幾天前, 應一位親戚之邀, 回南部參加他女兒的訂婚禮, 按當地習俗, 請來廚師, 就著住家附近巷道, 做起外燴, 宴請賓客。 酒席內容, 山珍海味, 材料道地, 面子十足。吃喝之間, 只見佳餚美食, 一道端上, 尚未用完, 緊接一道, 不多一會, 桌面已擺滿四五道菜, 此時眾家賓客, 美味當前, 不見評頭論足, 讚賞喝采, 卻只自顧埋頭苦幹, 吃著, 塞著, 過不多久, 便見前面幾道菜已現盤底, 而廚師們也顧不著食客的消化與否, 反倒新的料理仍是一盤又一盤的端上又更替, 到得後來, 盤中美食, 有些僅被淺嚐幾口, 有些稍被翻動, 有些甚至到席散仍是原封不動, 實在可惜, 真是糟蹋。原先滿腹的食慾, 被脹滿的壓迫感取代, 開始時想像美味的期待, 換得的是宴後的一種負擔。這種不舒服的經驗, 其實在許多的宴飲場合是屢見不鮮的, 它是台灣的文化之一。
飲食文化, 也深深地影響教學的內容, 俗又大碗是其一, 急就章草草結束是其二。
口中狼吞虎嚥, 肚裡塞著撐著, 最後消化不良, 再沒一點味口, 這不只是飲食現象,
也是教學寫照。
要教學雙方都能享有美好經驗, 內容的質量選取, 過程的推進安排都須用心與智慧。
優質的教學, 如同健康的飲食, 不是比量多, 是求質精; 不是比進度, 是求深刻。
怎麼做呢? 我提出兩點:
一是藉題發揮
一是得意忘形
藉題發揮是指藉一道問題的解決, 在過程中, 教師提出幾個相關的子問題, 透過師生的互動、 討論、思辨而逐漸釐清問題, 契近問題核心, 擬出解題策略, 最後甚至擴展問題, 加以發揮。這些子問題主要在幫助學生(1)觀察問題, 搜尋經驗(2)明白問題, 找出因果(3)看清問題, 激發想像。
而得意忘形, 是指教師在新題材的介紹上, 強調內容的意義及方法的運用, 在過程中, 提供機會, 以活動學生的舊有知識及經驗, 避免教學落入證明公式、 記憶公式、代算公式的形式中。
底下用兩個例子說明上述觀點。
例1: 試證明 $$16\cos^5\theta=\cos 5\theta +5\cos 3\theta+10\cos\theta$$ (此一問題出自牛頓版, 高中基礎數學第二冊, p.206。問題出現之前, 課本有提及: 設 $\alpha=\cos\theta+i\sin\theta$, $n\in {\Bbb Z}$, 則 $\alpha^n+\alpha^{-n}=2\cos n\theta$, $\alpha^n-\alpha^{-n}=2i\sin n\theta$)。
對此問題, 教師如果僅僅急著要去講解課本上的解法(註), 草草結束, 沒有什麼聯想, 不作任何發揮, 實在可惜, 真的糟蹋。要求精緻, 要談建構, 教師這時候不妨使用下列提問的方式引導學生進行思考、聯想、整理及思辨:
請你們把這個待證的等式仔細多看幾遍, 作番觀察。
發現什麼嗎?
等式左邊是 $\cos\theta$ 的五次方, 右邊呢? 右邊怎麼說?
是 $\cos 5\theta$, $\cos 3\theta$ 與 $\cos \theta$ 的一次組合, 是不是?
另外還發現什麼嗎?
注意到係數間的關係了嗎? 看到係數間的關係 $16=1+5+10$ 以及 $1,5,10$ 這三個數的排序, 聯想到什麼嗎?
它只是一種巧合嗎? 或者可能是某一規律的顯示呢?
能不能找一個更簡單的等式, 它也顯示類似的規律呢? 我的意思是比如左邊要是 $\cos^3\theta$ 的話, 這時等式會是什麼呢?
是不是 $4\cos^3\theta=\cos3\theta+3\cos\theta$?
這個式子是真確的嗎?
它跟你們學過的三倍角公式有關嗎?
它就是餘弦的三倍角公式,對不對?所以它是真確的囉!
這樣看來, 似乎是真有一個規律存在!?
我們一起來猜想看這一規律大概是什麼樣子。
有什麼譜嗎?
如果等式左邊是 $\cos^7\theta$ 的話, 按照你們心中猜想的規律, 這個等式是什麼?
$64\cos^7\theta=\cos7\theta+7\cos5\theta+21$ $\cos3\theta +35\cos\theta$, 對嗎?
你能確定上面的等式是真確的嗎?
還不能! 對不?
如果真是成立的話, 把 $\theta$ 取一特定的值代入左右兩邊, 分別計算求值, 兩者應該相等才是, 否則就可以說等式是不真確的, 對嗎? 這確是一個檢驗的好主意!
比如取 $\theta=60^{\circ}$, 大家算看看。
結果怎樣? 兩邊的值果然相等, 是不? 你因此可以說等式是真確的嗎?
不能! 對的, 我們還不能因此就說等式是真確的, 但是經由剛才的檢驗, 你們更加相信等式是真確的, 是嗎?
雖然, 我們現在還沒有工夫去確定這些等式是否真確, 不過, 叫人鼓舞的是, 大家經由對原先問題的觀察, 似乎已經發現了一個一般性的規律, 這實在太好了。
當然, 如何把這個規律用一個數學式子明確表示, 並且給予證明, 是後續的重要事情。 可是別急, 大家要是稍加想像的話, 在目前, 這可不是件容易的事, 待我們回到最開始的那道問題上, 看看有些什麼可能的證明方法, 解決之後, 再來談一般性的問題, 說不定心中就會出現較好的點子。
開始的問題是要證明 $$16\cos^5\theta=\cos5\theta+5\cos 3\theta+10\cos\theta$$ 依你們以往的經驗, 是從左邊證往右邊呢? 或是從右邊證往左邊較為方便?
從以簡御繁, 化繁為簡的策略來看, 應該是從右邊證往左邊較好吧?
很好, 所以左邊的 $\cos^5\theta$ 就是你們要證明的目標, 請大家看清楚, 它是 $\cos\theta$ 的一個五次單項式; 至於右邊呢? $\cos5\theta$, $\cos 3\theta$ 跟 $\cos\theta$ 有什麼關係嗎?
$\cos 3\theta$ 可以寫成 $4\cos^3\theta-3\cos\theta$, 而 $\cos 5\theta$ 嘛, 應該也可以寫為 $\cos\theta$ 的五次多項式!?
怎麼說呢?
因為把和角公式 $\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha$ $\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta$ 中的 $\alpha$ 看成 $3\theta$, $\beta$ 看成 $2\theta$, 再利用已知的二倍角、 三倍角公式就行了。
不錯, 大家就演算看看。
結果呢? $$\cos 5\theta=16\cos^5\theta-20\cos^3\theta+5\cos\theta$$ 很好!
到這裡, 我們暫且走岔一下。不知道你們有沒有注意到 $\cos 2\theta$, $\cos 3\theta$ 可以分別表為 $\cos\theta$ 的二次及三次多項式, 而今, $\cos5\theta$ 也可以表為 $\cos\theta$ 的五次多項式, 是不是因此推想: $\cos\theta$ 可以表為 $\cos\theta$ 的 $n$ 次多項式呢? 事實上, 這件事是對的, 建議你們回去後想想看, 能不能用數學歸納法證明? 這證明中間可能還會涉及到 $\sin n\theta$ 是否可以表為 $\sin\theta $ 的 $n$ 次式及一些其它的問題, 總之, 還滿複雜的。 這是一個節外生枝的問題, 不是這裡的三兩句話可以交待清楚, 有興趣的話研究看看就是了。
現在, 還是回到原來的問題上。
既然 $\cos 5\theta$, $\cos 3\theta$, $\cos\theta$ 都是 $\cos\theta$ 的多項式, 所以從右邊證往左邊這件事, 其實只不過是把 $\cos 5\theta+5\cos 3\theta +10\cos\theta$ 化簡成 $\cos\theta$ 的多項式, 看看結果是不是 $16\cos^5\theta$ 罷了。
所以諸位已經看到, 證明並不困難, 只須先把問題的意涵搞清楚。
不過, 要提醒你們注意的一個有趣問題是, 那些係數 $1,5,10$ 是怎麼發現的? 為什麼不是其它的數呢?
證明是一回事, 發現等式又是一回事。
改換一個角度來看, 要是想從等式的左邊證往右邊, 便相當於如何把 $\cos^5\theta$ 表為 $\cos 5\theta$, $\cos 3\theta$ 與 $\cos\theta$ 的一次組合, 而這也算是一種以簡御繁的觀點, 因為, 五次的東西用一次的組合表示。
前面已經學過, 如果取 $\alpha=\cos\theta+i\sin\theta$, 就有 $\alpha^n+\alpha^{-n}=2\cos n\theta$, 因此, \begin{eqnarray*} \cos^5\theta&\!=\!&({\alpha+\alpha^{-1}\over 2})^5\nonumber\\ &\!=\!&{1\over 32}(\alpha^5+5\alpha^4\alpha^{-1}+10\alpha^3\alpha^{-2}\nonumber\\ &&+10\alpha^2\alpha^{-3}+5\alpha\alpha^{-4}+\alpha^{-5})\nonumber\\ &\!=\!&{1\over 32} [(\alpha^5\!+\!\alpha^{-5})\!+\!5\alpha\alpha^{-1}(\alpha^3\!+\!\alpha^{-3})\nonumber\\ &&+10\alpha^2\alpha^{-2}(\alpha+\alpha^{-1})] \end{eqnarray*} 但是 $\alpha\alpha^{-1}=1$ $$\therefore \cos^5\theta\!=\!{1\over 32}(2\cos 5\theta\!+\!10\cos 3\theta\!+\!20\cos\theta)$$ 也就是 $16\cos^5\theta=\cos 5\theta+5\cos 3\theta+10\cos \theta $
對上面的證明, 你們有什麼感覺?
有沒有些許的感動?
原本是一個三角的問題, 但是通過複數這一條新的路徑, 證明竟顯得如此簡潔。 是不是叫人著迷?
還有, 這樣的證明又帶給我們什麼其它的啟發? 是不是同樣的方法, 都可以讓我們找到 $\cos^{2n+1}\theta$ 的有關等式? $\cos^{2n}\theta$ 又如何? 甚至 $\sin^n\theta$ 呢? 這些問題就留給你們好好的想一想, 仔細的做一做。
千言萬語要交待的是, 只有通過解題的實踐, 才有機會整合你們的知識, 融會貫通, 形成網絡, 產生有效的經驗。
例2: 於空間中, 證明點 $(x_0,y_0,z_0)$ 到平面 $ax+by+cz+d=0$ 的距離為 $${|ax_0+by_0+cz_0+d|\over \sqrt{a^2+b^2+c^2}}.$$
這個例子, 是每一課本, 每一教材在介紹空間向量與空間平面時, 都會提到的一個公式, 本無新奇, 不過, 僅僅把它視為一個公式, 教它的證明, 之後, 舉個實例, 代入計算, 便就結束, 是相當可惜的。 因為透過這個問題的出現, 教師在完成它的證明的介紹之前, 可以用一些子問題向學生釐清「距離」這一概念, 過程中整合他們的某些知識, 讓學習的經驗流動而不凝阻, 避免教學落入一種只是證明、代公式、演算的形式中。
教師或許可以如下提問: 你們曾經學過哪些跟距離有關的事情? 點與點, 還有呢? 還有平面上, 點與直線。 就是指這個距離公式 ${|a x_0+by_0+c|\over \sqrt{a^2+b^2}}$ 嗎? 這個公式怎麼來的, 知道嗎? $\cdots\cdots$ 忘了? 沒關係, 讓我們耐心地從頭開始。 能不能告訴我, 什麼叫距離? $\cdots$, 距離就是線段長。 什麼樣的線段? 最短線段!
你說的最短, 能不能把它的涵意說清楚?!
就是說兩個圖形間可能連接的線段中最短的。
說的非常好, 如果用 $\min\{\overline {PQ}|P\!\in\!S_1$, $Q\in S_2\}$ 表示圖形 $S_1$, 與 $S_2$ 間的距離, 是不是把你的意思表達得更明確?
這樣說來, 兩點 $A,B$ 間的距離就是唯一的 $\overline{AB}$ 了。
而如果平面上, 給點 $P(2,-1)$ 及直線 $\ell:3x-y-2=0$, 那麼 $P$ 與 $\ell$ 的距離就是 $d(P,\ell)=\min\{\overline{PQ}|Q\in \ell\}$, 怎麼求這一個距離呢?
$Q$ 是 $\ell$ 上的動點, 怎麼表示 $Q$ 的位置呢?
用坐標!
對的, 但怎麼表示呢? 就說 $Q=(x,y)$ 行嗎?
不行。
為什麼?
因為這樣的表示, 沒有把 $Q$ 落在直線 $\ell$ 的這一事實呈現出來, 應讓寫成 $Q=(x,3x-2)$ 才是。
很好! 因此這時候, 我們看到 $\overline {PQ}^2$ 是跟著 $Q$ 的位置而變動, 也就是隨著 $x$ 的值而變動, 這之間的變動, 我們可以用下面的式子表現出來: $$\overline{PQ}^2=(x-2)^2+(3x-1)^2$$ 現在, 我們的目標變成如何求上面一式的最小值, 這是你們已經熟習過的問題不是嗎? 怎麼做? \begin{eqnarray*} \overline{PQ}^2&=& 10x^2-10x+5\nonumber\\ &=& 10(x-{1\over 2})^2 +{5\over 2} \end{eqnarray*} 所以 $\overline {PQ}$ 的最小值就是 ${\sqrt{10}\over 2}$, 隨之, $P$ 與 $\ell$ 的距離等於 ${\sqrt{10}\over 2}$
如果順便想知道在 $\overline{PQ}={\sqrt {10}\over 2}$ 時, $Q$ 的位置, 也就是 $Q$ 的坐標, 怎麼辦呢?
因為是當 $x-{1\over 2}=0$ 時, 才取得 $\overline {PQ}$ 的最小值, 這時 $Q=({1\over 2},-{1\over 2})$。
是的, 那麼再問: 這時候的 $Q=({1\over 2}$, $-{1\over 2})$ 確是點 $P$ 在 $\ell$ 的投影嗎? 也就是 $PQ$ 果真與 $\ell$ 垂直嗎? 請你們檢驗。
你們怎麼檢驗的呢?
喔, 有人用兩直線的斜率乘積是否等於 $-1$ 去判斷, 不錯!
嗯, 還有人用向量 $\overrightarrow{PQ}=({-3\over 2},{1\over 2})$ 與直線 $\ell$ 的法向量 $(3,-1)$ 是否平行作判斷, 真的太好了。
接著, 讓我們來看一個對你們來說是一個新的問題, 即空間中, 求點與平面的距離的實例。
給點 $P(-1, 2, -4)$ 及平面 $E: x-y-z-3=0$, 要求 $P$ 與 $E$ 的距離 $d(P,E)$。
像上一個例子一樣, 假定 $Q$ 是 $E$ 上的動點, 要求 $d(P,E)$ 就是要求 $\overline {PQ}$ 的最小值。怎麼表示 $Q$ 的位置呢? 也就是怎麼設定 $Q$ 的坐標呢?
當然不能寫成 $Q=(x,y,z)$, 因為這樣的表示沒有顯示 $Q\in E$ 這個事實。 寫成 $Q=(x,y, x-y-3)$ 行嗎? 確是可行, 這時候, 我們仍然把 $\overline {PQ}^2$ 用 $x,y$ 來表示, 就是: $$\overline {PQ}^2=(x+1)^2+(y-2)^2+(x-y+1)^2$$ 怎麼求上面一式的最小值呢? 仍然用配方法: \begin{eqnarray*} &&(x+1)^2+(y-2)^2+(x-y+1)^2\nonumber\\ &=&2(x^2-xy+y^2+2x-3y+3)\nonumber\\ &=&2[x^2-(y-2)x+y^2-3y+3]\nonumber\\ &=&2[(x-{y-2\over 2})^2+{3\over 4}(y-{4\over 3})^2+{2\over 3}] \end{eqnarray*} 諸位看到, 要是讓 $x-{y-2\over 2}=0$ 及 $y-{4\over 3}=0$, 這時候 $\overline {PQ}^2$ 取得最小值 ${4\over 3}$, 也就是 $P$ 與 $E$ 的距離等於 ${2\over \sqrt 3}$。而同時, 我們得到 $x=-{1\over 3}$, $y={4\over 3}$, 就是說, 這時候的點 $Q$, 其坐標為 $(-{1\over 3}, {4\over 3}, -{14\over 3})$。
當然, 我們也可以檢驗看看, 此時的 $Q=(-{1\over 3}, {4\over 3}, -{14\over 3})$ 是否就是點 $P$ 在平面 $E$ 上的投影。在上一例中, 有人想到要用向量 $\overrightarrow {PQ}$ 是否與直線的法向量平行去判斷, 這時候, 也是可以仿照著做, 看看 $\overrightarrow {PQ}=({2\over 3}, -{2\over 3}, -{2\over 3})$ 是否平行平面 $E$ 的法向量 $(1,-1,-1)$?
現在, 我要給你們一個問題:
給空間中的兩條直線 $\ell_1:{x-1\over 2}={y+1\over -1}$ $={z\over 3}$ 與 $\ell_2:{x+2\over 1}={y-1\over 2}={z+1\over -2}$, 求 $\ell_1$ 與 $\ell_2$ 的距離 $d(\ell_1, \ell_2)$。 在你們進行求解之前, 先給些提示。
因為 $d(\ell_1, \ell_2)=\min\{\overline {PQ}|P\in \ell_1$, $Q\in \ell_2\}$, $\overline {PQ}^2$ 是由兩個動點 $P$ 與 $Q$ 的位置所決定, $P$ 與 $Q$ 的坐標決定了 $\overline {PQ}^2$ 的值。
如果取 $P=(2s+1, -s-1, 3s)$, 而 $Q=(t-2, 2t+1,-2t-1)$, 請你們完成下列諸步驟:
- 把 $\overline {PQ}^2$ 表為 $s$ 與 $t$ 的二次式。
- 求出上式的最小值, 因而得出 $d(\ell_1$, $\ell_2)$ 是多少?
- 找出使 $\overline {PQ}$ 最小的 $s$ 與 $t$ 值, 隨之得到對應的點 $P$ 與點 $Q$ 的坐標。
- 檢驗(3)中之 $P$ 與 $Q$ 是否使線段 $PQ$ 垂直 $\ell_1$, 同時 $PQ$ 也垂直 $\ell_2$?
現在, 讓我們回到開始的那一個距離公式 $${|ax_0+by_0+cz_0+d|\over \sqrt {a^2+b^2+c^2}},$$ 看看它是怎麼來的? 我們用向量這一新的工具作如下的分析: 取平面 $E:ax+by+cz+d=0$ 上的任意點 $P(x,y,z)$, 因此有 $d=-(ax+by+cz)$ 隨之 \begin{eqnarray*} &&{|ax_0+by_0+cz+d|\over \sqrt {a^2+b^2+c^2}}\\ &=& {|a(x_0-x)+b(y_0-y)+c(z_0-z)|\over \sqrt {a^2+b^2+c^2}} \end{eqnarray*} 上面最後一式可看作是兩個向量 $\overrightarrow u={1\over \sqrt {a^2+b^2+c^2}}(a,b,c)$ 與 ${\overrightarrow {PP}}_0=(x_0-x,y_0-y,z_0-z)$ 的內積的絕對值, 其中 $P_0=(x_0,y_0,z_0)$ 為已知點, 它的一個幾何意義是 ${\overrightarrow {PP}}_0$ 在平面 $E$ 的 單位法向量 $\overrightarrow u$ 的投影長, 從附圖, 我們看到這個投影長就是 $P_0$ 與平面 $E$ 的距離 $d(P_0, E)$。
各位已見識到, 我們從向量觀點看這一個距離公式, 它的意涵只不過是個投影長, 因而領會到, 比起前面例中所使用的配方法, 向量在作為一種解題的工具上所展現的簡潔與力量。
學到的知識, 如果僅是片片落葉, 沒有關聯, 看不出脈絡, 學習就易成為無趣的經驗, 痛苦的負擔。教師儘管熱情, 生怕學生吃不夠喝不足, 佳餚一盤盤的端上, 但是未經充分咀嚼細細品味, 硬往肚中充塞, 到後來, 就只是脹滿的不快經驗, 哪存有美味餘香? 因此, 教學中, 藉問題而發揮, 得其意而空形, 帶領學生進入整合、 聯想與創造, 如同美食, 從材料的準備, 過程的調製, 到端上桌後色香味的評品, 過程的經歷, 就是一場美宴, 一種享受, 一次豐富的建構。
註:
課本上的解法: \begin{eqnarray*} \hbox{設}\ &&\alpha=\cos\theta+i\sin\theta, \hbox{則知}\\ &&\alpha^n+\alpha^{-n}=2\cos\theta \end{eqnarray*} 因此 \begin{eqnarray*} &&\cos 5\theta+5\cos 3\theta+10\cos\theta\\ &=& {1\over 2}[(\alpha^5+\alpha^{-5})+5(\alpha^3+\alpha^{-3})\\ &&+10(\alpha+\alpha^{-1})]\\ &=&{1\over 2}(\alpha+\alpha^{-1})^5\\ &=&{1\over 2}(2\cos \theta)^5\\ &=& 16\cos^5\theta \end{eqnarray*}
---本文作者任教於新竹科學園區實驗高中---
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