數學傳播

教數學的寶哥心想著下一節要教"數學歸納法", 就先給了全班一題作業, 問題是: 「一個凸 $n$ 邊形的內角總和是多少度?」 憨厚老實的寶貝學生阿呆只利用了兩次下課休息時間, 就自認為解答出來, 立刻找寶哥"繳卷", 並要求貼在班上的公佈欄, 向班上同學『挑戰』, 以激發同學學習數學的興趣, 阿呆又怕班上同學沒有人理會, 主動"懸賞"一碗牛肉麵, 給指出此公告有疑問或錯誤的同學。 寶哥開頭有一點為難, 後來看到阿呆那一副胸有成竹的樣子, 寶哥只好允其所請, 並特別賞賜標題, 公告如下:

關於作業: 「一個凸 $n$ 邊形的內角總和是多少度?」我的解答如下:

①$n=3$, 凸 $n$ 邊形是三角形, 所以內角和 $=180^{\circ}$(基本幾何知識)
②$n=4$, 凸 $n$ 邊形是四邊形, 所以內角和 $=360^{\circ}$, 圖解如右下圖:

1. 畫一對角線
2. 四邊形成兩個三角形, 所以內角和 $=180^{\circ}\times 2=360^{\circ}$

1. 自同一頂點畫兩條對角線
2. 五邊形成三個三角形, 所以內角和 $=180^{\circ}\times 3=540^{\circ}$

1. 自同一頂點畫三條對角線
2. 六邊形成四個三角形, 所以內角和 $=180^{\circ}\times 4=720^{\circ}$

1. 自同一頂點畫四條對角線
2. 七邊形成五個三角形, 所以內角和 $=180^{\circ}\times 5=900^{\circ}$

歸納:

總結: 一個凸 $n$ 邊形的內角總和是 $180^{\circ}\times (n-2)$, 其中 $n\ge 3$, $n$ 是自然數

例子: 問一個凸十邊形的內角總和是多少度?

答: 把 $180^{\circ}\times (n-2)$ 中的 $n$ 代入10 , 得 $180^{\circ}\times (10-2)= 180^{\circ}\times 8=1440^{\circ}$

附帶廣告: 「你在看我嗎? 你還可以再靠近一點! 」

$\divideontimes$　各位看倌: 若仔細看這一份條理清楚的公告內容與例子, 還有很有創意的附帶廣告, 就知道其實阿呆並不呆, 只是活在一個不被了解的環境罷了, 因為公告後不久, 就有惡作劇的同學用紅筆在此公告後寫上: 「看了就吐血, 靠近就聞到大便味。」 並在旁邊用黑筆畫了一隻豬, 豬頭上還用紅筆寫了一個笨字。

不久, 阿呆知道此事並看了公佈欄, 可想而知, 此時阿呆的心情盪到了谷底。

中午吃飯時, 班花小玉就偏偏又來踢館找碴, 小玉質疑地說: 「在你的大作中, 只證明到 $n=7$, 沒有證明出 $n=10$ 時, 凸 $n$ 邊形的內角和是多少? 所以在例子中你不可以將10代入公式 $180^{\circ}\times (n-2)$的 $n$, 得$\ldots\ldots$」 先前公告被寫紅字並被畫笨豬, 阿呆心裡已經很不爽了, 不耐煩的阿呆不等小玉說完, 立刻氣沖沖的說: 「若要求證明凸100邊形的內角總和? 那就要從 $n=3$ 一直證明到 $n=100$, 你難道不知道, 這樣會累死人, 你是不是想累死我, 你不會推理一下就知道, 白癡! 」 小玉被罵白癡立刻反唇相譏說: 「你才是超級大白癡, 在公式 $180^{\circ}\times (n-2)$ 沒有被證明出來是正確之前, 你絕不可使用它, 也就是說, 你不可以將n=10代入。」 此時阿呆已聽不進去小玉在講什麼, 阿呆臉紅脖子粗的高聲嚷著: 「我捍衛真理, 絕不容許挑釁! 」 (此時阿呆講出他心中最真誠的吶喊。) 這時在一旁的數學小老師智多星眼看快不可收拾了, 趕快出面打圓場說: 「那阿呆你現在就把公式 $180^{\circ}\times (n-2)$ 證明出來是正確的, 那不就得了! 」阿呆心想著連好友智多星都替小玉講話, 此時心情才開始冷靜下來。

阿呆吃了幾口飯菜, 抬頭看看四周的同學, 他發現今天的同學很不一樣, 好像都變成了"敵人"! 這時阿呆的心裡興起唯一的念頭, 那就是寧願"戰死沙場", 也不願意"苟且偷生"。 於是, 阿呆仔細思考著如何去證明公式, 但心中老是嘀咕著, 這麼簡單的公式也要證明, 會不會同學們被女色所迷都靠向小玉? (小玉是校花級的大美女。) 或者同學們聯合起來故意唬我? 這時阿呆午飯已吃不下, 想了二十分鐘, 什麼也沒想出來。 午休正好到來, 阿呆疲倦地睡著了, 阿呆夢見自己被敵人圍剿, 且眾叛親離, 只有自己仍秉持正義, 寧死不屈! 午休鐘聲響起, 阿呆正好驚醒, 阿呆發現書桌上壓著一張紙, 上頭這樣寫著:

阿呆接到這一封狂妄無禮且囂張跋扈的信之後, 心中開始不斷地地詛咒對方, 後來覺得自己不應該這麼容易被激怒, 要有風度, 要冷靜, 才有機會扳倒對手, 更何況阿呆心中早就有一股"寧願戰死, 也不願屈膝求生"的氣概, 所以阿呆相信自己的自信心絕不可能被一封信就輕易擊垮。

阿呆下午的課都心不在焉, 而在仔細"研究"信中的證明, 最後還是無法瞭解其中的奧秘, 阿呆這時才驚覺本王真是一位"可敬畏"的對手!

放學鐘聲一響, 阿呆早就按耐不住地直奔寶哥辦公室, 討救兵去矣!

寶哥明瞭來意之後, 寶哥說: 「小玉的質疑, 智多星與本王的想法, 在數學上, 都是正確的。」 這時阿呆的眼淚忽然奪眶而出, 阿呆說: 「老師, 我是不是真的比較笨? 」 寶哥說: 「聰明才智有一些是天生註定的, 說實在的, 並沒有什麼好比的, 生而為人最可貴的, 就是在比後天的努力與認真, 俗話說得好: 『認真的女人最美』, 而認真的學生最可愛! 數學歸納法我都還沒有教, 你們就預習如此深入, 這實在是值得"世人"的尊敬, 如果別人簡單說你幾句, 你的自信心就被擊垮, 那你才是真正的笨。 只要你有堅定的信心, 正確的方向, 認真打拼, 又在乎別人怎麼說呢? 」

阿呆說: 「但是我連信中的證明都看不懂! 」寶哥說: 「這是很正常的, 因為你還沒有學, 要你懂, 事實上, 很簡單, 你有什麼疑問, 現在儘量問我就是了。」

阿呆這時才收拾眼淚問: 「為什麼有人會"發明"數學歸納法這種證明方式?它當初是怎麼來的? 有什麼用途呢?」 寶哥說: 「首先我有一點要澄清: 一個凸 $n$ 邊形的內角總和 $=180^{\circ}\times (n-2)$, 其中 $n\ge 3$, $n$ 是自然數, 以上等式是你歸納出來的, 不是數學歸納法的證明, 真正數學歸納法的證明是在證明: 一個凸 $n$ 邊形的內角總和 $=180^{\circ}\times (n-2)$, 其中 $n\ge 3$, $n$ 是自然數, 等式中的 $n$ 在所有的自然數中, 等式均成立。」 阿呆說: 「我明白了, 原來小玉就是在質疑我這方面。」 阿呆接著又問: 「那本王的證明為什麼可以證明等式中的 $n$ 在所有的自然數中, 等式均成立? 」 寶哥說: 「這可從你的作業談起, 因為自然數有無限多個, 所以 $\ldots\ldots$」 阿呆接著說: 「所以我們腦筋必須急轉彎, 看看能不能用別的方式去證明, 不必一個接一個算。 自然數有無限多個, 我們一輩子也證明不完! 」 寶哥說: 「對! 關於本王的證明我用骨牌倒下去與下表來說明:

① 當n=3時, 代入公式得 $180^{\circ}(3-2)=180^{\circ}$, 凸 $n$ 邊形是三角形, 由基本的幾何知識知: 三角形的內角和是 $180^{\circ}$, 所以公式是正確的。	①第一個位子沒有骨牌, 第二個位子沒有骨牌, 第三個位子有一個骨牌, 此骨牌倒下去了。
②假設 $n=k$ $(k\ge 3, k \hbox{是自然數})$ 時, 凸 $k$ 邊形的內角和 $=180^{\circ}\times (k-2)$ 成立, 則(如下圖) (1)在凸 $k+1$ 邊形 $A_{1}A_{2}A_{3}\ldots\ldots A_{k+1}$ 中, 連接 $A_{1}A_{k}$, 在凸 $k$ 邊 $A_{1}A_{2}A_{3}\ldots\ldots A_{k}$ 中, 由前述假設知凸 $k$ 邊形內角總和 $=180^{\circ}\times (k-2)$	②假設前面 $k$ 個位子, 有 $k-2$ 個骨牌都倒下去了。
(2)由圖知, 凸 $k\!+\!1$ 邊形 $A_{1}A_{2}A_{3}\ldots\ldots A_{k+1}$ 的內角總和 $=$ 凸 $k$ 邊形 $A_{1}A_{2}A_{3}\ldots\ldots A_{k}$ 的內角總和 $+\triangle A_{1}A_{k}A_{k+1}$ 的內角和 $=180^{\circ}\times (k-2)+180^{\circ}= 180^{\circ}\times \\ (k-2+1)=180^{\circ}\times (k+1-2)$ 所以, 當 $n=k+1$, 凸 $k+1$ 邊形的內角總和 $=180^{\circ}\times (k+1-2)$ 也是正確的	(2)本王證明出來第 $k+1$ 個位子的骨牌必定會倒下去。
③ 同上之理可證, $n$ 在所有的自然數公式均成立	③同上之理可證即第 $k+2$ 個位子的骨牌必定倒下去, 第 $k+3$ 個位子的骨牌必定倒下去, 第 $k+4$ 個位子的骨牌必定倒下去, $\ldots\ldots\ldots$, 所有的骨牌都會倒下去! 所以 $n$ 在所有的自然數公式均成立。

阿呆說: 「我懂了, 本王是不是聰明到預習一下課本就懂呢? 」寶哥說: 「本王不是神, 本王與你是同學, 同學之間的聰明才智都差不了多少, 他一定是跟老師學的! 你就不要懷疑了! 」

阿呆這時才露出會心的一笑, 雙手合十, 九十度鞠躬以謝師, 離去時還屢屢回頭望師也。

隔日早自修, 阿呆主動整理一些數學歸納法的證明當作業, 請老師批改, 寶哥由此作業知道阿呆的火候已足, 上數學課時, 寶哥故意簡單的點一下, 就請阿呆上台代師講解, 台下同學個個面面相覷, 大家都不敢相信自己的眼睛, 怎麼會是他呢? (他自開學以來, 數學大小考試從沒有一次及格過), 這時只見阿呆胸有成竹的步向講台, 台下四十多雙眼睛緊盯著阿呆, 阿呆的講述如下:

以前我們學過 $1+2+3+\cdots\cdots+n=\displaystyle\frac{n(n+1)}{2}$, 證明如下: $$ \begin{array}{ccccccccccc} 1 & + & 2 & + & 3 & + & \cdots\cdots & + & n & = & x \\ n & + & (n-1) & + & (n-2) & + & \cdots\cdots & + & 1 & = & x \\ \hline (n+1) & + & (n+1) & + & (n+1) & + & \cdots\cdots & + & (n+1) & = & 2x \\ n(n+1) & = & 2x \\ \displaystyle\frac{n(n+1)}{2} & = & x \end{array} $$ 以上是等式的證明, 不是數學歸納法的證明, 真正數學歸納法的證明是: 證明等式 $1+2+3+\cdots\cdots+n=\displaystyle\frac{n(n+1)}{2}$ 的 $n$ 在所有自然數中, 等式都成立。

此題真正數學歸納法的證明如下:

"步驟一" $n=1$ 代入等式的兩邊, 即等式左邊 $=1$, 等式右邊 $=\displaystyle\frac{1\times (1+1)}{2}=\displaystyle\frac{1\times 2}{2}=1$, $1=1$, 等式成立。

"步驟二" 假設 $n=k$ 時, 等式成立,
試證: $n=k+1$ 時, 等式也成立, 即
已知: $1+2+3+\cdots\cdots\cdots+k=\displaystyle\frac{k(k+1)}{2}$
求證: $1+2+3+\cdots\cdots+k+(k+1)=\displaystyle\frac{(k+1)(k+2)}{2}$
證明: 由已知 $1+2+3+\cdots\cdots\cdots+k=\displaystyle\frac{k(k+1)}{2}$, 使用等量公理, 對等式的兩邊同加 $(k+1)$, 得 $1+2+3+\cdots\cdots+k+(k+1)= \displaystyle\frac{k(k+1)}{2}+(k+1)=\displaystyle\frac{k^{2}+k+2k+2}{2}= \displaystyle\frac{k^{2}+3k+2}{2}=\displaystyle\frac{(k+1)(k+2)}{2}$

"步驟三" 同"步驟二"之理, 可證 $n=k+2$, $n=k+3$, $n=k+4$, $\ldots\ldots\ldots$, 等式都成立。 所以我們得證 $n$ 在所有自然數中, 等式都成立。

• 作業(1)求 $1+3+5+7+\cdots\cdots+(2n-1)=~?$ (請用 $n$ 表示, 並用數學歸納法證明 $n$ 在所有的自然數中, 等式都成立。)
• 作業(2)求 $1+2+3+\cdots\cdots+(n-1)+n+(n-1)+\cdots\cdots+3+2+1=~?$ (請用 $n$ 表示, 並用數學歸納法證明 $n$ 在所有的自然數中, 等式都成立。)

寶哥發現阿呆在講解的時候, 台風穩健, 不疾不徐, 由淺入深, 幽默風趣的口白與生動活潑的肢體語言, 使台下的每一位同學都陶醉在春風之中。講解完, 還請同學儘量提問, 台下立即舉起十幾隻手, 只見阿呆兵來將擋, 水來土掩, 輕鬆化解所有疑難。阿呆公開向小玉道歉, 並感謝老師的教導, 最後, 阿呆以非常感性的口吻向本王喊話: 「本王的信是我進步的原動力, 事過境遷, 我對本王只有敬愛沒有仇恨, 希望本王現在能出面, 讓我們能再做最真摯的朋友! 」這時台下鴉雀無聲, 也沒有任何動靜。 這時阿呆為了表示誠意, 竟然真的面向北方跪下並高呼千歲。終於智多星步向講台並伸出真誠友誼的手, 這時台下響起如雷的掌聲。(全文完)

---本文作者任教於大直高中---