32203 如何算球面的體積?

終極密碼

遊戲規則:本遊戲為猜密碼的遊戲。密碼為0到100之間的其中1個整數,電腦會提示密碼的所在範圍,玩家必須在6次之內猜到密碼才能過關。

★ 終極密碼為0到100之間 ★
您共有六次機會

近年有幾篇關於如何計算歐氏空間中球面 (即空心的球殼) 或球體 (即實心的球) 體積的文章。見文獻-。 除了這些方法之外, 我們在這裡再給出兩種方法。第一種方法的出發點極其簡單, 而第二種稍複雜一點。 不過學過微積分與初等微分幾何的讀者都能讀懂。這兩種方法所用到的積分形成鮮明的對比。 利用第一種方法, 我們還可以得到歐氏空間中有限錐面的體積。

一、 設有一直角三角形, 其斜邊 $dA$ 和鄰邊 $dA'$ 的夾角為 $\theta$。由餘弦函數的定義顯然有 $$ dA' = dA\cos\theta $$ 如把 $dA$ 和 $dA'$ 分別理解為空間中某直線上的線段在另一直線上的投影, 而兩直線的夾角為 $\theta$, 則上述等式仍成立。 此乃解析幾何中的投影定理。兩直線之間的夾角又可改寫為它們法線之間的夾角。 還可進一步把 $dA$ 和 $dA'$ 理解成 $n+1$ 維歐氏空間中超曲面的體積元及其在坐標面上的投影。 若設超曲面單位法向量為 $\vec n=(\xi_1, \ldots, \xi_{n+1})$, 選取坐標面為 $x_{n+1}=0$, 它的單位法向量為 $En+1=(0, \ldots, 0, 1)$, 則顯然有 $\cos\theta=\vec n\cdot\vec E_{n+1}=\xi_{n+1}$。上面的等式變成 $$ dA = \frac{1}{\xi_{n+1}} dA' $$ 此式足以讓我們給出 $R^{n+1}$ 中單位球面 $S^n$ 的體積 $Vol(S^n)$。設 $S^n$ 的體積元為 $d\sigma_n$。 因為 $S^n$ 的位置向量 $\vec\xi$ 也是法向量, 考慮到任何球面都分成南北兩半球, 我們有 \begin{eqnarray*} d\sigma_1 &=& \frac{1}{\xi_2} d\xi_1\\[5pt] \hbox{Vol}(S^1) &=& 2 \int_{\xi_1^2\le 1} \frac{1}{\xi_2} d\xi_1 = 2 \int_{-1}^1 \frac{d\xi_1}{(1-\xi_1^2)^{\frac{1}{2}}} = 2\pi \end{eqnarray*} 類似地 $$ d\sigma_2 = \frac{1}{\xi_3} d\xi_1 d\xi_2 $$ \begin{eqnarray*} \hbox{Vol}(S^2) = 2 \int\int_{\xi_1^2+\xi_2^2\le 1} \frac{d\xi_1d\xi_2}{(1-\xi_1^2-\xi_2^2)^{\frac{1}{2}}} \mathop{=}\limits_{\xi_2=r\sin\theta}^{\xi_1=r\cos\theta} ~2 \int_0^{2\pi} \int_0^1 \frac{rdrd\theta}{\sqrt{1-r^2}} = 4\pi \end{eqnarray*}

一般地 \begin{eqnarray*} d\sigma_n &=& \frac{1}{\xi_{n+1}} d\xi_1 \cdots d\xi_n \\ \hbox{Vol}(S^n) &=& 2 \int_{\sum\limits_{i=1}^n \xi_i^2\le 1} \frac{1}{\sqrt{1-\sum\limits_{i=1}^n \xi_1^2}} d\xi_1 \cdots d\xi_n \end{eqnarray*}

為了計算上式右邊的積分, 我們可以作 $R^n$ 中類似的極坐標變換。在這裡我們直接利用文獻 中注 2 的結果, 即 $$ d\xi_1 \cdots \xi_n = r^{n-1} drd\sigma_{n-1} $$ 其中 $r^2=\sum\limits_{i=1}^n \xi_i^2$。

二、 為著下面計算的需要, 我們先介紹兩個重要函數的定義和性質。它們都可以在普通的大學數學分析教材中找到。我們把 \begin{eqnarray*} \Gamma(s)&=& \int_0^\infty t^{s-1} e^{-t} dt \\ B(p, q) &=& \int_0^1 t^{p-1} (1-t)^{q-1} dt \end{eqnarray*} 分別叫做 $\Gamma$ 函數和 $B$ 函數。利用數學分析的知識, 可以證明前者的定義域是 $s\gt 0$; 後者的定義域是 $p\gt 0$, $q\gt 0$。 且這兩個函數在它們的定義域內具有各階連續的導數和偏導數。對於任意的 $p\gt 0$, $q\gt 0$ 它們之間還有關係式 $$ B(p, q) = \frac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)} $$ 以及加倍公式 $$ \Gamma(2s) = \frac{2^{2s-1}}{\sqrt{\pi}} \Gamma(s) \Gamma \Big (s+\frac{1}{2}\Big ) $$ 這樣就有 \begin{eqnarray*} \hbox{Vol}(S^n) &=& 2 \int_0^1 \int_{S^{n-1}} \frac{r^{n-1}drd\sigma_{n-1}}{\sqrt{1-r^2}} = \hbox{Vol}(S^{n-1}) \int_0^1 t^{\frac{n-2}{2}} (1-t)^{-\frac{1}{2}} dt \\ &=& \hbox{Vol}(S^{n-1}) B \Big (\frac{n}{2}, \frac{1}{2}\Big ) = \hbox{Vol}(S^{n-1}) \frac{\Gamma\Big (\displaystyle\frac{n}{2}\Big )\Gamma\Big (\frac{1}{2}\Big )}{\Gamma\Big (\displaystyle\frac{n+1}{2}\Big )} \end{eqnarray*} 其中最後一步用到了前面已介紹過的 $\Gamma$ 函數和 $B$ 函數之間的關係。故得 \begin{eqnarray*} Vol(S^n) &=& Vol(S^0) \prod_{i=1}^n \frac{Vol(S^i)}{Vol(S^{i-1})} = 2 \prod_{i=1}^n \frac{\Gamma\Big (\displaystyle\frac{i}{2}\Big )\Gamma\Big (\frac{1}{2}\Big )}{\Gamma\Big (\displaystyle\frac{i+1}{2}\Big )} \\ &=& 2 \frac{\Big (\Gamma\Big (\displaystyle\frac{1}{2}\Big )\Big )^{n+1}}{\Gamma\Big (\displaystyle\frac{n+1}{2}\Big )} = 2 \frac{\pi^{\frac{n+1}{2}}}{\Gamma\Big (\displaystyle\frac{n+1}{2}\Big )} \end{eqnarray*} 類似地, 可得歐氏空間中有限錐面的體積。定義 $$ C_{m-1} = \{(x_1, \ldots, x_m) \in R^m \Big | x_m = \Big (\sum_{i=1}^{m-1} x_i^2\Big )^{\frac{1}{2}}, ~~0 \le x_m \le a\}, ~~m \ge 2 $$ 為 $R^m$ 中的有限錐面, 注意到它的單位法向量 $$ \vec n = \frac{1}{\sqrt{2}x_m} (-x_1, \ldots, -x_{m-1}, x_m) $$ 所以 $\xi_{n+1}=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}$。我們即得 \begin{eqnarray*} \hbox{Vol}(C_{m-1}) &=& \int_{\sum\limits_{i=1}^{m-1} x_i^2\le a^2} \sqrt{2} dx_1 \cdots dx_{m-1} \\ &=& \sqrt{2} \int_0^a \int_{S^{m-2}} r^{m-2} drd\sigma_{m-2} = \sqrt{2} \hbox{Vol}(S^{m-2}) \frac{a^{m-1}}{m-1} \end{eqnarray*}

我們還可用上面的方法進行微積分中所謂的第一型曲面積分的計算。

三、 現介紹第二種計算球面體積的方法, 它屬於初等微分幾何的內容。 設 $N=(0, \ldots, 0$, $1)\in R^{n+1}$ 為北極。把 $R^n$ 等同於 $R^{n+1}$ 中 $x_{n+1}=0$ 的點所成之集。 $p=(x_1, \ldots, x_{n+1})\in S^n$, $p\not=N$。令 $\pi:S^n\to R^n$ 為球極投影, $q=(u_1, \ldots, u_n, 0)=\pi p$。

設坐標原點為 0, 且設 $\overrightarrow{Nq}=\lambda\overrightarrow{Np}$, $\lambda$ 為實數, 則有 \begin{eqnarray*} \overrightarrow{oq} &=& \overrightarrow{oN} + \overrightarrow{Nq} \\ &=& \overrightarrow{oN} + \lambda\overrightarrow{Np} \\ &=& \overrightarrow{oN} + \lambda(\overrightarrow{op}-\overrightarrow{oN}) \end{eqnarray*} 因而有 $$ (\lambda-1) \overrightarrow{oN} + \overrightarrow{oq} = \lambda \overrightarrow{op} $$ 注意到 $\overrightarrow{oN}$ 垂直於 $\overrightarrow{oq}$, 且 $\overrightarrow{oN}$ 與 $\overrightarrow{op}$ 均為單位向量, 上式兩邊自己與自己作內積 (inner product) 得 $$ (\lambda-1)^2 + \overrightarrow{oq}^2 = \lambda^2 $$ 解之得 $$ \lambda = \frac{1}{2}(1+\overrightarrow{oq}^2) = \frac{1}{2}(1+\sum_{i=1}^n u_i^2) $$ 又由上面的向量等式兩邊求微分, 得 $$ d\lambda\overrightarrow{oN} + d\overrightarrow{oq} = d\lambda\overrightarrow{op} + \lambda d\overrightarrow{op} $$ 注意到 $\overrightarrow{oN}$ 與 $d\overrightarrow{oq}$ 仍然垂直, $\overrightarrow{op}$ 與 $d\overrightarrow{op}$ 也垂直, $\overrightarrow{oN}$ 與 $\overrightarrow{op}$ 的長度都是 1, 上式兩邊自己與自己作內積, 得 $$ (d\lambda)^2 + (d\overrightarrow{oq})^2 = (d\lambda)^2 + \lambda^2(d\overrightarrow{op})^2 $$ 整理得 $$ (d\overrightarrow{op})^2 = \Big (\frac{1}{\lambda} d\overrightarrow{oq}\Big )^2 $$ 因為 $\overrightarrow{op}$ 與 $\overrightarrow{oq}$ 分別表示 $S^n$ 與 $R^n$ 的位置向量, 所以上式說明 $S^n$ 與 $R^n$ 成共形 (Conformal) 對應, 故得這兩個空間的體積元之間的關係為 $$ d \hbox{Vol} S^n = \Big (\frac{1}{\lambda}\Big )^n d \hbox{Vol} R^n $$ 我們有 \begin{eqnarray*} \hbox{Vol}(S^1) &=& \int_{R^1} \frac{2du_1}{1+u_1^2} = 2 \hbox{arc}\tan |_{-\infty}^\infty = 2\pi \\ \hbox{Vol}(S^2) &=& \int_{R^2} \Big (\frac{2}{1+u_1^2+u_2^2}\Big )^2 du_1 du_2 \\ &=& 2 \int_0^{+\infty} \int_0^{2\pi} \frac{2r}{(1+r^2)^2} drd\theta = 4\pi \Big (-\frac{1}{1+r^2}\Big ) \Big |_0^{+\infty} = 4\pi \end{eqnarray*} 一般地 \begin{eqnarray*} \hbox{Vol}(S^n) &=& \int_{R^n} \bigg (\frac{2}{1+\sum\limits_{i=1}^n u_i^2}\bigg )^n du_1 \cdots du_n \\ &=& \int_0^{+\infty} \int_{S^{n-1}} \Big (\frac{2}{1+r^2}\Big )^n r^{n-1} drd\sigma_{n-1}\end{eqnarray*} 令 $r = \tan\theta$, \begin{eqnarray*} \hbox{原式 } &=& \hbox{Vol}(S^{n-1}) 2^n \int_0^{\frac{\pi}{2}} (\cos\theta\sin\theta)^{n-1} d\theta = 2^{n-1} B \Big (\frac{n}{2}, \frac{n}{2}\Big ) \hbox{Vol}(S^{n-1}) \\ &=& \frac{2^{n-1}}{(n-1)!} \Gamma \Big (\frac{n}{2}\Big )^2 \hbox{Vol}(S^{n-1}) = \hbox{Vol}(S^{n-1}) \frac{\Gamma\Big (\displaystyle\frac{n}{2}\Big ) \Gamma\Big (\frac{1}{2}\Big )}{\Gamma\Big (\displaystyle\frac{n+1}{2}\Big )} \end{eqnarray*} 其中倒數第二個等號再一次用到了前面已介紹過的 $\Gamma$ 函數和 $B$ 函數之間的關係以及 $\Gamma(n)=(n-1)!$。 最後一個等號用到了加倍公式當 $s=\displaystyle\frac{n}{2}$ 時的情形以及 $\Gamma\Big (\displaystyle\frac{1}{2}\Big )=\sqrt{\pi}$。 剩下的計算就與第一種方法完全一樣了。有趣的是兩種方法都用到了廣義積分, 第一種用到了暇積分, 第二種用到了無窮積分。

致謝: 本人獲得國家留學基金和國家自然科學基金 (10571088) 的資助, 特此致謝!

參考文獻

L. Badger, Geometry of the measure of n-balls, Amer. Math. Monthly, 107(2000), 256-258. O. Hijab, The Volume of the unit ball in $C^n$, Amer. Math. Monthly, 107(2000), 259. J. A. Baker, Integration over spheres and the divergence theorem for balls, Amer. Math. Monthly, 104(1997), 36-47. G. B. Folland, How to integrate a polynomial over a sphere, Amer. Math. Monthly, 108(2001), 446-448. Jean B. Lasserre, A quick proof for the volume of n-balls, Amer. Math. Monthly, 108(2001), 768-769.

---本文作者任教於北京交通大學理學院數學系---