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Charles Newman 教授

Charles M. Newman 教授 1946 年生於美國芝加哥。 1966 年 MIT 畢業, 分別於 1968 年、 1971 年取得普林斯頓大學碩士及博士學位。 先後任教印第安納大學 (1973$\sim$1979), 亞利桑那大學 (1979$\sim$1989)及紐約大學 (1989 迄今)。 為美國國家科學院院士。 在統計力學、機率等方面有廣泛而獨特的見解。
照片由左至右分別為: Quastel, Newman, Rezakhanlou, 尤釋賢, 劉太平。

策 劃: 劉太平
訪 問: 劉太平、尤釋賢、 Jeremy Quastel、Fraydoun Rezakhanlou
時 間: 民國 100 年 7 月 11 日
地 點: 中央研究院數學研究所
整 理: 黃馨霈

劉太平 (以下簡稱「劉」): 其實我對你做了點研究, 不是因為我不認識你, 而是 $\cdots$

Newman (以下簡稱「N」): 事實上不到一年之前, 《美國國家科學院院刊》 (Proceedings of National Academy of Sciences, PNAS)1 1 PNAS (2010), 107(36), pp.~15668-15669. 刊登了一篇關於我的報導文章, 因為所有人在成為國家科學院士之後, 會受邀撰寫所謂的 inaugural article。 其實我在成為國家科學院成員後, 等了約四年才受邀寫這篇文章, 同時也做了訪談, 又過了兩年 PNAS 才刊登這篇由科普作家執筆, 關於我過往種種的小傳。 所以距離現在不久。

劉: 早上我讀了其中一篇, 談到你接受媒體訪談, 但你說的一些有趣的數學卻只播了幾秒。

N: 沒錯, 我接受過幾次訪問。不知怎的, 在 NYU 每當媒體詢問關於機率或統計的問題, 我就是校方指定應答的人, 即便我幾乎不懂統計。 一次, 紐約有人二度中了樂透, 我接受地方電視台的訪問, 他們想知道這樣是如何非比尋常, 如何出人意表。 我同意受訪, 當天稍早, 出去買了張樂透, 因為我不知道它長什麼樣子, 還做了些簡單的計算, 以便稍後做一些討論。 我花了好幾個小時, 因為要決定是否真那麼讓人驚訝還滿有趣的。 結果並不令人訝異, 因為樂透已有二、三十年的歷史, 每週開獎兩次, 有許多中獎人平分獎項, 所以數以千計的中獎人會有很多很多錢買更多彩券。 他們當中有人再度中獎並不意外, 其實以前就發生過, 這可能是第二次。我最驕傲的是我的預測: 不會有人中獎三次。 但如同你說的, 所有關於這點的有趣討論都被刪除, 我在電視上只出現了 7 秒。 我記得不是很清楚 $\cdots$ 全是些沒營養的內容, 不過是電視台藉此在新聞中放一道閃電 :「這是否比被雷劈到的機率還低?」

劉: 特定的人中獎兩次很罕見, 但真的有這樣的幸運兒。

N: 的確。

劉: 有一道問題, 一個房間裡要有多少人, 才能使得其中至少兩人的生日在同一天的機率大於二分之一? 答案是多少?

N: 大概是 28 人, 確切我不記得了, 27 或 28 吧! 聽來很令人驚訝, 但道理是一樣的, 是不特定的兩個人, 不是我們心裡通常想的跟自己同一天生日的人。 其實我才剛和一個我早就知道, 但一週前才遇到的人討論了這個現象。 幾年前我收到妹夫的 email, 恭喜我紐約時報刊登了我的投書。 我查了紐時, 有封來自 Charles Newman 寫給編輯、談論政治的信。 但那不是我, 是另一個 Charles Newman。 我決定瞭解一下他到底是什麼人, 我發現紐約有位律師與我同名, 甚至中間名的首字母也一樣是 M., 就是他寫了那封信。 湊巧, 幾週前我去律師事務所辦事, 進門後接待人員問我姓名, 我說 Charles Newman, 他們以奇怪的表情看著我 : 「我們這裡也有一位 Charles Newman。」結果就是那位 Charles Newman, 他也在這間律師事務所工作。 下一次我再去竟然碰到他, 相談甚歡, 他年輕時是學工程的, 知道 Courant Institute, 他問了我這道生日的問題。

劉: 從這個小故事和我從其中一篇關於你的文章看到的, 你的興趣廣泛, 很樂意花時間思考周遭發生的事, 很多數學家並不是這樣。

N: 我原先並不是數學家, 起初是物理學家。大學我主修物理, 卻修了許多數學課。 那時我在 MIT, 大家的數學都很好, 但在幾十年前, 很多人高中沒修過微積分, 卻也有不少人修過。 我高中讀的是一所小學校, 沒有微積分。所以一方面, 我必修微積分, 但入學考試我的數學分數很高。 因此, 對於沒修過微積分但成績很好的學生, 就安排了一門由拓樸學家 James Munkres2 2 James Munkres (1930$\sim$), 美國數學家, 麻省理工學院數學系退休教授, 著有多本拓撲方面的教科書。 開的特殊微積分, 他一年之前才開始開這門課。 他教微積分與一般主要為工程學生開設不甚嚴謹(rigorous)的課不同, 這門是特別開給可能主修數學的學生, 從開頭就很嚴謹。 因為那門課, 我對數學的興趣比一般主修物理的學生來得多, 開始修更多數學課。 不過後來物理和數學我都做, 再逐漸從物理轉向數學。 我想由於這樣的背景, 與一些打從開始一直做數學的數學家相較, 我的視野可能比較開闊。

劉: 我想我們也看過有人主修工程, 但後來發現他們的真愛是數學。其中有些人研究非常抽象的東西, 像是研究動力理論的Ukai3 3 Seiji Ukai, 日本數學家。

尤釋賢 (以下簡稱「尤」): Raoul Bott4 4 Raoul Bott(1923-2005), 匈牙利裔美國數學家, 在幾何的廣大層面上有根本的貢獻。是電機工程出身。

Quastel (以下簡稱「Q」): Harish-Chandra5 5 Harish-Chandra(1923$\sim$1983), 印度裔美國數學家、 物理學家, 在李群表示論方面做了許多開創性的工作。是物理學家, 他覺得從 Dirac6 6 Paul Dirac (1902$\sim$1984), 英國理論物理學家, 量子力學的奠基者之一。 學到的理論不夠嚴謹, 就決定讓它嚴謹些。 這發生在他拿到物理的學位之後。

N: 我一直對由物理問題產生的數學概念上的議題感興趣。

劉: 可以給個例子嗎?

N: 我將要在這星期演講的, 是我在拿到博士後開始研究, 直到現在才得出一些結果的主題, 也就是了解歐基里得量子場論在二維空間的情形。 其中一維是空間, 一維原先為時間, 但當你從真實物理時間轉換到純虛擬時間 (pure imaginary time), 如同熱方程之於 Schrodinger 方程, 就變為歐基里得場。 特別是, 出現像易辛模型 (Ising model) 之類的臨界統計力學模型的尺度極限 (scaling limit)。 這個主題早在 1970 年代我就很感興趣, 做了些工作。 但由於近期與形式不變量 (formal invariants) 和 Schramm-Loewner 演化相關, 這些在二維臨界模型的發展, 我們比過去有更多的工具, 所以現在對連續場的尺度極限這類物件, 有一種隨機幾何的表現 (stochastic geometric representation)。 這是從過去主要興趣在量子場論時, 我就一直很有興趣而且試圖了解的東西。我想這是個例子, 說明了上述提到的, 物理問題引發數學的概念, 同時顯示出, 有時有些東西要花上幾十年的時間才能有所進展, 或達到希望的目標。

劉: 真不錯。

Rezak (以下簡稱「R」): 你拿的是物理學位?

N: 我大學主修物理, 一開始修很多數學的課。實際上比一般需要修的課還多, 因為大一在 MIT 時, 我計算學費除以每週的上課時數, 得出每堂課的費用實在貴得嚇人, 雖然現在還是很貴, 但在那個年代學費是固定的, 修課數目沒有限制, 所以唯一可以降低每堂課學費的方式, 就是修更多門課。 於是, 我開始修更多課, 讓每堂課的學費更合理。 因為上述的那門特殊微積分, 我覺得自己是喜歡數學的, 因此大多數額外修的課都是數學。 大約一年後, 我發現這些多修的課足以讓我拿到雙學位, 不是雙主修得一個學位, 而是雙學位, 只要再多修一些課, 可能不是我自己已經選修的數學課, 就可以拿到正式的雙學位。 於是我就這麼做, 在大學拿到數學和物理雙學位。不過我還是把自己定位為以物理為主, 但對數學很感興趣。 事實上我的博士訓練是在普林斯頓的物理系, 拿的學位正式來說是物理, 實際卻非常數學, 任何正統的物理學家都不會接受我是物理學家。

Q: 你的指導教授是?

N: Arthur Wightman.

劉: 他是怎樣的人?

N: 他非常和藹可親, 不是那種會處處操控學生的人。 他會給大方向的建議, 很樂意和學生談話 $\cdots$ 至少對我如此, 或許要看做的問題而定。 這樣的方式很適合我, 我大多能自己決定要做什麼, 只要經常向他報告進度, 這樣的方式運作得很好。

劉: 剛才你談到, 你會修更多的課讓學費花得有價值。 我記得 J. J. Stoker 曾說, 教育是唯一一種顧客不想多佔便宜的生意。 你正好是個反例, 不是一般的消費者。 我可以將話題轉到其它地方嗎? 你擔任 Courant Institute 的所長多久?

N: 大概四年。

劉: 經驗怎麼樣?

N: 當中混雜著一些非常愉快美好的事情, 其中最美好的是能夠代表 Courant 出席兩次阿貝爾獎頒獎典禮。 第一次是 Peter Lax7 7 Peter Lax (1926$\sim$), 匈牙利裔美國數學家。 參閱本刊 26 卷 4 期「有朋自遠方來 --- 專訪Peter Lax教授」、 「Peter Lax 教授小傳」 及「Peter Lax演講 --- 數學與計算」。 得獎, 那年我還是所長; 第二次是Ragu Varadhan8 8 S. R. Srinivasa Varadhan (1940$\sim$), 印度裔美國數學家, 參閱本刊 32 卷 1 期「有朋自遠方來 --- 專訪Varadhan教授」。 獲獎, 當時我剛卸任, Lesily Greengard 是所長, 理當代表 Courant 出席, 但是他在國家科學基金會 (National Science Foundation, NSF) 有事無法抽身, 我很高興能代他出席。 那是極為美好、 有趣又高雅的盛事, 能參與如此盛會很榮幸, 身為所長有這樣的機會, 不然沒有什麼機會與國王握手。 不過 Peter Lax 得獎那年國王其實沒有與會, 有人說他身體不適, 這個說法似乎有點問題, 因為他顯然在那個時間點左右出席了帆船比賽。 但皇后與會, 我就在城堡裡舉行的國宴上第一次和皇后握手。 至於 Varadhan 那次, 國王出席了, 我和國王握手, 這些事都非常美好。 其它就沒那麼愉快, 處理教授的事不總是那麼正面。 尤其當你沒有資源回應他們所要求的東西, 就不太愉快了。 總之, 能夠有這樣一段經歷很好, 我很高興 Courant 有每三到五年輪換所長的傳統, 不必當太久。卸任我很開心。

R: 在那之前你是數學系的系主任?

N: 對, 不過系主任的權責要少的多。 事實上那時比現在還少, 現在比較像一般的數學系系主任, 負責招生找人等等的事務。 但在 Courant, 系主任要做的比一般少, 因為許多事都由所長負責, 擔任系主任不用花太多個人的時間, 所長則多得多。

劉: 現在 Courant 的機率非常強。

N: 對, 沒錯。

劉: 說不定現在是Courant有史以來機率最強的時期。

N: 可能真的是這樣, 在過去的五到十年, 機率變得越來越受歡迎。

R: 那些菲爾茲獎得主即便不是機率學家, 做的問題卻多少與機率相關。

N: 近兩年的菲爾茲獎, 有不少機率或與它密切相關的工作。 我記得剛到 Courant 時聽 Monroe Donsker 說起, 機率在數學裡有複雜的歷史, 在我拿到博士的幾年前, 許多人不真的把機率看作數學。 或許因為歷史上, 機率可算是從賭博而來, 原先的動機來自樂透或賭博。 這就是為何有名的初等機率論被稱作賭徒破產理論 (Gambler's ruin), 傾家蕩產或是 (賭贏)讓銀行破產, 需要多久? 機率多大? 這類問題通常用在初階課程。

劉: 這對賭徒很重要, 但我想機率對很多人來說是很困難的科目。

N: 其中一個原因, 舉例來說, 很多學生即使在其它數學課程上表現亮眼, 修機率時還是會碰到問題, 因為很多思維不太一樣。

R: 關鍵是直覺, 不然做機率就跟分析學家做PDE或ODE沒有兩樣。但是要有不同的直覺。

N: 或許你們有人記得, 曾經有人形容機率論是具有靈性的測度論(measure theory with a soul)。

劉: 沒錯, 許多人不了解這個 soul。 其實在台灣, 我想真的理解這個 soul 的人不夠多, 我們面臨一些問題。 某方面來說, 機率在現代科學中非常重要, 而我們確實在這方面不夠強。 你可以發現這次會議中, 台灣的講者非常少, 只有一兩個人。每個人都知道這個不足, 卻束手無策。 無論如何, 可以再問一些關於這個 soul 的事嗎? 它是什麼?

N: 嗯 $\cdots$ 在機率論的許多情況下, 可以嘗試從問題背後的某種分析技巧上著手。 譬如研究馬可夫過程(Markov processes), 考慮連續的馬可夫過程, 它們可由空間中具有生成元 (generators) 的半群算子 (semi-group operators) 描述, 泛函分析的所有工具都可以運用; 或者也可以嘗試從比較偏機率而非分析的觀點探究, 試著了解所探討的各種問題在機率裡的意義, 而不是將問題重新陳述為分析的問題。 有時, 分析是得到結果較快或較好的方式; 有時, 機率的思維方式給了你對的想法。 所以我會說 $\cdots$ 當然我有點偏頗, 我會將 soul 形容為, 以比較機率的思維思考, 而不是把它轉為分析的問題, 從而忘記各種量的機率意義。

R: 機率論裡半群性質變為馬可夫性質, 就是這種直覺最基本的例子。

劉: 我教過機率, 學生問我 : 「計算我沒有問題, 但你給我們兩個數字, 卻沒告訴我們哪個是 $n$, 哪個是 $k$。」

N: 教基礎的大學課程, 最讓學生頭痛的, 就是讓他們有太多選擇, 他們偏好那些強制他們做些什麼的問題。如果要求證明哪些向量是線性獨立, 他們會做而且做得很好。 但是如果要求給出三個線性獨立的向量, 他們就毫無頭緒, 無從下手, 因為太自由了。

R: 我教微積分, 如果出是非題, 全班都會卡住;給一個敘述, 學生必須知道它是否正確, 認為不對要給反例。無論問題有多簡單, 都是他們的剋星。 相對於要求學生推導或證明一道公式, 是非常不一樣的遊戲。

N: 我接觸到真正的是非題是在 MIT 大學部的分析課。 MIT 有個傳統, 大學部的分析和拓樸考試, 會出很難的是非題, 不管是找一個證明或反例, 都危機四伏。 通常有十個問題, 答對得 10 分, 不答 0 分, 答錯倒扣 10 分。 那時候考試沒有時間限制, 可以帶書和筆記, 想考多久就多久, 曾有人通宵苦戰, 第二天才交卷。 但每道問題都必須戰戰兢兢, 確認一切 $\cdots$ 對大學生來說, 我想這是最接近做研究的課業活動之一, 因為你一開始並不知道答案。 有個出名的例子是在我修課的前一年, 不是分析而是在拓樸課上, 某次考試的全班平均是 -7 分, 我想那表示如果你沒有回答任何問題得 0 分, 可能會拿到 B。

R: 所以隨著年紀漸增、變得保守, 最終我放棄了, 不再出是非題, 學生答錯不扣分, 但還是有很多抱怨。

N: 上學期我教大學部的分析, 程度跟我在 MIT 修的課不同, 但我也出了一些是非題, 不過不倒扣。 從是非題中確實可以知道學生是否了解課程的內容。

Q: 我用這個想法主持資格考。

R: 那是最好的評量方式。

N: 是非題 $\cdots$ 你的確會發現他們懂什麼, 那是肯定的。

R: 大學部的課我已經知道答案 --- 大部分的課學生都搞不清楚狀況, 不幸的是我使不上力, 所以我放棄了。

劉: 你害怕發現真相, 讓我想到有人說過, 最不會錯的氣象預報是, 今天的天氣跟昨天一樣, 因為 0 分就可以得 B。

Q: 你在做論文的時候已經做機率了嗎?

N: 事實上我接觸機率的過程有點另類。 大學時我曾試著選了一門機率, 結果是災難一場。 上課內容老掉牙, 授課老師用的是他20年前寫的書, 記得的只有一兩週後我就退選, 還有他開頭第一個主題講的是不同類型的 $\beta$ 分布, 有一些明確的式子等等。所以我沒有真的上過機率, 試過但不喜歡。 接著研究所我唸物理, 修了一些數學課, 大多是分析那類的。 後來我開始做關於數學物理的論文, 原本應該是關於量子場論, 但我在一個有點怪的模型上, 做了逸出常軌的工作, 結果很快就變成不折不扣的機率模型, 於是我開始閱讀一些相關文獻。 我讀的第一本書算是機率的書, 但不是一般機率的入門書, 是 Gelfand 和 Vilenkin 合著的 Generalized Functions, 談的是廣義隨機場(generalized random fields), 所以那時我不知道隨機變數是什麼, 但我知道廣義隨機場。 事實上, 我在這次會議演講中要談的就是廣義隨機場。 而隨機變數的定義, 則是幾年後才知道, 為了教大學機率課不得不學。 不過在研究所的最後一年, 我修了一門 Ed Nelson9 9 Edward Nelson (1932$\sim$2014), 普林斯頓大學數學系教授, 以在數學物理及數學邏輯的工作著稱。 的課, 第一學期是相當進階的機率, 關於布朗運動 (Brownian motion)及它的細部性質, 大多是隨機過程等等的標準內容。到了第二學期, 那時他正在發展歐基里德場論, 其實就是因應量子場論而來的機率論。就如我前面提到的, 實際教了, 才確實學到比較傳統的機率論, 所以我對機率論的接觸了解與一般人順序顛倒, 照理說, 我應該更為關注分析面向而非機率面向。 但在我終於學了機率後, 不知怎地, 我真的很喜歡機率解讀事情的方式, 比較會用這樣的方式來思考, 而不是聚焦在分析。

劉: 所以大多時候或許我可以說, 並不是教育使你走上這一行, 而是你對於機率的思維很感興趣, 深深著迷。

N: Varadhan 眾多特點之一是, 他在機率的思維和分析上都很強, 在其它事情上也是如此。

劉: 我試過教機率, 其實大學部的機率我教過很多次。 我必須承認我並不真的在行, 但顯然我教得還可以, 所以多年來他們老是要我教機率。 我發現這是個有點難的科目 $\cdots$。

N: 要有不一樣的直覺。

劉: 有一次我從 Mark Freidlin10 10 Mark Freidlin (1938$\sim$), 俄籍美國機率論學家。 那裡得知, 如果你在二維空間有一個隨機漫步 (random walk), 幾乎必然會回到這個給定的邊界, 在三維空間不會回來的機率為正。 後來是透過 PDE 的分析方法證明, 但我想它原先是從機率的思維發現的。

N: 可能是這樣 $\cdots$ 我想那是對的。 我指的是標準的論證, 很自然會注意可能返回的次數, 可以用分析或機率的方式思考。 用機率的方式看待和思考較為自然, 那是古典的事實之一。 在統計力學的模型裡, 當然會有這種維度依賴 (dimension dependence), 以及不同的事物如何隨著維度而變化, 在 PDE 裡也有。

劉: 最近大眾越發意識到機率的重要性和核心地位, 特別是在科學或數學上。

N: 從與公眾有關的實際角度來看, Werner11 11 Wendelin Werner(1968$\sim$), 法國數學家, 2006 年菲爾茲獎得主, 現任教蘇黎世聯邦理工學院。得菲爾茲獎也許帶來了重大的改變。 我想那是菲爾茲獎第一次頒給機率方面的工作, 算是對這個領域的某種肯定。 Gerard Ben Arous告訴我, 他記得擔任巴黎高等師範學校 (Ecole Normale Superieure, ENS) 的系主任時, 遇到一些問題: 代數幾何是人人想進的領域, 最優秀的學生都去做代數幾何, 他們很難說服好的學生做其它領域的研究, 偶爾可以成功說服一些學生去做 PDE 或分析等其它領域, 願意做機率的更是鳳毛麟角。但近年來特別是在法國, Werner 得獎可說帶來了很大的轉變。 排名數一數二的學生進入 ENS 選擇做機率, 因此, 在法國有為數極多的後起頂尖年輕機率學家。 我想這個菲爾茲獎, 還有 Varadhan 獲得的阿貝爾獎, 大大影響了學生和博士後對重要領域的認知。 但如你所說, 身為這個領域的人, 總不免認為它重要。另外有件事, 我不太明白為什麼機率比以前受到認可, 不過機率似乎的確從數學的其它領域中竄出頭來, 在許多出乎意料的情況下 $\cdots$。

劉: 但機率非常國際化, 環顧莫斯科、法國、日本和美國等地的主要學術中心, 幾乎都有非常重要的機率學家, 不受地域所限。

N: 常常是集中在各國的某些地方, 但有許多不同的國家在機率方面都很強。

劉: 這個問題不好 : 你怎麼預測機率研究的未來?

N: 嗯 $\cdots$ 這個問題要答得前後一致不容易, 我想我對機率一直在發展的方式樂觀其成, 因為機率的東西除了用於數學, 也用在其它許多方面, 在物理上的應用已經司空見慣。 但現在機率和統計的東西在生物上變得極為重要, 當然近幾十年來在金融上、長期在工程上也是。 所以我想那意味著, 機率將持續幫助數學和應用領域的成長。我認為機率還沒有達到顛峰 $\cdots$, 機率領域始終活躍而且具有影響力。

劉: 你呢? 目前想做什麼?

N: 我對通常出現在物理中, 機率模型的數學結構, 還是很感興趣。 所以我在這裡的演講, 要講一些模型, 它們是從統計力學模型的臨界點而來的例子。 基本上是關於二維模型, 主要的進展 --- 數學上的進展是在近幾年做出來的, 高維的則更早。 就像拓樸裡, 一旦超過某個維度, 情形其實會變得更簡單。 所以對特定類型的模型, 如易辛模型 (Ising model), 在四維或高於四維的時候, 情形開始變得簡單, 而在二維, 有針對二維非常特別的方法, 可以導出非常特別的東西, 像 Schramm-Loewner evolution 及保角不變量 (conformal invariance)。不過 介於二維和開始變簡單的高維之間的情形最難, 譬如三維。 因此這裡已知的極少, 是完全沒有經過開發, 可以發展一些技巧的。我要談二維的一個原因在於, 雖然我們只探討二維的情形, 但比起僅針對二維的保角不變量方法, 我們的看法似乎有可能應用在三維。 這套東西在我們的研究中並不是主角, 技術上是但在整體觀點上不是。 我喜歡它的原因是, 它在三維最終可能是有用的, 但這是完全沒有定論而且沒有人有很多想法。 另一類模型是我在這個會議裡不會談到, 但今天很多講者已提到的一個廣泛的領域 --- 這類系統是自旋玻璃模型 (spin glass models), 在物理文獻中有長遠的歷史。 尤其是數學家近幾十年來在 mean field type models 上已經有重大的成果。 但同樣地, 短程模型少有進展, 這也是我深感興趣有待開發的領域, 但是我懷疑要得到主要的結果需要相當長的時間, 我不確定我能看到多少。

劉: Parisi 是開啟這個領域的人之一。

N: 其中一個我頗感興趣的問題是 $\cdots$ Parisi 提出的方法主要來自於 $\cdots$ 平均場模型 (mean-field models), 可以說是某些維度空間裡有短程作用模型的某種簡化, 在這個簡化的模型裡, 大致說來, 對隨著相互距離越來越長而越發衰弱的作用取極限, 在這個極限中所有東西彼此作用, 作用強度幾乎相當。 即便 Parisi 為自旋玻璃模型做了這樣的擬設(ansatz)12 12 擬設 (德語:ansatz)是數學和物理學術語。 意思是先作出一個假設, 並且按照這個假設去進行一系列的演算, 用所得到的結果來檢驗最初的假設是否成立。 當一個問題難以用直接的方法解決的時候, 擬設經常是解決問題的出發點。 , 這個模型還是非常難分析, 過去幾年經過嚴謹證明的結果也不多。 而對於平均場模型 Parisi 擬設的各種性質是否都能應用於短程模型, 是個我們很感興趣, 而且大有可為的問題。 然而大體而言, 對於任何維度的短程模型, 相對來說已得出的嚴謹、事實上不要說嚴謹, 任何結果都非常少。 這是我們期盼最終能有所發展的東西, 我們在二維的某些特定問題上有一些進展, 但與我們想了解的東西相較, 非常渺小。

劉: 這是很好的情況。

N: 對, 沒錯, 對未來的世代來說很有前景。

劉: 我們談到機率是有 soul 的科目。 用在 Parisi 身上要怎麼說?

N: 我最好少說話, 以免自找麻煩。 我來說一些讓自己陷入不同麻煩, 跟 soul 有關, 但跟數學物理或數學沒什麼關係的事, 是關於 NYU 和它在阿布達比 (Abu Dhabi) 校區的活動。 這些事已進行了許多年, 非常有趣而且可能可以發展地很好。 有些人對於 NYU 是否該做這件事提出許多質疑。 過去幾年, 外人有時會認定 NYU 這樣做的唯一原因, 是因為從阿布達比拿了很多錢。 他們覺得這樣非常不妥, NYU 唯利是圖。 真相是, 雖然阿布達比確實在這個校區投入不少經費, 除此之外並沒有真的給很多錢。 有人批評 : 「NYU 出賣了自己的靈魂 (NYU has sold its soul)。」這是一般對於把靈魂交予惡魔以換得某種短期利益的說法。 他們的問題是基於, NYU 得到很多錢, 一定有些利益交換。 我不確定是否真的有這樣的利益交換, 時間會證明一切。 事實上 NYU 並沒有拿到很多錢, 所以我告訴他們, 如果確實有, 討論是否應該出賣靈魂才有意義。 但情形並非如此, 事實上 NYU 是奉獻了靈魂。 我不得不祈禱這篇訪談不會被(某些人)讀到 $\cdots$ NYU 同時在上海成立一個分校 $\cdots$ 否則會惹上麻煩。

劉: 當然, 這跟我原本關於 Parisi 和 soul 的問題無關。

N: 對, 沒錯。 我試著避開那個問題。

劉: 或許在座各位有話想說。

Q: 像 Parisi 這些人推測公式, 以及將要發生的事的方式, 讓人拍案叫絕, 沒什麼不好, 只是不嚴謹。

R: 嗯, 很重要也很有用。

Q: 嗯, 他們做的非常重要。 不夠嚴謹但無妨, 對其他人有很大的幫助。

N: 不, 我對不夠嚴謹這件事沒有意見。他對平均場模型的預測看來頗為正確, 有些正在證明中。 我們的問題是, 同樣的定性行為(qualitative behavior)會在短程模型中發生的主張是否正確。 證據非常少, 可說只有相互牴觸的證據。 至少有過一次, Parisi 涉入其中一個不嚴謹而有趣, 但沒有確證的主張, 是針對不同領域, 同樣是無序系統 (disordered system) 中與維度約化 (dimensional reduction) 有關的主張; 關於是否該將特定維度的無序系統與非無序系統 (non-disordered system) 比較。 有些人有一套論證, 主張非無序系統維度需少一維; 另一批人聲稱要少二維, 不論 Parisi 主張的是哪一個, 都是錯的。 所以物理學家的預測不見得都正確, 大家只記得對的, 卻忘了那些不對的。 這是數學上而不是概念上的觀點, 非但不嚴謹還有點怪異, 不是基於物理的論證, 而是根據奇怪的數學論證。

R: 我想這是個重點, 對於這些非數學的論證, 有兩種可能 : 一個是有方法解決, 找其它辦法來做; 或者即使失敗, 也能從已知的東西中學到為什麼這樣的假設不對, 明明看起來正確的為何卻是錯的。這是個很好的起點。

Q: 很有意思, 我們不久前才講到, 機率在數學裡有一些奇怪的名聲, 因為它從賭博而來, 而且有很多不嚴謹的論證。 上面談到的不過是個現代版本, 很可能是機率是否體質良好的徵兆, 它能否和一些夠有趣、 而且可以用各式方法處理的問題緊密連結, 其中某些方法非常嚴謹, 有些非常不嚴謹、卻能幫助你了解發生了什麼事。

R: 機率沒有那麼受到數學家歡迎的另一個原因在於, 機率對非機率學家來說有些地方太過抽象, 難以理解, 我聽到不少人在我的演講後這麼說。 通常我們一聽到 Martingale 之類的東西五分鐘不到就投降, 因為這些東西我們壓根兒沒有概念。

N: 記得拿到 PhD 後, 我在書店大減價時買了一些書。 有本關於馬可夫過程的書, 第一句話是: 馬可夫過程是六重 $\cdots$ (A Markov process is a sextuple of $\cdots$), 我讀的時候覺得毫無意義。

劉: 有一位物理學家楊振寧 (C. N. Yang), 就是 Yang-Mills 方程裡的 Yang, 說過去他會讀數學論文的介紹 (introduction), 但現在他甚至連摘要都看不懂。 我想我們似乎別無選擇, 因為期刊要求論文嚴謹。 此外, 這或許不是最容易讓人理解的方式, 卻是呈現內容最簡單的方式。

R: 真可惜 $\cdots$。

劉: 你應該在天氣好點的時候再來作客, 稍微放鬆一下。

N: 野外健行, 看山。

劉: 我不相信演講多有用。 有一次 Peter Lax 說他要去北京, 他們要求他一週給 16 場演講, 我說這樣不行, 我會幫你跟他們說項, 8 場如何? 最後他說 6 場。

N: 類似的事有一次也發生在我身上, 但數目沒那麼多, 25 年前我訪問莫斯科, 在那裡, 大概在第一場演講之後的場合見到 Sinai, 他說他們想邀我在大學的研討會演講, 問我可以講什麼。 我就列出四、五個題目, 想著他會從中挑一個, 結果他說很好, 你禮拜一講這個, 禮拜二講那個 $\cdots$。

劉: 你們還要聽接下來的演講, 我們就此打住, 謝謝!

---本文訪問者劉太平任職中央研究院數學研究所,尤釋賢任教新加坡國立大學, Jeremy Quastel 任教多倫多大學, Fraydoun Rezakhanlou 任教加州大學柏克萊分校, 整理者黃馨霈為中央研究院數學研究所助理---