35401 丘成桐院士演講 一 弦論和宇宙隱維的幾何

終極密碼

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今天要講的, 是數學和物理如何互動互利, 這種關係在Calabi-Yau空間和弦論的研究中尤為突出。 這個題目非出偶然, 它正是我和 Steve Nadis 1 1 註: Steve Nadis, 美國作家, 天文學雜誌 Astronomy Magazine 的特約編輯 的新書《內空間的形狀》 2 2 註: 如附圖1, 書名為「The Shape of Inner Space: String Theory and the Geometry of the Universe's Hidden Dimensions」, ISBN 0465020232, 2010年由Basic Books (U.S.)出版。 的主旨。 書中描述了這些空間背後的故事, 個人的經歷和幾何的歷史。 我寫這本書, 是希望讀者透過它, 了解數學家是如何看這世界的。 數學並非一門不食人間煙火的抽象學問, 相反地, 它是我們認識物理世界不可或缺的工具。 現在, 就讓我們沿著時間 --- 或更確切地、沿著時空 --- 從頭說起。
圖 1.The Shape of Inner Space

I. 黎曼幾何學

一九六九年, 我到了柏克萊唸研究院。 在那裏我了解到, 十九世紀幾何學在高斯 3 3 註: Carl Friedrich Gauss (1777-1855), 德國數學家, 有「數學王子」之稱, 並被譽為是最重要的數學家。 和黎曼 4 4 註: Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866), 德國數學家, 黎曼幾何學創始人, 複變涵數論創始人之一。 的手上經歷了一場翻天覆地的變化。 黎曼的創見, 顛覆了前人對空間的看法, 給數學開闢了新途徑。幾何的對象, 從此不再局限於平坦而線性的歐幾里德空間內的物體。 黎曼引進了更抽象的、具有任何維數的空間。 在這些空間裏, 距離和曲率都具意義。此外, 在它們上面還可以建立一套適用的微積分。 大約五十年後, 愛因斯坦發覺包含彎曲空間的這種幾何學, 剛好用來統一牛頓的重力理論和狹義相對論, 沿著新路邁進, 他終於完成了著名的廣義相對論。

圖 2. 高斯
圖 3. 黎曼
圖 4. 愛因斯坦

在研究院的第一年, 我唸了黎曼幾何學。它與我在香港時學的古典幾何不一樣, 過去我們只會討論在線性空間裏的曲線和曲面。 在柏克萊, 我修了Spanier 5 5 註: Edwin Henry Spanier (1921-1996), 美國數學家, 其著作是代數拓樸學的標準教材。 的代數拓樸、Lawson 6 6 註: Blaine Lawson, 微分幾何學家, 美國紐約州立大學石溪分校教授, 以最小曲面等的工作著稱。 的黎曼幾何、Morrey 7 7 註: Charles B. Morrey, Jr. (1907-1984), 美國數學家, 對變分法與偏微分方程有非常重要的貢獻。 的偏微分方程。 此外, 我還旁聽了包括廣義相對論在內的幾門課, 我如飢似渴地盡力去吸收知識。 課餘的時間都待在圖書館, 它簡直成了我的辨公室。 我孜孜不倦地找尋有興趣的材料來看。聖誕節到了, 別人都回去和家人團聚。 我卻在讀《微分幾何學報》 8 8 註: Journal of Differential Geometry, ISSN(print) 0022-040X, ISSN(online) 1945-743X。 上John Milnor 9 9 註: John Willard Milnor (1931- ), 美國數學家, 他在微分拓樸、K-理論與動力系統的工作廣為人知, 1962年獲菲爾茲獎, 1989年獲沃爾夫獎, 2011年獲阿貝爾獎。 的一篇論文, 它闡述了空間裏曲率與基本群的關係。 我既驚且喜, 因為它用到了我剛剛學過的東西。

圖 5. John Milnor

Milnor的文筆是如此流暢, 我通讀此文毫不費力。他文中提及Preissman 10 10 註: Alexandre Preissman (1916-), 法國數學家。 的另一論文, 我也極感興趣。 從這些文章中可以見到, 負曲率空間的基本群受到曲率強烈的約束, 必須具備某些性質。 基本群是拓樸上的概念。雖然, 拓樸也是一種研究空間的學問, 但它不涉及距離。 從這角度來看, 拓樸所描繪的空間並沒有幾何所描繪的那樣精細。幾何要量度兩點間的距離, 對空間的屬性要知道更多。 這些屬性可以由每一點的曲率表達出來, 這便是幾何了。

舉例而言, 甜甜圈和咖啡杯具有截然不同的幾何, 但它們的拓樸卻無二樣。 同樣, 球面和橢球面幾何迥異但拓樸相同。作為拓樸空間, 球面的基本群是平凡的, 在它上面的任何閉曲線, 都可以透過連續的變動而縮成一點。 但輪胎面則否, 在它上面可以找到某些閉曲線, 無論如何連續地變動都不會縮成一點。 由此可見, 球面和輪胎面具有不同的拓樸。

Preissman 定理討論了幾何 (曲率) 如何影響拓樸 (基本群), 我作了點推廣。 在影印這些札記時, 一位數學物理的博士後Arthur Fisher嚷著要知道我做了什麼。 他看了那些札記後, 說任何把曲率與拓樸扯上關係的結果, 都會在物理學中用上。這句話在我心中留下烙印, 至今不忘。

II. 廣義相對論

狹義相對論告訢我們, 時間和空間渾為一體, 形成時空, 不可分割。 愛因斯坦進一步探究重力的本質, 他的友人Marcel Grossmann 11 11 註: Marcel Grossmann (1878-1936), 猶太裔數學家, 愛因斯坦的同班同學與朋友。 是數學家, 愛氏透過他認識到黎曼和 Ricci 12 12 註: Gregorio Ricci-Curbastro (1853-1925), 義大利數學家, 他在許多領域都有重要貢獻, 以張量分析的發現最廣為人知。 的工作。 黎曼引進了抽象空間的概念, 並且討論了其上的距離和曲率。 愛因斯坦利用這種空間, 作為他研究重力的舞臺。愛因斯坦也引用了Ricci的工作, 以他創造的曲率來描述物質在時空的分布。 Ricci曲率乃是曲率張量的 , 是曲率的某種平均值。它滿足的比安奇恆等式, 奇妙地可以看成一條守恆律。 愛因斯坦利用了這條守恆律來把重力幾何化, 從此我們不再視重力為物體之間的吸引力。 新的觀點是, 物體的存在使空間產生了曲率, 重力應當看作是這種曲率的表現。 對歷史有興趣的讀者, 愛因斯坦的自家說辭更具說服力。他說:「這套理論指出重力場由物質的分佈決定, 並隨之而演化, 正如黎曼所猜測的那樣, 空間並不是絕對的, 它的結構與物理不能分割。 我們宇宙的幾何絕不像歐氏幾何那樣孤立自足。」 講到自己的成就時, 愛因斯坦寫道:「就學問本身而言, 這些理論的推導是如此行雲流水, 一氣呵成, 聰明的人花點力氣就能掌握它。 然而, 多年來的探索, 苦心孤詣, 時而得意, 時而氣餒, 到事竟成, 其中甘苦, 實在不足為外人道。」 愛因斯坦研究重力的經歷, 固然令人神往, 他的創獲更是驚天動地。但是黎曼幾何學在其中發揮的根本作用, 也是昭昭然不可抹殺的。

半個多世紀後, 我研習愛因斯坦方程組, 發現物質只能決定時空的部分曲率, 為此心生困惑, 自問能否找到一個真空, 即沒有物質的時空, 但其曲率不平凡(non-trivial), 即其重力不為零。 當然, 著名愛因斯坦方程Schwarzschild 解具有這些性質。它描述的乃是非旋轉的黑洞, 這是個真空, 但奇怪地, 異常的重力產生了質量。 然而這個解具有一個奇點(singularity), 在那裏所有物理的定律都不適用。 我要找的時空不似 Schwarzschild 解所描繪的那樣是開放無垠的, 反之, 它是光滑不帶奇點, 並且是緊而封閉的。 即是說, 有沒有一個緊而不含物質的空間 --- 即封閉的真空宇宙 --- 其上的重力卻不平凡? 這問題在我心中揮之不去, 我認為這種空間並不存在。 如果能從數學上加以論證, 這會是幾何學上的一條美妙的定理。

III.Calabi 猜想

從上世紀七十年代開始, 我便在考慮這個問題。當時, 我並不知道幾何學家 Calabi 13 13 註: Eugenio Calabi (1923- ), 義大利數學家, 專攻微分幾何與偏微分方程及其應用。 早已提出差不多同樣的問題。 他的提問透過頗為複雜的數學語言來表述, 其中涉及 Kähler 流形、 Ricci 曲率、陳類 (Chern Class) 等等, 看起來跟物理沾不上邊。 事實上, Calabi抽象的猜想也可以翻過來, 變為廣義相對論裏的一個問題。新的內容乃是要求要找的時空具有某種內在的對稱性, 這種對稱物理學家稱之為超對稱。 於是上述的問題便變成這樣:能否找到一個緊而不帶物質的超對稱空間, 其中的曲率非零 (即具有重力)?

圖 6. 與 Calabi 教授 (2004)

我與其他人一起試圖證明 Calabi 猜想所描述的空間並不存在, 花了差不多三年。 這猜想不僅指出封閉而具重力的真空的存在性, 而且還給出系統地大量構造這類空間的途徑, 大家都認為世間那有這樣便宜的東西可撿。 可是, 縱然不乏懷疑 Calabi 猜想的理由, 但沒人能夠反證它。

一九七三年我出席了在史丹福舉行的國際幾何會議。 這會議是由 Osserman 14 14 註: Robert Osserman, 美國數學家, 研究領域包含幾何函數論、微分幾何等領域。 和陳省身 15 15 註: Shiing-Shen Chern 陳省身 (1911-2004), 華裔美籍數學家, 詳數學傳播第1卷第2期, 學算四十年; 第11卷第2期, 陳省身院士演講-我的若干數學生涯; 第35卷第2期, 陳省身與漢堡大學, 與其它卷期的相關文章。 老師組織的。 或是由於我與兩人的關係, 我有幸作出兩次演講。 在會議期間, 我告訴了一些相識的朋友, 說已經找到了 Calabi 猜想的反例。 消息一下子傳開了, 循眾要求, 當天晚上另作報告。 那晚三十多位幾何工作者聚集在數學大樓的三樓, 其中包括 Calabi, 陳師和其他知名學者。 我把如何構造反例說了一遍, 大家似乎都非常滿意。 Calabi 還為我的構造給出一個解釋。 大會閉幕時, 陳師說我這個反例或可視為整個大會最好的成果, 我聽後既感意外, 又興奮不已。

圖 7. 與陳師(陳省身教授)

可是, 真理總是現實的。 兩個月後我收到 Calabi 的信, 希望我釐清反例中一些他搞不清楚的細節。 看見他的信, 我馬上就知道我犯了錯。 接著的兩個禮拜, 我不眠不休, 希望重新構造反例, 身心差不多要垮掉。 每次以為找到一個反例, 瞬即有微妙的理由把它打掉。 經過多次失敗後, 我轉而相信這猜想是對的。 於是我便改變了方向, 把全副精力放在猜想的證明上。 花了幾年工夫, 終於在一九七六把猜想證明了。

圖 8. Richard Schoen

在史丹福那個會上, 物理學家 Robert Geroch 16 16 註: Robert Geroch, 美國物理學家, 研究領域主要為理論物理學及廣義相對論。 在報告中談到廣義相對論中的一個重要課題 --- 正質量猜想。 這猜想指出, 在任何封閉的物理系統中, 總質量/能量必須是正數。我和 Schoen 17 17 註: Richard Schoen (1950- ), 美國數學家, 詳數學傳播第24卷第4期, 有朋自遠方來專訪。 埋頭苦幹, 利用了極小曲面, 終於把這猜想證明了。

這段日子的工作把我引到廣義相對論, 我們證明了幾條有關黑洞的定理。 與相對論學者交流的愉快經驗, 使我更能開放懷抱與物理學家合作。 至於參與弦論的發展, 則是幾年之後的事了。 在證明 Calabi 猜想時, 我引進了一個方案, 用以尋找滿足 Calabi 方程的空間, 這些空間現在

通稱為 Calabi-Yau 空間。 我深深地感到, 我無心插柳, 已經進入了一界數學高地。 它必定與物理有關, 並能揭開自然界深深埋藏的隱秘。 然而, 我並不知道這些想法在那裏會大派用場, 事實上, 當時我懂得的物理也不多。

IV. 弦論

一九八四年, 我接到物理學家 Gary Horowitz 18 18 註: Gary Horowitz, 美國物理學家, 現為加州大學聖塔芭芭拉分校教授, 研究範圍包含量子引力與弦論。 和 Andy Strominger 19 19 註: Andrew Eben Strominger (1955- ), 美國理論物理學家, 現為哈佛大學教授, 主要研究弦論。 的電話。 他們興沖沖地談到有關宇宙真空狀態的一個模型, 這模型是建基於一套叫弦論的嶄新理論上的。

圖 9. Gary Horowitz
圖 10. Andy Strominger

弦論的基本假設是, 所有最基本的粒子都是由不斷振動的弦線所組成的, 這些弦線非常非常細小。 某些弦論要跟量子力學相容不排斥, 時空必須容許某種超對稱性。 同時時空必須是十維的。

圖 11. Edward Witten

我在解決 Calabi 猜想時證明存在的空間得到 Horowitz 和 Strominger 的喜愛。 他們相信這些空間會在弦論中擔當重要的角色, 原因是它們具有弦論所需的那種超對稱性。 他們希望知道這種看法對不對, 我告訴他們, 那是對的。他們聽到後十分高興。 不久, Edward Witten 20 20 註: Edward Witten (1951- ), 猶太裔美籍數學物理學家, 1990年獲菲爾茲獎, 創立 M 理論, 被視為當代最偉大的物理學家之一。 打電話給我, 我們是上一年在 Princeton 相識的。 他認為就像當年量子力學剛剛面世那樣, 理論物理學最激動人心的時刻來臨了。 他說每一位對早期量子力學有貢獻的人, 都在物理學史上留名。

早期弦學家如 Michael Green 和 John Schwarz 等人的重要發現, 有可能終究把所有自然力統一起來。 愛因斯坦在他的後半生花了三十年致力於此, 但至死也未竟全功。

圖 12. Michael Green
圖 13. John Schwarz

當時 Witten 正與 Candelas 21 21 註: Philip Candelas, 英國物理學家, 現為牛津大學教授, 主要研究弦論。 , Horowitz 和 Strominger 一起, 希望搞清楚弦論中那多出來的六維空間的幾何形狀。 他們認為這六維捲縮成極小的空間, 他們叫這空間為 Calabi-Yau 空間, 因為它源於Calabi的猜想, 並由我證明其存在。

弦論認為時空的總數為十。 我們熟悉的三維是空間, 加上時間, 那便是愛因斯坦理論中的四維時空。 此外的六維屬於 Calabi-Yau 空間, 它獨立地暗藏於四維時空的每一點裏。 我們看不見它, 但弦論說它是存在的。 這個添了維數的空間夠神奇了, 但弦理論並不止於此, 它進一步指出 Calabi-Yau 空間的幾何, 決定了這個宇宙的性質和物理定律。 哪種粒子能夠存在, 質量是多少, 它們如何相互作用, 甚至自然界的一些常數, 都取決於 Calabi-Yau 空間或我們書中所謂「內空間」的形狀。

圖 14. 與 Candelas 教授 (2001)

理論物理學家利用 Dirac 算子來研究粒子的屬性。 透過分析這個算子的譜, 可以估計能看到粒子的種類。 時空具有十個維數, 是四維時空和六維 Calabi-Yau 空間的乘積。因此, 當我們運用分離變數法求解算子譜時, 它肯定會受 Calabi-Yau 空間所左右。 Calabi-Yau空間的直徑非常小, 則非零譜變得異常大。這類粒子應該不會觀測到, 因為它們只會在極度高能量的狀態下才會出現。 另一方面, 具有零譜的粒子是可能觀測到的, 它們取決於 Calabi-Yau 空間的拓樸。由此可見, 這細小的六維空間, 其拓樸在物理中是如何舉足輕重。

愛因斯坦過去指出, 重力不過是時空幾何的反映。 弦學家更進一步, 大膽地說這個宇宙的規律, 都可以由 Calabi-Yau 空間的幾何推演出來。 這個六維空間究竟具有怎樣的形狀, 顯然就很重要了。 弦學家正就此問題廢寢忘餐, 竭盡心力地研究。

Witten 很想多知道一點 Calabi-Yau 空間。 他從 Princeton 飛來 San Diego, 與我討論如何構造這些空間。 他還希望知道究竟有多少個 Calabi-Yau 空間可供物理學家揀選。原先, 他們認為只有幾個 --- 即少數拓樸類 --- 可作考慮, 是以決定宇宙「內空間」的任務不難完成。 可是, 我們不久便發現, Calabi-Yau 空間比原來估計的來得多。 一九八零年初, 我想它只有數萬個, 然而, 其後這數目不斷增加, 迄今未止。 於是, 決定內空間的任務一下子變得無比困難, 假如稍後發現有無數 Calabi-Yau 空間的話, 就更遙不可及了。 當然, 後者是真是假還有待驗證, 我一直相信, 任何維的 Calabi-Yau 空間都是有限的。

Calabi-Yau空間的熱潮, 始於一九八四年, 當時的物理學家, 開始了解到這些複空間或會用於新興的理論上。 熱情持續了幾年, 便開始減退了。可是到了上世紀八十年代末期, Brian Greene 22 22 註: Brian Greene (1963- ), 美國數學物理學家, 現為哥倫比亞大學教授, 研究領域為弦理論與量子引力。 、 Ronen Plesser 23 23 註: Ronen Plesser, 美國數學物理學家, 現為杜克大學教授, 主要研究領域為弦理論。 、 Philip Candelas等人開始研究「鏡像對稱」時, Calabi-Yau 空間又重新成為人們的焦點了。

鏡對稱乃是兩個具有不同拓樸的 Calabi-Yau 空間, 看起來沒有甚麼共通點, 但卻擁有相同的物理定律。 具有這樣關係的兩個Calabi-Yau空間稱為「鏡像對」。 數學家把物理學家發現的鏡像關係搬過來, 成為數學上強而有力的工具。 在某個 Calabi-Yau 空間上要解決的難題, 可以放到它的鏡像上去考慮, 這種做法往往奏效。 一個求解曲線數目的問題, 懸空了差不多一個世紀, 就是這樣破解的。它使數數幾何學 (enumerative geometry)這一數學分枝, 重新煥發了青春。 這些進展令數學家對物理學家及弦論刮目相看。

鏡對稱是對偶性的一個重要例子。 它就像一面窗, 讓我們窺見 Calabi-Yau 空間的隱秘。 利用它, 我們確定了給定階數的有理曲線在五次面 --- 一個 Calabi-Yau 空間 --- 的總數, 這是一個非常困難的問題。 這問題稱為 Schubert 問題。它源於十九世紀, 德國數學家 Hermann Schubert 首先證明, 在五次面上共有 2,875 條一階有理曲線。 到了一九八六年, Sheldon Katz 24 24 註: Sheldon Katz, 美國數學家, 現為伊利諾大學香檳分校教授, 主要研究領域為代數幾何以及其與理論物理的關係。 證明了有 609,250 條二階曲線。 一九八九年前後, 兩位挪威數學家 Geir Ellingsrud 和 Stein Stromme 利用代數幾何的技巧, 一下子找到了2,638,549,425條三階曲線。 可是另一方面, 以Candelas為首的一組物理學家, 卻利用弦論找到317,206,375條曲線。 他們在尋找的過程中, 用了一條並非由數學推導出來的適用於任意階數曲線的公式。 這公式的真確與否, 還有待數學家驗證。

一九九零年一月, 在 Isadore Singer 25 25 註: Isadore Singer (1924- ), 美國數學家, 以與 Michael Atiyah 一起證出的 Atiyah-Singer 指標定理最廣為人知。 的敦促下, 我組織了弦論學家和數學家首次的主要會議。 大會在柏克萊的數理科學研究所舉行。 會議上擁 Ellingsrud-Stromme 和擁 Candelas 團隊的人分成兩派, 壁壘分明, 各不相讓。 這局面維持了幾個月, 直到數學家在他們的編碼程式中發現錯誤, 經修正後, 結果竟與物理學家找到的數目完全吻合。 經此一役, 數學家對弦論學家深刻的洞察力, 不由得肅然起敬。

這一幕還說明了鏡像對稱自有其深厚的數學基礎。 人們花了好幾年, 到了一九九零中後期, 鏡像對稱的嚴格數學證明, 包括 Candelas 等人的公式, 才由 Givental 26 26 註: Alexander Givental, 俄裔美籍數學家, 現為柏克萊加州大學的教授, 研究領域包含辛幾何、Singular Theory奇異理論。 和 Lian 27 27 註: 連文豪Bong H. Lian, 現為布蘭迪斯大學教授, 研究領域包含Calabi-Yau幾何、弦理論與表現理論。 -Liu 28 28 註: 劉克峰Kefeng Liu, 現為柏克萊加州大學的教授, 研究領域包含微分幾何、拓樸學和數學物理。 -Yau 29 29 註: 丘成桐Shing-Tung Yau, 本文作者。 各自獨立地完成。

V. 結語

話說回來, 我們必須緊記, 弦「論」畢竟是一套理論而已, 它還未給實驗所實證。 事實上, 有關的實驗還沒有設計出來。 弦論是否真的與原來設想的那樣描述自然, 還是言之過早。 如果要給弦論打分的話, 從好的方面來說, 弦論啟發了某些極之精妙而有力的數學理論, 從中獲得的數學式子已經有了嚴格的證明, 弦論的對錯與否, 都不能改變其真確性。 弦論縱使還沒有為實驗所證實, 它始終是現存的唯一能夠統一各種自然力的完整理論, 而且它非常漂亮。 試圖統一各種自然力的嘗試, 竟然導至不同數學領域的融合, 這是從來沒有想過的。

現在要作總結還不是時候, 過去二千年間, 幾何學屢經更替, 最終形成今天的模樣。 而每次重要的轉變, 都基於人類對大自然的嶄新了解, 這應當歸功於物理學的最新進展。 我們將親眼看到廿一世紀的重要發展, 即量子幾何的面世, 這門幾何把細小的量子物理和大範圍的廣義相對論結合起來。 抽象的數學為何能夠揭露大自然如許訊息, 實在不可思議, 令人驚歎不已, 《內空間的形狀》一書的主旨乃在於此。 不僅如此, 我們還希望透過本書, 使讀者知道數學家是如何進行研究的。他們不必是奇奇怪怪的人, 就像在電影《心靈捕手》(Good Will Hunting) 中的清潔工般, 一面在打掃地板, 另一面卻破解了懸空百年的數學難題。傑出的數學家也不必如另一部電影和小說描述的那樣, 是個精神異常、行為古怪的人。

數學家和做實驗的學者同樣研究自然, 但他們採用的觀點不同, 前者更為抽象。 然而, 無論數學家或物理學家, 他們的工作都以大自然的真和美為依歸。 數學和物理互動時迸發的火花, 重要的想法如何相互滲透, 偉大的新學說如何誕生, 如此種種, 作者都會在書中娓娓道來。 就弦論而言, 我們看到幾何和物理如何走在一起, 催生了美妙的數學、精深的物理。 這些數學是如此的美妙, 影響了不同的領域, 使人們相信它在物理中必有用武之地。 可以肯定的是, 故事還會繼續下去。 本人能在其中擔當一角色, 與有榮焉。 今後並將傾盡心血, 繼續努力。

謝謝!

---演講者丘成桐為哈佛大學講座教授及臺灣大學特聘研究講座---

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