32403 數學與我何干?

終極密碼

遊戲規則:本遊戲為猜密碼的遊戲。密碼為0到100之間的其中1個整數,電腦會提示密碼的所在範圍,玩家必須在6次之內猜到密碼才能過關。

★ 終極密碼為0到100之間 ★
您共有六次機會

大家都不會否認數學在科學研究、科技發展、甚至社會科學、企業管理上的貢獻, 矛盾卻在於大家往往只見到這些成就而忘卻了數學本身。 美國《科學雜誌》(Science) 的編輯哈密蒙特 (Allen Hammond) 將數學形容為「我們看不見的文化」, 美國數學家哈爾莫斯 (Paul R. Halmos)更埋怨說「很多受過教育的人竟然不知道我的學科的存在, 使我十分傷心! 」當然, 這不是說大部份人真的不知道有數學, 而是說大部份人並沒有了解數學是什麼。受過普通教育的人, 即使不是藝術家也知道有雕刻、繪畫、$\cdots\cdots$; 即使不是音樂家也知道有歌曲、旋律、$\cdots\cdots$; 即使不是文學家也知道有詩、小說、$\cdots\cdots$; 即使不是科學家也知道有核能、蛋白質、微生物、行星、$\cdots\cdots$。但有多少人知道什麼是函數、公理系統、可換群、流形、$\cdots\cdots$? 再者, 不少人雖然「恥」於承認自己對藝術、音樂、文學、科學一無所知, 卻「勇」於承認自己對數學一竅不通, 甚至認為不通數學乃理所當然。 坦白的時候, 縱非喜形於色, 亦必心安理得!

其實, 我們根本是生活在數學的世界之中, 數學就在我們周圍, 直接地間接地影響了我們的生活。 它的過去、現在、甚至可以預測它的將來, 永遠是如此多姿多采。一般人對數學的誤解, 大體而言可分為幾項對立的二分法: 有些人以為數學是枯燥無味或者深奧難懂的學問, 卻有些人以為數學是引人入勝的智力遊戲; 有些人以為數學是與現實世界毫無關連的學問, 卻有些人以為數學是無往不利的萬應靈丹; 有些人以為沒有直接應用價值的數學只是鑽牛角尖的玩意, 卻有些人以為只有純理論才配稱得上數學的美名。 對於這些見解, 你有什麼看法呢?

很多教師都一定碰過學生提到這個問題:「 數學有何用?」 數學應用範圍既廣泛也深刻, 中國數學家華羅庚說得好:「宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工之巧、地球之變、生物之謎、日用之繁、無處不用數學。」(「大哉數學之為用」, 見《華羅庚科普著作選集》, 上海教育出版社, 1984年, 337頁, 原刊於《人民日報》, 28.05.1959.) 幾年前我在一篇文章裏也說過這樣的一段話 (EduMath第16期, 2003年6月, 5-6頁):

固然, 數學的價值並非單憑它在日常生活中的應用去確立, 但對大眾而言, 這是較重要也是較具說服力的一面。但同時這一面也帶來相應的困惑, 就是一門學科之用, 是否用得其所?英國數學家哈代 (Godfrey Harold Hardy) 逝世前幾年寫了一本小書, 題為《一位數學家的辯白》 (A Mathematician's Apology, 1940), 字裏行間一方面流露出一股「英雄遲暮」的蒼涼感, 另一方面很為自己選了很「純」的數論研究而欣慰。 他說:「至今為止沒有人找到數論或者相對論於戰爭的用途, 看來在很多年後也不會有人找到這樣的用途 $\cdots\cdots$ 因此一位真正的數學家 [意指研究純數的人] 可以清心直說, 他的任何工作絕無不宜成份。$\cdots\cdots$ 數學是一門無害且清白的行業。」大家倒不要斷章取義草率地得出結論, 認為哈代以數學「無用」(useless) 而自豪, 甚至視數學的任何應用是玷污了數學的清白。要真正了解哈代的意思, 你應該找原書看一看, 尤其應該細讀第21及22節。 再者, 我們也得明白哈代寫作該書的時代背景, 當時歐洲戰火剛燃, 慘痛的第二次世界大戰開始了不久。要是哈代多活三十年, 他便知道數論亦非如此「無害且清白」, 因為密碼學用上了看似最無用的數論知識! 如同別的科學家一般, 數學家也無法置身事外, 因為如同別的科學成果一般, 數學成果既可造福人群, 也可帶來禍害。

密碼學究竟還有民用的一面, 非僅軍事用途而已。在今天的商業社會裏, 銀行賬目來往, 電子金融交易, 都離不開它。所以, 哈代亦毋須過份自責。 但是, 數學的確有用不得其所的情況, 甚至可以說是不道德的運用, 以下敘述的一個例子, 是我多年前讀到的一則報導(《明報》, 11.7.1999)。

美國通用汽車公司出產了一種型號的汽車, 油缸很接近車尾保險杠, 車尾被撞時容易引起爆炸。在1993年發生了一宗車禍, 爆炸引致六名乘客嚴重燒傷, 後來傷者控告汽車公司, 法庭判決公司要付一億七百萬美元懲罰性賠償。控方律師指出其實公司老早便曉得設計失誤, 但曾經秘密進行了一次成本效益分析, 計算得來這樣的結果:如果把出了廠的五百萬部有問題的汽車收回改裝, 每部車得花8.59美元; 如果不收回改裝, 有若干機會發生車禍, 即使要賠償, 估算每部車僅花2.40美元。為了每部車約6美元的相差, 公司便沒有把汽車收回改裝, 終於在那宗車禍中付了相當於每部車980美元的賠償! 問題並不在於為省6美元卻付出980美元, 主要是生命寶貴, 豈可若無其事地當作概率期望值去計算呢?

這也使我想起以下英國小說家狄更斯(Charles Dickens)在1854年寫的小說《艱苦時代》(Hard Times)裏的一段情節, 小姑娘西絲(Sissy)向女少主人露意莎(Louisa)哭訴她在學校學不好數學。

「$\cdots\cdots$麥卓康賽先生(Mr. M'Choakumchild)說:『這道習題是關於海上事故的統計數字。某次有十萬人在海上遠航, 其中只有五百人淹死了或者燒死了, 這個百分比是多少呢?』小姐, 我便答道:『這等於零了。』 」講到這兒西絲差不多要哭出來, 極端懊悔自己犯了天大的錯誤。 「等於零了, 西絲?」 「是的, 小姐, 等於零了------對於死去的人的親屬和朋友來說, 什麼都沒有了。我怎麼也學不好這個科目。 比這更糟糕的是:雖然我那可憐的父親十分希望我好好地學; 因為他希望我這樣做, 我也渴望好好地學; 可是坦白說, 我不喜歡學習這些東西。」

在很多數學教師的心目中, 數學是「中性」的科目, 只是一種有用的工具; 不像別的科目, 如文學、歷史、社會、經濟等等, 數學並不涉及道德價值觀。 但也許, 我們需要聆聽學生的心聲。

上面提到的是數學用不得其所的情況, 但數學也可以在德育方面起一種潛移默化的正面作用。明代士大夫學者徐光啟與耶穌會傳教士利瑪竇 (Matteo Ricci) 合譯歐幾里得(Euclid)的《原本》(Elements)前六卷。徐光啟對該書有此評價:「此書為益, 能令學理者祛其浮氣, 練其精心, 學事者資其定法, 發其巧思, 故舉世無一人不當學。」 又言:「此書有五不可學:燥心人不可學, 麤心人不可學, 滿心人不可學, 妒心人不可學, 傲心人不可學。故學此者不止增才, 亦德基也。」 剛於數年前逝世的俄羅斯數學教育家沙雷金(Igor Fedorovich Sharygin)對幾何情有獨鍾, 並且說過:「幾何乃人類文化重要的一環。 $\cdots$幾何, 還有更廣泛的數學, 對兒童的品德培育很有益處。 $\cdots$幾何培養數學直覺, 引領學生進行獨立原創思維, $\cdots$幾何是從初等數學邁向高等數學的最佳途徑。」 他還說:「學習數學能夠樹立我們的德行, 提昇我們的正義感和尊嚴, 增強我們天生的正直和原則。 數學境界內的生活理想, 乃基於證明, 而這是最崇高的一種道德概念。」 今天, 有多少數學教師仍然懷著這種信念在課堂上授課呢?

---本文作者現任教香港大學數學系---