41207 回文數定理與回文數幻方

終極密碼

遊戲規則:本遊戲為猜密碼的遊戲。密碼為0到100之間的其中1個整數,電腦會提示密碼的所在範圍,玩家必須在6次之內猜到密碼才能過關。

★ 終極密碼為0到100之間 ★
您共有六次機會

引言 :

尋找「196」的回文數, 是迄今為止沒有解決的難題。 數學家用傳統的「顛倒相加法」算到3億多位也沒有找到196的回文數, 計算機的速算功能, 在這裏黯然失色。 既然此路不通, 何不另闢蹊徑。本文給出一種方法可以得到任意數的回文數, 解決了「196」的回文數問題, 同時也解決了 196 的一連串顛倒數 (887, 1675, 7436$\cdots$) 得不到的回文數問題。 並給出由回文數組成的幻方及平方幻方等。

著名數學家美籍華裔李學數教授在他撰寫的《數學與數學家的故事》第4冊 , 第 3 章「回文數、鏡反數和華林問題」一文中, 介紹了「回文數」與「回文對聯」。 李學數教授文、理兼優, 知識淵博, 著作豐碩, 尤其擅長撰寫古今中外數學家奮鬥勵志的故事, 對激勵青少年學習數學起到了巨大的推動作用。 他用生花之妙筆撰寫了古典式回文對聯、回文詩詞, 這些詩詞可以從前到後讀, 也可以反過來從後向前讀。 經過正讀與反讀, 有的意思相近, 有的意思迥異, 令人耳目一新, 敬佩有加。又介紹了回文數問題及華林問題, 深入淺出, 發人深省。 能看到李學數教授的《數學與數學家的故事》是人生之幸事, 不僅給自己充足了勤奮學習的正能量, 甚至可以影響N代人!不看此書, 懊悔莫及。

一、回文數與回文對聯

「回文數」是數論中一個有趣的問題。 它的定義是: 如果2位 (或2位以上) 數, 從左向右 (從前向後) 讀與從右向左 (從後向前) 讀, 完全一樣, 我們稱這種數為「回文數」。 例如: 11, 161, 8778等, 都是回文數。

對聯是我國特有的一種文學形式, 它短小精粹, 妙趣橫生。 在茫茫「聯海」中有一種倒讀、順讀其文字或音調都一樣的對聯, 稱為「回文對聯」。 例如 : 鬥雞山上山雞鬥, 龍隱岩裏岩隱龍。 還有:上河老和尚, 有心交新友; 之前, 這幅聯是「孤聯」, 沒人對出。 我們給出:「原莊小狀元, 聞有會友文。」與之匹配。 並附上四句以紀念之 : 老和尚以文會友, 小狀元對答如流, 忘年交情投意合, 傳佳話萬古千秋。

人們不禁要問, 先有回文對聯呢? 還是先有回文數?

二、賈憲三角形與回文數

對於上面的問題有無答案, 我們姑且不論。在數學方面記載「回文數」最早的書籍是宋代楊輝著的《注解九章演算法》 (1261年) , 並有自注: 「出《解鎖》算術, 賈憲用此術。」如圖1 。 在我國, 把圖1稱為「賈憲 (約1200年) 三角形。」在歐洲叫做「帕斯卡 (1653年) 三角形。」 但是, 比中國晚了幾百年矣!

1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1

圖 1

圖 1 的其他功能和在數學方面的巨大貢獻, 本文暫且不提。 僅從「回文數」方面進行分析, 我們發現從第 2 行至第 5 行的 11, 121, 1331, 14641 都是回文數。 它們分別是 11 的 1、 2、 3、 4 次方之積。

還有, \begin{eqnarray*} 111^2 &=& 12321\\ 1111^2 &=& 1234321\\ \vdots\quad &&\quad \vdots\\ 111111111^2&=&12345678987654321\\ {\hbox{及}} 22^2 &=& 484\\ 202^2 &=& 40804\\ 307^2 &=& 94249 \end{eqnarray*} 上面的回文數都是完全平方數, 不妨稱為「平方回文數」。

當人們發現 11 的 1、 2、 3、 4 次方之積都是回文數時, 希望用「類推法」尋找 $11^k$ ($k\gt 4$) 次冪構成的回文數, 又請電腦來助陣, 不幸的是, 至今未果。 但是也沒法證明不存在 $11^k$ ($k\gt 4$) 次冪構成回文數。

另外還有, 用一個數, 乘以該數的顛倒數, 而得到回文數。如: \begin{eqnarray*} 12\times 21&=&252\\ 112\times 211&=&23632\\ \vdots\quad&&\quad \vdots\\ 111112\times 211111&=&23456965432 \end{eqnarray*}

這類回文數稱為「顛倒乘積型回文數」。 然而, 並不是任意數與它的顛倒數的乘積都能構成回文數。

還有在素數裏尋找回文數, 例如: 101, 373, 11411, $\ldots$, 19891 都是回文數。 在素數家族裏, 既是素數又是回文數的「數」, 如鳳毛麟角。

那麼, 怎樣得到更多的回文數呢?

三、回文數的一般構造方法

目前, 人們採用「首尾顛倒相加法」來得到回文數。 這個方法是, 把給定的2位 (或 2 位以上) 數, 進行首尾顛倒之後, 與原來的數相加, 得到一個新數。 如果這個新數不是回文數, 再把這個新數首尾顛倒過來, 與新數相加, $\ldots$, 經過多次「首尾顛倒相加」, 直到得到回文數為止。

例如: \begin{eqnarray*} 125\\ +\ 521\\\hline 646 \end{eqnarray*}

一個顛倒就得到了回文數。 再如: \begin{eqnarray*} 437\\ +\ 734\\\hline 1171\\ +\ 1711\\\hline 2882 \end{eqnarray*} 經過兩次顛倒得到了回文數。

讀者不妨試驗一下, 很多數字經過有限次「首尾顛倒相加」, 都能任其擺佈得到回文數。 但是「196」這個數, 個性十足, 非常特殊, 經過很多次顛倒相加也不肯成為回文數, 用高級電腦經過數億萬次的「顛倒」, 仍然「它行它素」不肯變成回文數。 高級電腦也無奈它何!「電腦」真是成了「電惱」!

在這裏, 我們把回文數分為「奇數位回文數」和「偶數位回文數」兩種類型。 例如 161 是 3 位數, 3 是奇數, 所以稱為「奇數位回文數」, 8778 是「偶數位回文數」。 其實, 把偶數位回文數中間兩個相同的數去掉一個, 就成為奇數位回文數。

四、「偶數位回文數」的構作方法

定義: 設 $A$、$B$ 為不相等的兩個整數, 用 $AB$ 表示 $10A+B$, 這裏的 $AB$ 不是乘法關係的 $A\times B$, 下同。

若 $1000\times A+100\times B+10\times B+A$, 得到的 $ABBA$, 稱為 4 位回文數 $H_4$, 一個 $n$ 位的回文數記作 $H_n$。 由 2 位數 $AB$, 生成 4 位數 $ABBA$ 的 $H_4$ 回文數的方法。

定理1: 設 \begin{equation} H_4=[101\times AB+9\times (B-A)]\label{1} \end{equation} 則 $H_4$ 為回文數。

證明: 由定義知, 兩個不相等的數 $AB$ 得到的 4 位 $ABBA$ 回文數 $H_4$ 為: \begin{eqnarray} &&\hskip -20pt 1000A+100B+10B+A\label{2}\\ {\hbox{把 \eqref{1} 式展開}} H_4&=&101(10A+B)+9(B-A)\nonumber\\ &=&1010A+101B+9B-9A\nonumber\\ &=&1001A+110B\label{3} \end{eqnarray} \eqref{2}$-$\eqref{3} 得 $$1000A+100B+10B+A- (1001A+110B)=0$$ 定理 1 證畢。$\Box$

兩個例子: 當 $A=1$, $B=2$ 時, 及 $A=5$, $B=2$ 時, 代入 \eqref{1} 得 \begin{eqnarray*} 101\times 12+9\times (2-1)&=&1212+9=1221.\\ 101\times 52+9\times (2-5)&=&5252+ (-27) =5225. \end{eqnarray*} 以上是由 2 位數 $AB$ 經過計算得到的 4 位數回文數 $H_4$。

下面介紹由 3 位數 $ABC$ 得到的回文數 $H_6$。

定義2: 設 $A$、 $B$、 $C$ 為不相等的 3 個整數, 用 $ABC$ 表示 $100A+10B+C$。 若 $100000A+10000B+1000C+100C+10B+A$ 得到的 $ABCCBA$ 稱為 6 位回文數 $H_6$。

由 3 位數 $ABC$, 生成 6 位數 $ABCCBA$ 的回文數 $H_6$ 的方法:

定理2: 令: \begin{equation} H_6=1001(ABC)+99(C-A)\label{4} \end{equation} 則 $H_6$ 為回文數。

證明: 由定義知, 3 個數構成的 $H_6$ 回文數為 \begin{equation} 100000A+10000B+1000C+100C+10B+A\label{5} \end{equation} 把 \eqref{4} 展開: \begin{eqnarray} H_6&=&1001(100A+10B+C)+99(C-A)\nonumber\\ &=&100100A+10010B+1001C+99C-99A\nonumber\\ &=&100001A+10010B+1100C\label{6} \end{eqnarray} \eqref{5}$-$\eqref{6} 得: $$100000A+10000B+1000C+100C+10B+A - (100001A+10010B+1100C) =0$$ 定理2證畢。$\Box$

下面, 我們給出 $ABC=729$ 及 $ABC=196$ 的例子

當 $ABC=729$ 時, 把 $ABC$ 代入 \eqref{4} 得 $$H_6=1001\times 729+99\times (9-7)=729729+198=729927.$$ 當 $ABC=196$ 時, $$1001\times 196+99\times (6-1)=196196+495=196691.$$ 當 $ABC=887$ (196 的顛倒數之和), 把 $ABC$ 代入 \eqref{4} 得 $$1001\times 887+99\times (7-8)=887887+ (-99) =887788.$$

五、高位回文數的構作

世界上的各種事物都存在著「分」與「合」的現象。 三國演義說得好: 「分久必合, 合久必分。」 在構作高位回文數時, 我們把「分」與「合」派上了用場。

在這裏, 我們介紹「分拆插入法」。 例如, 要得到 4 位數 $ABCD$ 生成的 8 位數回文數 $H_8$ 的方法:

設 $ABCD$ 為 1639為例, 按如下步驟進行

  1. 先將 1639 分為 16 與 39 兩部分, 按照 2 位數生成 4 位回文數的方法, 生成兩個 $H_4$。
  2. 將 16 代入下 \eqref{1} 式, 得 $$101\times 16+9\times (6-1) =1616+45=1661.$$ 再將 39 代入 \eqref{1} 式, 得 $$ 101\times 39+9\times (9-3) =3939+54=3993.$$
  3. 把 1661 從中間分開, 分為 16 與 61;
  4. 把 16 排列在 $H_8$ 的第 1 位、 第 2 位上, 第 3 位至第 6 位插入 3993, 第 7 位、 第 8 位是 61 的位置。
  5. 將它們對號入座 16399361 就完成了一個 8 位數的回文數 $H_8$。

利用上述方法可以得到由 $2k$ ($k=2, 3, \ldots$) 個數生成 $2\times 2k$ 的回文數

設 $k=3$ 的 6 位數 $ABCDEF=246889$, 生成 12 位數的回文數 $H_{12}$, 的例子, 把 246889 分為 24 與 68 及 89 三部分, 分別代入 \eqref{1} 式, 得 \begin{eqnarray*} 101\times 24+9\times (4-2) &=&2424+18=2442,\\ 101\times 68+9\times (8-6) &=&6868+18=6886;\\ 101\times 89+9\times (9-8) &=&8989+9=8998. \end{eqnarray*} 把 3 個 4 位數的回文數按照分拆插入法的順序, 對號入座, 得 $H_{12}=246889988642$。

也可以按照 3 位數生成 6 位回文數 $H_6$ 的方法如下:

把 246889, 分拆為 246 與 889 兩部分, 將其分別代入 \eqref{4} 式, 得 \begin{eqnarray*} 1001\times 246+99\times (6-2) &=&246246+396=246642,\\ 1001\times 889+99\times (9-8) &=&889889+99=889988. \end{eqnarray*} 分拆插入得: $H_{12}=246889988642$。 結果相同, 殊途而同歸。

我們知道, 任意正整數 $n$ ($n\gt 1$), 可表為 $$n=2k,\ n=2k+1, \quad (k=1, 2, \ldots)$$ 當 $n=2k$ 時, 我們利用構作 $k$ 組 2 位數回文數的方法, 得到任意 $n$ 位數的 $2n$ 位的回文數 $H_{2n}$。

當 $n=2k+1$ 時, 我們構作 $k-1$ 組 2 位數回文數的與一個 3 位數的方法得到 $2 (2k+1)$ 位的回文數。

196 是一個奇怪的數, 利用傳統的「顛倒相加法」, 得不到回文數, 它的一連串顛倒數也得不到回文數。 我們用新的方法把 196 及其「一連串顛倒數也得不到回文數」的數代入 \eqref{1} 式或者 \eqref{4} 式, 使之得到它們各自的回文數:

當 $ABCD=1675$ (196 的第 3 輪顛倒數之和)。

令: $H_8=10001\times 1675+999\times (5-1) +90\times (7-6) =16751675+3996+90=16755761$.

當 $ABCD=7436$ 時 (196 的第 4 輪顛倒數之和)。

令: $H_8=10001\times 7436+999\times (6-7) +90\times (3-4) =74367436+ (-999) + (-90) =74366347$.

當 $ABCDE=13783$ 時 (196 的第 5 輪顛倒數之和), 可以構造一個 2 位數「13」代入 \eqref{1} 式, 再構造 3 位數「783」代入 \eqref{4} 式的回文數, 利用「分拆插入法」得到 $4+6=10$ 位數的回文數:

  1. 把「13」代入 \eqref{1} 式 $H_4= 101\times AB+9\times (B-A)$ 得 $$101\times 13+9\times (3-1) =1313+18=1331;$$
  2. 把「783」代入 \eqref{4} 式 $H_6=1001(ABC)+99(C-A)$ 得 $$1001\times 783+99\times (3-7)=783783-396=783387.$$
  3. 按照分拆插入法把 1331 分拆為 13 與 31, 之後在 13 與 31 之間插入 783387, 就可以得到 10 位數的 $H_{10}=1378338731$.

同樣的方法, 可以得到 52524 與 95049 (196 的第 6、 7 輪顛倒數之和) 各自的 10 位回文數, 請讀者自己完成。

當 $ABCDEF=189108$ 時 (196 的第 8 輪顛倒數之和) , 可以分為 189 與 108 兩部分, 把 189 與 108 分別代入 \eqref{4} 式得 \begin{eqnarray*} 1001\times 189+99\times (9-1)&=&189189+792=189981;\\ 1001\times 108+99\times (8-1)&=&108108+693=108801. \end{eqnarray*} 按照分拆插入法把 189981 分拆為 189 與 981, 之後在 189 與 981 之間插入 108801, 就可以得到 12 位數的 $H_{12}=189108801981$。

同樣的方法可以得到 991089 (196 的第 9 輪顛倒數之和) 的 12 位回文數, 從略。

至此, 解決了「196」及其一連串顛倒數的回文數問題。

應驗了蘇東坡的名言:

蘇東坡曰:「天下無語不成對」 (指對聯) ;
我們對之:「世上有數能轉回」 (回文數) 。

六、回文數幻方

回文數的問世為數字家族增添了迷人的斑斕色彩, 回文數奇妙的性質 , 吸引了眾多數學愛好者為之折腰, 用回文數構造幻方是一個新課題, 廣大幻方愛好者趨之若鶩。 回文數在茫茫數海之中已經是鳳毛麟角, 而既是素數、 又是回文數「雙重身份」的數, 更是寥若晨星。 能否利用這種數字構造出幻方? 回答是肯定的。 圖 2、 圖 3、 圖 4, 是鐘明 (四川一位數學教師) 等幻友, 創作的「回文素數幻方」。

定義: 回文數幻方, 回文素數幻方。

由回文數排列成的幻方, 叫「回文數幻方」。 如果一個幻方的元素既是回文數, 又是素數, 稱為「回文素數幻方」。

3 階回文素數幻方
作者 鐘明 牛國良 曾學涵
189595981103212301146858641
103818301146555641189292981
146252641189898981103515301

圖2. $S_3=439666923$.

圖 2 是由回文素數構成的3階幻方, 它不僅滿足幻方的性質, 而且有如下奇妙的性質; 把這個幻方同時去掉各個元素的首位數和末位數, 稱為「剪頭去尾」。 經過「剪頭去尾」之後, 剩下的方陣仍然是「回文數幻方」。 這樣再次繼續「剪頭去尾」, 剩下的方陣仍然滿足「回文數幻方」的性質。 直到剩下一兵一卒「一位數時」, 仍然保留著幻方的「氣節」, 雖然元素相同。 圖3是依次「剪頭去尾」之後剩下的 4 個 3 階回文數幻方 (雙粗線為界) :

895959803212304685864959593212368586595212858915
038183046555648929298381836555692929818555292159
462526489898980351530625269898935153252898515591
$S_3=13966692$$S_3=196668$$S_3=1665$$S_3=15$

圖3

12721166613353376367
74747351531282116561
15551138317747732423
36263736371545113931

圖 4: $S_4= 139282$.

100050001104222401114848411108434801157555751
103939301109444901156434651101060101114232411
157444751111070111103323301104949401108323801
104333401103828301109333901167454761100161001
119343911156545651101171101103212301104838401

圖 5: $S_5=585111365$.

如果對於圖 4 的 4 階「回文素數幻方」, 進行「剪頭去尾」之後, 每個元素剩下的 3 位數的回文數, 它們仍然滿足「回文數幻方」的性質。 圖 5 亦然。 請讀者自己驗證。

七、回文數平方幻方的構造

筆者構造出平方幻方 , 本文利用回文數構造出 8 階與 9 階回文數平方幻方, 圖 6 是一個用 3 位回文數構成的 8 階平方幻方, 這個幻方的 1 次幻和具有全對稱幻方的性質, 其幻和 $S_8=3916$。 它的 2 次幻和只滿足每行、 每列及兩條對角線等於定值, 即 $S^2_8=2349524$。 這個幻方同樣具有「剪頭、去尾」的性質, 但是與圖 3、 圖 4 所講的「剪頭去尾」是有區別, 前面的「剪頭去尾」是在一個幻方中同時進行的兩種 「手術」, 即既「剪頭」又「去尾」。 而這裏的「剪頭、 去尾」是在兩個幻方中進行的, 或者說分兩次進行的, 先「剪頭」使之成為一個幻方; 再「去尾」又組成一個幻方。 我們在「剪頭、去尾」之間插入「、」號以示區別。 在這裏, 對圖 6 進行「剪頭」手術: 去掉每個元素的第 1 位數, 「剪頭」之後, 剩下的元素仍然是平方幻方 (圖7)。 而「去尾」, 則是去掉圖 6 每個元素的末位數, 「去尾」之後, 剩下的也是平方幻方 (圖8)。 圖 9 是將圖 7 與圖 8 的各個元素合併為 4 位回文數之後, 得到的平方幻方。 亦即, 對於圖 8 的各個元素乘以 100, 再加上圖 7 相同位置上的元素, 就變成 4 位數的回文數平方幻方圖 9。 充分彰顯了能「分」能「合」的性質。

202323848565636717474151
171454737616545868303222
727606161444313232555878
858575212333464141626707
343262505828777656131414
434111676757808525242363
666747424101252373818535
515838353272121404767646

圖 6: $S_8=3916$, $S^2_8= 2349524$.

0223486536177451
7154371645680322
2706614413325578
5875123364412607
4362052877563114
3411765708254263
6647240152731835
1538537221046746
2032845663714715
1745736154863022
7260164431235587
8557213346146270
3426508277651341
4311677580522436
6674421025378153
5183352712407664
圖 7: $S_8=316$, $S^2_8=16724$.圖 8: $S_8=388$, $S^2_8=23060$.

20023223844856656336711747741551
17714554733761165445866830032222
72276006166144443113233255558778
85585775211233334664144162267007
34432662500582287777655613314114
43341111677675578008522524423663
66667447422410012552377381185335
51158338355327721221400476676446

圖 9: $S_8=39116$, $S^2_8=233849924$.

看到圖 6, 圖 7, 圖 8 的 3 個幻方, 勾起了語文老師呂振洲先生猜字謎的回憶: 一車在前, 兩車隨後, 三車飛奔轟轟響; 一口在上, 兩口在下, 三口嘖嘖品瓊漿。 (猜二字, 轟, 品) 看到圖7與圖8, 是由圖9所包含的幻方。亦即圖9是圖7與圖8的「母幻方」, 想起古人一副對聯:

「稻草捆秧父抱子, 竹籃提筍母懷兒。」

讀者朋友, 在這裏是「父抱子」呢?還是「母懷兒」?雖然寫這段文章的時間是父親節。

看到圖6$\sim$圖9 四個幻方的圖形, 想起少年時期數學教師周太順老師的一道趣味算題:

問牧童幾隻羊? 答曰: 前邊 3 隻羊, 後邊 3 隻羊, 左邊 3 隻羊, 右邊 3 隻羊。 (至少幾隻羊?) 。

我們還可以作如下變換, 使得改變後的方陣仍然成為平方幻方:

我們發現, 從圖 6 到圖 15, 由一個平方幻方, 衍生出一系列的平方幻方, 而生生不息。 應驗了老子的至理名言「道生一, 一生二, 二生三, 三生萬, $\ldots$」

2200 3322 8844 5566 6633 7711 4477 1155
1177 4455 7733 6611 5544 8866 3300 2222
7722 6600 1166 4444 3311 2233 5555 8877
8855 5577 2211 3333 4466 1144 6622 7700
3344 2266 5500 8822 7777 6655 1133 4411
4433 1111 6677 7755 8800 5522 2244 3366
6666 7744 4422 1100 2255 3377 8811 5533
5511 8833 3355 2277 1122 4400 7766 6644
$S_8=39908$, $S^2_8=249906140$.

圖10.把圖9的第4位數移到第1位, 其元素變成 $AABB$ 型平方幻方。

2020 3232 8484 5656 6363 7171 4747 1515
1717 4545 7373 6161 5454 8686 3030 2222
7272 6060 1616 4444 3131 2323 5555 8787
8585 5757 2121 3333 4646 1414 6262 7070
3434 2626 5050 8282 7777 6565 1313 4141
4343 1111 6767 7575 8080 5252 2424 3636
6666 7474 4242 1010 2525 3737 8181 5353
5151 8383 3535 2727 1212 4040 7676 6464
$S_8=39188$, $S^2_8=235235060$.

圖11.把圖10的中間兩數對換。 其元素變成 $ABAB$ 型平方幻方。

404064641696811312127261434294943030
343490901474612322109081737260604444
145441212032328888626246461111017574
171701151442426666929228281252414140
686852521010016564155541313026268282
868622221353415150161601050448487272
133321494884842020505074741636210706
103021676670705454242480801535212928
$S_8=78376$, $S^2_8=940940240$.

圖12.對圖11的每個元素乘以2, 得到的平方幻方。

20213233848556576364717247481516
17184546737461625455868730312223
72736061161744453132232455568788
85865758212233344647141562637071
34352627505182837778656613144142
43441112676875768081525324253637
66677475424310112526373881825354
51528384353627281213404176776465
$S_8=39196$, $S^2_8=235313444$.

圖13.對圖11的各個元素都+1, 得到的平方幻方。

20113223847556476354716247381506
17084536736461525445867730212213
72636051160744353122231455468778
85765748211233244637140562537061
34252617504182737768655613044132
43341102675875668071524324153627
66577465423310012516372881725344
51428374352627181203403176676455
$S_8=39116$, $S^2_8=234530324$.

圖14.對於圖 11 各個元素減去 9, 得到的平方幻方。

1011222374754647535461623738 506
7083536636451524445767720211213
62635051 60734352122131445467778
75764748111223243637 40552536061
242516174041727367685556 3043132
3334 102575865667071424314152627
56576465323311516272871724344
4142737425261718 203303166675455
$S_8=31116$, $S^2_8=164298324$.

圖15.對於圖 14, 各元素減去 1000, 得到的平方幻方。

八、五位回文數 8 階平方幻方

圖 16 是一個 8 階回文數平方幻方, 它的 1 次幻和具有全對稱幻方性質。 圖 16 中的各個子陣 $H$、 $Z$、 $A$、 $B$ 分別代表幻方、 自然數方陣、 $A$ 方陣、 $B$ 方陣。 它們的關係 (構造方法) 是: $$H=(h_{ij}) = Z [ (a_{ij}), (b_{ij}) ]\qquad (i,j=1,2,\ldots,8)$$ 即:幻方的元素取自 $Z$ 陣的第 ($a_{ij}$) 行, 第 ($b_{ij}$) 列所對應的元素。

例如: $h_{(1,1)}$ 的元素, 應該取 $Z$ 陣的 第 $(a_{1,1})$ 行, 第 $(b_{1,1})$ 列所對應的元素。 我們發現 $(a_{1,1})$ 位置上的數是 2, $(b_{1,1})$ 位置上的數是 5, 即應該取 $Z$ 陣第 2 行、 第 5 列上的元素 35653, 然後把 35653 填寫在 $h_{(1,1)}$ 的位置上。 餘類推。 我們稱這個方法為「方陣定位法」

$H$:
3565347574910196333678287861685444522722
2474252425881887626761316930394555437673
8717875257237325141546564386836232694049
9202964346366634858453435217127727785158
4151433633653569707984148722272878256465
5848526762742478212895059673763161343534
7323781118574752575232623445449606968386
6636698089425243464327772554558313871217
$S_8=479204$, $S^2_8=32864655044$.
$A$:
23856741
14765832
76143258
85234167
32587614
41678523
67412385
58321476

圖16.五位回文數 8 階平方幻方。

$Z$:
2171222722237322474225752267622777228782
3161332623336333464335653366633767338683
4151442524435344454445554465644757448584
5141552425534355444555455564655747558485
6131662326633366434665356663666737668386
7121772227732377424775257762677727778287
8111882128831388414885158861688717888188
9101992029930399404995059960699707998089
 
$B$:
57138642
42861357
75316824
24683175
13574286
86425713
31752468
68247531

構造圖 16 的自然數方陣。

我們可以改變圖 16 各個元素的位置, 或者「剪頭」, 「去尾」; 或者挑選其中的元素搭配: 前 (後) 2 位、 3 位、 4 位数使之滿足平方幻方的性質。 圖17$\sim$圖24是變換後的平方幻方。

356475910633782861544227
247524881762613930455376
871752237514465386623940
920643366485534217772851
415336653970841722287564
584267742821950673316435
732811574257326445960683
663980425346277554831712
$S_8=4788$, $S^2_8=3281460$.

圖17.用圖 16 各元素的前 3 位數構成的平方幻方。

653574 19336287168445722
742425188267316 39554673
178257732415564683326 49
29346663584435712277158
514633356 79148227782465
485762247128 59376613534
237118475752623544 69386
366 89524643772455138217
$S_8=3204$, $S^2_8=1699044$.

圖18.用圖 16 各元素的後 3 位數構成的平方幻方。

565757101333828616444272
474242818626131303555767
717525373141656868232404
202434666858343171727515
151363535707414222878646
848676424212505737161353
323111747575262454606838
636808252464777545313121
$S_8=3916$, $S^2_8=2349524$.

圖19.用圖16各元素中間的3位數構成的回文數平方幻方。

35534774911963367887866854452222
24425225888876676116933945543773
87787557233251154664388362269449
92296446366348845335211277778558
41143333655697798448722728825665
58852662744782289559677631134334
73378118577525523223444496696886
66669889422434432772555583387117
$S_8=48004$, $S^2_8=330640244$.

圖20.用圖16各元素兩邊各2位數構成的回文數平方幻方。

35654757910163337828861654442272
24745242881876266131930345553767
87177525237351414656386862329404
92026434366648585343217177278515
41513363653597078414722228785646
58482676742482129505673731614353
73238111574725753262445496066838
66369808425234642777554583137121
$S_8=47916$, $S^2_8=328585524$.

圖21.用圖16各元素前4位數構成的平方幻方。

56537574101933368287616844452722
47422425818862671316303955547673
71785257373214156564868323264049
20294346666385843435171272775158
15143633535670794148222787826465
84856762424721285059737616133534
32371118747557522623454460698386
63668089252446437772545531381217
$S_8=39204$, $S^2_8=235375044$.

圖22.用圖16各元素後4位數構成的平方幻方。

3547916378865422
2452887661934537
8775235146386294
9264364853217785
4133659784722856
5826748295673143
7381572532449668
6698423427558371
$S_8=476$, $S^2_8=32564$.

圖23.用圖16各元素的前2位數構成的平方幻方。

5374193687684522
4225886716395473
7857321564832649
2946638435127758
1433567948278265
8562472859761334
3718755223446986
6689244372553817
$S_8=404$, $S^2_8=24644$.

圖24.用圖16各元素的後2位數構成的平方幻方。

九、 9 階回文數平方幻方

圖 25 是一個 9 階回文數平方幻方, $S_9=4950$, $S^2_9=3291285$。 各個子陣 $H$、 $Z$、 $A$、 $B$ 分別代表: 幻方、 自然數方陣、 $A$ 方陣、 $B$ 方陣。 它們的關係 (構造方法) 是: $$H= (h_{ij})=Z[(a_{ij}), (b_{ij})]\qquad (i,j=1,2,\ldots,9)$$ 即: 幻方的元素取自 $Z$ 陣的第 ($a_{ij}$) 行, 第 ($b_{ij}$) 列所對應的元素。

例如: $h_{(1,1)}$的元素, 應該取 $Z$ 陣的第 $(a_{1,1})$ 行, 第 ($b_{1,1}$) 列所對應的元素。 我們發現 ($a_{1,1}$) 位置上的數是 8, ($b_{1,1}$) 位置上的數是 7, 即應該取 $Z$ 陣第 8 行、 第 7 列上的元素 777, 然後把 777 填寫在 $h_{(1,1)}$ 的位置上。 餘類推。 我們稱這個方法為「方陣定位法」

$H$:幻方
777383565212424909646858131
616828101747353535272484969
242454939676888161717323505
363575787404919222838141656
808111626333545757464979282
434949252868171686303515727
585767373929202414151636848
121606818555737343989262474
959232444181666878525707313

$Z$ 陣:
101202303404505606707808909
111212313414515616717818919
121222323424525626727828929
131232333434535636737838939
141242343444545646747848949
151252353454555656757858959
161262363464565666767868969
171272373474575676777878979
181282383484585686787888989

圖25.$S_9=4950$, $S^2_9=3291285$.

8 9 72 3 15 6 47 3 52 4 96 8 1
2 3 15 6 48 9 76 8 17 3 52 4 9
5 6 48 9 72 3 12 4 96 8 17 3 5
7 8 91 2 34 5 63 5 74 9 28 1 6
1 2 34 5 67 8 98 1 63 5 74 9 2
4 5 67 8 91 2 34 9 28 1 63 5 7
9 7 83 1 26 4 55 7 39 2 41 6 8
3 1 26 4 59 7 81 6 85 7 39 2 4
6 4 59 7 83 1 29 2 41 6 85 7 3

$A$ 陣         $B$ 陣

十、結語

回文數是個新問題, 196 回文數的難題, 不知難壞了多少「數學頭腦」。 回文數幻方更是一個新問題, 由此可以繁衍出類似的: 回文數幻圓、回文數幻星, 等等, 希望有興趣的朋友進一步鑽研開發, 得到更加優秀的結果。

還是古人那句話:嚶其鳴矣, 求其友聲。

誠摯感謝:

審稿老師的認真審核與修改, 並提出寶貴的意見和建議。

再感謝 50 多年前教語文的呂振洲老師, 認真審核文章發現其中一個重要的疏漏。 為激勵幻友開發研究多出新成果, 呂老師語重心長的寫道:「 研讀回文, 拍案喜驚。回文數字, 變換無窮。令人激盪, 妙趣橫生。待研開發, 繁衍新生。」

附錄: 8 階回文數雙重幻方淺探

「回文數雙重幻方」是一塊未開發的處女地, 筆者嘗試造出一個回文數雙重幻方以饗幻友, 由於數術低微, 心餘力竭, 未能如願, 今將「半成品」 奉獻給大家, 期待著幻方愛好者把這點瑕疵修正過來, 當然, 我要重書修改者一筆。

$H$:
20000002 30300303 88000088 55500555 11011011 44444444 70077007 60666606
11111111 44044044 70777707 60066006 20200202 30000003 88800888 55000055
70700707 60000006 11100111 44000044 88888888 55055055 20222202 30033003
88088088 55555555 20022002 30333303 70000007 60600606 11000011 44400444
50055005 80888808 33033033 22222222 66000066 77700777 40000004 10100101
66600666 77000077 40400404 10000001 50555505 80088008 33333333 22022022
40444404 10011001 66666666 77077077 33300333 22000022 50500505 80000008
33000033 22200222 50000005 80800808 40044004 10111101 66066066 77777777

上面是一個「積幻方」--- 每行、每列及兩條對角線之積:

$\Pi_8=$6.1578252597,6582307873,7263039017,3732771407,5601656783,9322613120 (61位數)

並且,它們的每行、每列 8 元素之和都等於 380000016, 但是兩條對角線之和不相等, 故權且稱為「積幻方」。

左對角線上 8 元素之和等於 379843816, 右對角線上 8 元素之和等於 380156216。

各行之和:

380000016 380000016 380000016 380000016 380000016 380000016  380000016 380000016

各列之和:

380000016 380000016 380000016 380000016  380000016 380000016  380000016 380000016

距離完整的雙重幻方, 僅僅差對角線之和不相等。

參考資料

[美]李學數。 數學與數學家的故事, 第4冊。上海科學技術出版社。 2015。 [美]陳以鴻(譯)。 數學的奇妙。上海科技教育出版社。 2001。(西奧妮·帕帕斯)。 任現淼。趣味數學365。 北京廣播學院出版社。 1993。 吳振奎等。名人趣題妙解。 天津教育出版社。 2001。 梁培基, 顧同新。 平方幻方與雙重幻方的構造。 數學傳播季刊, 13(3), 65-69 , 1989。 梁培基, 張航輔, 張俠輔。 幻方的一種構造方法。 雲南大學學報, 11(4), 1989。

---本文作者任職中國河南省封丘縣科協---

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