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Mourad Ismail 教授

Mourad E. H. Ismail 教授1944年出生, 成長於埃及開羅, 1964年開羅大學理學學士, 1974年加拿大阿爾伯塔大學博士, 2003年起任教中央佛羅里達大學, 主要研究領域包含數學物理、正交多項式和特殊函數, 在正交多項式中有多項發現。 重要出版品包含2005年劍橋大學出版社出版的Classical and Quantum Orthogonal Polynomials in One Variable專書。

策 劃 : 劉太平
訪 問 : 劉太平、吳德琪、李志豪、陳麗貞
時 間 : 民國 101 年 11 月 27 日
地 點 : 中央研究院數學研究所
整 理 : 陳麗伍、萬茞韻

劉太平 (以下簡稱「劉」): 首先, 謝謝你來。你已經來過台灣幾次了, 對嗎?

Mourad Ismail (以下簡稱「I」): 這是我第四次來台灣, 台灣是很有意思的地方。

劉: 也許我不該提到這個, 不過你是我們訪問的第一位原籍阿拉伯國家的學者, 當然你現在是美國的數學教授。不過我還是要問你:你在埃及的成長過程如何?

I: 開羅大概在1000年前建城(西元後969年)。我成長的地方是開羅非常古老的一區, 大概有五、六百年的歷史。歷史的遺跡不停地提醒著過去, 我們總是希望現在或未來可以像過去一樣輝煌。 因此對悠久歷史的驕傲混雜著對現狀的不滿。中學的時候, 蘇聯剛好發射史普尼克1號(Sputnik 1是第一顆進入地球軌道的人造衛星)。突然之間, 大家對科學非常熱中。我在這個氛圍下進入開羅大學。 那裏有好幾位有意思的數學家。 但是因為大環境經濟不佳, 其中一位教授就去了美國的石溪大學(Stony Brook Univeristy)。 他家祖上好幾代都是埃及人。他是科普特人1 1 Copts 科普特人, 埃及的基督徒, 是當代埃及的少數民族之一。 , 不像大部分人是穆斯林2 2 Muslim 穆斯林, 對伊斯蘭教的信徒之稱呼, 中文亦稱為回教徒。 。他是我遇過最傑出的人之一, 非常親切而且認真的數學家。

劉: 他的名字是?

I: Raouf Doss3 3 Raouf Doss, 埃及數學家, 研究領域包含邏輯, 調和分析和拓樸學。。 他的兒子是統計學家Hani Doss4 4 Hani Doss, 美國統計學家, 研究興趣包含貝葉斯統計 (Baysian Statistics)。, 是 Persi Diaconis5 5 Persi Diaconis (1945$\sim$), 美國數學家與前職業魔術家, 以挑戰含有隨機性的數學問題而為人所知。 在史丹佛的學生。我跟 Diaconis 聊到我的老師時, 他說"哦, 我教過他的兒子。"

劉: 世界真小。

I: 的確。那時候還有另一位教授離開開羅大學數學系去為聯合國工作。 1960年代, 開羅大學是個很有趣的地方, 後來軍事強權導致經濟崩壞, 直到最近十年才開始復甦。 圖書館變好。 大學教育也在提升。 希望我們可以看到更多的發展。

劉: 所以你的家庭背景不錯。

I: 可以這樣說。我住的那區有個很大的優點, 它離國家圖書館只有300公尺遠。 當我 10 或 12 歲的時候, 夏天都在國家圖書館度過。 不是因為我想看書, 而是因為夏天只有那裡有吊扇。 但在那裡總得找些事做, 就這樣我開始念很多的東西, 很有趣的經驗。 埃及國家圖書館運作的方式與這裡的圖書館不同。 埃及圖書館一進去就是參考資料區, 如果想看任何書, 都要由館員把書從書庫拿出來, 這個過程大概要花半小時到一個小時, 這段時間就要找些事來打發, 於是我看百科全書, 放在參考資料區的書。 這讓我養成易於專心與閱讀的好習慣。 其實最主要是在夏天可以離開炎熱的公寓。

劉: 你也可以去沙灘, 但你選擇了圖書館。

I: 不, 那時候的開羅沒有沙灘。 我們在沙漠之中, 尼羅河很棒, 但是不能下去游泳, 水流太快了, 尼羅河很大。

劉: 你父親的職業是?

I: 他為電影公司工作, 不過不是從事電影事業。他的工作是電影捲盤的派送, 確認電影被送到正確的電影院並且按時回收。

劉: 你提到圖書館可以讓你專心, 我倒覺得是因為你能夠專心, 所以才會去圖書館。不管如何, 你怎麼決定做數學?

I: 是因為史普尼克1號。1950年代末與1960年代初, 美國與蘇聯有很多關於太空時代、 人造衛星發射、 科學展望的文宣。 我常去開羅的美國文化中心與蘇聯文化中心。 他們有很多關於科學、太空、探險、天文等等的教育電影與書籍, 非常讓人著迷的時代。

劉: 那年代埃及與美國跟蘇聯的關係好嗎?

I: 主要是與蘇聯, 與美國的關係則在走下坡。 那時候, 蘇聯對第三世界國家(未開發國家)比美國友好。 另外, 我念大學的時候, 有一些俄文書翻譯成英文, 英文版的價錢對我來說非常昂貴。 但是蘇聯的書有法文版賣到第三世界國家。 如果懂得法文, 就可以用每本一、二塊錢的價格買到這些書, 而英文版的要價四十塊錢 (那時候一般人每月平均收入大約六十塊錢), 這些法文書就是我大學時用的書, 它們是當時最好的數學書。 1950 和 1960 年代的蘇聯可是很了不得的。

吳德琪 (以下簡稱「吳」): 請定義"特殊函數(special functions)"。

I: 要給定義非常困難。 特殊函數是一些在應用中不停地出現的特定函數, 不一定都是由數學家發現, 例如貝索函數(Bessel functions)就是由天文學家 Bessel6 6 Friedrich Wilhelm Bessel (1784-1846), 德國天文學家與數學家, 是現代高斯, 小行星貝索1552就是以他為名。 所發現的; 其實尤拉7 7 Leonhard Euler (1707$\sim$1783), 瑞士數學家和物理學家, 近代數學先驅之一, 引進許多數學術語和書寫格式, 在多個數學領域都做過重大貢獻。就研究過這個函數, 會冠上貝索這個名字是因為 Bessel 發現很多這個函數的性質。 這些函數出現在理論也出現在應用領域中。 一旦需要知道更深入的細節就會有人去研究它, 所以真的沒辦法定義特殊函數; 任何人都可以給你一個不見得會引起他人關注的函數。 它是一組不停地在理論或是實際應用問題中重複出現的函數。 很多新的特殊函數出現在表現理論中, 例如量子群(quantum group)的表現就用到1980年代才發展出來的函數。 特殊函數是可被共通使用的東西, 因此大家研究它們。

吳: 可以請你聊聊特殊函數與微分方程, Painlevé 離散方程 (discrete Painlevé equations)、 q-微分方程 (q-difference equations) 與可積離散方程 (discrete integrable equations) 的關係嗎? 你透過正交多項式(orthogonal polynomials)介紹了這些函數。

I: 我認為自然出現的東西, 一定會觸及很多其它的事物。 如正交多項式理論的發展是從很多不同觀點衍生出來的, 但它與可積概念和Painlevé 離散方程等等的關聯是晚近1970年代才發現的。 這個主題已經有三百年的歷史了, 三十年比起來實在不長。 這是個令我非常感興趣的新興領域。 我個人非常關注它在其他領域的應用, 你會感到驚訝: 有那麼多東西與正交多項式和特殊函數有關。 我常瀏覽科學引用文獻索引 (science citation index), 看看像Askey 8 8 Richard Allen Askey (1933$\sim$), 美國數學家, 以特殊函數之專長著名, 同時也是美國國家科學院的一員 和Andrews 9 9 George E Andrews (1938$\sim$), 美國數學家, 研究數論和特殊函數, 前美國數學學會會長及美國國家科學院成員。, 還有很多跟我同世代的人, 他們的文章被引用的情形。 我看這些文獻被引用在哪, 有些引用它的科學領域你可能連想都沒想過。物理可能跟數學很接近, 但有些電機工程領域的也引用 Askey 的文獻。 知道自己從事的領域可以用在哪裡, 這是很重要的, 這樣才可能與那個領域的人互動

劉: 有些特殊函數被用到特殊的領域上, 是因為這樣能更簡潔地呈現, 也更容易應用?

I: 當我在做博士後的時候, 有位叫Thomas Nagylaki 10 10 Thomas Nagylaki, 芝加哥大學名譽教授, 研究群體遺傳學 (theoretical population genetics.)的, 他在威斯康辛大學的數學研究中心。 他研究遺傳的數學理論, 有個邊界值問題(boundary value problem), 牽涉到 $n$ 個變數的 Laplace 算子(Laplacian)。 他研究的遺傳問題可以化約為探討 Laplace 算子的特徵值 (eigenvalue) 是否是維數 (dimension) 的單調函數 (monotone function)。 他試著去做, 一維、二維、三維試著畫出特徵值的圖形, 看來像是他要的結果, 但是要證明卻非常難。 難是因為維度是離散變數(discrete variable)。 如果寫下式子和細節, 然後把維度看成連續變數, 它其實是貝索函數的序數(order), 那就變得相當簡單。 所以最終我和 Martin Muldoon11 11 Martin Muldoon, 數學家, 研究興趣包含特殊函數和正交多項式 就這樣把問題解決了。 問題是要和不同領域的人交流, 不一定直接做原來的問題, 而是將原問題稍作變更, 把離散變成連續, 就容易了。 事實上如果你看看那個證明, 在離散變數的情況它是不成立的。重要的是它是連續的, 因為你要做圖而且要稍稍移動圖形。 回想起來這是一件美好的事, 而且也是一個很好的數學問題。 遇到應用問題, 有自己的看法是很重要的。 只要能與問題相容, 不需要把它提到很高的層次。我最近才跟 Thomas Nagylaki 聊過, 他又有個新的問題。 

李志豪 (以下簡稱「李」): 你在哪裡做博士後?

I: 我在威斯康辛大學的數學研究中心做了一年博士後, 多倫多大學也做了一年。

李: 你的法文是在哪裡學的?

I: 我在中學學了三年的法文跟六年的英文。

李: 那之後就可以讀法文的數學書?

I: 事實上, 我在中學的時候法文說的很流暢, 現在都丟了, 已經不行了。 那個法語課程可是很好的, 可以念法文書是很大的優勢。 順帶一提, 我從一些其它國家的朋友, 例如阿根廷, 知道他們也讀這些蘇聯來的書。

劉: 蘇聯是有計劃地出版那些書。

I: 他們把英文翻譯版賣給美國與英國的出版商, 但是另外出版西班牙文、法文與其他語言的版本。 他們也出了阿拉伯文版, 但是大部分是像列寧12 12 Vladimir Llyich Lenin (1870$\sim$1924), 俄羅斯共產革命家, 蘇聯建立者和第一位最高領導人。 文選這類的書, 我也有一本這樣的書。

吳: 請你談談研究特殊函數的方法。

I: 它的迷人之處在於它並沒有固定的技巧; 涉及的面向太廣了。 舉例來說, 古典分析的方法是複變函數, 但也有用群表現(group representations)或是代數的方法。 這完全取決於想要做什麼。 如果想要做加法定理(Addition Theorem), 用群理論一定方便的多。 也可以用解析的方法證明, 不過不會像用群理論那樣自然。 組合與正交多項式也有聯結, 有許多計算的技巧。 事實上法國的 Viennot13 13 Xavier G. Viennot (1945$\sim$), 法國數學家, 法國國家科學研究院榮譽研究主任, 研究組合數學在純粹數學和應用數學的互動與應用, 資訊工程及物理。 就發展出正交多項式的組合理論。 他有本講義, 雖然是法文但還可以看得懂。 他用所謂的 Moskin paths 來解釋其係數, 所以你想做什麼就找合用的技巧。

劉: 你怎麼看待特殊函數的地位? 就如你說, 它涉及很多不同的主題, 就這點來說, 說不定要超過許多其它數學的分支?

I: 我可以說件與你的問題相近的事。 1970年代, 曾經有人試著要出版特殊函數的期刊, Askey 做為當時在特殊函數的年輕一代的領導人卻非常反對, 原因是 如果出了這樣的期刊, 其它領域的人就不會看你的論文了。 同時你也不會像以前一樣看很多其它的期刊, 只看自己領域的論文, 這對特殊函數這個領域來說不是件好事。 你希望其它領域的人會來看你的文章, 而你也想看他們的文章; 所以最好不要有特殊函數的專屬期刊, 這是他的想法。 當然, 不是每個人都贊同這個想法。但他對我們那世代的人影響非常大, 所以大致來說我們都跟隨了他的想法和做法, 包括他的許多個人的見解, 我是同意他這個論點的。

劉: 我還記得Louise de Branges14 14 Louise de Branges de Bourcia (1932$\sim$), 法籍美國數學家, 最著名事蹟為其於 1984 年證明了長久以來的比貝爾巴赫猜想(Bieberbach conjecture), 現稱德布蘭傑定理(de Branges's theorem)。用特殊函數證明了比貝爾巴赫猜想 (Bieberbach conjecture)。 當然特殊函數已經存在好幾世紀了, 但那時, 人們才注意到特殊函數起了關鍵性的作用。 我聽說當他做出來時, 因為過去的可信度受質疑, 人們不相信他, 我們數學所的前所長, 樊 15 15 Key Fan (1914-2010), 華裔美國數學家, 1964年被選為中研院院士, 主要貢獻在運算子 (operator) 和矩陣理論 (matrix theory)、 凸分析(convex analysis)、不等式等。 先生, 跟他說: 「你現在必須去聖彼得堡, 那裡有很多專精複變函數論 (complex analysis) 的學者; 如果他們認可, 我們就相信你。」 所以他就去了。你願意說說有關解比貝爾巴赫猜想的事嗎?

I: 這是 Askey 和 Gasper16 16 George Gasper, 數學家, 研究特殊函數, 以正交多項式和基本超幾何級數 (basic hypergeometric series) 尤要。的一個不等式。 Askey 一直要 Gasper 證明幾個涉及某些超幾何函數的不等式。這個不等式主要是從調和分析 (harmonic analysis) 來的, 很多其它的不等式也是從調和分析來的。 Askey 認為這是值得做的事。 為什麼會那麼認為呢? 他有這個直覺, 而且總是對的。 所以他知道這是該做的事而且會有用。 至於到底用到哪裡, 或誰會用, 他並不知道。 後來 de Branges去找 Gautschi17 17 Walter Gautschi (1927$\sim$), 瑞籍美國數學家, 以對數值分析之貢獻聞名。 用數值來佐證他的猜測。 Walter Gautschi 驗證了, 之後 Gautschi 打電話給 Askey :「你知道這個嗎? 」 de Branges 原本寫出來的樣子與 Askey 的並不完全相同, Askey 想了一下, 然後回電: 「我們證明過這個, 這是已經知道的。」 Askey 接著說:「但我不認為 de Branges的證明是對的。」 Gautschi 問:「為什麼?」 Askey:「因為這是一個實變數的不等式。 你要怎麼用它來證明複變數的結果? 這不合理。」 當然最後事實證明 de Branges 是對的, 而且那正是他要的不等式。 結果應驗了 Askey 對這個不等式將會有用的預言。

劉: 真美的故事。

I: 你提的可信度問題源於 Askey 認為 de Branges 對這個不等式應該是問對了問題, 但他不能用它來證明比貝爾巴赫猜想。

劉: 所以 Askey 在正反兩方面都扮演了很好的角色。

I: 許多我這個世代的人多年來都在做Askey提出的問題; 或合作, 或單打獨鬥。 Askey會在課堂上提出猜想。 就我個人來說, 記得他曾在課堂上提到 1884 年 Stieltjes18 18 Thomas Joannes Stieltjes (1856$\sim$1894), 德國數學家, 力矩問題 (moment problem) 的先驅者, 也研究連分數(continued fractions)。解決的靜電平衡問題。 他總是說:「這真是傑作! 應該有人仔細一起研究它和判別式(discriminants)。」 我探討之後, 發現它有豐富的內涵。 我找出了它的一般架構跟它與判別式之間的關聯, 有離散和 q-判別式, 以及種種相關聯的東西由這個問題衍生出來。 在許多情形, 不論他告訴你去研究一個特定的問題或是去看某個領域, 他的直覺都是對的。

劉: 他還在吧?

I: 他差不多八十歲了, 但他近來都在做教育。

劉: 我在史丹佛大學聽過他談這個。

I: 他說有兩件事可以證明他已經老了, 一個是他正在做數學教育, 另一個是他認為在這方面的努力將帶來改變。

李: 你在開羅念大學, 是怎麼從開羅到美國的?

I: 埃及的教育體系不太一樣, 一畢業就有相當於助教的固定職, 你就該去攻讀博士學位。 我 1964 年畢業, 比我早畢業的人政府公費送他們出國留學, 後來, 因為戰爭經濟狀況不佳, 政府沒錢資助公費出國, 但也不明說, 只是不停口頭保證一定會有公費。 於是我自己申請到加拿大 Al-Salam 教授給予的助理獎學金。 可是因為埃及和以色列戰爭限制人民出境, 情況一團糟, 尤其是 1967 年。 所以我畢業後在開羅教了三年半書, 最終才拿到出境簽證。 Al-Salam 教授告訴我如果要研究特殊函數或是想跟別人合作都可以。 但我很喜歡這個主題, 所以他就成為我的指導教授。

李: 那時候的埃及服兵役是義務嗎?

I: 是, 也不是。1956年以色列聯合英國與法國攻擊埃及, 爆發蘇伊士運河危機。 之後埃及政府決定對高中生進行軍事訓練, 所以我有三年軍事訓練的經驗。 高中畢業應該就學會了大部份軍隊的基本操練, 像是使用機關槍、拆解、清潔、上膛、退彈之類, 這是為了民防。 當然我不會開坦克車, 民防不需要開坦克車。 那時候, 高中都有自己的槍。 當時埃及真的有遭到侵入的威脅。 後來我從大學畢業的時候, 兩萬名畢業生他們只抽籤徵五百名。現在都是義務役。

李: 你在大學的時候就已經開始接觸特殊函數了嗎?  

I: 我在大四的時候修了一門特殊函數的課, 覺得非常有趣, 很喜歡, 我就自己一個人做, 然後申請到 Al-Salam 教授給的助理獎學金去加拿大。那個時候埃及和美國的關係很糟, 我不可能去美國; 如果想要出國, 只能去加拿大或蘇聯。 如果去蘇聯, 沒辦法自己申請, 只能等政府補助; 而就算拿到美國的助理獎學金, 也拿不到出境簽證。 所以我在到美國之前必須先去加拿大。

劉: 特殊函數是特殊的, 我總覺得研究特殊函數的人應該有些特殊的天份, 其它領域有系統的多了。 對特殊函數的直覺似乎是種獨特的才能。

I: 這是慢慢從經驗中得來的。

李: 你有本"Classical and quantum orthogonal polynomials in one variable19 19 Classical and quantum orthogonal polynomials in one variable (Encyclopedia of Mathematics and its Applications 98), Mourad E. H. Ismail, ISBN 9780521143479, 劍橋大學出版社, 劍橋, 2009。 "的書, 2005年出版, 2009年修訂。 倫敦數學學會出版了一篇書評, 你讀過嗎?

I: 這篇沒有, 但我認識作者Erik Koelink20 20 Erik Koelink (1964$\sim$), 荷蘭數學家, 研究調和分析及特殊函數。

李: 他提到並不是所有章節都是你寫的。

I: 有兩章是 Walter Van Assche21 21 Walter Van Assche (1958$\sim$), 比利時數學家, 研究正交多項式、特殊函數、逼近論(approximation theory)和微分方程。 寫的。

李: 他提到有其它的書寫法比較不正統, 有些書是從上而下, 而你的書則是由下而上。

I: 這其實是個重點。 有本 Gasper 和 Rahman22 22 Mizan Rahman, 孟加拉籍加拿大數學家, 研究興趣包含超幾何級數和正向多交式。寫的書23 23 Basic Hypergeometric Series (Encyclopedia of Mathematics and its Applications), George Gasper and Mizan Rahman, ISBN 0521833574, 劍橋大學出版社, 2004。 一開始馬上講如何發展最一般的情形, 於是有一堆的參數, 很快就把讀者搞得一頭霧水。 要從一般定理發展到各式各樣的特殊例子是很困難的。 所以我的方式是從沒有參數的q-厄米特多項式 (q-Hermite polynomial) 開始, 有系統地建立有四個參數的 Askey-Wilson 理論, 以很自然的方式置入這些參數, 以生成下個階段的函數。 想一想就知道這是非常直接了當的。 這個方式是我和 Christian Berg24 24 Christian Berg (1944$\sim$), 丹麥數學家, 主要研究領域包含數學分析和動差問題。一起設想出來的。我們也用了些Andrews和Askey的想法。你一定要有細節, 有些細節借用其他人的想法。 一開始我不會考慮最一般的情形先試著了解最簡單的例子。 如果可以弄懂最簡單的情況, 我應該可以由此開始發展。這是哲學上的觀點。 我在書中提到這個, 但有時候會被忽略。

吳: 請談談關於正交多項式、隨機矩陣的機率分布漸進的普遍性 (the universality of asymptotics)以及它在數學或物理上的影響。

I: 現在到處都是隨機矩陣。在一個隨機矩陣中有一個特定的高斯 (Gaussian) 或高斯酉系綜模型 (Gaussian Unitary Ensemble), 就正交多項式而言, 這是厄米特多項式 (Hermite polynomial)。 普遍性原則是說如果你用任一模型研究隨機矩陣的特徵值分佈, 經過一些尺度縮放 (scaling), 會得到與高斯酉系綜模型相同的分佈。 敘述起來很簡單, 要證明就是另外一件事了。 這些問題在正交多項式領域早就有了, 只是後來稱呼有所不同。 主要是關於特殊函數中的多項式的漸進、零根等等的行為刻劃。 隨機矩陣論用到大量的正交多項式理論, 同時也為研究正交多項式的人製造很多有意思的問題。 因為 Fredholm 行列式 (Fredholm determinants) 用在很重要的地方, 我個人就做過一個 Fredholm 行列式的問題。 有一個特定的 Fredholm 行列式代表一個隨機厄米特矩陣有 $k$ 個特徵值落在區間 $(A, B)$ 的機率, 所以它的值必須是非負數。 不過寫下來之後, 這件事並不顯而易見。 我們在不使用機率的情況下把這個問題延伸、一般化並且證明了它的非負性。 這只是我個人從隨機矩陣得到的一件小結果, 但是由此引入不同的核 (kernel) 的議題, 例如貝索核等等。 就調和分析而言這十分有趣。 所以我們正在研究由隨機矩陣論產生的問題。

劉: 我們都知道阿拉伯世界在一千兩百年多年前的輝煌年代, 在數學方面尤其出色。 你必然有想過: 是文化背景還是其它的因素讓這發生? 阿拉伯對科學的發展有卓越的貢獻。

I: 我想要先解釋一下關於阿拉伯對科學的貢獻。我跟很多宗教團體的意見相左, 他們主張這是在穆斯林的統治下發生的; 我說不是。 如果你看那些由穆斯林所統治的地區, 科學興盛的區域是現代的伊拉克、 伊朗、 埃及和敘利亞、 黎巴嫩、 巴勒斯坦、 以色列以及一些亞洲土耳其裔的共和國。 這些地方都是在阿拉伯人入住前就有自己的科學傳統, 而這個傳統延續下來了。阿拉伯沒有很嚴肅的科學。 這些是伊斯蘭教出現的地方。那時政治安定, 一旦政治穩定, 又已經有了傳統, 美好的事情就會發生。 成因是政治安定, 寬容和正義, 以及自由開放; 並不是打壓或嚴厲執行特定教條或任何宗教。 事實上, 拉丁文的翻譯是從阿拔斯王朝 (Abbasid)25 25 伊斯蘭阿拔斯王朝, 統治年間為西元 750 年到 1258 年, 哈里發帝國的一個王朝, 中國史書稱之為黑衣大食, 該王朝統治期間, 中世紀的伊斯蘭教世界達到極盛, 是伊斯蘭黃金時代。開始。 當時執政的是 哈崙 $\cdot$ 拉希德(Harun al-Rashid)26 26 Harun al-Rashid(766-809), 阿拔斯王朝第五代哈里發, 當權時間由西元786年到809年, 是科學、文化和宗教的鼎盛時期, 藝術與音樂在他的領導下也有重大的發展, 創立圖書館 Bayt al-Hikma (智慧宮"House of Wisdom"), 一個伊斯蘭黃金時代的主要學術中心。。 在他的宮中, 夜夜笙歌、飲酒作樂, 那時代可說是鼎盛時期。宮中的詩人是同性戀, 他並沒有張揚這件事, 但大家都知道。 如果是嚴格奉行宗教的時代, 這樣的人就算自己不承認也會被殺。我很確定其它基督教國家也有相同情況, 我並不是指特定宗教。 重要的在於有讓其生存、發展且不壓抑的態度, 並且政治安定、提倡科學發展等因素。 對不是阿拉伯背景的人來說, 不一定會知道那時期除了科學以外, 文學也非常豐富。 這些都不是在阿拉伯地區中宗教起源的地方。是在其它有科學傳統的區域。

劉: 那是歷史上的什麼時期?

I: 大約從西元八百年開始然後持續了差不多四百年。 但兩百年後它變得非常弱, 其它地方開始起而代之, 不過發展科學的傳統等被延續下來。 西班牙也是, 也有同樣的傳統。 這基本上都是因為政治安定、寬容與言論自由。 像是地球是圓的還是平的這類有趣的問題, 對他們都不是問題。 他們知道地球是圓的而不是方的。他們也知道很多其它的事情, 例如地球的年齡。 根據聖經上的歷史, 地球大概有六千或七千年之久。 但是他們知道這不是真的。可蘭經沒有提到地球有多老。 所以就穆斯林來說, 這是沒有衝突的。 但對基督徒或是猶太人來說, 聖經上記載了地球的年齡。 如果不同意, 也沒輒。對穆斯林來說, 經上沒有提, 可以自由地思考。

劉: 你認為是什麼原因讓宗教變得那麼教條?

I: 我不知道, 這很不幸, 因為沒有宗教要你行惡。 不知怎麼的一旦某個特定宗教掌權, 就會引起災難。

吳: 請告訴我們你最喜歡的一項或最具挑戰性的工作。

劉: 在你的職業生涯中, 最興奮的一刻是?

I: 其實最興奮的工作是開始和 Askey 一起合作, 但是沒辦法特別指出是哪一項。 我到威斯康辛大學就開始和 Askey 合作。 跟小孩子說話, 可以從表情知道他喜歡或不喜歡你說的話。 Askey 就有這樣孩子般的臉, 和他說話, 真的可以從表情看出他喜歡或不喜歡, 真好, 就可以知道做的東西好或是不好。 有時我們坐下來討論, 談著談著, 談出些非常有意思的東西。 記得有一次做一個組合的問題, 開始討論的時候, 我們並不知道會有怎樣的結果, 最後終於把問題解決了, 真的非常有意思。 我最好的工作有些是和 Dennis Stanton27 27 Dennis Stanton, 數學家, 研究領域包含代數組合和特殊函數。 做的。 他在明尼蘇達大學 (University of Minnesota) 任教。 我和他一起做的一些工作應該是我最出色的工作, 我們的合作很愉快。 我也相信我在 moment 問題和 continued fractions 問題的研究是重要的, 靜電學和判別式的工作也很深入。

劉: 佛羅里達有一群出色的科學家, Dirac28 28 Paul Dirac (1902$\sim$1984), 英國物理學家, 1933 年獲頒諾貝爾物理獎, 量子力學的奠基者之一, 對早期量子電動力學的發展有重要貢獻, 被視為是二十世紀最重要的物理學家之一。 是在你的大學裡嗎?

I: 不, 他在佛羅里達大學(University of Florida.)。 Dirac 之後, 是 Ulam29 29 Stanislaw Ulam (1909$\sim$1984), 波瀾數學家, 曾參與美國曼哈頓計畫, 研究核能推動, 提出使用蒙特卡羅方法(Monte Carlo method)計算核變的連鎖反應。 接任講座, 之後是 John G. Thompson30 30 John Griggs Thompson (1932$\sim$), 數學家, 1970 年獲頒菲爾茲獎, 1992年獲頒沃爾夫獎, 2008年獲頒阿貝爾獎, 主要研究領域是有限群。。 也聘 George Andrews 為兼任講座。 Thompson 現在已經是退休教授了。

劉: 研究資訊理論和模控學的 Shannon, 他在佛羅里達嗎?

I: 不, 但有一位發現卡爾曼濾波 (Kalman filter) 的 Kalman31 31 Rudolf Emil Kalman (1930$\sim$), 匈牙利裔美國籍電機工程師和理論數學家, 創造卡爾曼濾波。

劉: 你曾經在香港城市大學待過兩年, 感覺如何?

I: 非常愉快。 香港是很有趣的地方, 我很喜歡。 香港城市大學的前身是理工學院, 過去給人的印象是學生程度較弱。 我教的課程大部分是高階或研究所的課程, 不過也教一門大一的微分方程, 感覺很好。 一班大概有七十人, 學生素質不很一致, 但是其中有十位非常好、 非常優秀的學生。 這些學生大多是大陸生。 我想他們想在英語教學的大學念書, 之後再到國外的研究所。 因為大陸來的學生非常多, 於是大陸生入學香港的大學有招生名額的限制, 一旦有了限制, 水準就提高了。 不要誤會我的意思, 有些當地的學生也不錯。 但是大陸來的學生是一致性的優秀。 很明顯的競爭非常激烈, 招進來的學生都是最頂尖的。 跟這些孩子一起工作非常愉快。 那時有位老師給這些大陸生開一個英文的暑期營, 提高他們的英文。 他用英文教他們已經學過和還沒學到的內容。 他說這是他教過最有意思的課, 因為學生都非常棒。

陳麗貞: 我曾提過想舉辦香港、 大陸和台灣三方的特殊函數會議, 你覺得如何?

I: 中國有不少研究特殊函數的人。 其中一個有名的是陳永川32 32 Bill Chen 陳永川, 中國數學家, 研究興趣包含組合數學、 離散動態系統 (discrete dynamical systems), quantum angular momentum theory and computational biology. 還有其他十位南開大學組合數學中心的人。 他是組合學家, 也涉獵特殊函數。 我們認識的時候, 他還是 G. C. Rota33 33 Gian-Carlo Rota (1932$\sim$1999), 義大利裔美籍數學家與哲學家, 以泛函分析研究起家, 後來轉研究組合學, 是位傑出的數學家。 的學生。 他們幫 Rota 辦了一場會。 還有一位叫做祁峰34 34 Feng Qi 祁鋒 (1965$\sim$), 中國數學家, 研究領域包含特殊函數不等式。, 他研究特殊函數不等式, 在不等式領域中最少還有其他八到九位很活躍的中國數學家。

吳: 你覺得未來特殊函數最重要的研究方向是什麼?

I: 我認為維持跟其他各領域間的聯結很重要, 那是一座金山。 因為你會從其他領域得到你從來沒想過的問題。 常去探索其他領域是很重要的, 我認為這對雙方都有利。

劉: 我想我們今天就到這裡結束, 下次再聊, 謝謝你。

I: 非常感謝。

---本文訪問者劉太平任職中央研究院數學研究所, 吳德琪任職中央研究院數學研究所, 李志豪任職中央研究院數學研究所, 陳麗貞任教東吳大學財務工程與精算數學系, 整理者陳麗伍、萬茞韻為中央研究院數學研究所助理---

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