一、前言
筆者在數學網站昌爸工作坊(
)上, 發現一個有趣的統計例子, 此例子是兩個班級的考生於考試後錄取的結果, 其中除了分別列出兩班男、
女生的報考人數與錄取率外, 也列出了總錄取率, 如下表：
| 表1 |
| 報考人數 | 錄取率 | 總錄取率 |
| 甲班 | 男 10 人 | $x_1=7/10$ | $p_1=\dfrac{22}{40}$ |
| 女 30 人 | $y_1=15/30$ |
| 乙班 | 男 30 人 | $x_2=19/30$ | $p_2=\dfrac{23}{40}$ |
| 女 10 人 | $y_2=4/10$ |
(為求簡化, 上表中未列出錄取人數, 讀者可簡單求得各錄取 7, 15, 19, 4 人, 底下各表同),
注意兩班男、
女生分組錄取率滿足 $x_1\gt x_2$, $y_1\gt y_2$, 但總錄取率卻有 $p_1\lt p_2$。
換言之, 甲、乙兩個母群體, 各分成兩個對應的小集團, 局部對應做統計比較, 甲勝過乙, 但是整個合起來比較反而是乙勝過甲, 這種違反直觀的結果叫做辛普森悖論。
在本文中, 筆者想研究此類例子是如何設計出來的。
二、探索
一般來說, 仿照上面表 1, 其實我們想設計出下面的例子：
| 表2 |
| 報考人數 | 錄取率 | 總錄取率 |
| 甲班 | 男 $n_1$ 人 | $x_1$ | $p_1=\dfrac{n_1x_1+m_1y_1}{n_1+m_1}$ |
| 女 $m_1$ 人 | $y_1$ |
| 乙班 | 男 $n_2$ 人 | $x_2$ | $p_2=\dfrac{n_2x_2+m_2y_2}{n_2+m_2}$ |
| 女 $m_2$ 人 | $y_2$ |
其中正整數 $n_1,m_1,n_2,m_2$ 數目待定, 而錄取率需先給定, 仿照表 1, 假設也滿足 $x_1\gt x_2$, $y_1\gt y_2$ 且 $x_1\gt y_1$, $x_2\gt y_2$。
我們希望可找到適當的 $n_1,m_1,n_2,m_2$ 之值, 使得
\begin{equation}
\dfrac{n_1x_1+m_1y_1}{n_1+m_1}=p_1\lt p_2=\dfrac{n_2x_2+m_2y_2}{n_2+m_2}\label{1}
\end{equation}
如同表 1 的例子, 我們假設表 2 兩班總人數相同, 都是 $S$ 人, 即
$$n_1+m_1=n_2+m_2=S$$
此時, 注意原本分組錄取率條件為 $x_1\gt y_1$, $x_2\gt y_2$, 因此錄取率 $p_1$ 滿足
\begin{eqnarray}
y_1&=&\frac{0x_1+Sy_1}S\lt \frac{n_1x_1+m_1y_1}{n_1+m_1}\lt \frac{Sx_1+0y_1}S=x_1\nonumber\\
&&\Rightarrow \ y_1\lt p_1\lt x_1\label{2}
\end{eqnarray}
同理, 錄取率 $p_2$ 也會滿足
\begin{equation}
y_2\lt p_2\lt x_2\label{3}
\end{equation}
此時筆者發現表 1 滿足 $p_1\lt p_2$ 的關鍵, 在於有 $x_2\gt y_1$ 的條件, 為什麼呢？
增加 $x_2\gt y_1$ 的條件後, 加上原條件 $x_1\gt x_2$, $y_1\gt y_2$ 就有 $x_1\gt x_2\gt y_1\gt y_2$, 再由 \eqref{2}, \eqref{3} 式所得 $p_1,p_2$ 的範圍,
可知六個錄取率的初步關係將如下圖：
圖1
注意 $p_1,p_2$ 不能落在所在範圍的端點上, 雖然如此, 由圖 1 看來, 只要 $p_1$ 夠靠近 $y_1$ 且 $p_2$ 夠靠近 $x_2$,
是有可能發生 $p_1\lt p_2$ 的。換一個說法, 正是因為 $x_2\gt y_1$ 的條件, 使圖 1 中 $(y_2,x_2)$ 和 $(y_1,x_1)$ 兩區間有所重疊, 導致 $p_1\lt p_2$ 有可能發生。
除了從圖 1 來看, 我們也從式子來看。
因為 $x_1\gt y_1$, $x_2\gt y_2$, 表 2 中錄取率 $p_1,p_2$ 分別滿足
\begin{eqnarray}
p_1&=&\frac{n_1x_1+m_1y_1}{n_1+m_1}=\frac{n_1x_1+(S-n_1)y_1}{S}=y_1+\frac{n_1(x_1-y_1)}{S}\nonumber\\
&&\Rightarrow \ p_1-y_1=\frac{n_1}S(x_1-y_1)\gt 0\label{4}\\
p_2&=&\frac{n_2x_2+m_2y_2}{n_2+m_2}=\frac{(S-m_2)x_2+m_2y_2}{S}=x_2+\frac{m_2(y_2-x_2)}{S}\nonumber\\
&&\Rightarrow \ x_2-p_2=\frac{m_2}S(x_2-y_2)\gt 0\label{5}
\end{eqnarray}
在 \eqref{4} 式中的 $x_1-y_1$ 與 \eqref{5} 式中的 $x_2-y_2$ 兩者均為定值, 因此只要使 $\dfrac{n_1}S$, $\dfrac{m_2}S$ 兩數之值
任意小
(最簡單的取法就是取 $n_1=m_2=1$ 且 $S$ 儘量大), 就可使 $p_1$ 任意靠近 $y_1$ (且 $p_1\gt y_1$)、
$p_2$ 任意靠近 $x_2$ (且 $p_2\lt x_2$), 此時因為 $x_2\gt y_1$, 由圖 1 知必能得到
$$y_1\lt p_1\lt p_2\lt x_2$$
此結果可示意如下：
圖2
眼尖的讀者，看到上面 $p_1=\dfrac{n_1x_1+m_1y_1}{n_1+m_1}$, $p_2=\dfrac{n_2x_2+m_2y_2}{n_2+m_2}$ 兩式,
或許會想到這是數線上兩點間分別按照 $n_1:m_1$ 和 $n_2:m_2$ 的比例取分點坐標 $p_1,p_2$ 的公式,
而圖 2 其實就是筆者配合表 1 的例子 ($n_1=10,m_1=30,n_2=30,m_2=10$) 而畫,
其中取區間 $(y_1,x_1)$ 的 3 個四等分點 ($n_1:m_1=1:3$) 中最左邊的點為 $p_1$,
並取區間 $(y_2,x_2)$ 的 3 個四等分點 ($n_2:m_2=3:1$) 中最右邊的點為 $p_2$。
接下來的過程, 是為了估計出兩班總人數 $S$ 至少要多大, 才能得到像圖 2 那樣的結果。
如果先給定表 2 中四個分組錄取率 $x_1,x_2,y_1,y_2$, 其中 $x_1\gt x_2\gt y_1\gt y_2$,
若存在正整數 $n_1,m_1,n_2,m_2$ 滿足 \eqref{1}, 我們會有：
\begin{eqnarray}
&&\hskip -25pt\frac{n_1x_1+m_1y_1}{n_1+m_1}\lt \frac{n_2x_2+m_2y_2}{n_2+m_2}\label{6}\\
&\Leftrightarrow&\frac{n_1x_1+(S-n_1)y_1}{S}\lt \frac{(S-m_2)x_2+m_2y_2}{S}\nonumber\\
&\Leftrightarrow&y_1+\frac{n_1(x_1-y_1)}{S}\lt x_2-\frac{m_2(x_2-y_2)}{S}\label{7}
\end{eqnarray}
因為已知 $x_1\gt x_2\gt y_1\gt y_2$, 此時假設
\begin{eqnarray*}
x_1-y_1&=&\delta\gt 0,\\
x_2-y_2&=&\ell\gt 0,
\end{eqnarray*}
將上述兩式代入 \eqref{7} 後可繼續推得：
\begin{eqnarray}
&&\hskip -25pty_1+\frac{n_1\delta}S\lt x_2-\frac{m_2\ell}{S}\nonumber\\
&\Leftrightarrow&x_2-y_1\gt \frac{n_1\delta+m_2\ell}{S}\ge \frac{\delta+\ell}S\label{8}\\
&\Leftrightarrow&S\gt \frac{\delta+\ell}{x_2-y_1}=\frac{x_1-y_1+x_2-y_2}{x_2-y_1}=1+\frac{x_1-y_2}{x_2-y_1} \label{9}
\end{eqnarray}
其中 \eqref{8} 利用到 $n_1,m_2\ge 1$。
上述 \eqref{9} 式就是表 2 關於 $S$ 取值的必要條件, 不妨稱之為 $S$ 的取值條件式。
若我們取表 1 中 $x_1,x_2,y_1,y_2$ 之值做為例子, 將其代入 \eqref{9} 可得
\begin{equation}
S\gt 1+\frac{21-12}{19-15}=3\frac14\label{10}
\end{equation}
從 \eqref{10} 式看來, 難道說兩個班級都只要有 4 個人就可以設計出表 1 那樣的例子？
(表 1 的兩班總人數都是 40 人)且讓我們沉住氣一下, 就先取 $S=4$ 沒關係。
注意在 \eqref{4}, \eqref{5} 之後的討論, 我們知道要使 $\dfrac{n_1}S,\dfrac{m_2}S$ 兩數儘量小, 因此我們再取 $n_1=m_2=1$,
此時表 2 變成底下的情形：
| 表3 |
| 報考人數 | 錄取率 | 總錄取率 |
| 甲班 | 男 1 人 | $x_1=7/10$ | $p_1=\dfrac{22}{40}$ |
| 女 3 人 | $y_1=15/30$ |
| 乙班 | 男 3 人 | $x_2=19/30$ | $p_2=\dfrac{23}{40}$ |
| 女 1 人 | $y_2=4/10$ |
注意表 3 中兩班總錄取率確實滿足 $p_1\lt p_2$。
但其中甲班男、
女生與乙班男、
乙生的「錄取人數」分別為
$$\frac 7{10},\ \frac {15}{10},\ \frac {19}{10},\ \frac {4}{10}$$
此四數都不是正整數, 故表 3 的數據不合理。
而剛好上面四個分數的分母皆為 10, 因此只要將表 3 中``報考人數''欄位的四數全部乘以 10, 則上述四個錄取人數就變為
$$7,\ 15,\ 19,\ 4$$
這就成為了合理的數據, 而且所有錄取率都不變。
因此透過``把人數乘以某個倍數''的方法, 我們可使原本不合理的數據合理化, 而透過此法, 表 3 也就變成了表 1。
三、模仿
除了研究表 1 的例子, 我們不妨自己練習造個例子, 如下表：
| 表4 |
| 報考人數 | 錄取率 | 總錄取率 |
| 甲班 | 男 $n_1$ 人 | $x_1=17/18$ | $p_1$ |
| 女 $m_1$ 人 | $y_1=13/18$ |
| 乙班 | 男 $n_2$ 人 | $x_2=16/18$ | $p_2$ |
| 女 $m_2$ 人 | $y_2=12/18$ |
注意上表中我們先給定 4 個分組錄取率, 它們滿足 $x_1\!\gt \!x_2\!\gt \!y_1\!\gt \!y_2$, 我們也希望有 $p_1\!\lt \!p_2$。
將表 4 中的 $x_1,x_2,y_1,y_2$ 代入 $S$ 的取值條件式 \eqref{9}, 得到
$$S\gt 1+\frac{17-12}{16-13}=2\frac{2}3$$
因此暫取 $S=3$, $n_1=m_2=1$, 則 $m_1=n_2=2$, 此時表 4 變為
| 表5 |
| 報考人數 | 錄取率 | 總錄取率 |
| 甲班 | 男 1 人 | $x_1=17/18$ | $p_1=\dfrac{43}{54}$ |
| 女 2 人 | $y_1=13/18$ |
| 乙班 | 男 2 人 | $x_2=16/18$ | $p_2=\dfrac{44}{54}$ |
| 女 1 人 | $y_2=12/18$ |
表 5 中總錄取率滿足 $p_1\!\lt \!p_2$, 但其各組錄取人數不合理, 分別為 $\dfrac{17}{18},\dfrac{26}{18},\dfrac{32}{18},\dfrac{12}{18}$,
我們仿照之
前的作法, 將表 5 中的報考人數乘以 18 倍, 即得到新的錄取人數為 17, 26, 32, 12,
這樣就有了下表：
| 表6 |
| 報考人數 | 錄取率 | 總錄取率 |
| 甲班 | 男 18 人 | $x_1=17/18$ | $p_1=\dfrac{43}{54}$ |
| 女 36 人 | $y_1=13/18$ |
| 乙班 | 男 36 人 | $x_2=16/18$ | $p_2=\dfrac{44}{54}$ |
| 女 18 人 | $y_2=12/18$ |
表 6 就是仿照表 1 造出的新例子, 同樣滿足 $x_1\gt x_2$, $y_1\gt y_2$, 但 $p_1\lt p_2$。
四、結語
像表 1 與表 6 這樣滿足辛普森悖論的統計結果, 直觀上來說, 因兩表中甲班的女生人數佔大多數, 所以甲班總錄取率 $p_1$ 會靠近該班女生的錄取率 $y_1$；
而兩表中乙班的男生人數佔大多數, 所以乙班總錄取率 $p_2$ 會靠近該班男生的錄取率 $x_2$。
而表 1 和表 6 一開始就設計讓 $y_1\lt x_2$, 所以 (從圖1) 也不難看出會有 $p_1\lt p_2$ 的可能了。
經過上述的研究過程, 我們大約理解了這類統計例子的由來, 並且應該也能自己設計出其他的例子。
之後若您有朋友看到此類例子而感到疑惑, 愛好數學的你, 或許可以有信心地告訴他們：
「嘿！
朋友, 我知道那個例子是怎麼設計的, 讓我先來畫個圖 (圖1), 再慢慢解釋給你聽, 好嗎？」
關於辛普森悖論更進一步的介紹, 有興趣的讀者可參考
。
最後, 筆者想感謝昌爸在參考資料
上所提供的熱心協助, 也要感謝審稿人所提出的寶貴修改意見。
參考資料
---本文作者任職麥當勞竹南民權中心---
