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Clifford Taubes 教授

Clifford Taubes 1954 年出生, 成長於美國紐約州 Rochester, 1975 年康乃爾大學物理學士, 1980 年哈佛物理博士。 1985 年起任教哈佛大學, 現為 William Petschek 數學教授。專研規範場論、微分幾何與低維拓樸。
Taubes 以物理中描述涵蓋次原子粒子的規範場理論為工具來探討三、四維空間中的幾何與拓樸, 透過其獨到天賦的分析能力, 在每一階段均得到極深邃的幾何或拓樸的定理, 是少數能深刻洞察數理世界的第一級數學家, 獲得許多數學獎及榮譽的肯定。 從訪談中我們了解到他喜歡孤獨專注思考問題的個性, 經典云「靜心守志, 可會至道」, 莫非就是指他這樣的人嗎?

策 劃 : 劉太平
訪 問 : 劉太平、鄭日新、蔡忠潤
時 間 : 民國 101 年 12 月 12 日
地 點 : 中央研究院數學研究所
整 理 : 甘濟維

劉太平 (以下簡稱「劉」): 首先, 謝謝你遠道而來給演講。你的演講1 1 「$SL(2;C)$ connections with $L^2$ bounds on curvature」, 中央研究院數學研究所2012年許振榮講座, 12月10、11、12日。 應該要收入場費, 擠滿了人, 大家都很期待。 我們從標準的問題開始吧, 你的成長經驗如何, 還有你怎麼開始對數學感興趣的? 你大學和博士其實念的都是物理。

Clifford Taubes (以下簡稱「T」): 我到了念研究所的時候才對純數學感興趣。這說來話長, 我曾經想要成為天文物理學家, 不過大學念 Cornell, 在那兒不能主修天文物理, 只能主修物理, 所以就主修物理。 大四之前唯一修過的數學是工程數學, 微分方程之類的, 大四時修了一堂入門拓樸, 覺得很迷人。接下來我念了一年天文物理研究所, 我很討厭。這可能跟天文物理研究所無關, 主要是我自己的關係。 有趣的部份來了, 這是很久以前的事, 那一年我決定再也不要跟人來往, 打算放棄天文物理去念森林。美國西北部有廣大的森林, 有所謂的防火瞭望台, 基本上就是森林裡頭, 高塔頂端每一面都有窗戶的房子。 這個工作就是住在房子裡, 遠離人群, 留意森林火災的發生, 然後用無線電發送火災的消息, 才能在造成太大傷害之前滅火。我當時的目標就是住在防火瞭望台裡, 再也不需要應付人群。

劉: 然後希望沒有火災, 就不必聯絡別人了。

T: 沒錯。 在 Princeton 念天文物理的第一個學期末, 我申請了幾所學校的森林研究所, 而華盛頓州立大學錄取了我, 校址在 Pullman。 當時我和 Larry Smarr2 2 Larry Smarr, 美國物理學家, 科學計算、超級電腦應用和網際網路基礎設施等領域的領導者。一起工作, 他做黑洞碰撞的電腦模擬。 他正要轉到 Harvard, 另外一位叫做 Bill Press3 3 William H. Press (1948$\sim$), 美國天文物理學家、理論物理學家、計算生物學家, 1981 年海倫$\cdot$B$\cdot$華納天文獎得主。的教授, 很了不起的應用數學家, 也要轉到 Harvard。 他們兩位隔年都要轉到 Harvard。 Bill Press 跟我說:「你何不申請 Harvard 的物理系呢? 我可以提供獎學金, 應該沒問題。 你成績很好, 應該申請得上。 重點是你隨時都可以離開, 再去住在森林裡, 但是反過來要從森林裡回來, 就難了。」 我想:「嗯, 好, 我會申請。」 所以我申請上 Harvard 的物理研究所。 回家和父母一起度過暑假, 買了車。從車道開車出來, 如果右轉, 往西, 就是去念森林研究所, 而如果左轉, 向東, 是往 Harvard 的方向, 則是去念物理研究所。 當我上車出發時, 心中的問題是「右轉呢還是左轉呢?」最後浮現腦海的是 Bill Press 的忠告「你隨時都可以去森林裡」, 於是我說:「好吧, 左轉去 Harvard, 因為隨時都可以到森林去。」 在 Harvard 的時候我有個常見的迷思, 就是 如果會足夠的數學, 就能從第一原則了解宇宙的運行, 完全不必親自動手做實驗。 我想這是一個全然的錯覺, 現在我的想法完全相反, 我不相信宇宙是根據 $E_8$ 群或類似的東西, 事實上如果有什麼隱藏的數學對稱能夠解釋一切, 我反而會很失望。 但是當時, 我的迷思是只要像 Einstein4 4 Albert Einstein (1879$\sim$1955), 猶太裔理論物理學家, 相對論的創立者, 1921年諾貝爾物理獎得主。或 Dirac5 5 Paul Adrien Maurice Dirac (1902$\sim$1984), 英國理論物理學家, 對量子力學、量子電動力學的早期發展作出重要貢獻, 1933年獲頒諾貝爾物理獎。一樣會足夠的數學, 不必親自動手就能找出宇宙運行的第一原則。 (或許整個弦論就是根據這個迷思。) 無論如何, 我想:「哇, 只要多學點數學, 就會成為出色的物理學家。」 所以我開始修數學課。 這時兩件事發生了, 一是數學之美誘惑了我, 二則牽涉到當時的物理系與數學系。 物理系在星期一下午舉辦討論會, 而數學系的討論會在星期四下午。 物理系在討論會前供應茶和蛋糕, 不過蛋糕是很乾的那種, 像是我高中時代吃的蛋糕, 不新鮮又難吃, 基本上是嚇人的東西。 而數學系的蛋糕來自 Harvard Square 的高級糕餅店, 糖霜很厚, 蛋糕超級好吃。 數學系有很棒的食物, 而物理系的食物很可怕。 感覺上就是, 啊, 數學系比物理系好太多了。還有, 老實說, 人們也比較友善。 數學系的人會問你在思考什麼, 會給你建議, 而在物理系, 你從來不告訴別人正在思考什麼, 因為他們可能隔天就會拿去發表。 所以我在數學系念數學挺開心的。

劉: 真好的故事。

T: 人比較親切, 食物比較好吃, 還能要求什麼?我也對所做的工作著迷。

劉: 從此你就一直在那裡了, 是嗎?

T: 嗯, 有兩年在 UC Berkeley, 然後就回來了。

劉: 回到森林的話題, 你說你當時喜歡獨自一人。

T: 現在也還是。

劉: 喔。物理或是數學哪一樣比較能夠讓你獨處呢?

T: 沒辦法說, 我不知道。 現在我幾乎是個隱士, 不參加派對或正式聚會, 也不閒聊。 那天晚餐時你坐在我旁邊, 我就坐在那兒用餐, 好, 結束了我就回家。 這一切都很好, 不過我寧願思考數學。

劉: 對, 我們必須專注。 多年前有一位名叫 Yamaguchi6 6 98), 日本數學家, 研究非線性偏微分方程。的日本數學家, 他有很多不錯的學生, 例如 Nishida7 7 Takaaki Nishida 西田孝明 (1942$\sim$), 日本數學家, 研究非線性偏微分方程。、 Mimura8 8 Masayasu Mimura 三村昌泰 (1941$\sim$), 日本數學家, 請詳第29卷第1期「有朋自遠方來」專訪。、 Matano9 9 Hiroshi Matano 俣野 博 (1952$\sim$), 日本數學家, 研究非線性偏微分方程。 , 等等許多。 1970 年代晚期、1980 年代早期他訪問台灣時問了我一個問題。 他說:「台灣有隱士嗎?」這給我很深的印象。 的確, 社會需要隱士, 否則 這會是怎樣的社會呢? 當然, 文化大革命時期的中國不允許人作隱士, 不僅不准說想要說的, 連保持沉默都不許。 我無法回答他的問題「台灣有隱士嗎?」

T: 嗯, 我跟學生互動, 幾乎整天都在辦公室。 只是我感興趣的是做數學或討論數學, 而不是談論最新的電影、運動, 那一類的事情。 如果要討論數學, 我很樂意。

鄭日新(以下簡稱「鄭」): 這是個標準問題, 可以告訴我們影響你最深的數學家是誰嗎?

T: 我會說是 Raoul Bott10 10 Raoul Bott (1923$\sim$2005), 匈牙利數學家, 以其對於廣義幾何的貢獻著稱, 最出名的是所謂 Bott 週期性定理及與 Michael Atiyah 的合作工作, 2000 年獲頒沃爾夫數學獎。

蔡忠潤(以下簡稱「蔡」): 你修過他的課嗎?

T: 對, 我修過他的課, 不過不盡然是修課的關係, 而比較是在與他相處當中, 因為我們是同行。他非常寬厚、謙遜、有紳士風度, 很慷慨的與人分享做數學的時間, 完全不驕傲, 非常謙虛。 他去聽演講的時候總是問最簡單的問題, 從不害怕去問可能被人認為「怎麼可以問這個!!」的很笨的問題。 從他身上我學到 沒有笨問題這回事, 有不懂的地方就問, 不要坐在那兒假裝 自己很聰明或是已經懂了。人們傾向假裝明白其實不懂的東西, Raoul Bott 會問 最單純的問題。 他的思考方式非常深邃, 也會非常、非常努力的去了解事情 。 他的寫作和數學很漂亮優雅, 從作品完全看不出來要寫得如此優美需要多少努力。我跟他合作了幾篇論文, 很幸運能跟他一起工作, 他跟其他人一樣要花很大的力氣去了解事情。 不止是了解, 而是以正確的 方式了解, 當他寫出來, 非常、非常的優雅, 而且是以正確的方式敘述。 他也示範了得宜的為人處世:寬厚、開放、支持別人、問問題、不害怕去問、試著了解事物的某種優雅, 種種, 種種。在很多方面他都是我的楷模, 不只是數學, 還有人生。 他對我的影響最為深遠。

鄭: 還有一個標準問題。你的研究工作中, 你最滿意哪一項?

T: 有趣的問題。每個我做過的問題, 在某些方面, 都比前一個要難, 所以我無法說哪一個最滿意, 因為假設解決了現在正在做的問題, 我會說:「就是這一個」。我最滿意的總是正在做的或是剛做完的問題。做完了就做完了, 就再也不回頭看它, 了解一件事情之後, 我就想往前走。

劉: 是那個過程吸引了你。

T: 過程才是最充實的, 不是解決問題, 這是我的發現。一旦問題解決了, 在某種意義上我相當自我批判, 我會回過頭說:「哎, 怎麼花這麼多時間解這個? 這很明顯, 應該立刻就發現了, 而不是掙扎了兩年, 如果我聰明點, 那篇論文六個星期就寫完了, 不會寫了四年。」這是學習和發現事物的過程, 察看與理解未曾理解、 從未想像能夠明白的事情。 是忽然了解怎麼一回事, 而獲得的一種好的感覺。可是一旦弄懂了, 那你就會想:下個謎題在哪裡?

劉: 這讓我想到讀 Ahlfors 的複分析書11 11 Lars Ahlfors, Complex Analysis, third ed., McGraw-Hill, New York, 1979., 有時候他寫著「很明顯的」, 而我撞牆了, 還不懂, 更別說是明顯。但是懂了之後, 果然很明顯, 不過隔天, 又迷失了。

T: 我學會, 也盡量不在我的論文裡使用「很明顯的$\cdots$」或「很容易看出$\cdots$」, 因為在某種意義上這是告訴讀者「看不出來的話你很笨」。 事實上, 我在證明裡說「很容易看出$\cdots$」的部份 反而容易出錯, 因為我不一定驗證它。 我也發現另一件事, 就是這對學生和學習中的人而言並不公平, 他們會說:「對啊, 這很簡單, 因為你已經當了30年數學家, 你看得出來, 你知道該怎麼做。」 但是如果你是研究生, 或其他人, 就不容易看得出來。所以我盡量避免「很容易看出$\cdots$」和「很明顯的$\cdots$」這種措詞, 用這種措詞不如說「如果你無法立刻看出來就是白痴。」

鄭: 解問題卡住的時候, 你用什麼態度面對?你曾經卡住嗎?

T: 有啊, 這就是數學家的人生, 解題的時候卡住。 如果每一、兩年能順利解出題目, 是很幸運的。我學會了一件事, 也算是我的哲學:我認為只有非常少數、或許只是很小一撮人, 是真正絕頂聰明的。 在某種意義上, 他們實在來自外星球, 像是 Witten12 12 Edward Witten (1951$\sim$), 美國理論物理學家, 1990 年成為第一位獲頒菲爾茲獎的物理學家。、 Simon Donaldson13 13 Sir Simon Kirwan Donaldson (1957$\sim$), 英國數學家, 以其光滑(微分)四維流形拓樸的工作著名, 1986年菲爾茲獎得主。、 Atiyah14 14 Sir Michael Francis Atiyah (1929$\sim$), 英國數學家, 1966 年獲頒菲爾茲獎。, 我覺得這些人在一個不同的層次上。 我做數學的方式是, 假如認為一個東西是對的, 就假設它是對的, 如果有令人信服的佐證或是它可能正確的立論, 那麼如果我思考夠久, 經由嘗試錯誤, 假如它是對的, 終究會找出證明。 天曉得夠久是多久, 找出證明的並不是聰明 本身, 只是我一直嘗試不同的東西, 根據機率法則, 遲早會遇到正確的, 這大致是我的哲學。

蔡: 這也是我從你那兒所學到的。你應該講一下每天到辦公室工作的故事, 你曾在一場演講中提到整天努力思索同一個方程, 之類的事。

T: 是的, 因為相信它是對的, 所以嘗試不同的東西。當然它可能不對, 最後我會感到挫折, 強迫自己思考其它東西。但偶而我會回過頭告訴自己, OK, 或許我學了一些新的伎倆, 拿來用在這個舊問題上吧。 所以我從來不會真的放棄任何事情, 只是告訴自己, 嗯, 氣力耗盡了, 沒有新的想法可以試了, 先做其它事情一下再回來。也許這當中我學會了新的方法, 可以試試看能不能成功。

劉: 或許有些人會看著你說:「Cliff Taubes。 他是外星來的。」

T: 那可能是因為我可以整天坐在辦公室裡東試西試, 而不感到挫折, 或許這就是我擁有的才能。 我並沒有接收到什麼外星知識, 只是整天坐在辦公室瞪著一樣東西, 許多天都沒成果也不覺得無聊。 我今天談的關於 $SL(2;C)$ 的定理, 在很久以前, 完全不知道怎麼做的時候就開始思考了。 某種程度上, 是在遇見 Han-Hardt-Lin 三人關於 Almgren 函數的論文15 15 Q. Han, R. Hardt and F. H. Lin, Geometric measure of singular sets of elliptic equations. \textit{Comm. Pure Appl. Math. 51(1998), no.11-12, 1425-1443.}的時候, 心想或許這個 Almgren 函數可以幫上忙, 就弄懂怎麼用它。 學了新東西, 然後回到舊的問題, 發現這個新東西其實可以用在舊的問題上。

鄭: 你怎麼注意到 Almgren 函數的?

T: 我知道有這些關於特徵函數節點集的問題, 跟我當時正在研究的東西有某些類似之處。 我看到這篇 Han-Hardt-Lin 的論文, 就跟著裡面的參考書目學了更多 Almgren 函數的運用。 我習慣看數學資料庫, 原則上至少讀論文的前言, 就算跟規範場論完全無關, 因為我覺得, 哇, 說不定會學到什麼東西或技術。 我不必然對他們做的問題有興趣, 我對拉普拉斯算子特徵向量的節點函數本身沒興趣, 但另一方面, 當我看到有人寫關於熱方程的論文、拉普拉斯算子, 或某種非線性方程、 統計, 任何東西, 路徑積分, 之類的, 看起來有新技術, 我想, 嗯, 讓我試著了解這個技術。我把它當作工具;我有一個工具箱, 把這個工具放進去, 或許正好能用在我有興趣的問題上。 我認為讀很多和我的研究不怎麼相關的論文是重要的, 有些微的機會可以看到做問題的新方法。 逐漸成為成熟數學家的時候必須避免的一件事是拘泥於同一種技術, 如果你手邊只有一種螺絲起子, 只有一種頭, 能夠旋轉的螺絲就只有那麼幾種, 但是其實有很多種不同的螺絲起子。 多研讀、多學習不同的思考方式和各種類型的數學是重要的, 並不是我有興趣做那些問題, 但是把工具放在腦袋某處, 或許可以對付我真正有興趣的問題。

劉: 你可以描述一些你研究中心的核心課題嗎?這是我想要了解的。

T: 我想要了解宇宙的結構, 從物理學的觀點而言, 這是很有趣、迷人的問題。如我先前說的, 我不認為宇宙的基礎是數學。 即便如此, 不可否認數學用來描述物理世界非常有效。 為何如此, 我認為有兩個答案, 第一, 這基本上是泰勒定理, 第二, 我們遵循事實發展數學, 以描述所學

劉: 在你了解大自然結構的意圖裡, 有什麼數學上的東西可以簡短地說來聽聽嗎?

T: 數學上, 我想要了解光滑四維流形的分類, 甚至只是連通四維流形。 我聽過關於一位信仰治療師的笑話, 他宣稱可以用基督教原則治癒人們, 這是那個笑話的另一個版本。 他名叫 Oral Roberts16 16 Granville "Oral" Roberts (1918$\sim$2009), 美國衛理五旬節教派電視福音傳道者, 基督教神授能力者, 創立 Oral Roberts 福音協會和 Oral Roberts 大學。, 來自 Tulsa, Oklahoma, 我不講 Oral Roberts 的笑話, 我要講數學的版本。 我覺得有些笑話是經典, Oral Roberts 的笑話就是其中一個, 我把我自己放進 Oral Roberts 的世界。 所以 Cliff Taubes 死了, 上了天堂。 聖彼得在天堂門口, 告知你的命運:上天堂, 還是因為罪惡受到永久的懲罰。 我的情況是很明顯的。

劉: 上天堂。

T: 不, 我的罪惡太多了, 連想都不敢想, 不過總之, 這個虛構的 Cliff Taubes 死了, 來到聖彼得門前, 聖彼得說:「OK, 告訴我名字。」「我叫 Cliff Taubes。」 「Cliff Taubes? 不是那個 Cliff Taubes 吧?」「總之這是我的名字。」 「Harvard 大學的教授 Cliff Taubes, 研究四維流形的?」 「嗯, 那是我的工作。」 「噢我的老天, 這是那個 Cliff Taubes。」然後聖彼得看見天使之一的大天使加百列四處飛繞, 「加百列, 過來, 過來。」 加百列飛到聖彼得身邊, 聖彼得說:「你猜這是誰。」「不知道, 是誰?」「是 Cliff Taubes。」 「不是那個 Cliff Taubes 吧? 那個研究四維流形的 Harvard 大學教授?」「是啊, 加百列, 就是他。」 「天啊, 我們得告訴老大。」他們抓住 Cliff Taubes, 把他拉到上帝的寶座所在的大殿, 一棟發光的大型雪花石膏建築, 寶座是金色的, 光芒閃耀令人難以直視, 而寶座上坐的正是上帝。 加百列說:「嘿, 上帝, 你猜這是誰。」「誰?」「是 Cliff Taubes。」「那個 Cliff Taubes? 那個研究四維流形的 Harvard 大學教授?」 「是啊, 上帝, 就是他! 真的是他。」「嘿 Cliff! 所以四維流形的分類到底是什麼?」就連上帝和天使們都不知道答案。

劉: 你以為你是去那裡驗證的。

T: 我以為可以去天堂找到答案, 但事實上, 天堂正等著凡人去理解, 因為他們也不知道答案。

劉: 連造物者也不知道。

T: 甚至連造物者都不知道答案。

劉: 我聽過類似的笑話, 不過不是關於四維流形的分類, 是關於亂流。

T: 幾乎關於任何東西的版本都可以, 就像我說的, 我聽到的版本是關於Oral Roberts的。

劉: 所以我們距離目標還很遠。

T: 我不知道, 或許某個聰明的年輕人會想出來, 說不定近在眼前, 只是我們看不到。我們連距離目標多遠都不知道, 這是問題所在。

劉: 我可以問一個很無知的問題嗎?所以目前已經達成了什麼?當然我們還沒有達到目標, 但我們已經做了些什麼。

T: 比起 Donaldson 不變量的時代之前, 我們多了解很多了。 當然是 Michael Freedman17 17 Michael Hartley Freedman (1951$\sim$), 美國數學家, 以其關於 Poincar\'e 猜想的工作獲頒 1986 年菲爾茲獎。 的工作, 基本上至少解決了基本群小的拓樸流形的問題, Donaldson 的工作和 Seiberg-Witten 方程基本上使我們的知識一日千里, 突然間我們曉得了比以往所知更龐大的知識。 但我們不知道還有多少是不知道的, 不知道我們有多接近, 在某種意義上, 全然不知道這些不變量能告訴我們什麼。 不明白這些不變量是否告訴了我們所有的事情? 而關於四維流形我們只知道這麼一點點, 或者知道了大部份呢? 我們不明白漏掉了什麼, 事實是甚至連可行的猜想都沒有。 這不像是 Perelman18 18 Grigori Yakovlevich Perelman (1966$\sim$), 俄國數學家, 2006 年菲爾茲獎得主。之前的三維流形, 有幾何化的猜想, 所有人都相信一定是對的, 沒有已知的可能反例; 每個人能夠寫下的每個三維流形, 基本上可以認出那是什麼。 但是在四維裡, 甚至對四維球, 都有無人能決定的可能的反例, 沒有關於四維的可行猜想。 所以我們不清楚我們有多近, 又有多遠, 一切只需要稍稍換個角度看事情, 也許突然知道全部的答案可能為何, 也可能永遠都不知道

劉: 四維重要是因為三度空間與時間嗎?

T: 可以說四維讓它和物理有關, 雖然正確的思考方式是, 以宇宙論為表相的物理, 目標是辨識我們所在這個特定宇宙的結構, 另一方面, 四維分類問題要求知道如果假設宇宙是光滑的流形, 所有可能的四維宇宙。 這和物理相關, 因為這說明了有哪些選項。 但很可能任何我們找到的答案, 物理學家都不會感興趣, 因為物理的問題不是可能性是什麼, 而是我們所居住的這個特定宇宙到底是什麼。

蔡: 你的博士論文研究的基本上是渦方程, 同時我想每個人都認為你是傑出的幾何分析家。我很好奇你如何學會那些偏微分方程的技巧和分析的, 通常幾何學家或拓樸學家很難學會分析。

T: 我猜如果我有任何才華, 就是在分析上。我的看法是這樣的, 或許有些誇大, 不過分析裡頭基本上只有兩個定理, 一個是部分積分法 (integration by parts), 微積分基本定理 (fundamental theorem of calculus), 另一個是最大值原理 (the maximum principle), 一階導數和二階導數, 就這樣, 然後還有複分析、柯西積分。 基本上只要知道這些, 問題就只是弄懂如何正確運用。 如果能想出新的原則, 當然會有很多很棒的事情可以做, 但據我所知, 基本上就是最大值原則和微積分基本定理, 還有柯西-黎曼方程。 所以所有東西都可以簡化到上述這些, 有點像一個通則, 所以不需要知道比這些更多, 只要繼續思考, 最後, 如果夠認真, 就會弄懂如何運用在問題上。 但我如何想出解渦方程的方法?我不知道。除非我在導數的層次上了解一個東西, 了解真正發生的是什麼, 也就是這個東西的實質, 否則不算了解。 很多人了解東西只在表面的層次上, 把它當作工具, 但不去區分什麼是基礎的, 什麼只是方便。 不知為什麼, 我就是喜歡追根究底。 例如:取導數, 這告訴我們些什麼關於導數的事情等等? 或許這就是我的思維理路。

鄭: 你的論文指導教授 Arthur Jaffe19 19 Arthur Jaffe (1937$\sim$), 美國數學物理學家, 與James Glimm共同創立構造性量子場論。和 Glimm20 20 James Glimm (1934$\sim$), 美國數學物理學家, 詳第 31 卷第 4 期「有朋自遠方來」專訪。合寫了一本關於量子物理的書。

T: 對, 他跟 Glimm 合寫了一本書。

鄭: 那本書裡都是嚴謹的數學, 所以你怎麼看? 你對於使用嚴謹數學來研究量子場論有什麼看法?

T: 我認為 量子場論應該要嚴謹, 這未必是物理學家有興趣的東西。但從某種數學問題的角度來看, 我認為這是真正有意思的問題, 如何嚴謹的了解量子規範場論。 這裡有個有趣的物理問題是因為我們將夸克視為被制約的。所以大家都相信 $SU(3)$ 規範場論描述夸克, 我不認為有任何嚴謹的證明, 甚至是半嚴謹的論證說明 $SU(3)$ 規範場論最終真正讓夸克受到制約。 我不認為有人會相信如果能夠證明、建立嚴謹的 $SU(3)$ 規範場論, 這個理論最終不會制約夸克。這是因為一切物理證據指向 $SU(3)$ 規範場論描述夸克, 而物理證據也顯示夸克是受限的, 因此 $SU(3)$ 規範場論應該制約夸克, 但應該有某種數學證明, 我覺得這是個有趣的問題。 而老實說, 我比物理學家想了更多如何藉由幾何來描述量子 $SU(3)$ 規範場論。 物理學家大部份從非常擾動的觀點著手, 或是用類比有類似對稱的問題來論證。或許非常的認真思考幾何結構, 可以定義出嚴謹的量子場論, 一舉越過許多困擾物理學家的問題。 閒暇的時候我想想這個, 不過不能宣稱有任何成果。 有時我在空閒時做它, 覺得這是個有趣的問題。

劉: 你閒暇時做數學以外的事情嗎?

T: 其實我讀歷史, 我對近代史有興趣, 我關心二十世紀, 那是如此恐怖的時代, 發生兩次世界大戰等戰爭, 當然那都是前一個世紀發生的事情造成的。我關心人們如何思考, 為什麼下了他們所下的結論, 為什麼美國在阿富汗陷入這種泥淖, 為什麼我們一直犯相同的錯誤, 為什麼犯下在中南半島和越南的錯誤, 為什麼我們走入世界時如此愚笨。

劉: 永遠學不乖。

T: 沒人學會, 我想這很普遍, 不是美國人特有的, 但當然美國人假設人人都想要像他們一樣, 想的也跟他們一樣, 所以最後大家都憎恨美國人, 就像在阿富汗, 我們去了那裡, 總是說「把他們從塔利班政權中拯救出來」, 這點我想他們其實感激的;然後我們就留在那裡了, 而他們最終怨恨我們。重點是, 我們投下幾億、幾兆美元, 都去哪裡了?都去了那些腐敗的人手裡, 被他們送進歐洲的銀行戶頭。阿富汗人民最後痛恨我們, 因為我們對他們的文化、宗教、信念不敬卻不自知, 因為沒人知道別人在想什麼。 我們進入阿富汗, 最後那裡的每個人都痛恨我們, 如果我們將那一兆美元都換成五元美鈔, 飛到他們上空, 把錢從機窗撒下, 會從那些錢中得到更多更多。當地人會拿到錢, 而不是軍閥和他們腐敗的走狗拿到, 當地人會很開心, 生活會因為有那些錢買東西得到改善。所以我們應該就飛過他們上空, 想想, 一兆美元, 足夠每年飛過全阿富汗幾次, 飛過每一平方英呎, 把錢從飛機裡撒出去。

劉: 可以用五元美鈔鋪滿阿富汗。

T: 而且那裡的人完全不會認識美國人, 就不會有討厭我們的機會, 他們其實會喜歡我們, 因為我們從機窗撒錢出去。

劉: 是美金。

T: 對, 當然, 而他們不會厭惡我們, 因為他們沒有機會認識真實的美國人、發現美國人是怎樣的渾蛋。

劉: 我看得出你說這件事情的時候是有熱情的, 我很感動。

T: 所以我想要學歷史。我旅行的時候, 例如來到台灣, 不想要羞辱了人而不自知, 說不定我這麼做了, 可能在那天晚餐時羞辱了你們五次也不知道, 因為我不懂台灣的文化。我不想要到了一個地方, 人們在我背後竊竊私語:「嗯, 他或許是個好數學家, 不過實在是個渾球。」

劉: 很明顯並不是這樣, 不過就一般原則來說, 我了解你說的。

T: 就一般原則來說, 我不希望去了一個地方, 侮辱了人卻不自知, 我想要了解人們的想法和歷史文化。 從當數學家和教書之中, 我學到每個人的腦袋運作的方式不同, 我看來明顯的東西, 對我的學生或其他人來說並不明顯, 當我說一件事, 我覺得跟鐘聲一樣清楚, 他們解釋起來卻不像鐘聲般清楚, 一件事有很多詮釋。 對我而言, 人真正迷人有趣的地方在於每個人的腦袋運作的方式不一樣; 試著學習這個差異, 在阿富汗山村裡長大的人是怎麼想的, 他們並不笨, 跟我們是同一個物種, 只是思考方式不同。 這對我來說很有趣, 我想要知道他們為什麼用那樣的方式思考, 這是我讀歷史的原因之一, 我希望會說不同的語言, 我希望會說中文。

劉: 像你兒子。

T: 我兒子, 對。我兒子會說俄文、中文、藏文, 還有一些中亞語言的皮毛。我希望我會說俄文、中文這些語言, 才能跟這些人說話, 聽聽他們的想法, 問問他們在想什麼, 而不是只是到那裡去, 侮辱人而不自知。

劉: 是的, 不自知地。覺得自己努力對人家好, 而人家卻討厭你。

T: 他們覺得你忘恩負義, 那麼好吧, 就在你頭上丟炸彈。

劉: 順著你的話, 美國數學界跟其它重要中心有些不一樣, 例如1960、1970年代的俄國, 甚至到1980年代, 還有法國, 因為美國是大國, 又有移民思維, 我想因為這些, 多元的意見在美國是被允許的。

T: 我同意。舉例來說, 我剛出道的時候在法國待過, 特別在PDE和分析兩個領域中, 為了要在法國找到好工作, 基本上似乎必須讓法蘭西學院的幾個人留下深刻的印象。某些意義上他們是大頭。所以每個人都做同一個問題, 每個人都做法蘭西學院這幾個人正在做的東西, 因為要是做新的、不一樣的問題, 可能找不到工作。我入行的時候做非交換規範場論(non-abelian gauge theory), 之前沒人做過, 我和 Karen Uhlenbeck21 21 Karen Uhlenbeck (1942$\sim$), 美國數學家, 詳第30卷第3期「有朋自遠方來」專訪。 是第一個做這方面的, 在法國我們幾乎不可能找到工作, 因為這不是法蘭西學院的大人物在做的, 而權力很集中。可是在美國, 因為某些因素, 情況不是如此, 我可以做新的、 不一樣的東西, 還是找得到工作。至少當時社會對於數學家的需求很高, 現在因為金融危機衍生的預算問題, 就業市場很糟, 但在那時候, 我不需要為了得到工作而去讓某些人印象深刻。 不知為何, 當時對於不同東西的思考, 包容性比較高, 沒有一種集中的權力。

劉: 那是健康的狀況。

T: 對, 那使一切更有趣、更多樣化, 就像一大鍋湯冒著泡泡, 許多不同的東西會出現, 不是只有一種味道、每個人都做一樣的事情。 假如每個人做同樣的東西, 就會變得向內發展。 Yamabe 問題就是一個例子, 現在, 關於 Yamabe 問題還有什麼有趣的東西好說?就算這樣, 某些地方還是有整個世代的人在做 Yamabe 問題。

劉: 現在全球化多了, 對吧?舉例來說, 在台灣, 如果有人要升等, 至少在我們這個單位, 我們不會只請本地人評估, 會請教來自世界各地的人組成的評審小組。

T: 我想這有差別的, 如今到哪裡事情都比較多元了。數學是真的更全球化了。

鄭: 我在你的網頁上看到一張有趣的圖畫, 畫的是中國古典四大名著之一, 《西遊記》裡面的人物。

蔡: 是你兒子的畫作, 我想他有個網站。

T: 噢對, 其實他有幾個網站, 他寫作, 也是個藝術家。

鄭: 我很好奇你把那張圖放在你的網頁上的動機是什麼。

T: 我讀了《西遊記》, 是很精彩的一本書, 我兒子之前在做《西遊記》四格漫畫, 人物變成美國人。 無論如何, 我把這趟西方之旅看作自己追尋數學真理的隱喻, 在書中, 至少在我手邊的譯本裡, 唐僧是全然的絕望。所以我把自己當成唐僧那個完全無助的傢伙, 然後還有孫悟空。 這是個很具顛覆性的故事, 到了結尾, 天庭基本上整了他們, 這個故事很顛覆, 我有點驚訝。

劉: 那是偉大的文學。

T: 對, 這是偉大的文學。盡量讀一些偉大的文學也是我覺得重要的事情之一, 世界上一些偉大的史詩、不同文化的故事, 例如《奧德賽》22 22 《奧德賽》, 古希臘兩部重要史詩之一, 相傳為荷馬所著, 與另一部據信為荷馬作品的《伊利亞德》皆為現代西方典律的基礎。, 因為可以稍微了解那些文化。所以我將《西遊記》當成我追求數學真理的隱喻。

劉: 這是一段漫長的旅途。

T: 這是一段漫長的旅途, 而且前方有很多險阻, 我把自己比作唐僧那個完全無助的傢伙, 經常被他人拯救。

劉: 可是你也找不到更好的旅伴了, 對吧?孫悟空、豬八戒...

T: 孫悟空很棒。

劉: 你這次的台灣之旅有點短暫, 或許下次你可以真正多體驗本地文化。下次你可以來這裡, 用演講啟發我們, 但主要是放鬆和享受。讓我們找個比較適合你的時間, 不要在夏天, 夏天很熱。

T: 但我喜歡天氣熱。

劉: 那麼台灣四季都適合。非常謝謝你, 請務必再來。

---本文訪問者劉太平任職中央研究院數學研究所, 鄭日新任職中央研究院數學研究所, 蔡忠潤任職國家理論科學研究中心, 整理者甘濟維為中央研究院數學研究所助理---

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