158期 簡 介

本期「有朋自遠方來」訪談馬志明教授。馬教授是中國國家科學院士, 對機率論及隨機分析有卓越的貢獻。他在求學時期遭逢文革, 自學出身, 在資源匱乏的環境, 力學不輟, 打下扎實且廣博的數學基礎。二十七歲進大學時, 數學程度已遠高於諸多教授。研究所時期, 開始深耕機率論領域。訪問德國期間, 與歐洲學者合作, 獲得狄氏型(Dirichlet form) 及馬氏過程(Markov process) 對應關係的突破性進展。一枝草, 一點露; 當年那位入學無門的伙夫、倉庫保管員, 質樸厚實, 生氣盎然,一路有良師適時提點引導, 如同瓜苗沾雨露、承地氣而開展歲月: 成長茁壯、開花結果。

訪談中, 馬教授精簡地介紹了狄氏型及相關工作, 清晰陳述問題背景、研究成果。近年來馬教授涉足統計、生物、資訊科學, 成就多元, 各有精采。以此背景, 他論及數學與統計學的競合, 期許雙方有胸襟氣度互相欣賞。他也不吝給予年輕學子建議, 鼓勵自學, 博學多聞, 繼而將知識融為一體、化為無形。對目前急功近利的學術氛圍, 他提出批評與建言, 鞭辟入裡。

承前兩期, 本期繼續轉載David Tong 教授之廣義相對論講稿, 內文淺顯闡述愛因斯坦方程式(Einstein field equations) 表達的概念。與此相對照, 張海潮、莊正良教授考慮行星繞日的橢圓軌道, 計算橢圓曲率, 藉此推導牛頓力學的基石:萬有引力平方反比定律。

周伯欣先生提出算幾不等式的視覺化證明, 巧妙地將幾何平均等同為某平行四邊形的面積。王九逵、胡門昌、張清煇教授延續155 期的工作, 重排交錯數列, 使其部分和數列之上下極限符合指定數值。信步千山先生探討一族圓內接四邊形, 其邊長與面積皆為有理數, 並借助初等數論具體構造出如此之四邊形。

明代王文素《算學寶鑒》繪有六種幻圖, 將連續自然數在不同約束條件下適當配置, 可視為組合學的區組設計(block design) 問題。羅見今教授重繪這些圖, 並特別處理「三同六變」圖文, 將之歸結為三類子問題。他也列舉了其他推廣類型的問題, 讀者不妨嘗試解題。

兩玩家賭博,初始分別有m及n元,每一回合賭注一元,大概幾回合後某一位玩家的錢將輸光?楊大緯先生以電腦模擬 $10^6$ 局,推估約 mn 回合後某玩家將分文不剩,繼而以數學嚴謹證明此猜測之正確性。楊先生藉此示範電腦於數學研究之大用。與此略相關,話說日前人機對弈,AphaGo人工智慧系統與九段圍棋高手對陣五局,四勝一負,震撼世人。讀者想必也因此重新思考了數學、電腦、教育的相互關係,試圖釐清數學教育及數學家的價值、意義、不可取代性。歡迎讀者投稿,從各個角度深入探討相關議題。


梁惠禎 2016年6月

158號全文將於2017年1月開放

目錄

有朋自遠方來—專訪馬志明教授     3
何謂廣義相對論?  David Tong 著, 黃馨霈 譯   18
橢圓的曲率公式和萬有引力的平方反比規律  張海潮, 莊正良   24
二元算幾不等式的一個無字證明 — 附記一段學思歷程  周伯欣   35
黎曼的級數重排定理的一些省思  王九逵, 胡門昌, 張清煇   39
王文素《算學寶鑒》幻圖的組合意義  羅見今   45
電腦模擬與賭局  楊大緯   57
廣義Catalan 數的一些整數論性質  許純寧   66
分數數列與勾股數  賴昱維   75
Brahmagupta 四邊形的構造方法  信步千山   84
教師應該敢於直接面對學生的“質疑”  趙國瑞   94

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