166期編者的話

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166期編者的話

數位電腦持續改良,但其計算能力存在著無可逾越的極限;略為擴張問題規模,就足以撐爆實際可計算的範圍。而P = NP 是否成立? 這是位居數學核心的基礎性問題, 迄今懸而未決。Graham 教授語重心長地問道: 就算P = NP, 我們又能如何? 畢竟, 我們甚至招架不住二次函數增長的演算法。即使打造出量子電腦, 計算能力仍有其極限, 我們到底能做些什麼?

1911年, 愛因斯坦預言: 光線行經過太陽時, 會受重力影響而產生0.87秒角的偏折; 當時他認為重力場的強度主要來自度規的時間分量, 並未理解到度規的空間分量有相同大小的效應。1916年, 他將空間彎曲的效應納入考量, 將預測值修正為兩倍的1.74秒角。張海潮教授以詳實的計算重建此廣義相對論的重大事件。

林保平教授以他撰寫的互動程式數學算板(Mathboard), 圖示各類動態迭代系統, 觀察M¨obius 變換的不變集合(invariant set)。圖形精彩, 內容豐富。

模形式關乎雙曲型M$\ddot{o}$bius 轉換, 描述雙曲空間的對稱性。1955 年, 谷山豐和志村五郎提出石破天驚的模猜想, 推測橢圓曲線及模形式實質上完全相同。1984年, Gerhard Frey 利用費馬方程的假想解得到某橢圓曲線, 預期該橢圓曲線不能模形式化, 而與模猜想相矛盾。1986 年, Kenneth Ribet 對此提出證明; 換言之,他證明: 模猜想可以推導出費馬最後定理。他並證明: 費馬最終定理的證明並不需要整個模猜想, 僅需半穩定橢圓曲線的特例。

破解費馬最後定理是Andrew Wiles 自幼的夢想。獲悉Ribet 的結果後, 他全心投入於定理的證明, 孤單秘密地工作七年。1993 年6 月, Wiles 第一次宣布他的證明, 之後又耗時十個月修補證明的缺失。他曾將追尋證明的過程, 比喻為穿越黑暗大廈的經歷。他如何能摸黑前行? 是怎樣的人格特質、精神集中力與堅定決心, 讓他能自我導向, 撐過七年的黑暗? 本期轉載2016 年Wiles 獲頒Abel 獎前的訪談錄。他誠懇而內斂的言辭, 閱讀多次, 感動更深。

本期另刊載Ribet 教授的演講稿, 講述費馬最後定理的歷史, 介紹入門書籍,並粗淺解說Kummer 判別法及Herbrand-Ribet 定理。

Gromov 對當代大域黎曼幾何有革命性的貢獻。他引入的諸多原創概念, 大部分源自他的「粗糙(rough)」或「軟(soft) 」的觀點: 把硬(hard) 的東西變軟、軟的東西變硬。早年他延伸Nash 及Smale 的想法, 提出h-principle (homotopy principle), 以(軟的) 拓撲方法為(硬的) 超定偏微分方程組求解。70年代在幾何群論, 他描述多項式增長群和雙曲群, 為離散群的研究帶來全新的觀點, 並為此課題創造(軟的) Gromov-Hausdorff convergence 及Gromov-Hausdorff distance等新工具。而在(軟的) 辛幾何, 他引入(硬的) 擬全純曲線(Pseudoholomorphic curve) 的概念, 催生了辛拓樸, 並建構Gromov-Witten 不變量理論。本刊分兩期轉載2009 年Gromov 獲頒Abel 獎前的訪談錄。

邵紅能先生介紹Abel 生平、Abel 獎歷史, 及本屆得主Langlands 的工作。


梁惠禎 2018年6月