數學傳播

現代科技對於教育的衝擊, 主要來自電腦, 照道理首當其衝的應該是大學裡的微積分教學; 但是在台灣卻似乎沒這回事, 這倒是很需要我們數學教職者好好思考檢討的。

我們看到, 在美國, 相當具有代表性的微積分(教學)改進方案, 正由他們的國家科學基金會支持, 以哈佛大學為中心(連同七間學校,) 要設計一套新微積分課程。這套新課程的指導原則是``三向'' (Rule of Three): 任何題材都應該從三個角度(方向)來教: 圖像地, 數值地(而不止是)解析地, 教材的設計要使三者得到平衡, 而且學生的學習任何觀念, 將因而很完整。

在大學初級課(乃至於任何階段的課程? ), 視覺化, (圖像化,) 永遠是``理解''的一大部份; 而一個學生若心中缺少這種圖像化, 就談不上真正的學習!

現在的教學(與學習)的一個很大的缺失就在於: 學生認為微積分乃是一大堆算則, (「公式」), (連鎖規則, L'Hospital,$\ldots$)而學習的要務, 就是要在腦中建立一套檢索系統, 以便「遇到這種題型, 就代這種公式;」 這種現象, 在全世界都普遍如此, 只是在台灣, 由於考試升學制度的配合心理, 變得尤其嚴重, 從上初中一直到升大學, 心態上已經定型, 因此在大學裡的學習效果就無法改善了。

數學的要務, 毫無疑問, 是在「概念的建立」, 所有的教師, 不論優劣, 都強調這一點, 因此這真是一個大大的諷刺! 學生們認為的概念建構, 是一種形而上的工作, (「白手的」! ) 而不是計算數值, 點描畫圖的這種形而下的(黑手的)工作; 就因為如此, 他們永遠建構不了正確有用的概念, 於是唯一的解題策略, 只有「建立題型庫檢索系統」而已。

我們數學教師, 從中學的一直到大學的, 當然都有責任。 我們什麼時候「黑手地」來教學? 計算函數值, 點描曲線? 即使是四十幾年前, 微積分的教授, 面對著電機系的大一生,也不使用計算尺的。(教授不一定會使用計算尺!) 而我們當然有我們的理由(=藉口,): 概念才重要, 何況, 內容那麼多, 已經教不完了, 黑手的例題, 講一題就耗掉一節課了!

隨著科技進步, 資源增多, 狀況改變了, 藉口不應該再繼續成立了!

電腦的普及, 可以使得從前的「事百功厘」的工作, 效率提高萬倍, 因此, 「三向」指導原則, 絕對是行得通的。

具體地談微積分的教學, 我提出以下幾點意見。

1.函數概念的複習與整理, 是微積分課程的第零章; 而從一開始, 就要讓學生習慣於數值的, 以及圖形的觀點。說得更清楚些, 要以一些表列的數值來陳現函數, 而不是以解析的式子, 然後表現為(螢幕上的)曲線。

因此, 微積分雖然是科目的名稱, 但我們的立場不應該那麼狹隘; 不應該說:``這是數值分析的事''; ``這是物理學的事''; ``這是電腦概論的事''$\ldots$微積分固然是通俗名稱, 但是最好採取``普通數學''的解釋。 只要學生, 整體而言, 學得更有效率, 更多, 那就合乎教育的理念了, 所以我倒是同意: 微積分的課程, 因為講授了別的相關題材, 把``真正微積分''的題材扣減了一些。

就因為這緣故, 我想, 在複習函數時, 多變元函數就應該補充, 加強, 因為這是最有用而且學生通常又相當弱的題材! 而且這是應該配合數值化, 圖像化來教的; 我馬上連想到:地圖上的人口密度, 以及化學裡的$2s,2p,3d,\ldots$軌域。

3.函數的觀察與思考, 例如:限界, ``截距'', 增減變化, 以及(最重要的!) 對稱性(各式各樣:奇偶性,$\ldots$以及週期性,都包括在內,)

當然這也應該配合了圖像的, 以及數值的, 兩種角度。

4.寫書來說的最方便捷徑, 不一定是,(常常不是!)學習上最方便的。其實, 「迴旋而升」, 反倒是比「割成一塊一塊依序處理乾淨」, 效果更好。

那麼, 例如極值問題, 有許多是在precalculus就該先討論!

5.微積分課程的理論嚴謹性, 應該用什麼標準?

我們以為這不是太大的困擾。

定義與定理都必須嚴謹; 但都是先有物理的「引起動機」 ; 然後,對於難證的, 就略過證明, 以說明代替證明! 容易證明的就清楚地證明。

我想微積分課在大學裡倒是具有非常獨特的教學上的地位: 它是數理方法的第一步; 因此, 論理學的推演, 一點都不能忽視! 我想, 自Rolle氏定理出發, 得到平均變化率的定理,這確是很容易又是絕頂重要的經驗! (不用說, 它也有視覺圖像上的配合。)

學生會不會欣賞、領會? 我不能保證, 但作為一個大學教授, 我卻有這點堅持。

6.依我個人的經驗, 先教(定)積分, 再教微分, 大概是好主意! (並不只是由於歷史的理由!)這是比較容易, 比較自然, 「引入極限概念」的切入點。 大概在高中已有阿基米德的拋物線求積術的介紹, 那麼就不妨介紹立方, 更高次方單項式之定積分; 順便就複習數學歸納法(!),並且介紹簡單的差和分法!

我已經強調了數值觀點的重要性, 因此離散的思考本來就非提不可。

以及$x^{-1}$的積分。(從1到6---如此才可以證明它是$\log 2\!+\!\log 3$ 。)

7.最後該回到電腦與電算器的使用這個老問題了。

要求學生, 上課時最少有計算器(含有三角函數、對數指數函數者)。

在電腦方面, 微積分課應該考慮三件事:

(a)微積分題材, 在電腦上的動畫示範。

(b)數值的習題, 由學生利用現成的軟體做答。

(c)一些習題甚至考試, 由學生寫程式做答, 語言不拘, 但是限定為程序性的通用語言。

---本文作者任教於台灣大學數學系---