160期 簡 介

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160期 簡 介

本期「有朋自遠方來」訪談George Lusztig教授。1976年,他與Deligne合作,證明表示論與Schubert variety的拓樸、幾何具有關聯,引領了代數及表示論突破性的發展。1979年,他與Kazhdan引入組合學工具,具體而微地描述Schubert variety的拓樸與幾何。始自1986年,他又深入研究quantum groups。他優游於眾多領域,結合各領域的精髓,成功計算了李型有限群及李代數不可化約表現的特徵標(characters)。他喜歡獨自研究,進行繁複困難的計算;內向靦腆,酷愛瑜珈,言辭簡潔,思路清晰;在欲言又止間,流露大師風範。

關於例外群degree之計算,Lusztig 教授於訪談中提及電腦科學所提供之莫大助益。本期另有數篇文章精心闡述或示範數學與電腦科學相輔相成的景況。

先談著色問題。1928年van der Waerden證明了定理:「對任意自然數$k$和$l$,若一段自然數之長度不小於於某一數$n(k,l)$,則將其著$k$色之後,必存在同色而長度為$l$的等差數列。」 張鎮華教授鋪陳相關結果之發展脈絡,並對重要 結果給予淺顯易懂的證明。

日前,藉助於超級電腦,三位電腦科學家總算解決了「布林畢氏三元數問題」。該電腦輔助性證明,文件大小達到200 TB,相當於美國國會圖書館所有數位化資料的總和,是人類迄今得到的最「長」的一個數學「證明」。李信明教授講述相關歷史,並提供讀者可入手的相關問題。

布林畢氏三元數問題初由Ronald Graham 和Paul Erdős於1970年提出:「能否將正整數集合N中的每個數字分別染上藍色或紅色,使得N中滿足畢氏定理$a^2+b^2=c^2$的任意三數 $a$,$b$ 和 $c$ 不同色? 」三位電腦科學家利用對稱性和數論的技巧,將交付電腦計算的可能染色方法減少至1萬億種左右;電腦進行平行計算大約2天後,「證明」正整數集合 N = { 1, 2,…, 7824 } 具有問題所述的性質,但加入7825後就不復如此。不無遺憾地,人類無法閱讀此「證明」,也無法用紙筆驗證之。

而在線上決策問題,所有可能之決策呈機率分布,另有損失函數衡量各決策所招致的損失。在每回合,決策者根據之前各回合的損失做出決策。為衡量決策者表現之優劣,另有數個專家,在所有回合做固定決策。進行$T$回合後,最佳專家累積損失為$L_T$,決策者累積損失之期望值為$E_T$,遺憾程度(regret)則定義為$E_T$與$L_T$的差。決策者若適任,其遺憾程度應以sublinear $o(T)$的速度成長。呂及人教授深耕線上決策領域,在文章中清晰有趣地介紹該領域,且概要講解他的研究成果。他並將該領域與賽局理論做深刻的連結:在特殊形態的賽局,若每個參與者採行低遺憾程度的線上演算法,則整個賽局會快速趨近某種Nash equilibrium。

蘇柏奇、陳明璋、顏貽隆先生的文章示範繪圖軟體在數學證明及數學教學的應用。讀者何不也親自用軟體做做動態實驗?


梁惠禎 2016年12月

160號全文將於2017年7月開放