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宮岡洋一教授

宮岡 洋一 (Yoichi Miyaoka), 1949年出生, 1977年東京大學博士, 1993年至2001年擔任京都大學教授, 現為東京大學教授, 2011 年就任日本數學會理事長。 主要研究領域是代數幾何, 重要工作包含1977年發表的關於 Bogomolov-Miyaoka-Yau 不等式的證明。

策 劃 : 劉太平
訪 問 : 翟敬立、陳榮凱
時 間 : 民國 101 年 11 月 23 日
地 點 : 中央研究院數學研究所
整 理 : 甘濟維、陳麗伍

翟敬立 (以下簡稱「翟」): 這個專欄有個慣例, 在訪問中先談談數學的養成期(formative years)。 有人認為數學家是天生的, 這有兩種看法, 不過有趣的是人各有所異。

宮岡 洋一 (以下簡稱「宮岡」): 我是到了20歲才考慮成為數學家。起初我有興趣的是物理與天文, 對各種科學都非常喜歡。 進東京大學的時候, 想要念物理, 但是發現自己沒有做實驗的天分。做實驗很費時, 而我每個實驗又都以失敗收場, 所以轉向數學。 剛到數學系時, 興趣在偏微分方程, 直到遇見了我的老師小平 邦彥1 1 Kunihiko Kodaira 小平 邦彥 (1915$\sim$1997), 代數幾何日本學派的奠基人, 1954 年獲頒 Fields Medal, 是獲此榮譽的首位日本人。 關於小平 邦彥之生平, 請見數學傳播第25卷1期。, 他1968年回到日本。我1970年到數學系, 請他當我的指導教授。 這就是我成為數學家的過程。

翟: 你和小平 邦彥一起工作的經驗如何?

宮岡: 他的演講非常清楚, 說話聲音輕柔而低沉, 而他寫在黑板上的講義就像教科書一般清楚。一切都很清晰, 很容易領會。

陳榮凱 (以下簡稱「陳」): 當時飯高 茂2 2 Shigeru Iitaka飯高 茂 (1942$\sim$), 日本數學家, 主要研究領域為代數幾何學。和 川又 雄二郎3 3 Yujiro Kawamata川又 雄二郎(1952- ), 日本數學家, 主要研究領域為代數幾何學。都在那裡?

宮岡: 川又小我三歲。事實上, 我念研究所時小平 邦彥當上院長, 他太忙碌無法指導我們, 由上野 健爾4 4 Kenji Ueno 上野 健爾 (1945$\sim$), 日本數學家, 主要研究領域為代數幾何學。指導。 上野去德國的時候, 專題討論由飯高負責。第一次專題討論的教科書是Morrow和小平合著的 Complex Manifolds5 5 James Morrow 和 Kunihiko Kodaira, Complex Manifolds, 1971年由 AMS Chelsea 出版。; 那是給大四生的。我們念研究所的時候, 先念 Pierre Deligne6 6 Pierre Deligne (1944$\sim$), 比利時數學家, 1978年菲爾茲獎得主、 2008年沃爾夫獎得主、 2013年阿貝爾獎得主, 以在Weil conjectures的研究聞名。寫的《Théorie de Hodge》的第二部份, 後來念了幾篇論文, 包括 Clemens7 7 C. Herbert Clemens, 美國數學家, 主要研究領域為代數幾何學。對於三次三維流形非有理性的證明8 8 Clemens, C. Herbert and Griffiths, Phillip A. The intermediate Jacobian of the cubic threefold. Ann. of Math. (2) 95(1972), 281-356.

陳: 你拿到東京大學的文憑之後, 去德國待了幾年。

宮岡: 碩士班畢業之後, 我希望找到助理教授之類的職位, 當時一般都是這樣。但是令人沮喪的是畢業後一年半都找不到工作。 最後找到首都大學東京 (Tokyo Metropolitan University) 的職缺, 1977年完成關於所謂宮岡不等式 (Miyaoka inequality) 的博士論文。 拿到博士學位之後四個月, 到德國去待了兩年。日本大學以前有個很好的傳統, 允許年輕的學者在國外待二到三年的時間。 例如森 重文9 9 Shigefumi Mori 森 重文(1951$\sim$), 日本數學家, 詳《數學傳播》33卷第4期「有朋自遠方來」專訪。在哈佛待了三年。

翟: 你做博士論文的經驗怎麼樣? 這通常是個好故事。問題是你自己找的嗎?

宮岡: 1976年 Miles Reid10 10 Miles Reid (1948$\sim$), 英國數學家, 主要研究領域為代數幾何。經由蘇聯訪日, 帶了一篇 Bogomolov11 11 Fedor Bogomolov (1946$\sim$), 俄國及美國數學家, 以代數幾何和數論的工作聞名。的論文給我, Bogomolov的論證很難懂, 所以我認為應該會有比較簡潔的方法證明它。 我找到了比較簡潔的證明, 而這個證明可以給出更好的結果。

陳: 就是所謂的宮岡--丘不等式 (Miyaoka-Yau inequalities) ?

宮岡: Bogomolov 原來的結果是第一陳示性類小於等於四倍的第二陳示性類12 12 數學上以 $c_1$ 和 $c_2$ 表示第一及第二陳示性類。 $(c_1\le 4c_2)$, 基本上是由2階向量叢的半穩定性(semistablity)而來。 但實際上他用了所謂的De Franchis定理, 這個定理成立是因為每個投影異形 (projective variety) 上的廣域 1-形 (global 1-form) (或更一般的廣域 $r$-形 (global $r$-form)) 都是 $d$-封閉的 ($d$-closed)。 如果你能證明 $d$-封閉, 就能證明任何包含在餘切叢 (cotangent bundle) 的線叢 (line bundle) 不可能很大。 也就是說以曲面為例, 包含在 $\Omega^1$ 的線叢有非正的自交, 這樣自然就導出了宮岡不等式 (Miyaoka inequality)。 當然某種意義上丘的不等式更好, 但他的證明難而且複雜得多。 他可以得到在等式成立時 universal cover 是球的結果。 在這個情形下, 這是更好的結果, 不過我的論證基本而且簡單得多。

陳: 可以請你試著比較代數方法和分析方法?

宮岡: 一般而言, 代數方法比較簡潔, 比較容易理解, 但有些例子的結果牽涉到純分析層面 (例如關於universal covering的資訊), 在某種意義上微分幾何方法自然得多。

翟: 曾經有「靈光乍現(eureka)」的時刻嗎? André Weil13 13 André Weil (1906$\sim$1998), 法國數學家, 在數學許多領域都做出實質的貢獻, 是二十世紀最有影響力的數學家之一。說過每個稱職的數學家都有這樣的經驗。 當你做某個東西卡住很久, 一直思考, 然後在某個時間點得到啟示。爾後你對這種感覺上癮, 努力使那個經驗再現。我想你一定有過這種時刻。

宮岡: 那是非常快樂的時刻。其實為了瞭解Bogomolov的論證, 我花了很大的力氣, 用了好幾個月的時間試著改善它, 然後在一次大約72小時不眠不休地工作之後, 明白了一件事:應該考慮 branched covering of surfaces, 如此所有的東西都會成為一個sections的聯集, 那就非常、非常容易, 之後的6個小時之內我就完成了證明。那是非常令人興奮的經驗。

翟: 72小時當中有一個特別的時刻嗎?

宮岡: 現在看來那72小時微不足道。全心投入工作是很好的感覺。

陳: 大約25年前, 你證明了三維的 abundance 猜測 (abundance conjecture), 這是 minimal model program 裡很重要的一步。 你怎麼看近來代數幾何的發展, 特別是關於 minimal model program (又稱 Mori program)。

宮岡: 至少 Birkar14 14 Caucher Birkar, 庫德數學家, 主要研究領域為代數幾何。-Cascini15 15 Paolo Cascini, 數學家, 主要研究領域為代數幾何。-Hacon16 16 Christopher Derek Hacon (1970$\sim$), 數學家, 因為對代數幾何做出卓越的貢獻在 2009 年與 James McKernan一起獲頒柯爾獎(Cole Prize)。-McKernan17 17 James McKernan (1964$\sim$), 英國數學家, 因為對代數幾何做出卓越的貢獻在2009年與Christopher Hacon一起獲頒柯爾獎(Cole Prize)。已經建立了一個里程碑。 尤其他們證明了canonical環一定是有限再生成的(finitely regenerated)。 某種意義上來說可能已經解決了 Mori program一半的問題。當然我們需要把 abundance 定理推廣到四維以上。 怎麼做我還沒有想法, 但是做的方向應該是找出構造廣域形 (global form) 的方法, 不必一定是最高權的形 (highest weight forms), 也許只要 intermediate微分形就可以。 可以的話希望有兩種方法, 其一也許是微分幾何, 不過我不知道如何運用它, 另外的方法是宮岡-丘不等式 (Miyaoka-Yau inequality) 的再精煉; 三維的時候, 我們需要一個關於 $c_1$, $c_2$的不等式, 但在一般的情形應該有一個很精準的不等式包含更高的陳示性類 (higher Chern classes)。

陳: 包含 $c_3$ 和 $c_4$。

宮岡: 由松阪 輝久18 18 Teruhisa Matsusaka 松阪 輝久(1926$\sim$2006), 數學家, 以在代數幾何的研究而為人所知。的大定理(Matsusaka's Big Theorem)和丸山 正樹19 19 Masaki Maruyama 丸山 正樹(1944$\sim$2009), 日本數學家, 以在代數的研究而為人所知。 (Masaki Maruyama)關於半穩定向量叢的結果, 如果固定 $c_1$, $c_2$, 並且假設某些穩定性, 那麼高階陳示性類就是有界的。 但是我們並不知道那個明確的界正確公式是什麼, 所以我們應該努力嘗試, 針對高階陳示性類找出這樣的不等式。 比方說, 如果 $c_1$ 和 $c_2$ 都是零而且向量叢穩定, 則每個高階陳示性類都必須為零。 但是如果 $c_1$ 是零而 $c_2$ 為正, 我就不知道高階陳示性類該是什麼。 如果有這樣一個不等式, 比方說在四維, 能證明某些很明確的, 有關 $c_4$ 的不等式, 那麼應該可以預期有些結果。

陳: 所以你預期陳類中的某些不等式會很有用?

宮岡: 我想是的, 不過遺憾的是我沒有陳述這個不等式絕對正確的方式。

陳: 那麼 Shokurov20 20 Vyacheslav Vladimirovich Shokurov (1950$\sim$), 俄羅斯數學家, 以在代數幾何的研究而為人所知。提議的另一個利用 ACC 猜測的方向如何?

宮岡: 我不確定ACC猜測本身是否能夠證明所有的情形。也許他的想法在某些情形有效。不論如何如果能證明至少有一個section, 然後用歸納法會很有效。用歸納法來論證或是能有一些好的流形都是好的, 只是我不知道如何去構築這樣的好的流形。

陳: 所以你認為 minimal model program 仍然是代數幾何的主流? 你對 Gromov-Witten 理論那類的幾何有什麼看法?

宮岡: 這問題很有意思。我對於證明在Calabi-Yau three-fold上存在有理曲線(rational curve)很感興趣, 不過這個問題實際上非常困難。 起初我的想法是利用辛幾何(symplectic geometry)和變形理論(deformation theory)把解析的變形理論推展至辛幾何的範疇。 另一方面, 很容易造出一個擬全純(pseudoholomorphic) $S^2$ 浸入(immersed)到辛流形。 如果可以將一個在 Calabi-Yau 上的一般辛結構平滑地變形回到原先的複結構, 而且把這個浸入的擬全純 $S^2$ 變形回到全純曲線, 那麼就應該有一個投影有理曲線 (projective rational curve), 不過這裡有個因為定向 (orientation) 所引起的、 非常微妙需要小心處理的地方, 假設現在有一對 $S^2$, 它們在變形中可能遭反方向的定向抵消而忽然消失, 這是問題所在。

陳: 所以有另一個與森 重文很不一樣的方向來證明有理曲線的存在。

宮岡: 也許在一般的 Calabi-Yau 的情形是如此。 但是這比森 重文的方法困難。 當然也許還有些經由調和映射(harmonic map)不同的幾何方法, 不過在技術面上, 這非常, 非常困難。

翟: 我對高維代數幾何知道得很少。不過做研究生時, 森 重文把問題化約到用特徵p的方法去證明特徵零的結果, 他的證明真讓我著迷。

宮岡: 真正是令人瞠目、讚歎的方法。

陳: 你是日本數學學會 (Mathematical Society of Japan, MSJ) 的會長, 怎麼看日本數學會在東亞數學界的角色?

宮岡: 眾所周知東亞的數學發展迅速, 尤其在中國大陸、台灣和韓國, 現在培養出許多好的數學家。 然而, 日本發展數學的歷史最為久遠, 我們非常樂意藉由合辦專題討論、 研討會等等來協助東亞地區發展數學。中國大陸是個很大的國家, 而韓國、台灣和日本若能組成聯盟, 在某種意義上進行良性的抗衡, 或許很好。

翟: 日本的數學發展史很吸引人, 在相對很短的時間裡提升到很高的水準。

宮岡: 事實上花了不少時間。 日本現代數學開始於1870年代, 第一個具原創性的成果是高木貞治21 21 Teiji Takagi高木 貞治 (1875$\sim$1960), 日本數學家, 最出名的是證明類域論中的高木存在定理。在1920年代做出的, 所以經過了50年的時間。 不過高木的工作一支獨秀, 第二代在1940年代二戰期間開始有原創性的工作, 代表人物是小平 邦彥、 伊藤 清22 22 Kiyoshi Ito伊藤 清(1915 - 2008), 日本數學家, 被視為隨機分析的創立者, 除了對數學的貢獻, 對社會科學也有很大的影響, 1987 年沃爾夫獎得主, 1998 年京都基礎科學獎得主, 2006 年第一屆高斯獎得主。等, 因此花了70年。 以應用科學來說, 例如應用化學或醫學科學, 銜接的時間短多了。醫學科學上, 日本在 1900年代初期在醫學上就有高水準的進展, 所以在應用科學上只花了30年就達到高水準, 可是在數學上時間長多了, 理論物理也一樣。

陳: 你認為理論和應用科學主要的分野是什麼?

宮岡: 一般人能夠輕易理解應用科學、科技和工程的重要性, 卻不明白純粹或理論科學的真正意義。必須有好的學生申請數學系, 才會有好的數學家, 如果不瞭解基礎科學的重要性, 一般人會傾向念醫學或工學院, 而非理學院。

陳: 當時的日本學生似乎不常出國留學。

宮岡: 事實上在1950和1960年代, 大部分有才華的學生在碩士畢業後, 或在剛拿到助理教授職位後到美國去留學。其實大約從1880年代以來, 讓年輕研究者留學一、兩年, 在日本是標準的作法。

陳: 由政府補助的?

宮岡: 是的, 不過二戰之後日本非常拮据窮困, 所以受到美國機構的資助。

陳: 目前如何?

宮岡: 現下年輕研究者不願意留學, 日本太舒服了。這不好, 他們應該出國, 交些朋友。他們需要接觸國際社群、有國際經驗。

陳: 政府依舊支持這類方案嗎?

宮岡: 政府鼓勵人們, 可是很難強迫他們出國。 此外, 我們的教學負荷比以往重, 因為日本政府的財政危機與預算赤字, 教師的名額刪減, 因而教學量變大, 造成年輕人無法出國久待。 現在年輕人比較忙, 而且日本的工作比以往難找, 這意味著需要當更久的博士後, 如果想要待在日本, 需要申請很多所大學的職缺。

翟: 戰後有一整個世代的代數幾何學家和數論學家, 像是井草 準一23 23 Junichi Igusa 井草 準一 (1924$\sim$), 日本數學家, 以其對代數幾何與數論的貢獻出名。、岩澤 健吉24 24 Kenkichi Iwasawa岩澤 健吉 (1917$\sim$1998), 日本數學家, 以其對代數數論的影響出名。、志村 五郎25 25 Goro Shimura 志村 五郎 (1930$\sim$), 日本數學家, 以其對代數的影響而為人所知。, 還有其他許多, 都去了美國。 他們的工作對於數論的影響甚鉅, 如果他們待在日本, 影響會$\cdots$?

宮岡: 影響或許會比較小, 他們留在美國可能是件好事, 接收比較多刺激, 如果留在日本, 會太滿足於教書。志村 五郎可能還是會很活躍, 但是有些人留在日本可能會更樂在作育英才。

翟: 就如你方才提到的, 志村 五郎依舊從事絕對原創性的研究, 他們提出的想法仍然在很多方面都引領理論的發展。小平 邦彥也是。

宮岡: 小平 邦彥回日本之後擔任理學院院長, 忙得沒空寫論文, 最後一篇論文在1972年完成, 但如果他留在美國, 最後一篇論文可能寫於1976年, 或再晚個五、六年。

陳: 對, 不過我想小平 邦彥對日本新世代數學家的影響, 在現今過了二十年之後, 依舊很大。

宮岡: 對於我們他就像是燈塔的存在。他固定主持星期六的專題討論, 非常多人來參加, 他其實不多問問題, 也不多作評論。 代替他的是飯高 茂、上野 健爾、塩田 徹治 26 26 Tetsuji Shioda 塩田 徹治, 日本數學家, 以其在代數幾何的研究而為人所知。 和堀川 穎二 27 27 Eiji Horikawa堀川 穎二(1947$\sim$2006), 日本數學家, 以其在代數幾何的研究而為人所知。, 他們向年輕研究者提出許多嚴謹的問題及評論。小平只說:「啊, 這很有趣。」但是專題討論上有他和他短短的評論, 的確讓人振奮。

陳: 你如何比較小平 邦彥在研究上和在教育年輕世代上的貢獻?

宮岡: 教學和研究同等重要。 或許對小平 邦彥而言, 至少在研究上美國比較好。 不過事實上小平並不很喜歡美式風格, 因為他的英文不是很好。 他的寫作很強, 可是在口語表達上有些困難。另一個可能不重要的因素, 是他不開車。

翟: 不開車!那個年代如果不開車, 必定很麻煩。

宮岡: 而志村 五郎完全是相反的例子。

翟: 我不大認識他, 只是曾經有機會跟他互動, 不過不是什麼深刻的互動。

宮岡: 順便提一下, 志村 五郎對於中國文學很熟稔, 包括一些長篇小說, 他讀了很多中文原著小說。

翟: 你似乎也是屬於這一類的學者。

宮岡: 不, 我只能讀很經典的作品, 不讀小說。

陳: 你怎麼看日本和台灣的互動與結盟?

宮岡: 我們的成員之間已有固定的交流、參加彼此的年會。但無論如何, 明年 (2013) 將舉行亞洲數學會議28 28 2013年亞洲數學會議, 6月30日至7月4日在韓國釜山舉辦。, 也許是某種東亞數學家的協會的開始, 至少東南亞已經有一個東南亞數學協會29 29 東南亞數學會, 官網http://www.seams-math.org/。

陳: 你指的是新加坡等國家組成的。

宮岡: 對, 說不定我們應該要由中國、台灣、韓國、日本、香港組成東亞數學家協會, 將是不錯的協會, 因為我們有好多數學家。

翟: 關於培養中學生對數學的興趣、鼓勵大學生選擇學習數學, 這些教育議題, 你有什麼樣的看法?

宮岡: 很幸運的, 我們有很多真正對數學感興趣的年輕學生。例如在東大可能有四、 五個很好的學生對數學真正有興趣, 有些人可能在高中就讀過EGA30 30 Jean Dieudonné 與 Alexander Grothendieck 著, 《代數幾何的元素》 (Éléments de géométrie algébrique), 從 1960至1967由法國高等科學研究所 (Institut des Hautes Études Scientifiques)出版。

翟: 高中? 是懲罰吧!

宮岡: 有時候會有這樣的情形。我們的問題是想念數學的女學生很少。 我不知道為什麼會這樣, 不過其中一個癥結可能是高中老師傾向鼓勵女生念醫學院、藥學、或生物科學, 而不是數學或物理。

陳: 原因是什麼?

宮岡: 也許他們對女性從事的職業有某些既定印象, 而這並不正確, 因為對女性來說數學是很好的職業。 數學不用做實驗, 可以在家, 甚至在醫院做。 即使照顧幼兒, 依舊可以念書、做數學研究, 可是如果是做嚴謹的實驗, 照顧幼兒的時候什麼也沒法做。 所以其實數學對於女性而言是很好的工作, 但是我們系上很少女生。

翟: 我從沒發覺日本有這樣的性別差距。我對於台灣的狀況不是很清楚, 但就以往的經驗, 有不少來自台灣的女數學家。

宮岡: Jean-Pierre Bourguignon31 31 Jean-Pierre Bourguignon (1947$\sim$), 法國數學家, 從事微分幾何的研究。告訴我法國大約百分之三十的數學家是女性。在義大利超過一半是女性。在美國呢?

翟: 我想美國的情況漸入佳境, 性別差距依然存在, 情況並不好。台灣1970年代的女性數學家比例一定比美國1990年代或本世紀初的比例來得高, 但還是有問題。我覺得你們高中生能念很高階數學這件事很讓人神往, 他們有教師從旁協助嗎, 還是自修的?

宮岡: 都是自修的, 例如齋藤 毅32 32 Akeshi Saito 齋藤 毅(1961$\sim$), 日本數學家, 從事數論的研究。就是其中之一。

翟: 至少他們必須知道EGA的存在, 所以我想書本幫了忙, 不知道他們怎麼發現那些書的。

宮岡: 有些特殊的高中有非常好的圖書館, 而有的教師或許了解一些深刻的數學。我不是這種學校出身的。

翟: 是菁英學校嗎?

宮岡: 是, 好幾所私立的六年制完全中學。例如其中之一所是武藏高等學校中學校33 33 Musashi Junior & Senior High School 武藏高等學校中學校 http://www.musashi.ed.jp/。, 他們訂了美國的 《數學年刊》34 34 《數學年刊》(The Annals of Mathematics), 普林斯頓大學和高等研究院出版的雙月刊。

翟: 他們一定有優良的教師, 我猜想他們也給學生很多自由。我不知道台灣有沒有類似的學校, 美國有, 可是我知道的不多。

宮岡: 日本也只有少數幾所而已。

陳: 高中太強調考試而不是知識本身。

翟: 在美國, 史岱文森高中35 35 史岱文森高中 (Stuyvesant High School) http://stuy.enschool.org/。(Stuyvessant)和布朗士科學高中36 36 布朗士科學高中(The Bronx High School of Science)http://www.bxscience.edu/。 (Bronx High)很多科學教師擁有頂尖大學的博士學位, 我想日本也一樣。

宮岡: 事實上, 雖然日本有很多數學系, 培養真正從事數學的"serious數學家"的卻只有幾個。他們百分之九十五到九十九來自大約十個數學系, 例如東京大學、早稻田大學, 以及幾所其它的學校。

翟: 十個!那是很好的數目了。

宮岡: 不過這要看"serious數學家"的定義為何。

翟: 我不大確定台灣的數目。

宮岡: 我們有很多數學系, 或許數百個。

翟: 我想有好幾百個。

宮岡: 也沒那麼多, 因為小型學院根本沒有數學系。

翟: 這意味著那些學生也沒什麼機會接觸數學?

宮岡: 他們只教人文學科等等, 或只教簡單的東西。日本大專院校的總數大約七百, 不過大部份原來是專科。

陳: 所以有多少位"serious數學家"?

宮岡: 我得提醒兩位, 這不是很嚴格的估計。日本數學學會有大約五千名會員, 其中三千位任職學術界, 如果寬鬆的定義, "serious數學家"的人數大約三千。

翟: 是個好數目。

宮岡: 假設"serious數學家"的定義嚴格一點, 也就是只算現在從事嚴謹研究的研究者, 那麼人數可能介於五百和一千之間。

翟: 我覺得那已經相當不錯了。

陳: 比台灣的人數多了很多。

宮岡: 因為日本的人口是台灣的五、六倍。

陳: 不過數學家的人數比我們的五倍還要多。

翟: 下面這個說法可能不盡正確, 不過高中生的學習受到太多入學考試體制的箝制與領導, 將會影響日後從事創意的工作。

宮岡: 在日本入學考試一直是個問題, 不過入學考試也不是一無是處。對頂尖的學生來說沒這個必要, 但對於一般人或平凡的學生卻是很好的學習的理由。日本比較嚴重的問題是制度很死板, 不准太年輕的學生進大學, 必須年滿十八歲。

陳: 所以學生無法提早上大學。不過如果他們能夠自修EGA的話, 那也不是問題。

翟: 謝謝你。這訪談很愉快。希望未來日本與台灣之間有更多交流。

宮岡: 我想我們應該致力發展更緊密的聯繫。

---本文訪問者翟敬立任職中央研究院數學研究所, 陳榮凱任教台灣大學數學系, 整理者甘濟維、陳麗伍為中央研究院數學研究所助理---