遊戲規則:本遊戲為猜密碼的遊戲。密碼為0到100之間的其中1個整數,電腦會提示密碼的所在範圍,玩家必須在6次之內猜到密碼才能過關。
★ 終極密碼為0到100之間 ★
您共有六次機會
拙著「祖沖之何以偉大」發 表於民國七十七年三月出版的「數學傳播45」, 本文第一天寄出給數播編輯部, 第十一天收到「採用」通知, 是筆者投稿「數播」接到回音最快的一次, 成就感十足, 通常都要一個月至半年。想必是有些創見所以很快就通過了。 十二年過去了, 未見讀者提出異議。這些年我把祖沖之的偉大介紹給學生, 教室裡多次歡聲動地反應熱烈。不過十二年來, 除了另有更重大的發現, 也找出「祖」文不妥之處。
民國七十六年一月間, 我發現了祖沖之的偉大。當時是在十分偶然的情況下發現的。 說來好笑, 我在下課休息的十分鐘時間裡, 看到國立編譯館所編高三理科數學教學指引(上)第六十八頁的說法, 一般人以為祖沖之大概也只能使用劉徽的割圓術, 算到圓內接正24576邊形時, 圓周率正確至小數後七位。引發靈感撰就「祖」文, 其中提到祖沖之求得圓周率小數後的第七位正確值, 是先把正六邊形的邊長計算至小數後28,672位, 這裡不妥。 因為圓內接正六邊形的邊長等於半徑1, 所以不必算它。 這一點我當時為文沒有注意到, 審稿人也沒有想到。 不過就以求圓周率而論, 祖沖之的偉大決不侷限於把一個數的平方根求至小數後第28,672位, 他實在作的太辛苦了。
圓周率是內接正多邊形周長與直徑之比, 算到24576邊形邊長才正確到小數後七位, 所以算到12288邊形時, 邊長要正確到小數後14位$\cdots$, 因為一數開平方, 要二位才能得到平方根一位。 所以在「祖」文裡列出了 表a。 最近又發現, 根據理科數學(上)祖沖之算到圓內接與外切正16,384邊形得圓周率為3.1415926, 仿「祖」文列出 表b, 原來他是由正方形作起。
圓內接正多邊形邊數 | 小數點後正確位數 | ||||
$16384$ $~8192$ $~4096$ $~2048$ $~1024$ $~~512$ $~~256$ $~~128$ $~~~64$ $~~~32$ $~~~16$ $~~~~8$ $~~~~4$ |
$~~~~7$ $~~~14$ $~~~28$ $~~~56$ $~~112$ $~~224$ $~~448$ $~~896$ $~1792$ $~3584$ $~7168$ $14336$ $28672$ |
圓內接正多邊形邊數 | 小數點後正確位數 | ||||
$24576$ $12288$ $~6144$ $~3072$ $~1536$ $~~768$ $~~384$ $~~192$ $~~~96$ $~~~48$ $~~~24$ $~~~12$ $~~~~6$ |
$~~~~7$ $~~~14$ $~~~28$ $~~~56$ $~~112$ $~~224$ $~~448$ $~~896$ $~1792$ $~3584$ $~7168$ $14336$ $28672$ |
內接正 $n$ 邊形 | 邊長小數位數 | 運算 | |||
6 | 0
0 28,672 28,672 14,336 | 平方 作減法 求平方根 作減法 $\cdot$ 再求平方根 得內接正12邊形之邊長至小數位數 | |||
12 | 14,336
28,672 28,672 14,336 7,128 | 平方 作減法 求平方根 作減法 $\cdot$ 再求平方根 得內接正24邊形之邊長至小數位數 | |||
24 | 7,128
$\cdots$ | 平方 |
(1) (2) |
|
(3) (4) |
|
由(1)與(3)把邊數乘以邊長再除以2, 用 Mathematica 算出結果, 二者分別是 \begin{eqnarray*} &&3.141592645033690896672141448901384306688 \\ &&3.141592424941998047876551303239482351616 \end{eqnarray*}
所以圓周率正確至小數後六位, 即 3.141592 此時為正24576邊形
由(2)與(4)把邊數乘以邊長再除以2, 用Mathematica算出結果, 二者分是 \begin{eqnarray*} &&3.141592651450767651704253580473384886272 \\ &&3.141592657867844419843541582081122664448 \end{eqnarray*} 所以圓周率正確至小數後八位, 即3.14159265此時為正49152邊形
(5) (6) |
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(7) (8) |
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由(5)與(7)把邊數乘以邊長再除以2, 用Mathematica算出結果, 二者二分是 \begin{eqnarray*} &&3.141592634338562989095642290211801767936 \\ &&3.141592692092254374228419557180883845120 \end{eqnarray*} 所以圓周率正確至小數後七位, 即3.1415926此時為正16384邊形
由(6)與(8)把邊數乘以邊長再除以2, 用Mathematica算出結果, 二者分別是 \begin{eqnarray*} &&3.141592648776985669485271995863438409728 \\ &&3.141592663215408416232179190090073800704 \end{eqnarray*}
所以圓周率正確至小數後七位, 即3.1415926此時為正32768邊形
從以上四項結果看來, 祖沖之是從圓內接、外切正方形算起, 才能把圓周率算到正確至小數後七位。
由第(一)、(三)二表是算到圓內接正5,15396,07552邊形, 得圓周率為 \begin{eqnarray*} &&3.141,592,653,589,793,238 \quad \hbox{正確至小數後18位} \end{eqnarray*}
由第(二)、(四)二表是算到圓內接正3,43597,38368邊形, 得圓周率為 \begin{eqnarray*} &&3.141,592,653,589,793,238 \quad \hbox{正確至小數後18位,} \end{eqnarray*} 完全一樣。那個時代的數學家沒有電腦可用, 他們真是太偉大了。
根據本文演算的結果, 可以知道清聖祖敕編「數理精蘊(三)」下編卷十五、 面部五的割圓一節有一段話「$\cdots$ 劉宋祖沖之以圜容六邊起算 $\cdots$ 自六邊而十二邊, 自十二邊而二十四邊, 自二十四邊而四十八邊, 如果累至億萬邊, 設徑為一, 而周得三一四一五九二六五三有餘 $\cdots$」是不正確的, 他是從圓內接、外切正方形算起的。
---本文作者曾任教於建國中學, 現已退休---
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