數學傳播

在120期「舊題新解--根號 2 是無理數」我們看到了這一舊命題利用小數的一個新解法。 我突然想到, 利用連分數也可以得一證法如下。

任給一實數 $\xi_1$, $0\lt \xi_1\lt 1$。取 $\zeta_1=\displaystyle\frac{1}{\xi_1}$, 它可寫成整數部分 $a_1$ 與小數部分 (如其不為0) $\xi_2$ 之和: $\zeta_1=a_1+\xi_2$, 即 $\xi_1=\displaystyle\frac{1}{a_1+\xi_2}$。 今取 $\zeta_2=\displaystyle\frac{1}{\xi_2}$, $\zeta_2$ 也可寫成整數部分 $a_2$ 與小數部分 (如其不為0) $\xi_3$ 之和: $\zeta_2=a_2+\xi_3$, 即 $\xi_2=\displaystyle\frac{1}{a_2+\xi_3}$。 這樣的步驟只要小數部分 $\xi_i$ 不為0, 我們可以一直作下去, 如果碰到小數部分 $\xi_i$ 為0, 我們就停止。於是, 一般地, $$ \xi_1 = \frac{1}{a_1+\xi_2} = \frac{1}{a_1+\displaystyle\frac{1}{a_2+\xi_3}} = \cdots = \frac{1}{a_1+\displaystyle\frac{1}{a_2+\displaystyle\frac{1}{\ddots+\displaystyle\frac{1}{a_n+\xi_{n+1}}}}} =\cdots $$ 我們把上式簡寫成 $\xi_1=[a_1, a_2, \ldots, a_n; \xi_{n+1}]$, 稱為連分數。 如果 $\xi_{n+1}=0$, 便得到有限連分數 $\xi_1=[a_1, \ldots, a_n]$, 由於 $a_i$ 共有 $n$ 個, 我們說這個連分數的長度為 $n$。 不同的數, 其連分數表示也不同。反過來說, 連分數不同, 則其表示的數也不同。

我們將採用歸繆證法證明 $\sqrt{2}$ 為無理數。設 $\sqrt{2}$ 為有理數, $\sqrt{2}=\displaystyle\frac{p_0}{q_0}$, $p_0$, $q_0$ 為互質的正整數。

由於 $1\lt \sqrt{2}\lt 2$, 所以 $0\lt \sqrt{2}-1\lt 1$。 把 $\sqrt{2}-1$ 寫成連分數: $\sqrt{2}-1\!=\![n_1, n_2, \ldots]$。 這個連分數一定是有限的: 因為設 $p_0$ 被 $q_0$ 除, 得商1, 餘數 $q_1$ ($\not=0$): $p_0=q_0+q_1$, 即 $\displaystyle\frac{p_0}{q_0}=1+\frac{q_1}{q_0}$。 所以, $\displaystyle\frac{p_0}{q_0}$ 的整數部分為1, 小數部分為 $\displaystyle\frac{q_1}{q_0}$, 而 $\sqrt{2}-1=\displaystyle\frac{q_1}{q_0}$。現在我們要求 $\displaystyle\frac{q_1}{q_0}$ 的連分數。 設 $\xi_1=\displaystyle\frac{q_1}{q_0}$, 則其倒數 $\zeta_1=\displaystyle\frac{q_0}{q_1}$。 現在 $q_0$ 被 $q_1$ 除, 得商 $a_1$, 餘數 $q_2$, 即 $q_0=a_1q_1+q_2$。 故 $\displaystyle\frac{q_0}{q_1}=a_1+\frac{q_2}{q_1}$, 即 $\displaystyle\frac{q_0}{q_1}$ 的整數部分為 $a_1$, 小數部分為 $\displaystyle\frac{q_2}{q_1}$, 而 $\xi_1=\displaystyle\frac{1}{a_1+\displaystyle\frac{q_2}{q_1}}$, 這就是 $\xi_1=\sqrt{2}-1$ 的連分數的頭一項表示。由於 $q_2\lt q_1$, 如果 $q_2\not=0$, 我們可以令 $\xi_2=\displaystyle\frac{q_2}{q_1}$, 仿照上一段求連分數的程序, 繼續作下去, 得 $$ \xi_1 = \frac{1}{a_1+\displaystyle\frac{1}{a_2+\displaystyle\frac{1}{\ddots+\displaystyle\frac{1}{a_n+\xi_{n+1}}}}}, $$ 其中 $\xi_{n+1}=\displaystyle\frac{q_{n+1}}{q_n}$, 而 $q_1\gt q_2\gt \cdots\gt q_n\gt q_{n+1}$。 $q_i$ 的這一串數字它愈來愈小, 又都是餘數的形式 (所以 $q_{n+1}\ge 0$) , 那麼它不可能無窮地寫下去 (這個性質叫作費瑪的正整數無窮遞降性) , 所以我們知道 $\xi_1$ 的連分數是有限的: $\xi_1=[a_1, a_2, \ldots, a_n]$。

現在 $$ \sqrt{2}-1 = [a_1, a_2, \ldots, a_n] $$ 即 $$ \sqrt{2} = 1 + [a_1, a_2, \ldots, a_n] $$ 將 $\sqrt{2}$ 的這一表示法代入恆等式 $\sqrt{2}-1=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}+1}$ 的右式之中, 得 $$ \sqrt{2} - 1 = \frac{1}{2+[a_1, a_2, \ldots, a_n]}, $$ 右邊這個式子也是一個連分數, 也就是 $[2, a_1, a_2, \ldots, a_n]$, 所以我們有 $[a_1, a_2, \ldots, a_n]=$ $[2, a_1, a_2, \ldots, a_n]$。 最後我們根據連分數的唯一性, 從上述最後這個式子可導出一個矛盾, 因為左邊的連分數的長度為 $n$, 而右邊的連分數長度為 $n+1$。

這個證法看不到什麼「實質」, 但歸繆法就是這麼一回事。

順便一提, rational number跟irrational number為什麼被譯成「有理數」與「無理數」的事情。 大家都會覺得很迷惑吧! 原來日本大約十七、十八世紀接觸西方數學的時候, 他們就這麼作了翻譯, 後來中國人參照日本的譯名依樣採用, 因而造成大錯。 其實rational這個字的字根是ratio, 它是名詞, 也就是比例的意思。 如何把這個名詞的字變化成形容詞呢? 一般的作法是直接在名詞的字尾加上"al", 但由於它的最後一個字母"o"是母音, 不能直接加"al" (因為a也是母音) , 需要先加一個子音之後再加"al", 於是就變成先加上"n"之後再加上"al", 而演變成ratio-n-al。 其實rational這個字 (在這裡) 跟"有理"一點都扯不上關係呢!

當初的人搞錯了, 後來的人跟著錯下去, 真是「一失足成千古恨」呀 $\ldots\ldots$

---本文作者為退休之大學數學系教授---