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尤拉公式$e^{iπ}+1=0$,五個數學中最根本而重要的常數:$0$、$1$、$π$、$i$、$e$以最基礎的運算$+$及最簡明的關係$=$被連結著。 .... more
極大的機會是落在完全沒有開對鎖或是恰只開對一把鎖的事件上,兩者合之就是最多只開對一把鎖的機率相當地大。 .... more
設有三個不同的正整數 $x、y、z$ 滿足 $x+y+z=xyz$。試找出這個方程式的解。 .... more
我們的人生這一時間函數就像是一道配對問題,被賦予了手握解決問題的鑰匙,在時間的流變中,在問題出現的境遇中,我們選擇或是隨機(兩者有何不同?)地用一種方式去面對去解決一種境況,然後是:做對了嗎?或是,做錯了嗎?在時間愈長問題愈多的現實下,做的愈多錯的也會愈多,而做對的平均永遠只是1。 .... more
我們猜想:對任意正整數 $n$,是否$\cos n\theta$ 恆可表為一個 $\cos\theta$ 的 $n$ 次多項式,而 $\sin n\theta$ 恆可表為一個 $\cos\theta$ 的 $n−1$ 次多項式與 $\sin \theta$ 的乘積?如果答案是肯定的,多項式的係數之間是否存有關係或規律? .... more
證明等式$1^{2}+2^{2}+⋯+n^{2}=n^{3}/3+n^{2}/2+n/6$及$1^{3}+2^{3}+⋯+n^{3}=n^{4}/4+n^{3}/2+n^{2}/4$,幾乎是學過數學歸納法的人必有的經驗。證明是一回事,較為深刻的應當是提問:這些等式是如何知道的? .... more
唸高中時,學數學歸納法,有一道問題是:證明$1^{3}+2^{3}+⋯+n^{3}=(1+2+⋯+n)^{2}$。$1^{3}+2^{3}+⋯+n^{3}$竟可表為$1+2+⋯+n$的多項式?!那麼,是否還有其它的$1^{k}+2^{k}+⋯+n^{k}$亦可表為$1+2+⋯+n$的多項式? .... more
徵求最簡答案之回響:在所有的應徵中,出現的最簡答案是:欲找之直線CD,其與直線m之間距是點A與點B兩者至M的距離的幾何均數。 .... more
徵求最簡答案:甲、乙二屋平行同向且分別座落在相鄰的兩塊土地上,AB是地政所鑑定的土地界線。兩屋主人都同意要另找一條界線,它能夠與屋子平行同向且保持兩人原有的土地面積不變。 .... more
藉題發揮是指藉一道問題的解決,在過程中,教師提出幾個相關的子問題,透過師生的互動、討論、思辨而逐漸釐清問題,契近問題核心,擬出解題策略,最後甚至擴展問題,加以發揮。這些子問題主要在幫助學生 (1)觀察問題,搜尋經驗 (2)明白問題,找出因果 (3)看清問題,激發想像。 .... more
在習題付諸討論之前,總是保留大約有十天左右的時間,讓學生在此期間內有充足的時間可以自己面對習題裡的問題先作一番的瞭解以及求解的實際操作,之後,選定某個課堂時間,對某些可能較有疑問或是爭議的問題,徵求學生主動地到黑板上提出,並說明他們的見解或是解法,同一問題可能出現不同人表達出不同的解法,有時也出現爭議而引起熱烈的討論,甚至有時也留下某些懸疑未決,把討論或辯證帶回到宿舍裡繼續進行。 .... more
邏輯思考的訓練必須要達到成為思考的習慣,才能在思維的運用中自然地流露,而這種訓練絕不是光把「簡易邏輯」當作一項獨立的素材拿來教學就能竟其功,唯有在平常教師的講課及學生的演習中適時適地的提示,使學生熟習而在潛移默化之中,成為他們思維的一種習慣。 .... more
本來學生積極的求取最佳成就,現在變成了虛榮心,只在求得他人的看重和考試的成績。本來是漸漸進入富於內涵的整體,現在變成了學習東西而已,雖然這些東西可能是有用的。本來是在理想中成長,現在只是為了通過考試學一些很快就忘記的知識。 .... more
一般課堂上對數學歸納法的教學,往往只及形式層面,也就是對一個已知的目標命題進行檢驗及推廣的邏輯演示,至於這個目標命題何以產生、為何存在的來龍去脈的探索,此種實質性的工作,則殊少觸及,在教學上而言,不無遺憾。 .... more
觀察現象 → 發現(或提出)問題 → 介紹工具(或概念) → 回答問題 → 解釋現象,是一種理想的教學模式。 .... more
教學的三個基本原則:1. 鼓勵學生主動的參與教學活動。2. 引起學生熱烈的學習動機。3. 針對目標提供連貫性的教材。 .... more
原來該座電梯是一群科學家為從事某種試驗而設計的一部改變空間的機器。詹君在電梯未啟動前是立於X空間,一且電梯上升,經由該電梯的空間變換作用,詹君於是立即轉進另一Y空間,立於原地的葉君這時因而與詹君分別存在於不同的二種空間。異於我們日常生存空間的空間內。 .... more
看來便懂的一本書,對我們智慧的提昇少有幫助;很快便能解決的一道問題,對我們思考的鍛鍊起不了多大作用。智慧的成長如同生命的突破,總要來自憂患。因而,我鼓勵學生,要他們不斷地拿問題來困阨自己,使自己不斷地從困阨的突破中,增進功力,超越現實。 .... more
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