163期 簡介

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163期 簡介

本期「有朋自遠方來」訪談Huisken教授。他的研究主題是超曲面的均曲率流。均曲率流非常類似Ricci流,兩者分别是外曲率和内曲率最簡單的流,而後者是Hamilton及Perelman的研究主題。早期,Huisken教授使用處理最小曲面方程的類似方法,研究這些抛物方程奇點的blow-up,對奇點進行分類。始自1997年,他和Ilmanen研究逆均曲率流,用之證明里曼-Penrose不等式,對廣義相對論領域做出重大貢獻。近年來,他在均凸(mean convex)曲面上施行手術(surgery)處理奇點,讓均曲率流的時間倒退到負無窮大,分類均曲率流的ancient solutions。

接受訪談時, Huisken 教授擔任Max Planck重力物理研究所的director,職責之一是竭力促進所內數學家與物理學家的交流合作。他深刻了解數學文化與物理文化的差異,也體認到開啟兩方對話的重要性,責無旁貸而又謹慎小心地進行媒合。而在Max Planck研究所,少有成員獲終身聘;在此條件下,研究所如何吸引優秀人才以致成就斐然?Huisken教授剖析所裡的人才結構,介紹 Max Planck Society 的決策階層及其決策過程,講述關閉部門的痛苦經驗,足堪借鏡。

如何大海撈針?馬航MH370有尋獲的可能嗎?處理此類問題的數學方法,要以最好的方法求得最優解,華羅庚先生稱之為「優選法」。陳木法教授先將考慮範圍限於[0,1]上所有單峰函數F,採用循序搜尋法,定義試驗策略P如次:指定第一個試驗點後,依序藉由已試驗的位置和結果安排下一個試驗點。精確度則為判斷試驗策略優劣的標準:任取$f∈F$,具最大值$c_f$,令$c_f (P,n)$為$f$在前n個試驗點的最大值,定義$δ(P,n)=sup┬(f∈F)⁡|c_f (P,n)-c_f |$為策略P的n步精度。陳教授介紹三類最優試驗策略,比較其優劣。而馬航MH370的搜索,多國參與,因此每步可安排多個試驗點並行,陳教授於文章末節討論此情況之最優策略。此篇文章題材有趣,文筆生動。

在迴歸分析,考慮某類型的函數及手邊的一堆數據$(x_k,y_k )$,「迴歸函數」是此類函數中與數據偏差最小者。「線性迴歸」採線性函數$y=ax+b$為迴歸函數,以最小平方法計算偏差,相關係數則可衡量數據形成直線之趨勢強弱。蔡聰明教授用二元二次多項式的配方法求出迴歸直線,並以獨到方式詮釋相關係數,講解清晰,是了解迴歸分析之入門佳作。

徐祥峻先生及郭君逸教授介紹單人彩球遊戲,將其擺放規則做數學建模,以數學運算求一般解,並可速算之而成為數學魔術。他們也討論是否能由若干球決定盤面,並陳述推廣版本的遊戲,留待讀者思考。


梁惠禎 2017年9月

163號全文將於2018年4月開放

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假設玩家A和B進行賭博。玩家A有m元,玩家B則有n元,然後擲1個公正的硬幣。如果出現正面就算玩家A贏,反面就算玩家B贏。每次賭注都是1元,如果A贏則A變m+1元、而B變n−1元,並稱此為1回合。雙方不斷地進行賭博,直到某方的錢歸零為止。在這個賭博中,有以下兩個問題:(1)玩家A和玩家B贏的機率各是多少?(2)每投1次硬幣決勝負,都稱為1回合,平均要幾回合,賭局才會結束(某方錢輸光)?....閱讀更多