數學傳播

摘要: 若給定 $S=a^3+b^3$, 在考慮搜尋正整數 (或整數) $x\ge y$, 使得 $S=a^3+b^3=x^3+y^3$ 時, 我們證明 $a+b\equiv x+y({\rm mod}\, 6)$, 提供一個參數函數 $r_i\to (x(r_i),y(r_i))$ 以表示所有搜尋標的。 當 $S$ 有多種雙立方和表法時, 預測 $S$ 為 18 的倍數。 以此為基礎, 可用來搜尋有 $n$ 組雙正立方和 (或立方和) 表法的最小正整數 $Ta(n)$ (或 $Ca(n)$) 的上界及其對應表法。 根據這方法所得 $Ca(n)$, $11\le n\le 16$, 的上界, 已收錄於「整數列線上百科」 (On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, OEIS, 2013年6月)。 我們同時給出 $Ca(43)$, $\ldots$, $Ca(55)$, $Ta(23)$, $Ta(24)$ 的上界及其完整雙立方和表法, 其中 $Ca(43)$, $Ca(44)$ 及 $Ta(23)$ 的上界分別於2014年8月及10月收錄於 OEIS, 在 $Ta(n)$, $Ca(n)$ 搜尋的漫漫道路上, 提供一個嶄新的進展。

當你在街頭看到一部車牌號碼為 1729 的計程車時, 腦海裡是否浮現一些圖像？ 是樂透的明牌, 或是其它？ 但在印度裔天才數學家 Ramanujan 的腦海裡浮現的卻是 $$1729=1^3+12^3=10^3+9^3$$ 也就是說, 1729 有兩組雙正立方和表法, 他並且進一步指出小於 1729 的數都沒有這種性質。 因為這一段 Hardy 與 Ramanujan 間關於計程車車牌號碼的軼事, 1729這個數也被稱為 Hardy-Ramanujan Number 。 事實上, 早在 1657 年 Bernard Frenicle de Bessy 已提及 $1729=1^3+12^3=10^3+9^3$ 為有兩組正立方和表示法的最小正整數的事實。

有 $n$ 組雙正立方和表法的最小正整數稱為「the $n^{\rm th}$ taxicab number」, 記作 $Ta(n)$; 對於自然數 $n$, $Ta(n)$ 的存在性已由 Fermat 予以證明了, 見 Hardy 與 Wright 的著作 "定理412"。 有 $n$ 組雙立方和 (不必然為正數) 的最小正整數稱為「the $n^{\rm th}$ cabtaxi number」, 記作 $Ca(n)$。 顯而易見 $Ca(n)\le Ta(b)$。 具體地來說, Dardis 於 1994 年求得 $Ta(5)$。 但卻在十年之後方得完全決定 $Ta(6)$： 1997 年 Wilson 得 $Ta(6)$ 的一個上界 \begin{eqnarray*} Ta(6)&\le&8230545258248091551205888\\ &=&2^9\cdot 3^3\cdot 7 \cdot 13\cdot 19^3\cdot 31\cdot 67^3\cdot 79\cdot 109^3 \end{eqnarray*} 2002 年 Rathbun 下修為 \begin{eqnarray*} Ta(6)&\le&24153319581254312065344\\ &=&2^6\cdot 3^3\cdot 7^4\cdot 13\cdot 19\cdot 43\cdot 73\cdot 79^3\cdot 97\cdot 157 \end{eqnarray*} 2003 年 Calude 等人證明這個上界即為 $Ta(6)$ 的機率大於 99%。 最後由 Hollerbachu 於 2008 年證明此數即為 $Ta(6)$。

這個過程顯示, 決定 $Ta(n)$ 和 $Ca(n)$ 並非輕而易舉之事。 它們的搜尋分別列為「整數列線上百科」(On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, OEIS) 的 A011541 及 A047696 兩個問題。 截至目前為止, 已知的 $Ta(n)$ 和 $Ca(n)$ 如表 1 所示, $Ta(n)$ 之間和 $Ca(n)$ 之間的倍增關係如圖 1 所示。

若一數有 $n$ 組雙正立方和 (或雙立方和) 表法, 即得此數為 $Ta(n)$ (或 $Ca(n)$) 的上界。 此上界有可能下修, 若要證實此數為具有 $n$ 組表法之數的最小值 (即為 $Ta(n)$ 或 $Ca(n)$), 則需確認小於此上界的所有數值至多具有 $n-1$ 組表法。 在 $Ta(n)$, $Ca(n)$ 上界的搜尋進展上, Boyer 於 2008 年發表 $Ta(7)$, $\ldots$, $Ta(19)$ 及 $Ca(11)$, $\ldots$, $Ca(30)$ 的上界 。 根據 Boyer 網頁 的資料, Moore下修 $Ca(11)$, $Ca(12)$, $Ca(14)$ 的上界, Boyer 及 Wroblewski 下修 $Ta(11)$, $\ldots$, $Ta(19)$ 及 $Ca(13)$, $Ca(15)$, $\ldots$, $Ca(30)$ 的上界, 並再給出 $Ta(20)$, $\ldots$, $Ta(22)$ 及 $Ca(31)$, $\ldots$, $Ca(42)$ 的上界。

本文藉著觀察滿足 $x_1^3+y_1^3=x_2^3+y_2^3$ 關係式的四個整數 $x_1$, $y_1$, $x_2$, $y_2$ 之間的關係, 進而說明 $Ta(n)$, $Ca(n)$ 表法的一些規律, 例如 ： $x + y \equiv a + b ({\rm mod}\, 6)$ 的關係 (見引理一), 在搜尋 $Ta(n)$, $Ca(n)$ 的上界時扮演重要的篩選條件。 我們推測 $Ta(n)$, $n\ge 7$, 以及 $Ca(n)$, $n\ge 11$, 都是 18 的倍數 (見 3.3), 進而提供一組可用來篩選滿足 $S=a^3+b^3=x^3+y^3$ 關係的正整數解 (或整數解) $x,y$ 的條件 (見定理二)。 當 $S=a^3+b^3$ 為 18 的倍數時, 我們提出了 「$Ta$, $Ca$ 篩選演算法」, 用來決定 $Ta(n)$ 及 $Ca(n)$ 的上界。 根據這演算法所得 $Ca(n)$, $11\le n\le 16$ 的上界, 已於 2013 年 6 月收錄於 OEIS。 以定理二所提供的篩選條件, 及 Boyer 所提供的 $Ta(n)$, $Ca(n)$ 上界的雙立方和表法為基礎, 我們修正 $Ta$, $Ca$ 篩選演算法, 提供「局部篩選」的機制 (見第四節), 以求有效降低計算量。 根據這項局部篩選演算法, 我們分別得到 $Ca(43)$, $\ldots$, $Ca(55)$, $Ta(23)$, $Ta(24)$ 的上界及其雙立方和表法 (見第五節), 其中 $Ca(43)$, $Ca(44)$ 及 $Ta(23)$ 的上界分別於 2014 年 8 月及 10 月收錄於 OEIS, 在 $Ta(n)$, $Ca(n)$ 的搜尋道路上, 提供一個嶄新的進展。

Wilson 和 Boyer 提出採用 「倍增法(magnification technique)」來搜尋 $Ta(n)$, $Ca(n)$ 的上界 (見2.1), 我們以倍增的方式臚列目前已知 $Ta(n)$, $Ca(n)$ 的上界間的倍增關係 (見2.2), 並做進一步的分析 (見2.3)。

在搜尋 $Ta(n)$ 及 $Ca(n)$ 的歷程中, 「倍增法」是一個常用且有效的方法, 它利用已知有 $n$ 組雙立方和表法的數, 來搜尋有 $n+1$ 組表法的數 (見 Wilson 和 Boyer )。

若 $S$ 有 $n$ 組雙立方和表法 $S=x_i^3+y_i^3$, $i=1,\ldots,n$, 將 $S$ 乘上一個立方數 $k^3$, 不難得知 $Sk^3$ 至少有 $n$ 組表法 $Sk^3=(kx_i)^3+(ky_i)^3$, $i=1,\ldots,n$。 若能找到一個 $k$, 使有第 $n+1$ 組表法 $Sk^3=x_{n+1}^3+y_{n+1}^3$, $(x_{n+1},y_{n+1}) ot=(x_i,y_i)$, $1\le i\le n$, 則 $Sk^3$ 有 $n+1$ 組雙立方和表法, 因而提供 $Ta(n+1)$ 或 $Ca(n+1)$ 的上界。 我們稱這樣的 $k$ 為 $S$ 的一個「倍增數」。 若同時使用 $h$ 個倍增數, 有可能多出 $h$ 組表法, 亦即： 若 $S$ 有 $n$ 組表法, 且 $k_i$, $i=1,\ldots,h$ 為 $S$ 的倍增數, 則 $S\cdot k_1^3 \cdot k_2^3 \cdots k_h^3$ 可能有 $n+h$ 組或更多的表法。 例如： $Ta(6)$ 有 6 組表法, $101^3\cdot Ta(6)$ 及 $127^3\cdot Ta(6)$ 分別有 7 組表法, 得 $101^3\cdot 127^3\cdot Ta(6)$ 有 8 組表法。 再例如： 當 $k=23, 29, 38, 43$ 時, $k^3\cdot Ca(10)$ 分別有 11 組表法, 而 $23^3\cdot 29^3\cdot 38^3\cdot 43^3\cdot Ca(10)$ 有 14 組表法。 根據定理二, 倍增法可以作進一步的推展 (見第三節)。

目前已知 $Ta(n)$, $n=1,\ldots,6$, $Ca(n)$, $n=1,\ldots,10$ (見表一) 及 $Ta(n)$, $7\le n\le 22$, $Ca(n)$, $11\le n\le 42$ 等的上界, 將目前已知 $Ta(n)$ 及 $Ca(n)$ 的上界分別記為 $BTa(n)$ 及 $BCa(n)$, 並且將已知由小至大第 $k$ 個上界分別記為 $BTa(n,k)$ 及 $BCa(n,k)$。 我們以 $Ta(6)$ 及 $Ca(10)$ 的值為基礎, 以「連續倍增」的方式表示比值 $BTa(n) / BTa(n-1)$ 及 $BCa(n) / BCa(n-1)$, 如表 2、 表 3。

表 2： 相鄰 $BTa(n)$ 的比值

表 3： 相鄰 $BCa(n)$ 的比值

上表中部分比值略顯複雜, 例如：

然而, 在大多數的情形下, $BCa(n)$ 和 $BCa(n-1)$ 之間呈現簡單的倍增關係, 例如： $BCa(29)$ $ / BCa(28) = 17^3$, $BCa(31) / BCa(30) = 29^3$ 等, 如圖 2 所示。 以倍增模式呈現 $Ta(5)$, $Ta(6)$, $BTa(7)$, $\ldots$, $BTa(22)$ 之關係, 及 $BCa(19)$, $BCa(21)$, $\ldots$, $BCa(42)$ 之關係, 見附錄圖 9、 圖 10。

利用倍增法, 通常可由具有 $n$ 組表法的最小數, 得到具有 $n+1$ 組表法的數。 但有時由有 $n$ 種表法的數之中稍大的數 $BTa(n, k)$ 或 $BCa(n, k)$, 利用連續倍增的模式, 因其倍增數較小, 也可能下修 $Ta(n+h)$ 或 $Ca(n+h)$ 的上界。

例一： 在已知有 9 組雙立方和表法的整數列裡, 由小而大

第 2 個為 $2^6\cdot 3^3\cdot 7^7\cdot 19\cdot 31\cdot 73\cdot 97\cdot 139$ , 記為 $BCa(9, 2)$,

第 3 個為 $2^7\cdot 3^6\cdot 7^3\cdot 13\cdot 19\cdot 37^3\cdot 43\cdot 67$, 記為 $BCa(9, 3)$,

雖然 $BCa(9, 3)$ 約為 $BCa(9, 2)$ 的 1.4 倍, 略大於 $BCa(9, 2)$, 但 $61^3 \lt 13^3\cdot 17^3$, 因此以 $BCa(9, 3)$ 及其倍增數, 反能下修 $Ca(11)$ 的上界。

$$Ca(11)\le BCa(11)=61^3\cdot BCa(9, 3) \lt 13^3\cdot 17^3\cdot BCa(9, 2)\hbox{。}$$ 目前已知的上界中, 與 $BCa(9, 3)$ 有關的 $BCa(n)$ 如圖 3 所示。

例二： 在已知有 10 組雙立方和表法的整數列裡, 由小而大, 第 5 個為 $$2^9\cdot 3^3\cdot 7^4\cdot 13^4\cdot 19^3\cdot 61\cdot 109\cdot 193,\quad\hbox{記為 $BCa(10, 5)$.}$$ 與 $BCa(10, 5)$ 有關的上界如圖 4 所示。

在這一節裡, 我們將先進行一項實驗, 根據實驗的數據發現整數立方和表法間的一些關係, 接著予以證明。

首先觀察滿足 $S=x_1^3+y_1^3=x_2^3+y_2^3$ 關係式的四個整數 $x_1$, $y_1$, $x_2$, $y_2$ 之間的關係, 並設 $s=x_2-x_1\ge 0$, $t=y_1-y_2\ge 0$, 所得數據節錄如表 4 所示。 我們首先注意到表中 $(x_1+y_1)-(x_2+y_2)$ 之值皆為 6 的倍數。

我們將在引理一證明前述 $(x_1+y_1)-(x_2+y_2)$ 之值皆為 6 的倍數性質, 在搜尋 $Ta(n)$, $Ca(n)$ 時, 多提供了一個篩選條件。

引理一： 若 $x_1,y_1,x_2,y_2$ 為整數且 $x_1^3+y_1^3=x_2^3+y_2^3$, 則 $x_1+y_1\equiv x_2+y_2(\hbox{mod}\, 6)$。

證明： 因為 $a^3-a=(a-1)a(a+1)$ 為三個連續整數之積, 故必為 6 之倍數, 即得 $a^3\equiv a(\hbox{mod}\,6)$ 對所有整數 $a$ 皆成立。 所以等式 $x_1^3+y_1^3=x_2^3+y_2^3$ 在模 6 之下立得 $x_1+y_1\equiv x_2+y_2(\hbox{mod}\, 6)$。 證畢。

根據引理一, $Ta(n)$, $Ca(n)$ 的 $n$ 組雙立方和表法 $x_i^3+y_i^3$, $1\le i\le n$, 滿足一些規律性, 並且根據觀察 $Ta(n)$, $4\le n\le 6$, $BTa(n)$, $7\le n\le 22$, $Ca(n)$, $7\le n\le 10$, 以及 $BCa(n)$, $11\le n\le 42$ 各組表法之和, 分別為 $x_i+y_i\equiv 0(\hbox{mod}\,6)$, $i=1,2,\ldots,n$。 另外, 當 $6\mid a+b$ 時, 由 $a^3+b^3=(a+b)((a+b)^2-3ab)$, 得 $18\mid a^3+b^3$。 我們據以推測 $Ta(n)$, $n\ge 7$ 以及 $Ca(n)$, $n\ge 11$ 等都是 18 之倍數。

另一個支持上述推測的理由來自於倍增法。當我們從某一個為 6 的倍數的 $BTa(n)$, $BCa(n)$ 出發, 經過倍增法得到的較高階的 $BTa(n)$, $BCa(n)$ 也為 6 的倍數。 此外, 因為 $Ta(n)$, $Ca(n)$ 為有相同表法數之中最小的數值, 故出現較小之質因數 2, 3 的機率很大。

我們在定理二提供各組雙立方和表法的單一參數表示法, 作為第四節提出篩選演算法的基礎。 當 $S$ 為 18 的倍數時, 我們據此寫成「$Ta$, $Ca$ 篩選演算法」(見第四節)。

已知 $S=a^3+b^3$, $a\ge b$ 為正整數, 我們試著從演算法的角度, 考慮如何篩選合於 $S=a^3+b^3=x^3+y^3$ 關係的正整數 $x\ge y$。 首先, 我們引進一個參數 $k=x+y$, 亦即要針對合適的 $k$ 來求解方程式組： $$\left\{\begin{array}{l} x+y=k,\\ x^3+y^3=S. \end{array}\right.$$ 如此一來, 可將 $x, y$ 表示為 $k$ (和 $S$) 的函數。 因為 $y=k-x$, 代入得 $x^3+(k-x)^3=S$, 展開化簡得 $3x^2-3kx+(k^3-S)/k=0$。 因此, \begin{eqnarray*} x&=&(3k+\sqrt{(3k)^2-4\cdot 3\cdot(k^3-S)/k})/6,\\ y&=&(3k-\sqrt{(3k)^2-4\cdot 3\cdot(k^3-S)/k})/6\hbox{。} \end{eqnarray*} $x$, $y$ 為正有理數的充要條件是根號裡的數為非負完全平方, 即 $-3k^2+12S/k\ge 0$ 為完全平方。 因為 $-3k^2+12S/k\ge 0$ 及 $k^3=(x+y)^3\gt x^3+y^3=S$, 得 $\root 3 \of S\lt k\le \root 3\of {4S}$。 若令 $k=x+y=6r$ 代入前一段中得到的 $x=(3k+\sqrt{(3k)^2-4\cdot 3\cdot(k^3-S)/k})/6$, $y=(3k-\sqrt{(3k)^2-4\cdot 3\cdot(k^3-S)/k})/6$ 即可得出 \begin{eqnarray*} x&=&3r+\sqrt{-3r^2+(S/18r)},\\ y&=&3r-\sqrt{-3r^2+(S/18r)}\hbox{。} \end{eqnarray*} $x, y$ 為正整數的充要條件是 $-3r^2+S/18r$ 為完全平方, 並且因 $-3r^2+S/18r\ge 0$ 及 $(6r)^3=(x+y)^3\gt x^3+y^3=S$, 得 $\root 3 \of{S/216}\lt r\le \root 3\of {S/54}$。 總結以上的推演如下：

定理二： 若 $S=x^3+y^3$, $x+y=k$ 且 $x\ge y$, 則 $$x=\frac{3k+\sqrt{-3k^2+12S/k}}{6},\qquad y=\frac{3k-\sqrt{-3k^2+12S/k}}{6}\hbox{。}$$

(1) $x=\dfrac{3k+\sqrt{-3k^2+12S/k}}{6}$, $y=\dfrac{3k-\sqrt{-3k^2+12S/k}}{6}$ 均為正有理數, 若且唯若 $k\mid S$, $\root 3\of S\lt k\le \root 3\of {4S}$, 且 $-3k^2+12S/k$ 為完全平方數。

(2) 當 $k=6r$ 時, $x=3r+\sqrt{-3r^2+(S/18r)}$, $y=3r-\sqrt{-3r^2+(S/18r)}$ 為正整數, 若且唯若 $18\mid S$, $r\mid S/18$, $\root 3\of {S/216}\lt r\le \root 3\of{S/54}$ 且 $-3r^2+(S/18r)$ 為完全平方數。

在定理二 (1), (2) 的三個篩選條件中, 以第三個「完全平方數」的條件最為關鍵, 見第四節的討論。 若有 $r=r_1, r_2,\ldots,r_n$ 等 $n$ 個 $r$ 值通過篩選, 則參數函數 $$r_1\to (x_i,y_i)=(x(r_i),y(r_i))$$ 提供 $S$ 的 $n$ 組雙立方和表法 $S=x(r_i)^3+y(r_i)^3$, $1\le i\le n$。 因此, 根據定理二 (2), 我們將「倍增法」(見2.1) 修正為： 若 $S$ 為 18 的倍數且 $S$ 有 $n$ 組雙立方和表法, 若能選到 $k$ 及對應的 $r_{n+1}$, 滿足 $-3r_{n+1}^2+(Sk^3/18r_{n+1})$ 為完全平方數的條件, 則 $Sk^3$ 有第 $n+1$ 組雙立方和表法。

在這一節裡, 我們將以定理二 (2) 的參數函數表法作為篩選的基礎, 提供 $Ta$, $Ca$ 篩選演算法 (見4.1)。 由此演算法所得 $Ca(n)$, $n=11, \ldots, 16$ 的上界及其表法, 已收錄於 OEIS (見4.2)。 為降低計算的負擔, 我們根據 $BTa(n)$, $BCa(n)$ 之參數 $r$ 的特性, 修正提出「局部篩選演算法」(見4.3)。 根據局部篩選演算法所得結果的分析見 4.4。

若令 $S=Ta(n)$ (或 $Ca(n)$), 定理二(2)中關於 $r$ 值的三個條件, 可用以篩選出滿足 $Sk^3=x^3+y^3$ 關係的 $(x, y)$ 所對應的參數 $r$ 值, 進一步由參數函數 $r_i\to (x(r_i),y(r_i))$ 得雙立方和表法, 以此為基礎, 我們提供了一個篩選演算法如下。 其中, 用 counter 來計次, 表示已經搜尋到多少個參數 $r$ 值。

$Ta$ 篩選演算法：

1. 輸入 $S=a^3+b^3$, $k$, 令 counter $=0$.

2. 對 $Sk^3/18$ 作質因數分解, 列出 $Sk^3/18$ 的所有正因數： $r_1\lt r_2\lt \cdots\lt r_t$.

3. 令 $i$ 由 1 至 $t$,
　若 $\root 3\of {Sk^3/216}\lt r_i\lt \root 3\of {Sk^3/54}$,
　　若 $-3r_i^2+Sk^3/18r_i$ 為完全平方數,
　　　輸出 $r_i$, 以及 $x=3r_i+\sqrt{-3r_i^2+Sk^3/18r_i}$, $y=3r_i-\sqrt{-3r_i^2+Sk^3/18r_i}$,
　　　counter$\leftarrow$ counter$+1$, $i\leftarrow i+1$, 回到 3
　　不然, $i\leftarrow i+1$, 回到 3
　不然, $i\leftarrow i+1$, 回到 3

4. 輸出 counter 。

若將 $Ta$ 篩選演算法之 $\root 3\of {Sk^3/216}\lt r\le \root 3\of {Sk^3/54}$ 修正為 $0\lt r\le \root 3\of {Sk^3/54}$, 則可求得滿足 $Sk^3=k^3(a^3+b^3)=x^3+y^3$ 的整數解 $(x, y)$ 所對應的參數 $r$ 值, 即得「$Ca$ 篩選演算法」。 利用前述演算法, 雖然無法立即證明所得的數即為 $Ca$ (counter), $Ta$ (counter), 但可以求得相關上界。 值得注意的是通常當 $k$ 為質數時, 較容易得到 counter 增加的情況。 我們以 $Ta(6)$ 以及 $k=101$為例, 說明前述演算法。

例四： 以 $$S=Ta(6)=2^6\cdot 3^3\cdot 7^4\cdot 13\cdot 19\cdot 43\cdot 73\cdot 79^3\cdot 97\cdot 157,\quad k=101$$ 為例, $Sk^3$ 有 $143,360$ 個正因數, $Sk^3/18$ 有 61,440 個正因數, 其中有 629 個正因數介於 $\root 3\of {Sk^3/216}$, $\root 3\of {Sk^3/54}$, 之間, 最後僅有 7 個 $r$ 滿足 $-3r^2+Sk^3/18r$ 為平方數的條件。 根據 $Ta$ 篩選演算法, 得 7 組雙立方和表示, 因此 $Ta(7)\le 101^3\cdot Ta(6)$。

根據「$Ca$ 篩選演算法」, 我們得到若干 $Ca(n)$ 的上界。 令 $S = Ca(10)$, 當 $k=23$, 29, 38, 43, 46 時, 分別得 counter $= 11$, 經驗證得
　$23^3\cdot Ca(10)$ 有 11 組雙立方和表示法, 為 $Ca(11)$ 之上界,
　$23^3\cdot 29^3\cdot Ca(10)$ 有 12 組雙立方和表法,
　$23^3\cdot 29^3\cdot 38^3\cdot Ca(10)$ 有 13 組雙立方和表法,
　$23^3\cdot 29^3\cdot 38^3\cdot 43^3\cdot Ca(10)$ 有 14 組雙立方和表法,
前述得到 $Ca(12)$, $Ca(13)$, $Ca(14)$ 等的上界, 可由選擇不同的倍增數 $k$ 予以下修。 令 $S = Ca(10)$, 考慮 $k=127$ 為小於乘積 $23\times 29$ 的質數時, 得 counter $= 12$, 即 $127^3\cdot Ca(10)$ 也有 12 組表法, 下修 $Ca(12)$ 的上界。 令 $S =127^3\cdot Ca(10)$, 利用相同的方法得
　$29^3\cdot 127^3\cdot Ca(10)$ 有 13 組雙立方和表示法, 為 $Ca(13)$ 之上界
　$29^3\cdot 43^3\cdot 127^3\cdot Ca(10)$ 有 14 組雙立方和表示法, 為 $Ca(14)$ 之上界
　$23^3\cdot 29^3\cdot 38^3\cdot 127^3\cdot Ca(10)$ 有 15 組雙立方和表示法, 為 $Ca(15)$ 之上界
　$23^3\cdot 29^3\cdot 38^3\cdot 43^3\cdot 127^3\cdot Ca(10)$ 有 16 組雙立方和表示法, 為 $Ca(16)$ 之上界。
以 $Ca(10)$ 為基礎, 透過倍增的方式, 我們分別給出 $Ca(11)$, $\ldots$, $Ca(16)$ 的上界, 這些上界以有系統的方式求得, 雖不若 $BCa(n)$, $11\le n\le 16$, 亦於 2013 年 6 月收錄於 OEIS 。

定理三： \begin{eqnarray*} Ca(11)&\le& 23^3\cdot Ca(10)\\ &=&2^3\cdot 3^3\cdot 5^3\cdot 7^4\cdot 13^3\cdot 19\cdot 23^3\cdot 31\cdot 37\cdot 67^3\\ &=&11358236731992639122907000,\\ Ca(12)&\le& 127^3\cdot Ca(10)\\ &=&2^3\cdot 3^3\cdot 5^3\cdot 7^4\cdot 13^3\cdot 19\cdot 31\cdot 37\cdot 67^3\cdot 127^3\\ &=&1912223147184127402358643000,\\ Ca(13)&\le& 29^3\cdot 127^3\cdot Ca(10)\\ &=&2^3\cdot 3^3\cdot 5^3\cdot 7^4\cdot 13^3\cdot 19\cdot 29^3\cdot 31\cdot 37\cdot 67^3\cdot 127^3\\ &=&46637210336673683216124944127000,\\ Ca(14)&\le& 29^3\cdot 43^3\cdot 127^3\cdot Ca(10)\\ &=&2^3\cdot 3^3\cdot 5^3\cdot 7^4\cdot 13^3\cdot 19\cdot 29^3\cdot 31\cdot 37\cdot 43^3\cdot 67^3\cdot 127^3\\ &=&3707984682237914531464445932705389000,\\ Ca(15)&\le& 2^3\cdot 19^3\cdot 23^3\cdot 29^3\cdot 127^3\cdot Ca(10)\\ &=&2^6\cdot 3^3\cdot 5^3\cdot 7^4\cdot 13^3\cdot 19^4\cdot 23^3\cdot 29^3\cdot 31\cdot 37\cdot 67^3\cdot 127^3\\ &=&31136289927061691188910174934641764248000,\\ Ca(16)&\le& 2^3\cdot 19^3\cdot 23^3\cdot 29^3\cdot 43^3\cdot 127^3\cdot Ca(10)\\ &=&2^6\cdot 3^3\cdot 5^3\cdot 7^4\cdot 13^3\cdot 19^4\cdot 23^3\cdot 29^3\cdot 31\cdot 37\cdot 43^3\cdot 67^3\cdot 127^3\\ &=&2475553003230893881356681278528562750065736000. \end{eqnarray*}

前述以 $Ca(10)$ 乘以適當倍增數而得到 $Ca(11)$, $\ldots$, $Ca(16)$ 的上界的現象, 亦可見於 $BCa(30)$ 乘以適當立方數而得到 $BCa(31)$, $BCa(32)$, $BCa(35)$, $BCa(37)$, $\ldots$, $BCa(42)$, 見 5.1, 及自 $BCa(42)$ 乘以適當立方數而得到 $Ca(43)$, $Ca(44)$, $\ldots$, $Ca(55)$ 的上界 (分別表為 $SCa(43)$, $SCa(44)$, $\ldots$, $SCa(55)$, 見 5.2), 及自 $BTa(22)$ 乘以適當立方數而得到 $Ta(23)$, $Ta(24)$ 的上界 (分別表為 $STa(23)$, $STa(24)$, 見 5.3)。

如上所述, 根據「$Ca$ 篩選演算法」, 對於較小的 $n$, 不難得到其 $n$ 組雙立方和表法。 然而隨著 $n$ 的增加, $Ta$, $Ca$ 篩選演算法所需的運算時間呈指數成長, 對上界的探索極為不利。 我們修正原有的 $Ta$, $Ca$ 篩選演算法, 得到「局部篩選演算法」。

利用「倍增法」搜尋具有 $n+1$ 組表法的 $S = k^3\cdot BCa(n)$ 時, 即搜尋 $Ca(n+1)$ 的上界時, 關鍵在於找到與 $BCa(n)$ 各參數的 $k$ 倍不同, 稱為「新增解」的第 $n+1$ 個參數 $r_{n+1}$。 因此, 局部篩選演算法中並無 counter 之參數。 以下分別說明「局部篩選演算法」兩個用以降低計算時間的方法。

首先, 使用 $Ca$ 篩選演算法時, 在計算出所有 $S/18$ 的因數 $r$ 後, 針對小於 $\root 3\of {S/54}$ 的 $r$ 值進行後續篩檢, 這種方法需要大量大數值的計算。 在使用局部篩選演算法搜尋新增解時, 我們以參數之指數和的範圍來取代參數 $r$ 本身的範圍, 僅算出指數和落在指定區間的參數 $r$, 進行後續篩選。 說明如下 : 已知 $r_i=\prod\limits_{j=1}^m p_j^{\beta_{i,j}}$, $1\le i\le n$ 為 $BCa(n)=\prod\limits_{i=1}^m p_i^{\alpha_i}$ 之 $n$ 組雙立方和表法所對應的參數, 計算各參數之指數的和 $a_i=\sum\limits_{j=1}^m \beta_{i,j}$, $1\le i\le n$, 並設定 $L$, $U$ 為滿足 $L\le a_i\le U$, $1\le i\le n$, 的兩正整數。 不難得知 $S = k^3\cdot BCa(n)$ 已有 $n$ 個參數 $kr_i=k\cdot \prod\limits_{j=1}^m p_j^{\beta_{i,j}}$, $1\le i\le n$, 其指數和的範圍介於 $L+1$, $U+1$ 之間, 我們據以推測新增解 $r_{n+1}$ 之指數和的範圍亦介於 $L+1$, $U+1$ 之間。

此外, 在原來的篩選演算法中, 針對所有合於 $0\le\beta_1\le\alpha_1-1$, $0\le \beta_2\le \alpha_2-2$ (因為 $r$ 為 $S/18$ 的因數), $0\le\beta_i\le \alpha_i$, $i=3, \ldots, m$, $0\le \beta_{m+1}\le 3$ 關係的每一個序對 $(\beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_{m+1})$, 就 $r=k^{\beta_{m+1}}\cdot \prod\limits_{i=1}^m p_i^{\beta_i}$ 檢查相關運算後是否為完全平方。 「局部篩選演算」則進一步縮小各個 $\beta_i$ 的選取範圍。 我們歸納出諸 $BCa(n)$, $BTa(n)$ 新增解 $r_{n+1}=k^{\beta_{m+1}}\cdot \prod\limits_{i=1}^m p_i^{\beta_i}$ 的標準分解式的若干規律, 如： $0\le\beta_i\le\alpha_i/2$, $i=3,\ldots, m$, 以及 $\beta_{m+1}=0,3$。 對於每個 $\beta_i$, $i = 3,\ldots, m$, 僅搜尋 $0\le \beta_i\le\alpha_i/2$, 排除了大約一半的可能性。 因此, 搜尋的次數遽降為全部 (海選) 搜尋的 $1 / 2^{m-1}$ ($m$ 為 $BCa(n)$ 的質因數個數)。

局部篩選演算法：

1. 輸入質數 $p_i$, 非負整數 $\alpha_i$, $i=1,\ldots, m$, 其中 $p_1=2$, $p_2=3$ $\Big(BCa(n) =\prod\limits_{i=1}^m p_i^{\alpha_i}\Big)$, $k$ $\Big($倍增數, $S=k^3\cdot \prod\limits_{i=1}^m p_i^{\alpha_i}\Big)$ 及 $L, U$ (指數和的篩選區間)。

2. 輸入 $\beta_i$, $i=1,\ldots, m+1$, 其中 $0\le\beta_1\le\alpha_1-1$, $0\le\beta_2\le\alpha_2-2$, $0\le \beta_i\le \alpha_i/2$, $i=3, \ldots, m$, $\beta_{m+1}=0$, 3. (篩選對象)

3. 對每一個序對 $(\beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_{m+1})$, 令 $r=k^{\beta_{m+1}}\cdot \prod\limits_{i=1}^m p_i^{\beta_i}$, $a=\sum\limits_{i=1}^{m+1}\beta_i$,
　若 $L\le a\le U$,
　　若 $-3r^2+S/18r$ 為完全平方數,
　　　輸出 $r$, 以及 $x=3r+\sqrt{-3r^2+S/18r}$, $y=3r-\sqrt{-3r^2+S/18r}$,
　　　回到 3,
　　不然, 回到3,
　不然, 回到3.

利用「局部篩選演算」進行上界搜尋時, $L$, $U$ 及 $\beta_i$ 的設定具有關鍵影響, 固可避免大量的大數值計算, 但亦需承擔漏失「搜尋標的」的風險。 然而考慮排除這些可能性後所得到計算上的效益, 卻極為值得。

文獻顯示 Boyer 在 2008 年求得 $Ta(22)$ 及 $Ca(42)$ 的具體上界, 但未見其對應的雙立方和表法。 本節以 $BCa(23)$ 的 23 個 $r$ 值為基礎, 分別給出 $BCa(24)$, $BCa(25)$, $BCa(26)$ 的 $r_i$ 值, 提供具體說明並進而討論 $r$ 值的結構。 至於 $Ca(30), \ldots, Ca(42)$ 上界的搜尋及其參數 $r$ 值的結構, 見第五節。 $BCa(42)$ 的 42 個參數見 5.1, $BTa(22)$ 的 22 個參數, 見附錄表七。

令 $BCa(23)$ 的 23 組表法為 $r_i$, $i=1,\ldots, 23$, 因為 \begin{eqnarray*} BCa(24)&=&17^3\!\cdot\! BCa(23)\\ &=&2^9\!\cdot\! 3^9\!\cdot\! 5^3\!\cdot\! 7^4\!\cdot\! 11^3\!\cdot\! 13^3\!\cdot\! \underline{\underline{17^3}}\!\cdot\! 19^3\!\cdot\! 31^1\!\cdot\! 37^4\!\cdot\! 43^1\!\cdot\! 61^3\!\cdot\! 67^3\!\cdot\! 73^1\!\cdot\! 79^3\!\cdot\! 109^3\!\cdot\! 157^1 \end{eqnarray*} 對應的參數 $r$ 值為 $17\cdot r_i$, $i=1, \ldots, 23$, 另有新增解 $r_{24}$： $$r_{24}=2^2\!\cdot\! 3^2\!\cdot\! 5^1\!\cdot\! 7^2\!\cdot\! 11^1\!\cdot\! 13^1\!\cdot\! 17^3\!\cdot\! 19^1\!\cdot\! 31^0\!\cdot\! 37^1\!\cdot\! 43^0 \!\cdot\! 61^1\!\cdot\! 67^1\!\cdot\! 73^0\!\cdot\! 79^1\!\cdot\! 109^1\!\cdot\! 157^0$$ 為 $17^3$ 的倍數, 其它 $r$ 值雖為 17 的倍數, 但不為 $17^3$ 的倍數。

\begin{eqnarray*} BCa(25)&=&139^3\cdot BCa(23)\\ &=&2^9\!\cdot\! 3^9\!\cdot\! 5^3\!\cdot\! 7^4\!\cdot\! 11^3\!\cdot\! 13^3\!\cdot\! 19^3\!\cdot\! 31^1\!\cdot\! 37^4\!\cdot\! 43^1\!\cdot\! 61^3\!\cdot\! 67^3\!\cdot\! 73^1\!\cdot\! 79^3\!\cdot\! 109^3\!\cdot\! 139^3\!\cdot\! 157^1 \end{eqnarray*} 對應的參數 $r$值為 $139\cdot r_i$, $i=1, \ldots, 23$, 另有新增解 $r'_{24}$ 及 $r'_{25}$： \begin{eqnarray*} r'_{24}&=&2^2\!\cdot\! 3^2\!\cdot\! 5^3\!\cdot\! 7^2\!\cdot\! 11^1\!\cdot\! 13^1\!\cdot\! 19^1\!\cdot\! 31^1\!\cdot\! 37^1\!\cdot\! 43^1\!\cdot\! 61^1\!\cdot\! 67^1\!\cdot\! 73^0\!\cdot\! 79^1\!\cdot\! 109^1\!\cdot\! \underline{\underline{139^0}}\!\cdot\! 157^0\\ r'_{25}&=&2^4\!\cdot\! 3^2\!\cdot\! 5^3\!\cdot\! 7^1\!\cdot\! 11^1\!\cdot\! 13^1\!\cdot\! 19^1\!\cdot\! 31^0\!\cdot\! 37^1\!\cdot\! 43^1\!\cdot\! 61^1\!\cdot\! 67^1\!\cdot\! 73^1\!\cdot\! 79^1\!\cdot\! 109^1\!\cdot\! \underline{\underline{139^0}}\!\cdot\! 157^0 \end{eqnarray*} 前 23 個 $r$ 值為 139 的倍數, 但 $r'_{24}$ 及 $r'_{25}$ 皆不為 139 的倍數。 $BCa(26)=17^3\cdot 139^3\cdot BCa(23)=139^3\cdot BCa(24)=17^3\cdot BCa(25)$ 對應的 $r$ 值為 $17\cdot 139\cdot r_i$, $i=1, \ldots, 23$, 另有新增解：

a. $BCa(26)=139^3\cdot BCa(24)$, 由 $BCa(24)$ 的新增解 $r_{24}$, 得出 $BCa(26)$ 的一個表法： $$139\cdot r_{24}=2^2\cdot 3^2\cdot 5^1\cdot 7^2\cdot 11^1\cdot 13^1\cdot 17^3\cdot 19^1\cdot 31^0\cdot 37^1\cdot 43^0\cdot 61^1\cdot 67^1\cdot 73^0\cdot 79^1\cdot 109^1\cdot 139^1\cdot 157^0$$

b. $BCa(26)\!=\!17^3\cdot BCa(25)$, 由 $BCa(25)$的新增解 $r'_{24}$及$r'_{25}$, 得 $BCa(26)$ 的二個表法： \begin{eqnarray*} 17\!\cdot\! r'_{24}&=&2^2\!\cdot\! 3^2\!\cdot\! 5^3\!\cdot\! 7^2\!\cdot\! 11^1\!\cdot\! 13^1\!\cdot\! 17^1\!\cdot\! 19^1\!\cdot\! 31^1\!\cdot\! 37^1\!\cdot\! 43^1\!\cdot\! 61^1\!\cdot\! 67^1\!\cdot\! 73^0\!\cdot\! 79^1\!\cdot\! 109^1\!\cdot\! 139^0\!\cdot\! 157^0\\ 17\!\cdot\! r'_{25}&=&2^4\!\cdot\! 3^2\!\cdot\! 5^3\!\cdot\! 7^1\!\cdot\! 11^1\!\cdot\! 13^1\!\cdot\! 17^1\!\cdot\! 19^1\!\cdot\! 31^0\!\cdot\! 37^1\!\cdot\! 43^1\!\cdot\! 61^1\!\cdot\! 67^1\!\cdot\! 73^1\!\cdot\! 79^1\!\cdot\! 109^1\!\cdot\! 139^0\!\cdot\! 157^0 \end{eqnarray*} $BCa(23)$, $BCa(24)$, $BCa(25)$, $BCa(26)$ 之間的倍增關係, 可歸納如圖 5 所示。

值得注意的是, $BCa(15)$, $BCa(16)$, $BCa(17)$, $BCa(18)$ 之間以及 $BCa(35)$, $BCa(36)$, $BCa(37)$, $BCa(38)$ 之間有相類似的倍增關係。

$BCa(42)$ 有 29 個質因數, 利用倍增法, 以 $BCa(42)$ 來求 $Ca(43)$ 之上界時, 所涉及的計算量太大 $(\ge 2^{29})$, 所需要的時間太長, 於是我們嘗試改用只有 19 個質因數的 $BCa(30)$ 來搜尋 $Ca(n)$, $n\ge 43$, 的上界。

利用「局部篩選演算法」, 找到 $$BCa(30)=2^9\!\cdot\! 3^9\!\cdot\! 5^9\!\cdot\! 7^7\!\cdot\! 11^3\!\cdot\! 13^6\!\cdot\! 17^3\!\cdot\! 19^3\!\cdot\! 31^1\!\cdot\! 37^4\!\cdot\! 43^1\!\cdot\! 61^3\!\cdot\! 67^3\!\cdot\! 73^1\!\cdot\! 79^3\!\cdot\! 97^3\!\cdot\! 109^3\!\cdot\! 139^3\!\cdot\! 157^1,$$ 的 30 個 $r$ 值如下, 進而提供 $BCa(30)$ 的完整 30 組雙立方和表法。 \begin{eqnarray*} r_{1}&\!=\!&2^2\!\cdot\! 3^2\!\cdot\! 5^3\!\cdot\! 7^1\!\cdot\! 11^3\!\cdot\! 13^2\!\cdot\! 17^1\!\cdot\! 19^1\!\cdot\! 31^1\!\cdot\! 37^1\!\cdot\! 43^0\!\cdot\! 61^1\!\cdot\! 67^1\!\cdot\! 73^0\!\cdot\! 79^1\!\cdot\! 97^1\!\cdot\! 109^1\!\cdot\! 139^1\!\cdot\! 157^0, a_{1}\!=\!23,\\ r_{2}&\!=\!&2^2\!\cdot\! 3^2\!\cdot\! 5^3\!\cdot\! 7^2\!\cdot\! 11^1\!\cdot\! 13^2\!\cdot\! 17^1\!\cdot\! 19^1\!\cdot\! 31^0\!\cdot\! 37^2\!\cdot\! 43^0\!\cdot\! 61^1\!\cdot\! 67^0\!\cdot\! 73^1\!\cdot\! 79^1\!\cdot\! 97^1\!\cdot\! 109^1\!\cdot\! 139^1\!\cdot\! 157^0, a_{2}\!=\!22,\\ r_{3}&\!=\!&2^2\!\cdot\! 3^2\!\cdot\! 5^3\!\cdot\! 7^2\!\cdot\! 11^1\!\cdot\! 13^2\!\cdot\! 17^1\!\cdot\! 19^1\!\cdot\! 31^1\!\cdot\! 37^2\!\cdot\! 43^0\!\cdot\! 61^1\!\cdot\! 67^1\!\cdot\! 73^0\!\cdot\! 79^0\!\cdot\! 97^1\!\cdot\! 109^1\!\cdot\! 139^1\!\cdot\! 157^1, a_{3}\!=\!23,\\ r_{4}&\!=\!&2^2\!\cdot\! 3^2\!\cdot\! 5^3\!\cdot\! 7^2\!\cdot\! 11^1\!\cdot\! 13^2\!\cdot\! 17^1\!\cdot\! 19^3\!\cdot\! 31^0\!\cdot\! 37^1\!\cdot\! 43^0\!\cdot\! 61^1\!\cdot\! 67^1\!\cdot\! 73^1\!\cdot\! 79^0\!\cdot\! 97^1\!\cdot\! 109^1 \!\cdot\! 139^1\!\cdot\! 157^0, a_{4}\!=\!23,\\ r_{5}&\!=\!&2^2\!\cdot\! 3^2\!\cdot\! 5^3\!\cdot\! 7^2\!\cdot\! 11^1\!\cdot\! 13^4\!\cdot\! 17^1\!\cdot\! 19^1\!\cdot\! 31^0\!\cdot\! 37^2\!\cdot\! 43^1\!\cdot\! 61^1\!\cdot\! 67^1\!\cdot\! 73^0\!\cdot\! 79^1\!\cdot\! 97^1\!\cdot\! 109^0\!\cdot\! 139^1\!\cdot\! 157^0, a_{5}\!=\!24,\\ r_{6}&\!=\!&2^2\!\cdot\! 3^2\!\cdot\! 5^3\!\cdot\! 7^3\!\cdot\! 11^1\!\cdot\! 13^2\!\cdot\! 17^1\!\cdot\! 19^1\!\cdot\! 31^0\!\cdot\! 37^0\!\cdot\! 43^0\!\cdot\! 61^1\!\cdot\! 67^1\!\cdot\! 73^0\!\cdot\! 79^1\!\cdot\! 97^1\!\cdot\! 109^1 \!\cdot\! 139^1\!\cdot\! 157^0, a_{6}\!=\!21,\\ r_{7}&\!=\!&2^2\!\cdot\! 3^2\!\cdot\! 5^3\!\cdot\! 7^3\!\cdot\! 11^1\!\cdot\! 13^2\!\cdot\! 17^1\!\cdot\! 19^1\!\cdot\! 31^0\!\cdot\! 37^1\!\cdot\! 43^1\!\cdot\! 61^1\!\cdot\! 67^1\!\cdot\! 73^0\!\cdot\! 79^1\!\cdot\! 97^1\!\cdot\! 109^1 \!\cdot\! 139^1\!\cdot\! 157^0, a_{7}\!=\!23,\\ r_{8}&\!=\!&2^2\!\cdot\! 3^2\!\cdot\! 5^3\!\cdot\! 7^3\!\cdot\! 11^1\!\cdot\! 13^2\!\cdot\! 17^1\!\cdot\! 19^1\!\cdot\! 31^1\!\cdot\! 37^1\!\cdot\! 43^0\!\cdot\! 61^1\!\cdot\! 67^0\!\cdot\! 73^0\!\cdot\! 79^1\!\cdot\! 97^1\!\cdot\! 109^1 \!\cdot\! 139^1\!\cdot\! 157^1, a_{8}\!=\!23,\\ r_{9}&\!=\!&2^2\!\cdot\! 3^2\!\cdot\! 5^3\!\cdot\! 7^3\!\cdot\! 11^1\!\cdot\! 13^2\!\cdot\! 17^3\!\cdot\! 19^1\!\cdot\! 31^0\!\cdot\! 37^1\!\cdot\! 43^0\!\cdot\! 61^1\!\cdot\! 67^1\!\cdot\! 73^0\!\cdot\! 79^1\!\cdot\! 97^1\!\cdot\! 109^1 \!\cdot\! 139^1\!\cdot\! 157^0, a_{9}\!=\!24,\\ r_{10}&\!=\!&2^2\!\cdot\! 3^2\!\cdot\! 5^3\!\cdot\! 7^5\!\cdot\! 11^1\!\cdot\! 13^4\!\cdot\! 17^1\!\cdot\! 19^1\!\cdot\! 31^0\!\cdot\! 37^0\!\cdot\! 43^0\!\cdot\! 61^1\!\cdot\! 67^1\!\cdot\! 73^0\!\cdot\! 79^1\!\cdot\! 97^1\!\cdot\! 109^1 \!\cdot\! 139^1\!\cdot\! 157^0, a_{10}\!=\!22,\\ r_{11}&\!=\!&2^2\!\cdot\! 3^2\!\cdot\! 5^5\!\cdot\! 7^2\!\cdot\! 11^1\!\cdot\! 13^2\!\cdot\! 17^1\!\cdot\! 19^1\!\cdot\! 31^0\!\cdot\! 37^1\!\cdot\! 43^1\!\cdot\! 61^1\!\cdot\! 67^1\!\cdot\! 73^0\!\cdot\! 79^1\!\cdot\! 97^1\!\cdot\! 109^0\!\cdot\! 139^1\!\cdot\! 157^1, a_{11}\!=\!24,\\ r_{12}&\!=\!&2^2\!\cdot\! 3^2\!\cdot\! 5^5\!\cdot\! 7^3\!\cdot\! 11^1\!\cdot\! 13^2\!\cdot\! 17^1\!\cdot\! 19^1\!\cdot\! 31^1\!\cdot\! 37^1\!\cdot\! 43^1\!\cdot\! 61^1\!\cdot\! 67^1\!\cdot\! 73^0\!\cdot\! 79^1\!\cdot\! 97^1\!\cdot\! 109^1 \!\cdot\! 139^0, \!\cdot\! 157^0, a_{12}\!=\!25,\\ r_{13}&\!=\!&2^2\!\cdot\! 3^3\!\cdot\! 5^3\!\cdot\! 7^1\!\cdot\! 11^1\!\cdot\! 13^2\!\cdot\! 17^1\!\cdot\! 19^1\!\cdot\! 31^0\!\cdot\! 37^2\!\cdot\! 43^0\!\cdot\! 61^1\!\cdot\! 67^1\!\cdot\! 73^0\!\cdot\! 79^1\!\cdot\! 97^1\!\cdot\! 109^1 \!\cdot\! 139^1\!\cdot\! 157^1, a_{13}\!=\!23,\\ r_{14}&\!=\!&2^2\!\cdot\! 3^3\!\cdot\! 5^3\!\cdot\! 7^3\!\cdot\! 11^1\!\cdot\! 13^2\!\cdot\! 17^1\!\cdot\! 19^1\!\cdot\! 31^0\!\cdot\! 37^1\!\cdot\! 43^0\!\cdot\! 61^1\!\cdot\! 67^1\!\cdot\! 73^1\!\cdot\! 79^1\!\cdot\! 97^0\!\cdot\! 109^1\!\cdot\! 139^1\!\cdot\! 157^1, a_{14}\!=\!24,\\ r_{15}&\!=\!&2^2\!\cdot\! 3^3\!\cdot\! 5^3\!\cdot\! 7^3\!\cdot\! 11^1\!\cdot\! 13^2\!\cdot\! 17^1\!\cdot\! 19^1\!\cdot\! 31^0\!\cdot\! 37^1\!\cdot\! 43^1\!\cdot\! 61^1\!\cdot\! 67^1\!\cdot\! 73^1\!\cdot\! 79^1\!\cdot\! 97^1\!\cdot\! 109^0\!\cdot\! 139^1\!\cdot\! 157^0, a_{15}\!=\!24,\\ r_{16}&\!=\!&2^2\!\cdot\! 3^3\!\cdot\! 5^9\!\cdot\! 7^1\!\cdot\! 11^1\!\cdot\! 13^1\!\cdot\! 17^1\!\cdot\! 19^1\!\cdot\! 31^0\!\cdot\! 37^2\!\cdot\! 43^1\!\cdot\! 61^1\!\cdot\! 67^0\!\cdot\! 73^0\!\cdot\! 79^1\!\cdot\! 97^1\!\cdot\! 109^1\!\cdot\! 139^0, \!\cdot\! 157^0, a_{16}\!=\!26,\\ r_{17}&\!=\!&2^2\!\cdot\! 3^5\!\cdot\! 5^3\!\cdot\! 7^2\!\cdot\! 11^1\!\cdot\! 13^2\!\cdot\! 17^1\!\cdot\! 19^0\!\cdot\! 31^1\!\cdot\! 37^2\!\cdot\! 43^0\!\cdot\! 61^1\!\cdot\! 67^1\!\cdot\! 73^0\!\cdot\! 79^1\!\cdot\! 97^1\!\cdot\! 109^1\!\cdot\! 139^1\!\cdot\! 157^0, a_{17}\!=\!25,\\ r_{18}&\!=\!&2^2\!\cdot\! 3^2\!\cdot\! 5^3\!\cdot\! 7^2\!\cdot\! 11^1\!\cdot\! 13^0\!\cdot\! 17^1\!\cdot\! 19^1\!\cdot\! 31^0\!\cdot\! 37^2\!\cdot\! 43^0\!\cdot\! 61^1\!\cdot\! 67^1\!\cdot\! 73^0\!\cdot\! 79^1\!\cdot\! 97^3\!\cdot\! 109^1\!\cdot\! 139^1\!\cdot\! 157^0, a_{18}\!=\!22,\\ r_{19}&\!=\!&2^4\!\cdot\! 3^2\!\cdot\! 5^3\!\cdot\! 7^3\!\cdot\! 11^1\!\cdot\! 13^1\!\cdot\! 17^1\!\cdot\! 19^1\!\cdot\! 31^1\!\cdot\! 37^2\!\cdot\! 43^0\!\cdot\! 61^1\!\cdot\! 67^1\!\cdot\! 73^0\!\cdot\! 79^1\!\cdot\! 97^1\!\cdot\! 109^1 \!\cdot\! 139^1\!\cdot\! 157^0, a_{19}\!=\!25,\\ r_{20}&\!=\!&2^4\!\cdot\! 3^2\!\cdot\! 5^5\!\cdot\! 7^2\!\cdot\! 11^1\!\cdot\! 13^2\!\cdot\! 17^1\!\cdot\! 19^1\!\cdot\! 31^0\!\cdot\! 37^1\!\cdot\! 43^1\!\cdot\! 61^1\!\cdot\! 67^1\!\cdot\! 73^1\!\cdot\! 79^1\!\cdot\! 97^1\!\cdot\! 109^1 \!\cdot\! 139^0, \!\cdot\! 157^0, a_{20}\!=\!26,\\ r_{21}&\!=\!&2^4\!\cdot\! 3^3\!\cdot\! 5^3\!\cdot\! 7^2\!\cdot\! 11^1\!\cdot\! 13^1\!\cdot\! 17^1\!\cdot\! 19^1\!\cdot\! 31^0\!\cdot\! 37^1\!\cdot\! 43^1\!\cdot\! 61^1\!\cdot\! 67^1\!\cdot\! 73^0\!\cdot\! 79^3\!\cdot\! 97^1\!\cdot\! 109^0\!\cdot\! 139^1\!\cdot\! 157^0, a_{21}\!=\!25,\\ r_{22}&\!=\!&2^4\!\cdot\! 3^3\!\cdot\! 5^3\!\cdot\! 7^2\!\cdot\! 11^1\!\cdot\! 13^2\!\cdot\! 17^1\!\cdot\! 19^1\!\cdot\! 31^0\!\cdot\! 37^1\!\cdot\! 43^1\!\cdot\! 61^1\!\cdot\! 67^1\!\cdot\! 73^0\!\cdot\! 79^1\!\cdot\! 97^1\!\cdot\! 109^1 \!\cdot\! 139^1\!\cdot\! 157^0, a_{22}\!=\!25,\\ r_{23}&\!=\!&2^4\!\cdot\! 3^3\!\cdot\! 5^3\!\cdot\! 7^3\!\cdot\! 11^1\!\cdot\! 13^1\!\cdot\! 17^1\!\cdot\! 19^1\!\cdot\! 31^0\!\cdot\! 37^2\!\cdot\! 43^0\!\cdot\! 61^0\!\cdot\! 67^1\!\cdot\! 73^1\!\cdot\! 79^1\!\cdot\! 97^1\!\cdot\! 109^1 \!\cdot\! 139^1\!\cdot\! 157^0, a_{23}\!=\!25,\\ r_{24}&\!=\!&2^4\!\cdot\! 3^2\!\cdot\! 5^3\!\cdot\! 7^2\!\cdot\! 11^3\!\cdot\! 13^2\!\cdot\! 17^1\!\cdot\! 19^1\!\cdot\! 31^0\!\cdot\! 37^1\!\cdot\! 43^0\!\cdot\! 61^0\!\cdot\! 67^1\!\cdot\! 73^0\!\cdot\! 79^1\!\cdot\! 97^1\!\cdot\! 109^1 \!\cdot\! 139^1\!\cdot\! 157^1, a_{24}\!=\!25,\\ r_{25}&\!=\!&2^6\!\cdot\! 3^2\!\cdot\! 5^3\!\cdot\! 7^2\!\cdot\! 11^1\!\cdot\! 13^2\!\cdot\! 17^1\!\cdot\! 19^1\!\cdot\! 31^1\!\cdot\! 37^1\!\cdot\! 43^1 \!\cdot\! 61^0\!\cdot\! 67^1\!\cdot\! 73^0\!\cdot\! 79^1\!\cdot\! 97^1\!\cdot\! 109^1 \!\cdot\! 139^1\!\cdot\! 157^0, a_{25}\!=\!26,\\ r_{26}&\!=\!&2^6\!\cdot\! 3^7\!\cdot\! 5^3\!\cdot\! 7^2\!\cdot\! 11^1\!\cdot\! 13^2\!\cdot\! 17^1\!\cdot\! 19^1\!\cdot\! 31^1\!\cdot\! 37^1\!\cdot\! 43^0 \!\cdot\! 61^0\!\cdot\! 67^1\!\cdot\! 73^0\!\cdot\! 79^1\!\cdot\! 97^1\!\cdot\! 109^1 \!\cdot\! 139^1\!\cdot\! 157^0, a_{26}\!=\!30, \\ r_{27}&\!=\!&2^6\!\cdot\! 3^2\!\cdot\! 5^3\!\cdot\! 7^2\!\cdot\! 11^1\!\cdot\! 13^2\!\cdot\! 17^1\!\cdot\! 19^1\!\cdot\! 31^0\!\cdot\! 37^1\!\cdot\! 43^0 \!\cdot\! 61^1\!\cdot\! 67^1\!\cdot\! 73^1\!\cdot\! 79^1\!\cdot\! 97^1\!\cdot\! 109^1 \!\cdot\! 139^1\!\cdot\! 157^0, a_{27}\!=\!26,\\ r_{28}&\!=\!&2^8\!\cdot\! 3^2\!\cdot\! 5^3\!\cdot\! 7^3\!\cdot\! 11^1\!\cdot\! 13^2\!\cdot\! 17^1\!\cdot\! 19^1\!\cdot\! 31^0\!\cdot\! 37^2 \!\cdot\! 43^0 \!\cdot\! 61^1\!\cdot\! 67^0\!\cdot\! 73^0\!\cdot\! 79^1\!\cdot\! 97^1\!\cdot\! 109^1 \!\cdot\! 139^1\!\cdot\! 157^0, a_{28}\!=\!28,\\ r_{29}&\!=\!&2^8\!\cdot\! 3^2\!\cdot\! 5^5\!\cdot\! 7^2\!\cdot\! 11^1\!\cdot\! 13^2\!\cdot\! 17^1\!\cdot\! 19^1\!\cdot\! 31^0\!\cdot\! 37^1\!\cdot\! 43^0 \!\cdot\! 61^1\!\cdot\! 67^1\!\cdot\! 73^0\!\cdot\! 79^1\!\cdot\! 97^1\!\cdot\! 109^1 \!\cdot\! 139^1\!\cdot\! 157^0, a_{29}\!=\!29,\\ r_{30}&\!=\!&2^8\!\cdot\! 3^2\!\cdot\! 5^3\!\cdot\! 7^0\!\cdot\! 11^1\!\cdot\! 13^4\!\cdot\! 17^1\!\cdot\! 19^1\!\cdot\! 31^0\!\cdot\! 37^1\!\cdot\! 43^0 \!\cdot\! 61^1\!\cdot\! 67^1\!\cdot\! 73^1\!\cdot\! 79^1\!\cdot\! 97^0\!\cdot\! 109^1\!\cdot\! 139^1\!\cdot\! 157^0, a_{30}\!=\!27, \end{eqnarray*}

上述結果顯示所有的 $a_i$ 皆滿足 $21\le a_i\le 30$。 接下來將給出 $BCa(31)$, $BCa(32)$, $BCa(35)$, $BCa(37),\ldots, BCa(42)$ 的對應參數 $r$ 值, 它們之間的倍增關係如圖 6 所示。

$BCa(31)= 29^3\cdot BCa(30)$, 得 $BCa(31)$ 的新增解為 $$r_{31}=2^2\!\cdot\! 3^2\!\cdot\! 5^3\!\cdot\! 7^2\!\cdot\! 11\!\cdot\! 13^2\!\cdot\! 17\!\cdot\! 19\!\cdot\! \underline{\underline{29^3}}\!\cdot\! 37\!\cdot\! 61\!\cdot\! 67\!\cdot\! \cdot\! 97\!\cdot\! 109\!\cdot\! 139$$ $BCa(32)= 43^3\cdot BCa(31)$, 得 $BCa(32)$ 的新增解為 $$r_{32}=2^2\!\cdot\! 3^3\!\cdot\! 5^5\!\cdot\! 7^2\!\cdot\! 11\!\cdot\! 13^2\!\cdot\! 17\!\cdot\! 19\!\cdot\! 29^3\!\cdot\! 37\!\cdot\! \underline{\underline{43^0}}\!\cdot\! 61\!\cdot\! 67\!\cdot\! 79\!\cdot\! 97\!\cdot\! 109\!\cdot\! 139$$ $BCa(35)= 397^3\cdot 457^3\cdot BCa(32)$, 得 $BCa(35)$ 的新增解為 \begin{eqnarray*} r_{33}&=&2^2\!\cdot\! 3^2\!\cdot\! 5^9\!\cdot\! 7^2\!\cdot\! 11\!\cdot\! 13^2\!\cdot\! 17\!\cdot\! 19\!\cdot\! 29\!\cdot\! 37\!\cdot\! 43\!\cdot\! 61\!\cdot\! 67\!\cdot\! 73\!\cdot\! 79\!\cdot\! 97\!\cdot\! 109\!\cdot\! 139\!\cdot\! \underline{\underline{397^1\!\cdot\! 457^0}},\\ r_{34}&=&2^2\!\cdot\! 3^5\!\cdot\! 5^3\!\cdot\! 7 \!\cdot\! 11\!\cdot\! 13^2\!\cdot\! 17\!\cdot\! 19\!\cdot\! 29\!\cdot\! 31\!\cdot\! 37\!\cdot\! 43^2\!\cdot\! 61\!\cdot\! 67\!\cdot\! 79\!\cdot\! 97\!\cdot\! 109\!\cdot\! 139\!\cdot\! 157\!\cdot\! \underline{\underline{397^0\!\cdot\! 457^1}},\\ r_{35}&=&2^4\!\cdot\! 3^2\!\cdot\! 5^7\!\cdot\! 7^3\!\cdot\! 11\!\cdot\! 13^2\!\cdot\! 17\!\cdot\! 19\!\cdot\! 29\!\cdot\! 31\!\cdot\! 37^2\!\cdot\! 43\!\cdot\! 61\!\cdot\! 67\!\cdot\! 79\!\cdot\! 97\!\cdot\! 109\!\cdot\! 139\!\cdot\! \underline{\underline{397^0\!\cdot\! 457^0}}. \end{eqnarray*} $BCa(37)= 101^3\cdot 229^3\cdot BCa(35)$, 得 $BCa(37)$ 的新增解為 \begin{eqnarray*} r_{36}&=&2^4\!\cdot\! 3^2\!\cdot\! 5^3\!\cdot\! 11\!\cdot\! 13^2\!\cdot\! 17\!\cdot\! 19\!\cdot\! 29\!\cdot\! 37\!\cdot\! 43\!\cdot\! 61\!\cdot\! 67\!\cdot\! 79\!\cdot\! 97\!\cdot\! \underline{\underline{101^3}}\!\cdot\! 109\!\cdot\! 139\!\cdot\! 157\!\cdot\! \underline{\underline{229^0}}\!\cdot\! 397\!\cdot\! 457,\\ r_{37}&=&2^6\!\cdot\! 3^3\!\cdot\! 5^3\!\cdot\! 7^5\!\cdot\! 11\!\cdot\! 13^2\!\cdot\! 17\!\cdot\! 19\!\cdot\! 29\!\cdot\! 37^2\!\cdot\! 43\!\cdot\! 61\!\cdot\! 67\!\cdot\! 73\!\cdot\! 79\!\cdot\! 97\!\cdot\! \underline{\underline{101^1}}\!\cdot\! 109\!\cdot\! 139\!\cdot\! \underline{\underline{229^0}}\!\cdot\! 457. \end{eqnarray*} $BCa(38)= 181^3\cdot BCa(37)$, 得 $BCa(38)$ 的新增解為 $$r_{38}=2^2\!\cdot\! 3^5\!\cdot\! 5^5\!\cdot\! 7^3\!\cdot\! 11\!\cdot\! 13^2\!\cdot\! 17\!\cdot\! 19\!\cdot\! 29\!\cdot\!31\!\cdot\!43\!\cdot\! 61\!\cdot\!67\!\cdot\!73\!\cdot\!79\!\cdot\!97\!\cdot\!101\!\cdot\!109\!\cdot\!139\!\cdot\!\underline{\underline{181^0}}\!\cdot\!229\!\cdot\! 397\!\cdot\!457.$$ $BCa(39) =163^3\cdot BCa(38)$, 得 $BCa(39)$ 的新增解為 $$r_{39}=2^2\!\cdot\! 3^2\!\cdot\! 5^3\!\cdot\! 7^5\!\cdot\! 11\!\cdot\! 13^2\!\cdot\! 17\!\cdot\! 29\!\cdot\! 37\!\cdot\! 43\!\cdot\! 61\!\cdot\! 67\!\cdot\! 79\!\cdot\! 97\!\cdot\! 101\!\cdot\! 109\!\cdot\! 139\!\cdot\! 157\!\cdot\! \underline{\underline{163^3}}\!\cdot\! 229\!\cdot\! 457.$$ $BCa(40)=193^3\cdot BCa(39)$, 得 $BCa(40)$ 的新增解為 $$r_{40}=2^2\!\cdot\! 3^2\!\cdot\! 5^3\!\cdot\! 7^2\!\cdot\! 11\!\cdot\! 13^2\!\cdot\! 17\!\cdot\! 19\!\cdot\! 29\!\cdot\! 37\!\cdot\! 43^2\!\cdot\! 61\!\cdot\! 67\!\cdot\! 79\!\cdot\! 97\!\cdot\! 101\!\cdot\! 109\!\cdot\! 139\!\cdot\! 157\!\cdot\! 163\!\cdot\! 181\!\cdot\! \underline{\underline{193^0}} \!\cdot\! 229\!\cdot\! 397\!\cdot\! 457.$$ $BCa(41)=223^3\!\cdot\! BCa(40)$, 得 $BCa(41)$ 的新增解為 $$r_{41}=2^6\!\cdot\! 3^3\!\cdot\! 5^3\!\cdot\! 7^2\!\cdot\! 11\!\cdot\! 13^2\!\cdot\! 17\!\cdot\! 19\!\cdot\! 29\!\cdot\! 37\!\cdot\! 43\!\cdot\! 61\!\cdot\! 67\!\cdot\! 79\!\cdot\! 97\!\cdot\! 101\!\cdot\! 109\!\cdot\! 139\!\cdot\! 157\!\cdot\! 163\!\cdot\! 181\!\cdot\! 193\!\cdot\! \underline{\underline{223^0}}\!\cdot\! 229\!\cdot\! 397\!\cdot\! 457.$$ $BCa(42)=307^3\cdot BCa(41)$, 得 $BCa(42)$ 的新增解為 $$r_{42}=2^2\!\cdot\! 3^3\!\cdot\! 5^3\!\cdot\! 7^2\!\cdot\! 11\!\cdot\! 13^2\!\cdot\! 17\!\cdot\! 19\!\cdot\! 29\!\cdot\! 37\!\cdot\! 43\!\cdot\! 61\!\cdot\! 67\!\cdot\! 79\!\cdot\! 97\!\cdot\! 101\!\cdot\! 109\!\cdot\! 139\!\cdot\! 163\!\cdot\! 181\!\cdot\! 193\!\cdot\! 223\!\cdot\! \underline{\underline{307^3}}\!\cdot\! 397\!\cdot\! 457.$$

本節以 $BCa(30)$ 的 30 個參數 $r$ 值以及 $BCa(42)$ 的 42 個參數 $r$ 值 (見5.1) 為基礎, 來搜尋 $Ca(n)$, $n\ge 43$, 的上界, 並將因此得到的 $Ca(n)$ 的上界分別記為 $SCa(n)$, $43\le n\le 55$。 我們分別說明

(1) 用「局部篩選演算法」, 求得 $BCa(30)$ 的倍增數,

(2) 利用 $BCa(30)$ 的倍增數及 $BCa(42)\!=\!Q^3$, $BCa(30)$的倍增關係, 得到 $Ca(43)$ 的上界。

先說明如何用「局部篩選演算法」求得整數 $k$, 使得 $k^3\cdot BCa(30)$ 有新增解 $R$。 令 $BCa(30)=\prod\limits_{i=1}^{19} p_i^{\alpha_i}$, 將其 30 個 $r$ 值分別以 $\prod\limits_{i=1}^{19} p_i^{\beta_i}$ 表示, 諸 $\beta_i$, $i=1,\ldots, 19$, 之值整理如表 5。

分別計算 $BCa(30)$ 的 30 個 $r$ 值之 $r_j=\prod\limits_{i=1}^{19} p_i^{\beta_{i,j}}$ 表法中的指數和 $\sum\limits_{i=1}^{19} \beta_{i,j}$ 均介於 21 與 30 之間。 因此, 我們設定 $L=22$, $U=31$。 利用局部篩選演算法, 僅針對上表可能 $\beta_1, \ldots,\beta_{19}$ 值及 $\beta_{20}=0$ 或 3 的序對 $(\beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_{m+1})$, 當 $22\le\sum\limits_{i=1}^{20} \beta_i\le 31$ 時, 計算得 $r=k^{\beta_{20}}\cdot \prod\limits_{i=1}^{19} p_i^{\beta_i}$, 若再得 $-3r^2+k^3\cdot BCa(30)/18r$ 為完全平方數, 則此 $r$ 即為 $k^3\cdot BCa(30)$ 的新增解 $R$。 我們求得 $BCa(30)$ 的若干「倍增數(質數或兩質數積)」及其對應新增解如表 6：

接下來我們說明為何能由 $BCa(30)$ 的倍增數得到 $Ca(43)$ 的上界。 將 $BCa(42)$ 的 42 組雙立方和表法所對應的 $r$ 值記為 $r_i$, $i=1, \ldots, 42$。令 $$Q = 29\cdot 43\cdot 101\cdot 163\cdot 181\cdot 193\cdot 223\cdot 229\cdot 307\cdot 397\cdot 457,$$ 則倍增關係 $$BCa(42) = Q^3\cdot BCa(30)$$ 成立。 若得與 $Q$ 互質的 $BCa(30)$ 的倍增數 $k$, 使得 $k^3\cdot BCa(30)$ 有新增解 $R$, 則 $$S =k^3\cdot BCa(42)=Q^3\cdot k^3\cdot BCa(30)$$ 的雙立方和表法所對應的 $r$ 有 $43$ 組如下：

　a. 由 $S =k^3\cdot BCa(42)$, 得 42 個 $r$ 值 $k\cdot r_i$, $i=1,\ldots, 42$ 等,

　b. 由 $S = Q^3\cdot (k^3\cdot BCa(30))$, 得 $Q\cdot R$ 為一個新增 $r$ 值。

因此, $S$ 有 43 組雙立方和表法, 故得 $Ca(43)$ 的上界。 以 $k_1=487$ 為例, 具體說明 $487^3\cdot BCa(42)$ 有 43 組雙立方和表法如下： 已知 $BCa(42)$ 對應的參數 $r_i$, $i=1,\ldots, 42$ 沒有質因數 487。 且 $$R = 2^4\cdot 3^5\cdot 5^3\cdot 7^2\cdot 11\cdot 13^2\cdot 17\cdot 31\cdot 37\cdot 61\cdot 67\cdot 79\cdot 97\cdot 109\cdot 139,$$ 為 $487^3\cdot BCa(30)$ 的新增解。 顯然,

　a. 由 $S=487^3\cdot BCa(42)$, 可得 $487\cdot r_i$, $i=1, \ldots, 42$, 提供 $S$ 的 42 個 $r$ 值,

　b. 由 $S= Q^3\cdot(487^3\cdot BCa(30))$, 得 $r_{43}= Q\cdot R$ 為 $S$ 的第 43 個 $r$ 值。

因 $r_{43}$ 不為 487 的倍數, 而 $487r_i$, $i=1,\ldots, 42$ 為 487 的倍數, 即得 $r_{43}$ 與諸 $487r_i$, $i=1, \ldots, 42$ 相異。 因此, $487^3\cdot BCa(42)$ 有 43 組雙立方和表法, 亦即 $487^3\cdot BCa(42)$ 為 $Ca(43)$ 的一個上界, 記為 $SCa(43)$： $$SCa(43)=487^3\cdot BCa(42)\hbox{。}$$ 同理可再得以下結果：
　$503^3\cdot SCa(43)$ 為 $Ca(44)$ 的一個上界, 記為 $SCa(44)$,
　$(2\times 607)^3\cdot SCa(44)$ 為 $Ca(45)$ 的一個上界, 記為 $SCa(45)$,
　$1307^3\cdot SCa(45)$ 為 $Ca(46)$ 的一個上界, 記為 $SCa(46)$,
　$(31\times 103)^3\cdot SCa(46)$ 為 $Ca(47)$ 的一個上界, 記為 $SCa(47)$,
　$3559^3\cdot SCa(47)$ 為 $Ca(48)$ 的一個上界, 記為 $SCa(48)$,
　$4057^3\cdot SCa(48)$ 為 $Ca(49)$ 的一個上界, 記為 $SCa(49)$,
　$4261^3\cdot SCa(49)$ 為 $Ca(50)$ 的一個上界, 記為 $SCa(50)$,
　$4339^3\cdot SCa(50)$ 為 $Ca(51)$ 的一個上界, 記為 $SCa(51)$,
　$4957^3\cdot SCa(51)$ 為 $Ca(52)$ 的一個上界, 記為 $SCa(52)$,
　$6661^3\cdot SCa(52)$ 為 $Ca(53)$ 的一個上界, 記為 $SCa(53)$。
　$8353^3\cdot SCa(53)$ 為 $Ca(54)$ 的一個上界, 記為 $SCa(54)$。
　$9043^3\cdot SCa(54)$ 為 $Ca(55)$ 的一個上界, 記為 $SCa(55)$。

上述所得的上界歸納在定理四。 其中 $Ca(43)$, $Ca(44)$ 的上界已於 2014 年 8 月收錄於 OEIS, 並且本文下修收錄於 OEIS 之 $Ca(43), Ca(44)$ 的上界。

定理四：
　$Ca(43)\le SCa(43)=487^3\cdot BCa(42)$
　$Ca(44)\le SCa(44)=503^3\cdot SCa(43)$
　$Ca(45)\le SCa(45)= (2\times 607)^3\cdot SCa(44)$
　$Ca(46)\le SCa(46)=1307^3\cdot SCa(45)$
　$Ca(47)\le SCa(47)= (31\times 103)^3\cdot SCa(46)$
　$Ca(48)\le SCa(48)=3559^3\cdot SCa(47)$
　$Ca(49)\le SCa(49)=4057^3\cdot SCa(48)$
　$Ca(50)\le SCa(50)=4261^3\cdot SCa(49)$
　$Ca(51)\le SCa(51)=4339^3\cdot SCa(50)$
　$Ca(52)\le SCa(52)=4957^3\cdot SCa(51)$
　$Ca(53)\le SCa(53)=6661^3\cdot SCa(52)$
　$Ca(54)\le SCa(54)=8353^3\cdot SCa(53)$
　$Ca(55)\le SCa(55)=9043^3\cdot SCa(54)$

本節以 $BTa(12)$ 的倍增數及 $BTa(12)$ 與 $BTa(22)$ 之間的倍增關係求得 $Ta(23)$ 和 $Ta(24)$ 的上界。 我們用局部篩選演算法, 求得 $BTa(12)$ 的兩個倍增數 $47627(=97\times 491)$ 及 $91037(=59\times 1543)$, 其所對應的新解 $R_1$, $R_2$ 分別如下： \begin{eqnarray*} R_1&=&2^2\!\cdot\! 3\!\cdot\! 5\!\cdot\! 7\!\cdot\! 13^2\!\cdot\! 17\!\cdot\! 19\!\cdot\! 73\!\cdot\! 79\!\cdot\! \underline{\underline{97^0}}\!\cdot\! 109\!\cdot\! 139\!\cdot\! \underline{\underline{491^3}},\\ R_2&=&2^2\!\cdot\! 3\!\cdot\! 5\!\cdot\! 7^2\!\cdot\! 13^2\!\cdot\! 17\!\cdot\! 19\!\cdot\! \underline{\underline{59^3}}\!\cdot\! 79\!\cdot\! 97\!\cdot\! 109\!\cdot\! 139\!\cdot\! 157\!\cdot\! \underline{\underline{1543^0}}.\\ oalign{\hbox{令}} Q'&=&2\!\cdot\! 3\!\cdot\! 5^2\!\cdot\! 11\!\cdot\! 31\!\cdot\! 37\!\cdot\! 61\!\cdot\! 103\!\cdot\! 127\!\cdot\! 181\!\cdot\! 197\!\cdot\! 397\!\cdot\! 457\!\cdot\! 503\!\cdot\! 521\!\cdot\! 607\!\cdot\! 4261, \end{eqnarray*} 則倍增關係 $$BTa(22)= {Q'}^3\cdot BTa(12)$$ 成立。 將 $BTa(22)$ 的 22 個 $r$ 值記為 $r_i$, $i=1, \ldots, 22$, 則 $$(97\times 491)^3\cdot BTa(22)= (97\times 491)^3\cdot {Q'}^3\cdot BTa(12)$$ 有 22 個解為 $97\cdot 491\cdot r_i$, $i=1, \ldots, 22$ 及新增解： \begin{eqnarray*} {Q'}\cdot R_1&=&2^3\!\cdot\! 3^2\!\cdot\! 5^3\!\cdot\! 7\!\cdot\! 11\!\cdot\! 13^2\!\cdot\! 17^1\!\cdot\! 19^1\!\cdot\! 31\!\cdot\! 37\!\cdot\! 61\!\cdot\! 73\!\cdot\! 79\!\cdot\! 103\!\cdot\! 109\!\cdot\! 127\!\cdot\! 139\!\cdot\! 181\!\cdot\! 197\\ &&\cdot 397\!\cdot\! 457\!\cdot\! \underline{\underline{491^3}}\!\cdot\! 503\!\cdot\! 521\!\cdot\! 607\!\cdot\! 4261. \end{eqnarray*} 因 ${Q'}\cdot R_1$ 為 $491^3$ 的倍數, 異於 $97\cdot 491\cdot r_i$, $i=1, \ldots, 22$, 故得 $(97\times 491)^3\cdot BTa(22)$ 有 23 組雙正立方和表法, 亦即 $(97\times 491)^3\cdot BTa(22)$ 為 $Ta(23)$ 的一個上界, 記為 $STa(23)$： $$STa(23)= (97\times 491)^3\cdot BTa(22)$$ 同理再得： $$(59\times 1543)^3\cdot STa(23)\ \hbox{為 $Ta(24)$ 的一個上界, 記為 $STa(24)$.}$$ 上述結果歸納如定理五。其中, $Ta(23)$ 的上界於 2014 年 10 月收錄於 OEIS。

定理五： $$Ta(23)\le STa(23)=(97\times 491)^3\cdot BTa(22)$$ $$Ta(24)\le STa(24)=(59\times 1543)^3\cdot STa(23)$$

參考文獻

---本文作者任教苗栗縣興華高中---

附錄