=\hat{K}_{D}$ 的性質, 我們就說 $K$ 具有解析凸性 (holomorphic convexity)。 當 $n=1$ 時, 不難得到 $\hat{K}_{D}=K\cup (\cup_j K_j)$, 其中 $K_j$ 為 $D\backslash K$ 中包含於 $D$ 的分支域。
根據上面所引進解析凸性的概念, 我們做如下之定義。
定義 3.5:
假設 $D$ 為 $\Bbb{C}^{n}$ 上的一個域, 我們說 $D$ 是一個具有解析凸性的域, 如果 $D$ 上任意一個緊緻子集 $K$ 的解析凸體 $\hat{K}_{D}$ 都會相對緊緻於 $D$。
則我們馬上有
定理 3.6:
$\Bbb{C}^n$ 上的任何一個凸域 $D$ (convex domain) 都具有解析凸性。
證明:
若我們能證明 $D$ 上任意一個緊緻子集 $K$ 的解析凸體 $\hat{K}_{D}$ 都包含於 $K$ 的幾何凸體 $ch(K)$ (convex hull), 則基於 $D$ 的凸性, 我們就證得此定理了。
所以假設 $K$ 為 $D$ 上的一個緊緻子集。 將 $\Bbb{C}^n$ 看成 $\Bbb{R}^{2n}$, 並令 $H$ 為 $K$ 在 $\Bbb{R}^{2n}$ 中的一個支超平面 (supporting hyperplane)。 則 $H$ 的方程式可以寫為 $$ h(x,y)=a_1x_1+b_1y_1+\cdots+a_nx_n+b_ny_n-c=0, $$ 其中 $a_j$, $b_j$, $c$ 為實數。 我們可以假設 $h\Big|_K\le 0$。 因此只要考慮下面的解析函數 $$ f(z)=e^{\alpha_1z_1+\cdots+\alpha_nz_n-c}, $$ $\alpha_j=a_j-ib_j$, $1\le j\le n$, 就可知道 $\hat{K}_D$ 和 $K$ 是位於 $H$ 的同一邊, 所以 $\hat{K}_{D}$ 一定會包含於 $K$ 的幾何凸體 $ch(K)$。 定理 3.6 也因此得證。
接著我們將證明本節中最主要的一個結果, 它說明了解析凸性可以用來正確地描述解析域。
定理 3.7:
$D$ 是 $\Bbb{C}^n$, $n\ge 1$, 上的一個域。 則下面三個敘述是等價的:
- (i) $D$ 是一個解析域。
- (ii) 對 $D$ 上的任意一個緊緻子集 $K$, 我們有 dist$(K,{D}^c\!)\!=\!{\rm dist}(\hat{K}_{D},{D}^c)$, 其中 dist$(K,{D}^c\!)$ 表示 $K$ 到 ${D}^c\!=\!\Bbb{C}^n\backslash D$ 的距離。
- (iii) $D$ 具有解析凸性。
定理 3.8:
假設 $f\in O(P(a;r))\cap C(\overline {P(a;r)})$。 則對於任一 $z\in P(a;r)$ 我們有 $$ f(z)={1\over (2\pi i)^n}\int\limits_{\Gamma_n}\cdots\int\limits_{\Gamma_1}{f(\zeta_1,\ldots,\zeta_n) \over (\zeta_1-z_1)\ldots(\zeta_n-z_n)}d \zeta_1\cdots d \zeta_n, $$ 其中 $\Gamma_j=\{\zeta_j\in\Bbb{C}\Big|~|\zeta_j-a_j|=r_j\}$, $1\le j\le n$。
另外, 我們也可利用多圓盤積引進多複變上的一種距離概念。 若 ${P}(0;r)$ 為一個以原點為中心, 多重半徑為 $r=(r_1,\ldots r_n)$ 的多圓盤積, 對於任意 $z\in D$, 我們定義 \begin{equation}%3.9 \delta_r(z)=\sup\{\lambda\gt 0\Big|~\{z\}+\lambda P({0;r})\subseteq D\}. \end{equation} 換言之, $\delta_r(z)$ 表示以 $P(0;r)$ 為單位所量得 $z$ 到 $D $ 的補集的距離。 接著我們證明下面之引理。
引理 3.10:
假設 $K$ 為 $D$ 上的一個緊緻子集, 且 $f\in O(D)$。 如果 $$ |f(z)|\le \delta_r(z),\quad\forall z\in K. $$ 則 $D$ 上的任意一個解析函數 $g$ 都可以解析延拓到 $D\cup(\{\zeta\}+|f(\zeta)| P(0;r))$, 其中 $\zeta$ 為 $\hat{K}_{D}$ 上的任意點。
證明:
引理 3.10 的證明也是解析函數的柯西積分表現 (定理 3.8) 的一個應用。 對於任意 $0\lt t\lt 1$, 由假設很容易看出 $$ K_t={\scriptscriptstyle \bigcup\limits_{z\in K}} (\{z\}+t|f(z)|\overline{P(0;r)}) $$ 為 $D$ 上的一個緊緻子集。 因此, 存在一 $M_t\gt 0$ 使得 $|g(z)|\le M_t$, $\forall z\in K_t$。 利用定理 3.8 的柯西積分表現, 不難得到以下的估計 \begin{equation}%3.11 {\bigg|{\partial^\alpha g\over \partial z^\alpha}(z)\bigg| t^{|\alpha|}|f(z)|^{|\alpha|}r^\alpha\over \alpha !}\le M_t. \end{equation} 對於所有 $z\in K$ 和多重指標 $\alpha=(\alpha_1,\ldots,\alpha_n )$ (multiindex), $\alpha_j\in \{0\}\cup \Bbb{N}$。 這裡 $|\alpha|=\alpha_1+\cdots+\alpha_n$, $\alpha! =\alpha_1 !\cdots\alpha_n!$, ${\partial^\alpha g\over\partial z^\alpha}=\partial^{|\alpha|}g/\partial z_1^{\alpha_1}\cdots \partial z_n^{\alpha_n}$ 和 $r^\alpha=r_1^{\alpha_1}\cdots r_n^{\alpha_n}$。 因為 ${\partial^\alpha g\over\partial z^\alpha}\cdot f(z)^{|\alpha|}$ 為 $D$ 上之一解析函數, 由定義 (3.4) 知道, (3.11) 對於所有 $z\in\hat K_D$ 也是對的。 此時, 只要讓 $t$ 逼到 $1$, 就證得 $g$ 可以解析拓到 $D\cup(\{\zeta\}+|f(\zeta)|P(0;r))$, $\zeta\in\hat {K}_D$。
有了這些準備工作後, 我們現在開始證明定理 3.7。
定理 3.7 的證明:
由 (ii)$\Rightarrow$(iii) 是明顯的。 至於 (iii)$\Rightarrow$(i) 的證明, 則可完全模仿定理 3.2 的證明, 只要把 $K_j$ 換成具有解析凸性的緊緻子集, 把圓盤 $B_{\zeta_i}$ 換成多圓盤積即可。 由於我們假設 $D$ 是具有解析凸性的, 這樣的更換是被允許的, 所以 (iii)$\Rightarrow$(i) 的證明也就完成了。
因此, 我們只需證明 (i)$\Rightarrow$(ii)。 根據歐氏空間上的距離定義, 我們有 \begin{eqnarray*} {\rm dist}(z,D^c)&=&\sup\{r\gt 0\Big|~z+aw\in D,~\forall w\in\Bbb{C}^n,~|w|\le 1\quad\hbox{且}\quad a\in\Bbb{C},~|a|\lt r\}\\ &=&\inf_{|w|\le 1} d_w(z), \end{eqnarray*} 其中 $d_w(z)=\sup\{r\gt 0\Big|~z+aw\in D,~\forall~a\in\Bbb{C},~|a|\lt r\}$。
固定一個 $w$, 為了方便起見, 我們可以假設 $w=(1,0,\ldots,0)$, 接著考慮以原點為中心, 多重半徑為 $r(j)=(1,{1\over j},\ldots, {1\over j})$, $j\in \Bbb{N}$, 的多圓盤積 $P_j=P(0;r(j))$, 不難看出 $$ \lim_{j\to \infty} \delta_{r(j)}(z)=d_w(z). $$ 所以, 給定一很小正數 $\varepsilon\gt 0$, 當 $j$ 為充分大時, 我們得到 \begin{equation}%3.12 {\rm dist}(K,D^c)\le(1+\varepsilon)\delta_{r(j)}(z),\quad z\in K. \end{equation} 此時, 我們考慮常數函數 $f(z)={\rm dist}(K,D^c)/(1+\varepsilon)$, 因為我們假設 $D$ 為解析域, 所以由 (3.12) 的估計和引理 3.10 可以得到 $$ {{\rm dist}(K,D^c)\over 1+\varepsilon}\le\delta_{r(j)}(\zeta)\le d_w(\zeta),\quad\forall~\zeta\in\hat{K}_D. $$ 當 $\varepsilon$ 逼到 0 時, 我們便得到 $${\rm dist}(K,D^c)\le\inf_{\zeta\in \hat{K}_D}(\inf_{|w|\le 1}d_w(\zeta)) =\inf_{\zeta\in\hat{K}_D}\rm dist(\zeta,D^c) =\rm dist(\hat{K}_D,D^c).$$ 由於 $K\subseteq \hat{K}_D$, $\rm dist(K,D^c)\ge {\rm dist}(\hat{K}_D,D^c)$ 是明顯的, 因此證得 (i)$\Rightarrow$(ii)。 定理 3.7 也就全部證明完畢。
以上簡單的介紹, 是由單複變上的柯西積分公式出發, 藉由 $\overline \partial$--方程的可解性和解的支集性質, 從而探討多複變上解析函數的延拓性質, 其中包括了 Hartogs 延拓定理和解析域的概念。 如果讀者希望能有更多的資料, 期望對多複變分析有更進一步的認識與了解, 那麼在參考文獻中所列的圖書與刊物, 應該會有所助益。
參考文獻
---本文作者任教於清華大學數學系---