2107 只要想得巧
只要想得巧

數學研究固然經常需要整套整套艱深的理論,但是也有一些短小精幹的片段,只要你抓到了要領, 想的夠機巧,一下就能把看起來難如登天的問題解決掉。在這種地方,是最能見到數學神妙動人的本質了。 我現在想舉幾個這樣的小例子。

首先讓我講一段匈牙利天才數學家波沙(Louis Pósa)的故事。一九五九年當波沙十一歲時, 著名的匈牙利數學家艾爾地希(Paul ErdÖs)經人介紹認識了他,便請他一同去吃午飯。當波沙正在喝湯時, 艾爾地希就出了個題目想考考他的真本領有多大,他說:「波沙啊,你能不能證明假如有n+1個小於或等於2n的正整數, 則它們中間必有一對數是互質的?」顯然易見這個問題對n個數便不對,因為2,4,6,...,2n這n個數絕沒有一對是互質的, 而當初艾爾地希發現如此小小的定理時,還花了十分鐘去找一個真正簡單的證明。但是波沙繼續喝著他的湯, 還沒過半分鐘便答道:「如果你有n+1個小於或等於2n的正整數,總會有兩個是相鄰的,當然它們倆是互質的了。」 這不是跟大數學家高斯七歲時便能一下算出1加到100相媲美嗎?事實上匈牙利這麼一個小小的國家,本世紀可真出了不少大數學家, 主要是因為他們非常重視中小學的數學教育,不僅有數學天才的專門中學,校際以及電視上的數學競試,而且還有一份有八十多年歷史, 專門給中學生看的數學雜誌,希望我們的「數學傳播」也能發揮同樣的作用。

第二個例子是有關用邊長1與2的矩形骨牌,覆蓋邊長為8的西洋棋盤。大家都知道如果你把棋盤的右上角與左下角裁掉, 就無法用31塊骨牌來蓋滿。(請參看圖一)

圖1
圖2

因為截去的兩角均為黑色,而一塊骨牌必須同時蓋住一黑格一白格,現在有30個黑格,32個白格,只好「沒法度」了。 (這還是六十五學年度台大數學研究所博士班的考題呢!請參看「數學傳播」第一卷第二期144頁)但是如果我們任意割掉一黑格一白格, 剩下的棋盤是不是一定可以用31塊骨牌蓋住呢?這個問題就不那麼容易回答了。當然你可以畫幾個例子看,然而試試給一個證明說他可以, 或是給一個反例說他不可以!這個問題的解答其實是正面的,然而最初的證明建立在圖像的配對理論上,相當的艱深。 前幾年美國IBM的一位數學家高莫瑞(Ralph Gomory)想到了一個證明,簡直是不費吹灰之力便達到目的了。如圖二中, 我們在棋盤上放一個向上的三叉戟,一個像下的四叉戟,那麼我們沿著「迷宮」走一圈,一定可以回到原來的出發點, 也就是說這兩把戟一放,我們便給所有的方格一個循環性的次序。假設我們現在把A與B兩格割掉,就有兩條路從A走到B, 但是沿著任何一條路,總是黑白相間的走。這就證明了這個「迷宮」中,對任何一對顏色相異的方格而言,它們之間的通道上有偶數個方格。 因此骨牌便可一塊一塊的蓋上去,空間是一定夠了,就怕轉彎時轉不過來。但是因為骨牌可以直放,也可以橫放, 所以轉彎的地方並不會發生麻煩,於是沿著從A到B的兩條通道一路蓋過去,終究是要把有洞的棋盤剛剛好蓋滿的。

在「數學傳播」第一卷第四期中,黃光明先生有一篇「組合學漫談」,曾經提到「漢彌爾頓圈」。原來在一八五0年代, 愛爾蘭的著名數學家漢彌爾頓(Sir William Rowan Hamilton)發明了一個小遊戲:假如我們手頭有一個正十二面立體, 每個頂點當作世界上一個著名的城市,試試看從任一城市出發,沿著稜線經過所有城市再回到原地,不過除了出發點, 每一個城只能經過一次。漢彌爾頓把這個遊戲叫做「環遊世界」,並且以二十五英鎊賣給了玩具商。

如果我們在圖三中,把左邊的ABCDE正五邊形戳一個洞,將整個立體攤開成右邊的平面圖形,就

圖3

不難看出如何畫漢彌爾頓圈的方法了。但是如果我們的十二面體的每一面不是一個正五邊形,而是一個菱形的話,還能不能找到漢彌爾頓圈呢? 加拿大的著名幾何學家科克斯特(H.S.M.Coxeter)很巧妙地證明了沒有這種圈存在。

如圖四中所示,每一個頂點要麼有三條邊來相會,要麼有四條邊來相會,而且與三邊點相鄰的是四邊點,與四邊點相鄰的是三邊點。 所以假如有一條漢彌爾頓圈。則它必須相間的經過三邊點與四邊點,因此要通過14個頂點,這種圈上必須有7個三邊點7個四邊點。 但是不幸的是現在我們只有6個四邊點,所以「漢彌爾頓圈」是註定找不著了。

圖4