13305 關於圓周率 $\pi$

### 1.圓周率的定義及近似值

$\pi =2\displaystyle\int_0^1 \displaystyle\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}$

$A_n=\frac n2 \sin \frac{2\pi}n,B_n=n\tan \frac{\pi}n$

$\pi$的值到小數點後200位是

π=3.1415926535 8979323846 2643383279 5028841971
6939937510 5820974944 5923078164 0628620899
8628034825 3421170679 8214808651 3282306647
0938446095 5058223172 5359408128 4811174502
8410270193 8521105559 6446229489 5493038196


$$\pi=3+\displaystyle\frac{1}{7+\displaystyle\frac{1}{15+\displaystyle\frac{1}{1+\displaystyle\frac{1}{292+\displaystyle\frac{1}{1+\displaystyle\frac{1}{\vdots}}}}}}$$

$\displaystyle\frac{1}{3},\displaystyle\frac{22}{7},\displaystyle\frac{333}{106},\displaystyle\frac{355}{113},\displaystyle\frac{103993}{33102},\displaystyle\frac{104348}{33215},\displaystyle\frac{208341}{66317}$

### 2.$\pi$與級數的和

$\pi$很自然地出現在一些正項級數與交錯級數的和, 如

(1)$1-\displaystyle\frac13+\displaystyle\frac15-\dots+\displaystyle\frac{(-1)^{n-1}}{2n-1}+\dots=\frac{\pi}4,$

(2)$1+\displaystyle\frac1{2^2}+\displaystyle\frac1{3^2}+\dots+\displaystyle\frac1{n^2}+\dots=\displaystyle\frac{\pi^2}6,$

(3)$1-\displaystyle\frac1{3^3}+\displaystyle\frac1{5^3}-\dots+\displaystyle\frac{(-1)^{n-1}}{(2n-1)^2}+\dots=\displaystyle\frac{\pi^3}{32},$

(4)$1+\displaystyle\frac1{2^4}+\displaystyle\frac1{3^4}+\dots+\displaystyle\frac1{n^4}+\dots=\displaystyle\frac{\pi^4}{90},$

(5)$1-\displaystyle\frac1{3^5}+\displaystyle\frac1{5^5}-\dots+\displaystyle\frac{(-1)^{n-1}}{(2n-1)^5}+\dots=\displaystyle\frac{5\pi^5}{1536},$

(6)$1+\displaystyle\frac1{2^6}+\displaystyle\frac1{3^6}+\dots+\displaystyle\frac1{n^6}+\dots=\displaystyle\frac{\pi^6}{945},$

(7)一般$1-\displaystyle\frac1{3^{2k+1}}+\displaystyle\frac1{5^{2k+1}}-\dots+\displaystyle\frac{(-1)^{n-1}}{(2n-1)^{2k+1}}+\dots=\pi^{2k+1}\times$有理數

(8)一般$1+\displaystyle\frac1{2^{2k}}+\displaystyle\frac1{3^{2k}}+\dots+\displaystyle\frac1{n^{2k}}+\dots=\pi^{2k}\times$有理數

\begin{eqnarray*} \frac{\pi}4&=&\int_0^1\frac{dx}{1+x^2}\\ &=&\int_0^1[1-x^2+x^4-\dots+(-1)^nx^{2n}+\dots]dx \end{eqnarray*}

$\sin x=0$的根是0, $\pm\pi,\pm 2\pi,\dots\pm n\pi\dots$

### 3.$\pi$是無理數

$$(\frac d{dx})^k[f(x)g(x)]=\sum_{j=0}^k \left ( \begin{array} {c} k \\ j \end{array} \right ) [(\frac d{dx})^jf(x)]。$$ $$[(\frac d{dx})^{k-j}g(x)]$$ 因而 $$f^{(k)}(x)=\frac1{n!}\sum_{j=0}^k\left ( \begin{array} {c} k \\ j \end{array} \right ) [(\frac d{dx})^jx^n]。$$ $$[(\frac d{dx})^{k-j}(1-x)^n]$$ 但 \begin{eqnarray*} [(\frac d{dx})^jx^n]_{x=0}=\left \{ \begin{array} {l} 0&,&0\le j\lt n; \\ n!&,&j=n;\\ 0&,&j\gt n. \end{array} \right. \end{eqnarray*} 故無論如何,$f^{(k)}(0)$是整數,

### 4.$\pi$是一超越數

1882 年,F.Lindeman推廣Hermite的定理,允許$a_1,a_2,\dots a_n$;$r_1,r_2,\dots,r_n$是代數數, 即

### 5.$\pi$的數值計算的歷史 （西方）

\begin{eqnarray*} \frac2{\pi}&=&\prod_{n=2}^{\infty}\cos \frac{\pi}{2^n}\\ &=&\sqrt{\frac12\sqrt{\frac12+\frac12\sqrt{\frac12}}}\cdot\sqrt{\frac12+\frac12\sqrt{\frac12+\frac12\sqrt{\frac12}}}\dots \end{eqnarray*}

1844年, Johann Martin Zacharias Dase(1824~1861)利用 $$\frac{\pi}4=\tan ^{-1}\frac12+\tan ^{-1}\frac15+\tan ^{-1}\frac18$$ 與級數展開, 計算$\pi$值到 205 位, 而前面 200位是正確的。而在這之前, 1824年, Willian Rutherfold計算到 208 位, 但自第 153 位以後的數字眼Dase的不一樣。1847 年, Thomas Clausen出版了 248 位的計算並肯定 Dase 的計算是對的。

 年度 時間 位數 每位計算時間 1949 ~70小時 2,037 ~ 2分 1958 100分鐘 10,000 0.6 秒 1961 8.43小時 100,000 1/3秒 1973 23.3小時 1,000,000 1/12秒 1983 $\lt$30小時 16,000,000 $\lt$1/155 秒

### 參考資料

W. W. Rouse Ball and H. S .M. Coxeter , Mathematical Recreations & Esays. Petr Beckmann,A history of π. H. B. Griffths and P. J. Hilton, Classica Mathematics. Encyclopedic Dictionary of Mathematics, The MIT Press. The Mathematical Intelligencer, vol.7, No.3, 1985.