14406 數學實驗教學舉隅

終極密碼

遊戲規則:本遊戲為猜密碼的遊戲。密碼為0到100之間的其中1個整數,電腦會提示密碼的所在範圍,玩家必須在6次之內猜到密碼才能過關。

★ 終極密碼為0到100之間 ★
您共有六次機會

循如下的程序:觀察現象 → 發現(或提出)問題→ 介紹工具(或概念) → 回答問題→ 解釋現象,是一種理想的教學模式(註)

底下以圓錐曲線為例 ,說明此一教學模式。

教學的對象是尚未學過圓錐曲線的高中生﹔教學的目標是介紹圓錐曲線及它們的光學性質。

先談橢圓的情形:

1.觀察現象

在一張紙上畫一個定圓,圓內取一定點,將此定點對準圓上某一點重疊,此時該紙被摺出一條直線摺痕, 如果對準圓上的$n$個點作重疊,便摺出$n$條直線摺痕,這些摺痕圍出一條曲線。

為能清楚而再三的觀察上述現象,我們利用軟體TurboBasic語言寫出一個程式, 使在終端機上呈現上述的數學現象(圖一)。它可以快速地每隔0.1秒就繪出一條摺痕,也可以控制在緩慢地每隔5或10秒繪出一條摺痕。

圖一

2.提出問題

  1. 這些摺痕圍出一條什麼樣的曲線?
  2. 這些摺痕與圍出的曲線之間有什麼關係?
  3. 這個定圓、定點及摺痕與所圍出的曲線,四者之間有什麼關係?

3.介紹工具(或概念)

控制在較為緩慢地以每隔2秒(甚或4秒)讓電腦繪出一條摺痕。整個繪圖過程觀察數遍之後,教師開始介紹下列概念與工具:

  1. 什麼是橢圓。
  2. 橢圓的切線。
  3. 橢圓的光學性質。
  4. 一個極小定理:

圖二

平面上,已知直線$l$,及在$l$的同側的兩定點$F$與$F’$(圖二)。 若點$P$是$l$上使$\overline {PF}+\overline {PF’}$為極小的點,則$\angle \alpha=\angle \beta$。

教師在此一過程中,務必要一再而清晰地交待橢圓及其切線的意義,橢圓的光學性質及極小定理的內容。

4.回答問題、解釋現象

介紹上面所列的概念與工具之後,一定要讓學生有機會試著自己回答先前提出的三個問題, 儘可能把它作為一件家庭課業,讓學生有充裕的時間作思索。隨後,教師再對學生們的回答給出修正、補充及整理,並把現象解釋清楚。

其次談雙曲線的情形。

1.觀察現象

在一張紙上畫一個定圓,圓外取一定點,將此定點對準圖上某一點重疊,此時該紙被摺出一條直線摺痕, 如果對準圓上的$n$個點作重疊,便摺出$n$條直線摺痕,這些摺痕圍出一條曲線。

仿橢圓的情形,我們仍利用軟體TurboBasic語言寫出一個程式,使在終端機上呈現上述的數學現象(圖三)。 呈現速度的快慢仍然加以控制。

圖三

2.提出問題

與橢圓的情形相同的三個問題。

3.介紹工具(或概念)

  1. 什麼是雙曲線。
  2. 雙曲線的切線。
  3. 雙曲線的光學性質。
  4. 一個極大定理:

圖四

平面上,已知直線$l$,及在$l$的異側的兩定點$F$與$F’$(圖四)。 若點$P$是$l$上使$|\overline {PF}-\overline {PF’}|$為極大的點,則$\angle \alpha=\angle \beta$。

4.回答問題、解釋現象

與橢圓情形同。最後談拋物線的情形。

1.觀察現象

在一張紙上畫一條直線,線外取一定點,將此定點對準線上某一點重疊,此時該紙被摺出一條直線摺痕, 對準線上的$n$個點作重疊,便摺出$n$條直線摺痕,這些摺痕圍出一條曲線。

我們利用Turbo Basic語言寫出一個程式,使在終端機上呈現上述的數學現象(圖五)。呈現的速度仍然加以控制。

圖五

2.提出問題

與橢圓情形的問題(1)、(2)同,另外問題(3)是:這條定直線、定點及摺痕與所圍出的曲線,四者之間有什麼關係?

3.介紹工具(或概念)

  1. 什麼是拋物線
  2. 拋物線的切線
  3. 拋物線的光學性質
  4. 一個定理:

圖六

平面上,已知直線$l$與$l'$,及不在$l$與$l'$上的定點$F$(圖六)。若$l$上的點,除了$P$能滿足: $P$到$F$的距離$\overline {PF}$等於$P$到$l'$的垂直距離$\overline {PT}$之外, 其它的點$Q$皆滿足:$\overline {QF}$大於$Q$到$l'$的垂直距離$\overline {QS}$,則$\angle \alpha=\angle \beta$。

4.回答問題、解釋現象

與橢圓的情形同。

(註)作者曾於79年7月17日,在由中山女中主辦的北市高中數學夏令營中,對高一升上高二的學生進行此一模式的實際教學。

參考資料

葉東進:錐線的光學性質,科學教育月刊,96期。

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