數學傳播

上個世紀布勞威爾 (Brouwer) 設計了映射度, 成為一個強而有力的獨門秘技, 證明了許多當時被認為遙不可及的定理, 其中包括維數是個拓樸量。 在此之前, 用直觀的判斷一條纖細的線段與一個寬實的方盤是完全不同的, 因為維數分別是一與二。 但是偏偏康托爾 (Cantor) 的集合論裡證明, 兩者有相同的基數 (1877)。 且皮亞諾 (Peano) 更進一步, 建立了一個連續滿射, 把前者映成後者 (1890)。在這些病態的諸多現象步步衝擊之下, 直觀正確判斷的可靠性節節潰敗, 布勞威爾總算是扳回一城, 守住了最後防線。 後來更挾其餘威, 高舉直觀主義的大纛, 造成與希爾伯特 (Hilbert) 的衝突, 被愛因斯坦 (Einstein) 戲稱之為「蛙鼠之爭」。

布勞威爾又再使出秘技的時候, 證明了固定點定理 : 圓體上的連續自映射必有固定點。 這個定理是存在性的, 有違布勞威爾自己堅持的直觀主義 : 只接受建構證明的信念。幸得後來有施伯納(Sperner)等人接力而得建構的證明。

眼下計算固定點的方法, 是衍生自上述的建構解又叫同倫法。 假設 $G$ 是個圓體上的連續自映射, 固定點問題在求 $X$ 使得 $G(X) = X$。 其法始於引進一個顯然有個已知解的固定點問題 $G_0(X) = (X + X_0) /2$。 於是與原問題兩者之間, 作成一個同倫問題 $H_t (X) = (1-t)G_0(X)+t G(X)$ 每個參數 $t$ 都有一個固定點 $X_t$, 形成一條曲線姑且名之為{固定脈}。 希望沿著這條脈, 順藤摸瓜的可以從 $X_0$ 帶到 $X_1$(圖1)。

實際作法上, 又分類成解析法與組合法兩種。 解析法基本上是解數值微分方程式, 這個著名方法的來龍去脈與箇中奧妙, 應讀發現當事人李天岩自己寫的文章。

組合法的基礎比較接近同調論, 因此本質是積分而不是微分。 三維單體 (simplex) (四面體) 的表面是由四個平面單體 (三角形) 所構成的複體 (complex), 每個頂點隨意用 $\{0,1,2\}$ 來標號, 平面單體若每個頂點的標號都不同時叫 「施伯納單體」, 重要的是有這樣一條原理說 : 任何複體總有兩個或根本沒有施伯納單體 (圖2)。

因此已經有一個施伯納單體的複體, 必定有另外一個施伯納單體。 從新的施伯納單體可以建構另一個新的複體, 而且保證它也有個施伯納單體, 這樣就完成一個操作過程, 不斷迭代可得一條逶迤而出的角龍(圖3)。 當初若用巧妙的設計來標號而問題本身又不是太離奇, 這條角龍是個裹住固定脈的複體 。

上述這一條原理, Door in Door out 口語說成「進得來出得去」是華人數學家樊著名的發現。 發現得十分出奇, 當時樊遷了新居, 趁著暑假油漆房間, 漆著漆著, 一間漆完換一間, 這時手上雖忙, 腦袋卻也沒閒置, 居然從中得到靈感。 這是他的銘言「每個清醒時刻 (every waking moment)」最好的親身見證。

1975 他六十歲生日時, 研究生 Barbara Lesanti 帶頭糾團做 T 恤, 上面印了大頭照與上述 銘言以為紀念(圖4)。

這是學生自發, 沒有任何官方色彩的慶祝活動。 因為樊脾氣一向不好, 經常有臉紅脖子粗的時候, 研究生們要表達的是, 即使他聲色俱厲, 無損大家的愛戴。 只是那銘言被宣傳得有點誇張, 因為在此之前, 他對華人學生説的是「我四十歲以前從沒看過閒書」。

樊的英語有很重的口音, 他自承初中時好玩, 不在意功課, 臨升學的時候才慌了。 自忖數理科目還能憑聰明應付, 但是語文科目如英文, 需要靠平常用功的, 就來不及臨陣磨槍。 幸好德國人在上海租界辦的同濟大學附屬中學, 不考英文, 因此才有機會進高中, 説到這裡他還得意地笑了。 從笑容中依稀可以辨認出那個調皮狡黠的中學生, 目前國中要求成千的英文字彙, 又沒有德國租界, 多少個樊都被埋沒了。 在同濟附中樊沒討到便宜, 唸德文從認 ${\frak {ABC}}$ 開始, 很吃了些苦頭。多年後他還當賓客前表演朗讀德文古書, 年輕輩的德國人都嘖嘖稱奇, 好比我們看到洋人讀甲骨文。進北大後, 就憑通德文, 作了施伯納來訪時的助教, 受了深刻影響。雖然後來去法國進修, 但是德文還是他的基本外語, 還因此被誤認為是師門出自外爾 (Weyl) 或馮諾依曼 (von Neumann)。

樊以變分法見知於摩爾斯 (Morse), 而於大戰後被延聘至高等研究院, 親炙外爾及其他著名數學家。 有這樣的經歷, 因此渾身典故, 印象最深刻的是擅長模仿著名數學家。 在台大大四時, 曾在繆龍驥書報討論班上, 研讀馬克(Maak) 殆週期函數(almost periodic function)的筆記。 其中建構緊緻群上的不變測度, 有繁複的一連串估算式子。 後來上樊的課方知是馮諾依曼的傑作, 他模仿馮諾依曼左手執板擦, 右手持筆, 只用一個式子, 這邊寫那邊擦, 往復幾次修改這一條式子, 最後得到證明就哈哈大笑。 這套馮諾依曼的把戲, 樊模仿得生動有趣, 彷如親見。另外他還模仿查利斯基 (Zariski), 這位幾何學家出於意大利古典學派門下, 但是卻自創代數新法成為一代宗師。 有一次他不慎掛黑板, 樊模仿他, 躲在講台的一個角落, 以身體掩遮著畫圖形, 原來在急難關頭, 安撫自己的還是師門的方法。

每年過生日樊都招呼數學系華人研究生回家, 飯後茶餘就開始擺龍門, 除了說自己求學研究的經驗, 經常還有一些時人軼事, 這是他對歷史的濃厚興趣。 因此他所讀的閒書, 無非是吳相湘寫的近代史, 或黎東方的閒說史話, 他的學生夏宗匯也感染了對歷史的興趣, 我們不期而遇的場合, 除了清華校園之外, 居然是台北植物園邊的歷史博物館。

初識夏宗匯時他正在作博士後, 叼個煙斗, 帶著不確定是否應等對方先開口的狐疑和靦腆, 熟悉之後方知其古道熱腸, 經常與我分享他的廚藝以慰鄉愁。 當他離開聖巴巴拉時, 把帶不走的家當如單車、音響和書籍都留了下來, 其中包括逐年的 AMS Bulletin, 而後我也養成固定看這雜誌的習慣, 補充了許多新知 和一些數學家的八卦, 這是我最受惠之處。

1985 年東吳畢業生高文德, 報考清華數研所, 當時拓樸學還是一門考科。 我關切他「考得如何」? 他回答說 :「好像在考期中考」, 意思是題型與平常考試一樣, 我猜測出題的若非夏宗匯就是全任重, 其實肯定是樊在出題。

目前不變測度定理的證明, 不再用殆週期函數而是透過群的表現, 馮諾依曼的方法被比較文雅的角谷靜夫(Kakutani)固定點定理取代 , 若要深入了解其中的連繫, 以逆推回固定點定理, 夏宗匯以為不妨先讀一讀群的表現, 因此計劃共同做這件事, 連書都決定了 , 因為我不堪南北奔波, 參加這個研討班的計劃終未實現。 然而群的表現還是有中央大學的林欣誠再接再厲潛心鑽研。 林欣誠與夏宗匯名為師徒, 情同父子, 師生孺慕實為數學界添上一段佳話。

參考文獻

---本文作者為東吳大學數學系退休教授---