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1. 一個求面積的問題
面積是一個很古老的幾何概念,它起源於人類要丈量土地的大小。 Geometry 這個字的根源是geometrein, geo是土地, metrein 是測量, 故幾何學的原意是測量土地、求面積。 自古以來,由於所給的條件有各式各樣,於是對應有各式各樣的面積公式。 經過兩千多年的發展,終於創立微積分, 透過微分法一舉解決了一切求積問題。
問題1:
在平面上,一條封閉曲線所圍成的領域,例如台大的醉月湖,如何求它的面積呢?
按思考的常理,我們先退到比較簡單的特例, 譬如說透過離散化或有窮化,退到多邊形,再退到四邊形乃至三角形。 對於三角形的情形,如果所給的數據是三個邊之長, 那麼其面積就有Heron公式可循,參見[1]。推廣到四邊形的情形, 如果所給的數據是四個邊之長加上兩對角線或兩個對角, 那麼其面積又有 Brahmagupta 公式與 Bretschneider 公式可算,參見[2]。 四邊形的面積公式已經有點煩瑣,如果要再推廣到五邊以上的多邊形, 其困難是可以想像得到的,甚至根本行不通。一個求面積公式, 若只能對付三角形或四邊形,那麼也太局限了,不合數學追尋普遍的"萬人敵"之道。
換個追尋的方向,改變所給的數據是個好辦法:
(i)假設多邊形的頂點皆為平面上的格子點,那麼其面積就有 Pick 公式 \begin{equation} A={b\over 2}+i-1 \end{equation} 其中 $b$ 與 $i$ 分別表示在邊界上及內部的格子點之個數,參見[4]。 讓格子的間隔越來越小,原則上利用(1)式可以求出一般平面領域的面積。
(ii)已知多邊形的頂點坐標,因為頂點唯一決定多邊形(邊則不然), 所以多邊形的面積理應可以利用頂點的坐標來表達。
實際測量一塊多邊形的土地,我們得到邊長 $r_1,r_2,\cdots$ 以及邊相對於水平線之旋轉角 $\theta_1,\theta_2,\cdots$,參見圖1。 由這些數據可以得到多邊形的頂點坐標。設第一點的坐標為 $A=(x_1,y_1)$ (由取平面坐標系而決定下來)；然後就可求出 $B=(x_2,y_2)$ 如下:
\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{l} x_2=x_1+r_1\cos\theta_1\\ y_2=y_1+r_1\sin\theta_1 \end{array} \right. \end{eqnarray*} 接著求出 $C=(x_3,y_3)$ 為 \begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{l} x_3=x_2+r_2\cos\theta_2\\ y_3=y_2+r_2\sin\theta_2 \end{array} \right. \end{eqnarray*} $\cdots$ 等等,參見圖2。
問題2:
已知多邊形的頂點坐標為 $(x_1,y_1),(x_2,y_2),\cdots,(x_n,y_n)$, 如何求其面積?
本文的主題是:先追尋多邊形的面積公式；接著連續化得到平面上一般領域 (包括醉月湖)的面積公式；再作推廣,得到平面上的 Green 定理； 最後推廣到三維空間,得到 Gauss 的散度定理與 Stokes 的旋度定理。 這些深深觸及向量微積分的核心,是一條值得探尋的路徑。
2.多邊形的面積公式
多邊形仍然太複雜,我們再退到三角形的特例,探尋完成後,再進到多邊形。 這種處理問題時退、進之道很值得留意。
問題3:
已知三角形三個頂點的坐標為 $A=(x_1,y_1),B=(x_2,y_2),C=(x_3,y_3)$, 如何求其面積?
我們進一步退到三個頂點為 $\!O\!=\!(0,0)$, $B=(x_2,y_2)$, $C=(x_3,y_3)$ 之更特殊三角形。令 $OB,OC$ 與 $x$ 軸的夾角分別為 $\theta_1$ 與 $\theta_2$, 且 $OB=\rho_1,OC=\rho_2$,則 \begin{eqnarray*} x_2\!=\!\rho_1\cos\theta_1,\quad y_2\!=\!\rho_1\sin\theta_1\\ x_3\!=\!\rho_2\cos\theta_2,\quad y_3\!=\!\rho_2\sin\theta_2 \end{eqnarray*}
如上圖所示,我們分成兩種情形來討論:
(i)當 $O,B,C$ 成為逆時針(或右手系)定向時,如圖3,則 $\Delta OBC$ 的面積為 \begin{eqnarray} S\!\!&\!\!=\!\!&\!\!{1\over 2}\rho_1 \rho_2\sin(\theta_2-\theta_1)\nonumber\\ \!\!&\!\!=\!\!&\!\!{1\over 2}\rho_1 \rho_2(\sin\theta_2\cos\theta_1- \cos\theta_2\sin\theta_1)\nonumber\\ \!\!&\!\!=\!\!&\!\! {1\over 2}(x_2 y_3-y_2 x_3)\nonumber\\ \!\!&\!\!=\!\!&\!\! {1\over 2} \left| \begin{array}{cc} x_2 &x_3\\ y_2 &y_3 \end{array} \right| \end{eqnarray}
(ii)當 $O,B,C$ 成為順時針(或左手系)定向時,如圖4,則 $\Delta OBC$ 的面積為 \begin{eqnarray*} S\!\!&\!\!=\!\!&\!\! {1\over 2}\rho_1 \rho_2\sin(\theta_1-\theta_2)\\ \!\!&\!\!=\!\!&\!\! {1\over 2}(x_3 y_2-x_2 y_3)\\ \!\!&\!\!=\!\!&\!\! -{1\over 2} \left| \begin{array}{cc} x_2 &x_3\\ y_2 &y_3 \end{array} \right| \end{eqnarray*} 因此行列式 \begin{eqnarray*} \left| \begin{array}{cc} x_2 &x_3\\ y_2 &y_3 \end{array} \right| \end{eqnarray*} 代表由 $OB$ 與 $OC$ 所生成的平行四邊形的有號面積,當 $O,B,C$ 逆時針定向時為正,順時針定向時為負。利用向量外積也可以推導出這個結果。
回到問題3,不妨假設 $\Delta ABC$ 為逆時針走向,見圖5, 則 $\Delta ABC$ 的面積為 \begin{eqnarray} S\!\!&\!\!=\!\!&\!\!\Delta OAB\!+\!\Delta OBC\!-\!\Delta OAC\nonumber\\ \!\!&\!\!=\!\!&\!\!{1\over 2} \left| \begin{array}{cc} x_1 &x_2\\ y_1 &y_2 \end{array} \right| +{1\over 2} \left| \begin{array}{cc} x_2 &x_3\\ y_2 &y_3 \end{array} \right|\nonumber\\ &&-{1\over 2} \left| \begin{array}{cc} x_1 &x_3\\ y_1 &y_3 \end{array} \right|\nonumber\\ \!\!&\!\!=\!\!&\!\!{1\over 2}\sum\limits_{k=1}^{3} \left| \begin{array}{cc} x_k &x_{k+1}\\ y_k &y_{k+1} \end{array} \right| \end{eqnarray} 其中規定 $x_4=x_1$ 且 $y_4=y_1$
註: 通常教科書將(3)式寫成 \begin{eqnarray} S={1\over 2} \left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 1\\ x_1 &x_2 &x_3\\ y_1 &y_2 &y_3 \end{array} \right| \end{eqnarray}
不過,(3)式適於推廣到任何多邊形,而(4)式則不然。換言之,(4)式是死的,
(3)式才是活的有源之泉。
仿上述之論證可得
定理1: 設 $A_1(x_1,y_1),A_2(x_2,y_2)\hbox{,}$ $\cdots,A_n(x_n,y_n)$ 為 $n$ 邊形之頂點坐標且為逆時針定向,則此 $n$ 邊形的面積為 \begin{eqnarray} S={1\over 2}\sum\limits_{k=1}^{n} \left| \begin{array}{cc} x_k& x_{k+1}\\ y_k& y_{k+1} \end{array} \right| \end{eqnarray}
其中規定 $x_{n+1}=x_1$ 且 $y_{n+1}=y_1$
註:
(5)式又叫做測量師的公式。
3. 醉月湖的面積公式
公式(5)更是活生生的,它還可以再推廣,
無窮化與連續化成平面上封閉曲線所圍成的領域(如醉月湖)之面積公式。為此,
我們根據行列式的性質將(5)式稍作變形
\begin{eqnarray}
S\!&\!=\!&\!{1\over 2}\sum\limits_{k=1}^{n}
\left|
\begin{array}{cc}
x_k &x_{k+1} -x_k\\
y_k &y_{k+1} -y_k
\end{array}
\right|\nonumber\\
\!&\!=\!&\!{1\over 2}\sum\limits_{k=1}^{n}
\left|
\begin{array}{cc}
x_k &\Delta x_k\\
y_k &\Delta y_k
\end{array}
\right|
\end{eqnarray}
如何連續化呢?由微積分我們知道,圓內接正 $n$ 邊形的連續化(即 $n\rightarrow
\infty$ )就得到圓,差和分的連續化就是微積分,參見[3]。按此理,
平面上封閉曲線 $\Gamma$ 所圍成的領域,可以看作是邊長為無窮小(infinitesimal)
的無窮多邊之多邊形(我們採無窮小論證之觀點)。所謂"連續化"在作法上就是將
和分 $\Sigma$ 改為積分 $\int$
差分 $\Delta$ 改為微分 $d$
因此,(5)式的連續化就變成
\begin{equation}
S=\!{1\over 2}\hbox{$\displaystyle{\int}\hskip -.4cm \circlearrowleft$}_\Gamma
\left|\begin{array}{cc}
x& dx \\
y& dy
\end{array}
\right|
\!=\!{1\over 2}\hbox{$\displaystyle{\int}\hskip -.4cm \circlearrowleft$}_\Gamma xdy-ydx
\end{equation}
此地積分記號 $\hbox{$\displaystyle{\int}\hskip -.4cm \circlearrowleft$}_\Gamma$ 意指沿 $\Gamma$ 以逆時針方向作曲線積分
(line integral)。
我們可以這樣來理解(6)式:想像封閉曲線 $\Gamma$ 上無窮地接近的兩點
$(x,y)\hbox{、}(x+dx,y+dy)$
與原點 $(0,0)$ 所圍成無窮小的三角形面積為
\begin{eqnarray*}
{1\over 2}
\left|
\begin{array}{cc}
x &x+dx\\
y &y+dy
\end{array}
\right|
={1\over 2}
\left|
\begin{array}{cc}
x &dx\\
y &dy
\end{array}
\right|
\end{eqnarray*}
再讓 $(x,y)$ 沿曲線 $\Gamma$ 的逆時針方向變動,連續地求和(即積分),
就得到(7)式,參見圖6。
例1: 橢圓 $\Gamma$ 的參數方程式為 \begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{l} x=a\cos t \\ y=b\sin t \quad 0\le t\le 2\pi \end{array} \right. \end{eqnarray*} 由(7)式算得 \begin{eqnarray*} S\!\!&\!\!=\!\!&\!\!{1\over 2}\hbox{$\displaystyle{\int}\hskip -.4cm \circlearrowleft$}_\Gamma xdy-ydx\\ \!\!&\!\!=\!\!&\!\!{1\over 2}\int_{0}^{2\pi}[a\cos t\cdot b\cos t\\ \!\!&\!\!-\!\!&\!\!b\sin t(-a\sin t)]dt\\ \!\!&\!\!=\!\!&\!\!{1\over 2}ab\int_{0}^{2\pi}dt\\ \!\!&\!\!=\!\!&\!\!\pi ab \end{eqnarray*} 這恰是通常熟悉的橢圓面積公式。 因此我們很有理由相信公式(7)是對的。事實上, 我們可以採用一般微積分教科書上的極限論證法給予證明。不過,我們要指明: 從Leibniz或非標準分析(non-standard analysis)的眼光來看, 無窮小論證法是合法的(歷史上曾被宣佈為"非法的"),更漂亮而具有發現的潛力, 並且足以保證(7)式是成立的。
定理2: 設 $\Gamma:t\in [a,b]\rightarrow(x(t)$, $y(t))\in \hbox{R}^2$ 為一條單純的(即沒有打結)、封閉的可微分曲線,並且是逆時針定向,則 $\Gamma$ 所圍成的領域之面積為 \begin{eqnarray} S\!\!&\!\!=\!\!&\!\!{1\over 2}\hbox{$\displaystyle{\int}\hskip -.4cm \circlearrowleft$}_\Gamma \left| \begin{array}{cc} x &dx\\ y &dy\nonumber \end{array} \right|\\ \!\!&\!\!=\!\!&\!\!{1\over 2}\hbox{$\displaystyle{\int}\hskip -.4cm \circlearrowleft$}_\Gamma xdy-ydx\nonumber\\ \!\!&\!\!=\!\!&\!\!{1\over 2}\!\!\int_{a}^{b}[x(t)y'(t)\!\!-y(t)x'(t)]dt \end{eqnarray}
註: (8)式表示,沿著曲線 $\Gamma$ 繞一圈,作某種功(或度量), 就知道曲線所圍的面積,這真奇妙。一位農夫沿著農地走一圈就知道面積!
對於極坐標描述的封閉曲線 $\Gamma:r=f(\theta),a\le\theta\le b$ 可改為參數方程式 \begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{l} x=f(\theta)\cos\theta\\ y=f(\theta)\sin\theta \quad\quad a\le\theta\le b \end{array} \right. \end{eqnarray*} 計算 $$x(\theta)y'(\theta)-y(\theta)x'(\theta)=(f(\theta))^2$$ 於是得到:
推論:
設 $\Gamma :r=f(\theta),a\le\theta\le b,$ 為一條單純的、 封閉的可微分極坐標曲線,則 $\Gamma$ 所圍成領域之面積為 \begin{equation} S={1\over 2}\int_{a}^{b}(f(\theta))^2d\theta \end{equation} 註: 事實上,不必限於封閉的極坐標曲線,(9)式亦成立。 這是在微積分中我們熟悉的一個公式。 例2: 設 $a>0$,考慮半徑為 $a$ 的圓在半徑為 $3a$ 的圓內部沿著圓周滾動, 試求滾動圓上一點 $P$ 的軌跡所圍成領域之面積。 解: 如圖7所示,取圓心為原點,並且小圓上的 $P$ 點起先跟 $(3a,0)$ 點重合, 然後開始滾動,再取圓心角 $\theta$ 當參數,容易算出 $P$ 點的坐標 $(x,y)$ 滿足 \begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{l} x\!\!=\!\!2a\cos\theta\!\!+\!\!a\cos 2\theta\\ y\!\!=\!\!2a\sin\theta\!\!-\!\!a\sin 2\theta,\quad 0\le\theta\le 2\pi \end{array} \right. \end{eqnarray*} 我們稱 $P$ 點的軌跡為圓內三尖輪迴線 (Deltoid)。由公式(8)知, 它所圍成領域之面積為 \begin{eqnarray*} S\!\!&\!\!=\!\!&\!\!{1\over 2}\hbox{$\displaystyle{\int}\hskip -.4cm \circlearrowleft$}_\Gamma xdy-ydx\\ \!\!&\!\!=\!\!&\!\!{a^2\over 2}\int_{0}^{2\pi}[(2\cos\theta+\cos 2\theta)\\ &&\quad\cdot(2\cos\theta-2\cos 2\theta)\\ &&-(2\sin\theta-\sin 2\theta)\\ &&\cdot(-2\sin\theta-2\sin 2\theta)]d\theta\\ \!\!&\!\!=\!\!&\!\!{a^2\over 2}\int_{0}^{2\pi}(2-2\cos 3\theta)d\theta\\ \!\!&\!\!=\!\!&\!\!2\pi a^2 \end{eqnarray*}
習題: 求星形線 $x^{2\over 3}+y^{2\over 3}=a^{2\over 3},a>0,$ 所圍的面積。
4.推廣成 Green 定理
公式(8)是露出海面上的冰山之一角,底下還有更廣大的整座冰山。 為了發現這座冰山,我們將(8)式重新整理成: \begin{equation} \iint_\Omega 2dxdy=2S=\hbox{$\displaystyle{\int}\hskip -.4cm \circlearrowleft$}_\Gamma xdy-ydx \end{equation} 其中 $\Omega$ 表示 $\Gamma$ 所圍成的領域,通常也記 $\Gamma=\partial\Omega$, 表示 $\Omega$的邊界。 (10)式顯示兩重積分與線積分具有密切關係。常函數 $\varphi(x,y)=2$ 在 $\Omega$ 的內部作兩重積分就等於向量場 $\vec V(x,y)=x\vec i-y\vec j$ 沿 $\Omega$ 的邊界 $\partial\Omega$ 作線積分。 這條線索類似於微積分根本定理 \begin{eqnarray*} \int_{[a,b]} f'(x)dx\!\!&\!\!=\!\!&\!\!\int_{\partial[a,b]}f(x)dx\\ \!\!&\!\!=\!\!&\!\!f(b)-f(a) \end{eqnarray*} 亦即 $f$ 在邊界 $\partial[a,b]$ 上作積分(得 $f(b)-f(a)$ ) 等於 $f$ 的變化率 $f'$ 在 $[a,b]$ 上作積分。因此,常函數 $\varphi(x,y)=2$ 似乎應該就是向量場 $\vec V(x,y)=x\vec i-y\vec j$ 的某種"變化率" (或"微分")。 為了尋找兩重積分與線積分的一般關係式,我們考慮平面上的向量場 $$\vec F(x,y)=P(x,y)\vec i+Q(x,y)\vec j$$ 沿著一條封閉曲線 $\Gamma$ 作線積分 $$\hbox{$\displaystyle{\int}\hskip -.4cm \circlearrowleft$}_\Gamma\vec F\cdot d\vec r=\hbox{$\displaystyle{\int}\hskip -.4cm \circlearrowleft$}_\Gamma P(x,y)dx+Q(x,y)dy$$
問題4: 線積分 $\hbox{$\displaystyle{\int}\hskip -.4cm \circlearrowleft$}_\Gamma Pdx+Qdy$ 可化成 $\Omega$ 上什麼形式之兩重積分, 包括(10)式為特例? 我們仔細觀察(10)式。欲 $\hbox{$\displaystyle{\int}\hskip -.4cm \circlearrowleft$}_\Gamma $$xdy-ydx$ 改寫成 $\hbox{$\displaystyle{\int}\hskip -.4cm \circlearrowleft$}_\Gamma$$ Pdx+Qdy$ 之形, 只需取 $P(x,y)=-y$ 且 $Q(x,y)=x$ 就好了。但是 $\iint_\Omega 2dxdy$ 這一項怎麼來的呢?容易看出 ${\partial Q\over \partial x}-{\partial P\over \partial y}=1-(-1)=2$ >因此 $\iint_\Omega 2dxdy$ 就是由 $\iint_\Omega ({\partial Q\over \partial x}- {\partial P\over \partial y})dxdy $ 得來的。 到此為止,我們已經可以提出猜測(Conjecture): \begin{equation} \!\!\hbox{$\displaystyle{\int}\hskip -.4cm \circlearrowleft$}_{\partial\Omega} P dx\!+\!Q dy\!=\!\!\iint_\Omega ({\partial Q\over \partial x}\!\!-\!\!{\partial P\over \partial y}) dxdy \end{equation} 我們先用一個例子來檢驗(11)式。 例3: 設 $\vec F(x,y)=2y\vec i+3x\vec j$,即 $P(x,y)=2y,\quad Q(x,y)=3x, \quad \Gamma:x^2+y^2=1$ 為單位圓,取參數方程式 \begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{l} x=\cos t\\ y=\sin t \quad ,0\le t\le 2\pi \end{array} \right. \end{eqnarray*} 則 \begin{eqnarray*} &&\!\!\hbox{$\displaystyle{\int}\hskip -.4cm \circlearrowleft$}_\Gamma Pdx+Qdy\!=\!\hbox{$\displaystyle{\int}\hskip -.4cm \circlearrowleft$}_\Gamma 2ydx+3xdy\\ \!\!&\!\!=\!\!&\!\!\int_{0}^{2\pi}[2\sin t(\!\!-\sin t) +3\cos t\cdot\cos t]dt\\ \!\!&\!\!=\!\!&\!\!\int_{0}^{2\pi}({1\over 2}+{5\over 2}\cos 2t)dt\\ \!\!&\!\!=\!\!&\!\!\pi \end{eqnarray*} 另一方面 \begin{eqnarray*} &&\!\!\iint_\Omega ({\partial Q\over \partial x}-{\partial P\over \partial y})dxdy\\ \!\!&\!\!=\!\!&\!\!\iint_{x^2+y^2\le 1}(3-2)dxdy=\pi \end{eqnarray*} 因此,上述猜測對於本例成立。 我們已有相當理由支持(11)式之猜測,那麼我們就試證看看吧。 仍然從最簡單的情形著手: (i)當 $\Omega=[a,b]\times[c,d]$ 為矩形領域時,參見圖8。 \begin{eqnarray*} &&\!\!\hbox{$\displaystyle{\int}\hskip -.4cm \circlearrowleft$}_{\partial\Omega} Pdx+Qdy\\ \!\!&\!\!=\!\!&\!\!\int_{a}^{b}P(x,c)dx+\int_{c}^{d}Q(b,y)dy\\ \!\!&\!\!\!\!&\!\!+\int_{b}^{a}P(x,d)dx+\int_{d}^{c}Q(a,y)dy\\ \!\!&\!\!=\!\!&\!\!\int_{c}^{d}(Q(b,y)-Q(a,y))dy\\ \!\!&\!\!\!\!&\!\!-\int_{a}^{b}(P(x,d)-P(x,c))dx \end{eqnarray*} 由 Newton-Leibniz 公式(簡稱 $N-L$ 公式)知 \begin{eqnarray*} Q(b,y)-Q(a,y)=\int_{a}^{b}{\partial Q\over \partial x}dx\\ P(x,d)-P(x,c)=\int_{c}^{d}{\partial P\over \partial y}dy \end{eqnarray*} 所以 \begin{eqnarray*} &&\!\!\hbox{$\displaystyle{\int}\hskip -.4cm \circlearrowleft$}_{\partial\Omega} Pdx+Qdy\\ \!\!&\!\!=\!\!&\!\!\int_{c}^{d}\int_{a}^{b}{\partial Q\over \partial x}dxdy -\int_{a}^{b}\int_{c}^{d}{\partial P\over \partial y}dydx\\ \!\!&\!\!=\!\!&\!\!\iint_\Omega ({\partial Q\over \partial x}-{\partial P\over \partial y})dxdy \end{eqnarray*}
(ii)其次考慮平面領域 $\Omega$,滿足:邊界 $\Gamma=\partial\Omega$ 跟平行於 $x$軸與 $y$ 軸的直線至多只交於兩點,參見圖9。
我們只需要證明 \begin{equation} \hbox{$\displaystyle{\int}\hskip -.4cm \circlearrowleft$}_\Gamma Pdx=-\iint_\Omega {\partial P\over \partial y}dxdy \end{equation} 與 \begin{equation} \hbox{$\displaystyle{\int}\hskip -.4cm \circlearrowleft$}_\Gamma Qdy=\iint_\Omega {\partial Q\over \partial x}dxdy \end{equation} 再相加起來就好了。今證(12)式:邊界 $\Gamma$ 可以分成兩部分 $\Gamma_1:CDA$ 與 $\Gamma_2:ABC$ 分別由函數 $y=f_1(x)$ 與 $y=f_2(x)$, $x\in [a,b]$ 所定義,於是 \begin{eqnarray*} &&\hbox{$\displaystyle{\int}\hskip -.4cm \circlearrowleft$}_\Gamma Pdx\\ \!\!&\!\!=\!\!&\!\!\int_{\Gamma_1} Pdx\!+\!\int_{\Gamma_2} Pdx\\ \!\!&\!\!=\!\!&\!\!\int_{a}^{b}P(x,f_2(x))dx \!+\!\int_{b}^{a}P(x,f_1(x))dx\\ \!\!&\!\!=\!\!&\!\!-\int_{a}^{b}[P(x,f_1(x)) \!-\!P(x,f_2(x))]dx\\ \!\!&\!\!=\!\!&\!\!-\int_{a}^{b}\int_{f_2(x)}^{f_1(x)}{\partial P\over \partial y}dydx\quad \hbox{(由N-L公式)}\\ \!\!&\!\!=\!\!&\!\!-\iint_\Omega {\partial P\over\partial y}dxdy \end{eqnarray*} 同理可證明(13)式。
(iii)當 $\Omega$ 為單純連通領域(simply connected region)時, 可以分割成幾個(ii)的領域之聯集,這種情形上述的猜測也成立。參見圖10。
定理3: (Green 定理,1828年) 設 $\Omega$ 為由封閉曲線 $\Gamma$ 所圍成的單純連通領域, 並且 $P,Q,{\partial Q\over\partial x},{\partial P\over\partial y}$ 在 $\Omega$ 上皆為連續函數,則 \begin{equation} \hbox{$\displaystyle{\int}\hskip -.4cm \circlearrowleft$}_\Gamma Pdx+Qdy=\iint_\Omega({\partial Q\over \partial x}-{\partial P \over \partial y})dxdy \end{equation}
註: 我們不去追求最廣泛的Green定理。一般微積分教科書都將(10)式貶為是(14) 式的特例或腳註。我們反其道而行,將(10)式視為是生出(14)式的胚芽(germ) 或線索(clue)。
5.整裝待發
如何將 Green 定理推廣到三維空間?為此,我們要對於 Green 定理的形式與內涵兩方面作更詳細的考察。
甲. 形式上的觀察
Green 定理可以寫成兩個等價的形式:
\begin{equation}
\hbox{$\displaystyle{\int}\hskip -.4cm \circlearrowleft$}_\Gamma Pdx+Qdy=\iint_\Omega ({\partial Q\over\partial x}-{\partial
P\over\partial y})dxdy
\end{equation}
\begin{equation}
\hbox{$\displaystyle{\int}\hskip -.4cm \circlearrowleft$}_\Gamma Pdy-Qdx=\iint_\Omega ({\partial P\over\partial x}+{\partial
Q\over\partial y})dxdy \end{equation}
事實上,在(15)式中,將 $P$ 改為 $-Q$, $Q$ 改為 $P$,就得到(16)式；
反過來,在(16)式中,將 $P$ 改為 $Q$, $Q$ 改為 $-P$ ,就得到(15)式。
進一步,採用向量記號將(15)與(16)改寫:
令向量場 $\vec F(x,y)=P(x,y)\vec i+Q(x,y)\vec j$,
及微分算子 $\nabla={\partial\over\partial x}\vec i+{\partial\over \partial
y}\vec j$ 。模仿向量的內積與外積運算,我們定義:
\begin{eqnarray}
\nabla\cdot\vec F
&=&\!({\partial\over\partial x}\vec i
+{\partial\over\partial y}\vec j)\cdot(P\vec i+Q\vec j)\nonumber\\
&=&\!{\partial P\over\partial x}+{\partial Q\over\partial y}
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
\nabla\times\vec F&=&\!({\partial\over\partial x}
\vec i+{\partial\over\partial y}\vec j)\times(P\vec i+Q\vec j)\nonumber\\
&=&\!\left|\begin{array}{ccc}
\vec i & \vec j & \vec k\\
{\partial\over\partial x}&{\partial\over\partial y}&{\partial\over\partial z}\\
P & Q & 0
\end{array}
\right|\nonumber\\
&=&\!({\partial Q\over\partial x}-{\partial P\over \partial y})
\vec k
\end{eqnarray}
再令 $s$ 表示曲線 $\Gamma$ 之弧長參數, $ds$ 表示無窮小線元,
於是單位切向量為
$$\vec T={dx\over ds}\vec i+{dy\over ds}\vec j$$
向外單位法向量為
$$\vec n={dy\over ds}\vec i-{dx\over ds}\vec j$$
參看圖11。於是
$\nabla\cdot\vec F$ 與 $\nabla\times\vec F$
(即(17)與(18)兩式)代表什麼物理意義呢?
由於Green公式與 $N-L$ 公式在形式與內涵上都具有相同的本質,
所以 $\nabla\cdot\vec {F}\hbox{、}\nabla\times\vec F$
與函數 $f'$ 應該具有密切關連。
問題5:
如何解釋 $N-L$ 公式
$$f(b)-f(a)=\int_{a}^{b}f'(x)dx\quad\hbox{?}$$
我們採用流體流動的觀點來解釋。考慮一根直線管子,參見圖12,
假設橫截面具有單位面積。
今想像有流體在管子中流動,其速度場為 $\vec v (x)=v(x)\vec i$, 密度為 $\rho (x)\hbox{。}$ 令向量場 $\vec F(x)=\rho (x)v(x)\vec i=f(x)\vec i$ 這叫做流體的通量向量場(the flux vector field of the flow)。 因此, $f(x)$ 表示單位時間流體通過 $x$ 點處橫截面之通量(flux)。 由於 $\vec i$ 是向右之單位向量,故當 $f(x)>0$ 時, 表示流體向右流過 $x$ 點處的截面; 當 $f(x)/lt 0$ 時,表示流體向左流過 $x$ 點處的截面。 於是從大域的(global)眼光來看,$f(b)-f(a)$ 表示在管段 $[a,b]$中, 單位時間流體的減少量,即單位時間流體流出 $[a,b]$ 的通量。
另一方面,從局部的(local)眼光來看流速場的變化。 考慮區間 $[\alpha,\beta] \subset[a,b]$ 且 $x\in (\alpha,\beta)$, 那麼 $f(\beta)-f(\alpha)$ 表示在管段 $[\alpha,\beta]$ 中單位時間流體的減少量,從而,牛頓商 ${f(\beta)-f(\alpha)\over\beta-\alpha}$ 表示單位時間單位長度管段 $[\alpha,\beta]$ 中流體的平均減少量。 因此微分 \begin{equation} f'(x)=\lim_{\beta\downarrow x,\alpha\uparrow x}{f(\beta)-f(\alpha) \over\beta-\alpha} \end{equation} 表示單位時間單位長度流體在 $x$ 點處的減少量,亦即在 $x$ 點單位時間單位長度流散出的量,因此叫做散度(divergence)。按積分的定義可知, $\int_{a}^{b}f'(x)dx$ 表示單位時間流體在 $[a,b]$ 中的減少量。 今因流體不會無中生有,也不會無故消失,所以 $N-L$公式 $f(b)-f(a)=\int_{a}^{b}f'(x)dx$ 顯然成立。這是一種散度定理。
上述流體的觀點,推廣到兩維平面恰好也就是Green定理(20)式的解釋。 為了說明這件事,我們必須推廣(21)式。
在(21)式中,分母可改為矩形的面積,但是分子較難推廣,不過並不絕望。 我們重新整頓一下${f(\beta)-f(\alpha)\over\beta-\alpha}$ : 分母是區間 $I=[\alpha,\beta]$ 的長度,記為 $|I|$, 而分子 $f(\beta)-f(\alpha)$ 改為 $$f(\beta)-f(\alpha)=\sum\limits_{i=1}^{2}(-1)^i f(r_i)$$ 其中 $r_1\!\!=\!\!\alpha,\quad r_2\!\!=\!\!\beta$ 是 $I$ 的邊界點, 符號 $(-1)^i$ 表示在左端點取負號, 右端點取正號,這樣才符合流體流出 $I=[\alpha,\beta]$ 的意思, 即在 $I$ 的端點流體是向外流出的。換言之,在邊界點都賦予向外法向之概念, 即 \begin{equation} f'(x)\!\!=\!\! \!\!\lim_{I\downarrow\{x\}}{\sum f(r_i)\cdot(\hbox{在點 $r_i$ 之向外法向}) \over |I|} \end{equation} 其中 $\sum\limits$ 是對 $I$ 的邊界點來求和的。經過這樣的修飾, (22)式才適合推廣到高維空間。 設 $\vec F(x,y)=P(x,y)\vec i+Q(x,y)\vec j$ 為兩維平面上的一個向量場,想像成流體的通量向量場。 令 $S\subset\hbox{R}^2$ 為平面上一塊領域, $(x,y)\in S$,將(22)式中的求和 $\sum\limits$ 改為沿邊界 $\partial S$ 作積分,即定義: \begin{equation} \lim_{S\downarrow\{(x,y)\}}{\int_{\partial S}\vec F\cdot\vec n ds\over |S|}=(div\vec F)(x,y) \end{equation} 叫做向量場 $\vec F$ 在 $(x,y)$ 點的散度(divergence), 其中 $|S|$ 表示 $S$ 的面積,$\vec n$ 表示沿邊界的 $\partial S$ 的向外單位向量。這是一維導數(22)式的類推與推廣。
根據定義, $(div\vec F)(x,y)$ 代表在 $(x,y)$ 點處單位時間單位面積流體向外流出的通量。
這是局部變化率,是向量場 $\vec F$ 的一種"微分"概念。
按兩重積分的定義, $\iint_\Omega(div F)dA$ 的意義是:將 $\Omega$ 分割成無窮多塊的無窮小塊,參見圖13。於是 $(div\vec F)dA$ 表示單位時間流體流出 $dA$ 的通量,然後對整個 $\Omega$ 連續求和, 即作積分,就得到 $\iint_\Omega(div\vec F)dA$ 。由於在內部的邊界, 流體的進出恰好抵消,整個合起來只剩下流出邊界 $\partial\Omega$ 的通量。 因此, $\iint_\Omega(div\vec F)dA$ 代表單位時間流體流出 $\partial\Omega$ 的通量。 另一方面, 這個流出通量按定義就是線積分$\hbox{$\displaystyle{\int}\hskip -.4cm \circlearrowleft$}_{\partial\Omega}\vec F\cdot\vec n ds$, 所以下式顯然成立: \begin{equation} \hbox{$\displaystyle{\int}\hskip -.4cm \circlearrowleft$}_{\partial\Omega}\vec F\cdot\vec n ds=\iint_\Omega(div\vec F)dA \end{equation} 此式跟(20)式還有一段距離,不過我們可以證明 \begin{equation} div\vec F=\nabla\cdot\vec F={\partial P\over\partial x}+ {\partial Q\over\partial y} \end{equation} 代入(24)式就得到法向式的Green公式了。
另一方面,在上述(23)式的定義中,其分子是沿邊界 $\partial S$
的向外單位法向作積分,現在如果改為沿邊界的切向 $\vec T$ 作積分,
用循環量(Circulation)代替通量(flux),就得到旋度(Curl或rotation)的定義:
\begin{equation}
\!\!\lim_{S\downarrow\{(x,y)\}}{\int_{\partial S}\vec F\cdot\vec T ds\over
|S|}\!\!=\!\!(rot\vec F)(x,y)\cdot\vec k
\end{equation}
換言之, $rot\vec F$ (有時也記為 $Curl\vec F)$ 為一個向量場,
它在 $z$ 軸的投影恰好就是流體在 $(x,y)$ 點處單位時間單位面積的循環量。
這也是局部變化率,是向量場 $\vec F$ 的另一種"微積分"概念。
按重積分的定義,$\iint_\Omega(rot\vec F)\cdot\vec k dA$ 的意義是:
將 $\Omega$ 分割成無窮多塊的無窮小塊,參見圖14。
於是 $(rot\vec F)\cdot\vec k dA$
表示單位時間流體繞 $dA$ 的循環量,然後對整個 $\Omega$ 作積分得到
$\iint_\Omega(rot\vec F)\cdot\vec k dA$
。由於沿內部的邊界之循環量恰好來回抵消,
整個合起來只剩下沿邊界 $\partial\Omega$ 的循環量。另一方面,
這個總循環量按定義就是線積分 $\hbox{$\displaystyle{\int}\hskip -.4cm \circlearrowleft$}_{\partial\Omega} \vec F\cdot\vec T ds$
,所以下式顯然成立:
\begin{equation}
\hbox{$\displaystyle{\int}\hskip -.4cm \circlearrowleft$}_{\partial\Omega}\vec F\cdot\vec T ds=\iint_\Omega (rot\vec F)\cdot\vec k
dA
\end{equation}
我們也可以證明
\begin{equation}
(rot\vec F)\cdot\vec k=(\nabla\times\vec F)\cdot\vec k=
{\partial Q\over \partial x}-{\partial P\over \partial y}
\end{equation}
代入(27)式就得到切向式的Green公式了。
下面我們就來證明(25)與(28)兩式。 為了計算方便起見,我們作一矩形,以 $(x,y)$ 點為中心,圍成領域S, 並且四邊跟 $x$ 軸或 $y$ 軸平行,參見圖15。 設 $AB=\Delta x,BC=\Delta y$,於是四個頂點的坐標為 \begin{eqnarray*} A=(x-{1\over 2}\Delta x,y-{1\over 2}\Delta y),\\ B=(x+{1\over 2}\Delta x,y-{1\over 2}\Delta y),\\ C=(x+{1\over 2}\Delta x,y+{1\over 2}\Delta y),\\ D=(x-{1\over 2}\Delta x,y+{1\over 2}\Delta y), \end{eqnarray*} 我們先證明(25)式。為此,必須估算流體流出 $S$ 之通量。 流體流出邊界 $AB$, $CD,AD$ 與 $BC$ 的通量分別約為 \begin{eqnarray*} &&-Q(x,y-{1\over 2}\Delta y)\cdot\Delta x,\\ &&Q(x,y+{1\over 2}\Delta y)\cdot\Delta x,\\ &&-P(x-{1\over 2}\Delta x,y)\cdot\Delta y,\\ &&P(x+{1\over 2}\Delta x,y)\cdot\Delta y, \end{eqnarray*} 其中我們取四邊的中點當估值的代表點。因此,流出 $S$ 的通量約為 \begin{eqnarray*} [P(x\!\!+\!\!{1\over 2}\!\Delta x,y) \!\!-\!\!P(x\!\!-\!\!{1\over 2}\!\Delta x,y)]\!\Delta y\\ \!+\![Q(x,y\!\!+\!\!{1\over 2}\!\Delta y) \!\!-\!\!Q(x,y\!\!-\!\!{1\over 2}\!\Delta y)]\! \Delta x \end{eqnarray*} 由平均變率定理(Mean value theorem),這個通量為 \begin{equation} [{\partial P\over\partial x}(x\!+\!\xi\Delta x,y)\!+\! {\partial Q\over\partial y}(x,y+\eta\Delta y)]\Delta x \Delta y \end{equation} 其中 $0/lt \xi,\eta/lt 1$。顯然, 當 $\Delta x$ 與 $\Delta y$ 越來越小時,近似估計就越來越精確。
今將(29)式除以 $|S|=\Delta x\Delta y$, 再讓 $\Delta x$ 與 $\Delta y$ 趨近於 $0$,則得 $$\lim_{S\downarrow\{(x,y)\}}{\int_{\partial S}\!\!\vec F\cdot\vec n ds\over |s|} \!=\!{\partial P\over \partial x}(x,y)\!+\!{\partial Q\over \partial y}(x,y)$$ 亦即 $$(div\vec F)(x,y)=(\nabla\cdot\vec F)(x,y)$$ 於是(25)式得證。
其次證明(28)式,仍然參見圖15。我們要估算流體沿邊界 $\partial S$ 的循環量,即 $\vec F$ 沿 $AB\hbox{、}BC\hbox{、}CD\hbox{、}DA$ 的線積分,其總和約為 \begin{eqnarray} [P(x,y\!-\!{1\over 2}\!\Delta\! y) \!-\!P(x,y\!+\!{1\over 2}\!\Delta\! y)]\!\Delta\! x\nonumber\\ \!+\![Q(x\!+\!{1\over 2}\!\Delta\!x,y) \!-\!Q(x\!-\!{1\over 2}\!\Delta\!x,y)]\!\Delta\! y\nonumber\\ =[{\partial Q\over\partial x}(x+\xi\Delta x,y)\qquad\qquad\quad\quad \nonumber\\ \!-\!{\partial P\over \partial y}(x,y+\eta\Delta y)] \Delta x \Delta y\qquad\qquad \end{eqnarray} 其中 $0/lt \xi,\eta/lt 1$。
將(29)式除以 $|S|=\Delta x\Delta y$, 再讓 $\Delta x$ 與 $\Delta y$ 趨近於0,得到 $$\lim_{S\downarrow\{(x,y)\}}{\int_{\partial S}\!\!\vec F\cdot\vec T ds\over |S|} \!=\!{\partial Q\over\partial x}(x,y)\!-\!{\partial P \over \partial y}(x,y)$$ 亦即 $$(rot\vec F)(x,y)=(\nabla\times\vec F)(x,y)$$ 從而(28)式得證。
6.推廣到三維空間:Gauss定理與Stokes定理
抓住了Green公式的形式與內涵,要推廣到三維空間就不難了。首先令 \begin{eqnarray*} \vec F(x,y,z)\!\!&\!\!=\!\!&\!\!P(x,y,z)\vec i\!\!+\!\!Q(x,y,z)\vec j\nonumber\\ \!\!&\!\!+\!\!&\!\!R(x,y,z)k \end{eqnarray*} 表示空間中的一個向量場(Vector field),即定義在空間中某領域的一個向量值函數。
定義: \begin{eqnarray*} \nabla\cdot\vec F \!\!&\!\!=\!\!&\!\! {\partial P\over\partial x}+ {\partial Q\over\partial y}+{\partial R\over \partial z}\nonumber\\ \nabla\times\vec F \!\!&\!\!=\!\!&\!\! \left| \begin{array}{ccc} \vec i & \vec j & \vec k\\ {\partial\over{\partial x}}&{\partial\over{\partial y}}&{\partial\over{\partial z}}\\ P & Q & R \end{array} \right| \\ \!\!&\!\!=\!\!&\!\!({\partial R\over\partial y}-{\partial Q\over \partial z})\vec i +({\partial P\over\partial z}-{\partial R\over \partial x})\vec j\nonumber\\ \!\!&\!\!+\!\!&\!\!({\partial Q\over \partial x}-{\partial P\over \partial y})\vec k \end{eqnarray*} 分別叫做向量場 $\vec F$ 的散度與旋度。
其次我們注意到,平面領域 $\Omega$ 可以有兩個方向的推廣:
一個是空間中的可定向(Orientable)曲面S(Möbius帶子就不是可定向曲面),
參見圖16；另一個是空間中的一塊立體領域V,參見圖17。
在(19)式中, $\vec k$ 是 $\Omega$ 的向外單位法向量;當 $\Omega$ 改為空間曲面 $S$ 時, $\vec k$ 就應該改為 $S$ 的向外單位向量 $\vec n$。
我們可以證明 $\nabla\cdot\vec F$ 與 $\nabla\times \vec F$ 跟二維的情形有類似的解釋。$\nabla\cdot\vec F(x,y,z)$ 表示單位時間單位體積流體在點 $(x,y,z)\in V$ 的流出通量,$(\nabla \times\vec F)(x,y,z)\cdot\vec n$ 表示單位時間單位體積流體在點 $(x,y,z)\in S$ 的循環量。從而(19)與(20)兩式就推廣為:
定理4: (Gauss定理, 又叫做散度定理, 1839年) 設向量場 $\vec F$ 的分量 $P,Q,R$ 及其一階偏導函數皆為連續函數, 則 \begin{equation} \iint_{\partial V}\vec F\cdot\vec n dA= \iiint_V(\nabla\cdot\vec F)dv \end{equation} 其中 $\partial V$ 為圍成 $V$ 之封閉曲面,$dV$ 表示無窮小的體積元。
定理5: (Stokes定理, 又叫做旋度定理, 1854年) 在與定理4相同的假設下,我們有 \begin{equation} \hbox{$\displaystyle{\int}\hskip -.4cm \circlearrowleft$}_{\partial S}\vec F\cdot\vec T ds =\iint_S(\nabla\times\vec F)\cdot\vec n dA \end{equation} 參見圖16。
在上述中,(31)式與(32)式分別將曲面積分與三重積分, 線積分與曲面積分連結起來。若採用直角坐標系來表達,它們分別就是 \begin{eqnarray*} &&\iint_{\partial V} Pdydz+Qdzdx+Rdxdy\\ \!\!&\!\!=\!\!&\!\!\iiint_V({\partial P\over \partial x} +{\partial Q\over\partial y}+{\partial R\over\partial z})dxdydz \end{eqnarray*} 以及 $\quad \displaystyle{ \int_{\partial S}Pdx+Qdy+Rdz}$ \begin{eqnarray} \!\!&\!\!=\!\!&\!\!\iint_{S}\!({\partial R\over \partial y} \!-\!{\partial Q\over \partial z})\!dydz\!+\! ({\partial P\over \partial z}\!\!-\!\!{\partial R\over \partial x})\!dzdx\nonumber\\ \!\!&\!\!&\!\!+({\partial Q\over \partial x}-{\partial P\over \partial y})dxdy\end{eqnarray} 這一切可以再推廣到 $\hbox{R}^n$ 的可定向 $k$ 維可微分子流形 $M\subset\hbox{R}^n$, 用微分式的積分與外微分理論,統合成為廣義的 Stokes 定理: \begin{equation} \int_{M} d\omega=\int_{\partial M} \omega \end{equation} 其中 $\omega$ 為 $k-1$ 型微分式。這是微積分學根本定理最本質的形式。
7.特殊與普遍的互相含納
我們從醉月湖的求面積問題出發,先退到多邊形,再退到三角形, 最後更退到一頂點是原點之特殊三角形。此時問題變得很簡單,一下子就解決了。 然後開始前進,先是一般三角形,再來是多邊形,緊抓住公式的正確形式, 連續化就解決了求醉月湖的面問題。接著順勢推舟,飛躍出Green定理, 整理成法向式與切向式,再類推、推廣成三維空間的Gauss定理與Stokes定理, 最後統合於廣義的Stokes定理。
這種解決問題的「退進之道」,在數學中隨處可見。偉大數學家Hilbert 說得淋漓盡致:「做數學的要訣(或藝術)在於找到含有普遍性的所有胚芽那個特例。」 (The art of doing mathematics consists in finding that special case which contains all the germs of generality。)三角形的面積公式就是符合Hilbert 所說的「那個特例」。本文正好可作為Hilbert這句名言之腳註。
特殊孕育出普遍,充實普遍；普遍又回過頭來照顧特殊,含納特殊。 這種特殊到普遍之拾級而上,有機連結,互相啟發與觀照,發人深省。
- 蔡聰明:談Heron公式--- 記一段教學經驗,數學傳播,第十七卷第一期,1993。
- 蔡聰明: 四邊形的面積,數學傳播,第十七卷第三期, 1993。
- 蔡聰明:Leibniz如何想出微積分?數學傳播,第十八卷第三期,1994。
- B.~Grünbaum and G.~C.~Shephard, Pick's Theorem, Amer. Math. Monthly, 150-161, 1993.
- M. J. Crowe, A History of Vector Analysis, Univ. of Notre Dame Press, 1967.
- M. Kline, Mathematical thought from Ancient to modern time, Oxford Univ. Press, 1972.
- D. M. Bressoud, Second year calculus, Springer-Verlag, 1991.
---本文作者任教於台灣大學數學系---