41108 王文素《算學寶鑒》幻圖探奇與五星圖

終極密碼

遊戲規則:本遊戲為猜密碼的遊戲。密碼為0到100之間的其中1個整數,電腦會提示密碼的所在範圍,玩家必須在6次之內猜到密碼才能過關。
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摘要: 《數學傳播》 40 卷 2 期, 刊登了羅見今先生撰寫的 「王文素《算學寶鑒》幻圖的組合意義」, 文中登載了明代數學家王文素在 500 年前構作的一些幻圖, 多姿多彩, 妙趣橫生。 本文在古人的基礎上加以更改, 給出幾個類似王文素幻圖樣式的幻圖: 優化輻轉幻圖、 雙豎花王字圖、 古珞錢圖、 擴大連環圖、 標示圓圈符號的瓔珞圖, 藉以激發初學者的興趣, 發掘文化遺產。 本文增加了新創「五星圖與六星圖」的內容, 並非敝帚自珍, 旨在拋磚引玉。

首先介紹幻圖部分:

一、算學寶鑒之幻圖部分

1.1. 輻轉幻圖

圖 1 是由 1$\sim$33 連續自然數組成的新幻圖, 這個幻圖的 4 條直線上 9 數之和 $=165$、 平方和 $=3949$; 每圓周 8 數之和 $=132$、 平方和 $=2860$。 不妨稱為「優化輻轉幻圖」。

圖1

構造方法: 先造一個 4 階幻方 [5](圖2.a), 再將這個 4 階幻方的每個元素都分別加上 16 得到圖 2.b. 之後, 調換圖 2.b 的 2, 1, 4, 3 行, 為圖 2.c 的 1, 2, 3, 4 行, 把圖 2.a 與圖 2.c 連接起來, 就得到圖 1。

1810151724263130272120
1411543027212017242631
721692318322528291922
1213362829192223183225
圖2.a圖2.b圖2.c

1.2. 雙豎花王字圖

圖 3 是一個「雙豎」花王字圖, 其元素是連續自然數 1$\sim$126, 共構成 22 個連環圓, 每圓上 8 數之和等於 $127\times 4=508$。 圖中數字 1$\sim$22 不僅表示實際數值, 而且代表所在圓的序號。

為紀念王文素在數學方面的豐功偉績, 改用「雙豎花王字圖」表示「王者風範」, 以示敬仰! 倘若文素公在天之靈有知, 當含笑九泉矣!

圖3

1.3. 改變排列的古珞錢圖

圖 4 是一個改變數字排列的古珞錢圖。 圖中數字 1$\sim$25, 不僅表示實際數值, 又分別代表所在圓 1$\sim$25 的序號。 每個圓上 8 個數之和等於 $121\times 4=484$。

圖4

從填寫數字中總結出排列規律, 順手拈來即可填成。其關鍵是在每個圓中:

上、下兩行的一對數字橫向之和等於 121, 例如: $1+120=32+89$, $2+119=33+88$, 等。

左、右兩列的一對數字縱向之和等於 121, 例如 $26+95=27+94$, $30+91=31+90$, 等。

要填寫較大的古珞錢圖只是時間問題, 讀者不妨一試。 倘若填寫成功, 那愉悅愜意的心情難以描述, 自己對自己情不自禁地「嘿嘿」一聲傻笑, 什麼人間煩惱、 什麼寂寞惆悵、 什麼失意彷徨、 什麼悲哀憂傷, 統統都拋到九霄雲外去了!

圖5

1.4. 擴大連環圖

圖 5 是一個擴大元素的連環圖: 由連續自然數 1$\sim$200 所組成, 每個圓上 8 個數之和等於 $201\times 4=804$。 構造方法同上。

1.5. 兩個瓔珞圖

圖 6.A 是用新方法排出的瓔珞圖, 外周 6 個圓與中心圓稱為 7 個基本圓, 其中 1$\sim$7, 不僅表示實際數值, 又分別代表所在圓 1$\sim$7 的序號。 每個圓上 6 個數之和都等於 129。

圖 6.A 的 7 個基本圓由表 1 提供的 6 行 7 列矩陣每列 6 數填寫而成, 各圓 6 數之和都等於 $15+43+71=129$。

圖 6.B 是由改變矩陣的表 2 得到的, 實線所圍的是 7 個基本圓, 各圓 6 數之和都等於 $43\times 3=129$。 具體操作方法同圖 6.A, 但比較簡單。 表 1 與表 2 的排列規律一目了然, 不贅。

由於瓔珞圖優美有趣, 構造方法比較複雜, 原著中作者也沒有提供構造方法, 所以我們構造出兩個與原來不同的瓔珞圖, 當然, 還可以用其他方法構造出更加優美、 絢麗多彩的瓔珞圖。


圖6.A

圖6.B
1234567
141312111098
15161718192021
28272625242322
29303132333435
42414039383736

表 1
1234567
42414039383736
141312111098
29303132333435
15161718192021
28272625242322

表 2

二、五星圖

引言: 把一些零散的數字, 運用特殊的組合方法, 填寫於優美的圖形之中, 使得這個圖形具有一些奇妙的數學性質, 是組合數學研究的課題。 在少年時期曾經填寫過 10 個數的五角星圖, 沒有見到其他形式的五星圖。 本文給出用 15 個數字填寫三圓周的五星圖, 稱為「三圓周五星圖」, 又稱「五星幻圖」, 簡稱「五星圖」。 本文給出了構作五星圖的方法及幾個實例。

2.1. 基本定義

把 15 個互不相同自然數分為 3 組, 分別為:

$a_1$, $a_2$, $a_3$, $a_4$, $a_5$;

$b_1$, $b_2$, $b_3$, $b_4$, $b_5$;

$c_1$, $c_2$, $c_3$, $c_4$, $c_5$。

把這些數填寫在三圓五角星圖案 (圖7.a) 中。

基本定義:

定義1: 填寫在五星圖外部的 5 個數 $a_1\sim a_5$ 稱為外圓元素, 中部的 $b_1\sim b_5$ 為中圓元素, 內部的 $c_1\sim c_5$ 稱內圓元素。

定義2: 外, 中, 內 三圓相鄰的 5 個數字稱為「相鄰五星」。 例如:$a_1$, $b_1$, $c_1$, $b_5$, $c_5$ 五個相鄰元素組成的五角星, 稱為相鄰五星, 餘類推。

定義3: 從外圓各元素出發過中心直線上的 3 個元素, 稱為「直通線 3 元素」。 例如: $a_2$, $b_4$, $c_4$ 是一組直通線 3 元素。 $a_2$ 稱為首端元素、$c_4$ 稱為末端元素。 直通線 3 元素與其末端相鄰的兩個外圓元素之和等於定值, 稱為「3加2」。

若圖 7.a 滿足下列三個條件:

  1. 外、中、內三圓五星上 5 個元素之和都等於定值 ($S_5$)。 即 $$\sum_{i=1}^5 a_i=\sum_{i=1}^5 b_i=\sum_{i=1}^5 c_i=S_5.$$
  2. 每個相鄰五星(共有 5 組解)上 5 個元素之和都等於定值。$\\$ 例如: $a_1+b_1+c_1+b_5+c_5=S_5$ 或者 $a_4+b_4+c_4+b_3+c_3=S_5$ 等 5 組解。
  3. 「3加2」之和, 等於定值。$\\$ 例如: $a_1+a_3+b_3+c_3+a_4=S_5$ 或者 $a_3+b_5+c_5+a_5+a_1=S_5$ 等 5 組解。

則稱為「五星圖」。

2.2. 構造方法及實例

圖7.a是 $a_1\sim a_5$, $b_1\sim b_5$, $c_1\sim c_5$, 15 個元素的排列順序。

圖7.b 是由連續自然數 $1\sim 15$ 構成的五星圖, 其幻和 $S_5=40$

圖7.c 是由 15 個連續素數構成的五星圖, 其幻和 $S_5=129$。


圖7.a

圖7.b

圖7.c

圖 7.b 與圖 7.c 兩個五星圖, 由下列矩陣提供資料, 只需把各個元素按照順序填入五星圖內即可。

填入圖7.b$S_5$填入圖7.c$S_5$
外圓141315740外圓35476113129
中圓814531040中圓432371937129
內圓122611940內圓1741113129129

2.3. 三個同值五星圖

圖 8.a,b,c 是由連續自然數 $1\sim 45$ 構成的 3 個同值五星圖, 各個五星圖的幻和都相等, $S_5=115$。

填入圖8.a$S_5$ 填入圖8.b$S_5$填入圖8.c$S_5$
外圓17404324115外圓24144235115外圓46332745115
中圓342591037115中圓388201435115中圓423391615115
內圓3019223113115內圓1117263229115內圓3628122118115


圖8.a

圖8.b

圖8.c

利用上述方法, 可以造出由連續自然數組成的奇數個同值五星圖。容易證明偶數個同值五星圖, 只能是不連續的數。

2.4. 餘味未盡

有人說:「一本讀不完的書才是好書!」我們說:「大塊硬骨頭才有啃頭!」

自從 1997 年造出五星圖之後, 想到古人「結繩記事」的故事, 於是突發奇想把數字嵌入五星圖中用來紀念香港回歸, 於是誕生了「香港回歸五星圖」。 香港一位教授看到後, 高度讚揚:「香港回歸五星圖, 融知識性、趣味性於一體; 集數學美、藝術美於一圖。既有歷史意義, 又有收藏價值。是一個精美漂亮的傑作, $\ldots$。」

1999 年在人民政協報頭版發表了「澳門回歸五星圖」, 全國各地報刊轉載。

2012 年向國際數學家會議提交「國際數學家會議五星圖」中英文版, 記載了 24 屆數學家會議召開的時間和地點。 美國一位華裔教授要了 5 份, 並說:「要作為最珍貴的禮品送給沒有來參加會議的好友!」

一友贊之曰:

美麗奧妙五星圖,
發表之前世間無。
十五數字填其中,
幻和相等無謬誤。
每圓五數和相等,
相鄰五星和亦同。
直線三數加末鄰,
五數同和妙趣生。

三、六星圖

3.1. 平面六星圖

用連續自然數1, 2,$\ldots$, 13 構成一個「六角星」圖形, 具有下列 4 條基本性質:

1、每圓周上 6 個元素之和都等於定值 $S_6$。

2、每條直線上 4 元素之和等於定值 $S_4$。

3、每個三角形上 3 元素之和等於定值 $S_3$。

4、每個四邊形上 4 元素等於定值 $S_4$。

我們稱之為「六星幻圖」, 簡稱「六星圖」。

六星圖由 3 層數字組成, 所以我們稱為「3階六星圖」。 圖 9.a,b,c,d 是 4 個不同排列的六星圖。


圖9.a

圖9.b

圖9.c

圖9.d

幻六星圖還具有下列奇妙的性質:

性質1: 「點」。關於中心對稱的任意兩點上的兩元素之和都等於 14。

性質2: 「直線」。 6 條直線上每 4 個元素之和 $S_4=28$; 兩個平行線上 4 元素之和、 平方和分別相等, 如 2, 6, 11, 9 與 12, 8, 3, 5 的和 $S^1_4=28$, 平方和 $S^2_4=242$; 6 條過中心直線上 3 元素之和 $S_3=21$ (長短各 3 條)。

性質3: 「三角形」。 6 個小三角形的 $S_3=21$; 並且關於中心對稱的兩個小三角形上面 3 個元素的和、 平方和分別相等。 例如, \begin{eqnarray*} 1+9+11=3+5+13=21,&&1^2+9^2+11^2=3^2+5^2+13^2=203;\\ 9+2+10=4+12+5=21,&&9^2+2^2+10^2=4^2+12^2+5^2=185;\\ 10+8+3=11+6+4=21,&&10^2+8^2+3^2=11^2+6^2+4^2=173\hbox{。} \end{eqnarray*}

兩個大三角形上 9 個元素之和 $S_9=63$。 並且其平方和 $S^2_9=585$。

圖 9.a中, 由 4 元素所構成的三角形, 他們的 1 次和、 2 次和、 3 次和分別相等, 如: \begin{eqnarray*} &&1, 12, 5, 8\ \hbox{與}\ 2, 3, 10, 11\ \hbox{的}\ S^1_4=26,\ S^2_4=234,\ S^3_4=2366;\\ &&2, 6, 9, 13\ \hbox{與}\ 3, 4, 11, 12\ \hbox{的}\ S^1_4=30,\ S^2_4=290,\ S^3_4=3150\hbox{。} \end{eqnarray*}

在圖 9.a 或圖 9.c 中, 將 2, 8, 9 和 3, 4, 12 分別連接成兩個三角形, 每個三角形上 3 個元素的和與連乘積分別相等, 即他們是「3元雙重數組」, $S_3=19$, $\Pi_3=144$, 並且是其「和」最小的雙重數組

再將圖 9.a 或圖 9.c 中的 1, 5, 6 和 2, 3, 7 分別連接成兩個三角形, 每個三角形上 3 個元素的和與平方和分別相等, 即他們是「3元2次等冪和數組」, $S_3=12$, $S^2_3=62$, 並且是最小的「3元2次等冪和數組」。

性質4: 「長方形」。 三個大長方形上面 8 個元素之和 $S_8=56$, 且 3 個小長方形的 $S_4=28$。

性質5: 「平行四邊形」。 任意平行四邊形線上 4 個數或 6 個數之和分別為 $S_4=28$, $S_6=42$。

性質6: 「梯形」。

任意梯形 上 7 元素之和 $S_7=49$, 各 3 組解。

梯形 上 6 元素之和 $S_6=42$, 各 3 組解。

性質7: 「圓」。 以 7 為圓心, 內、 外圓上 6 個元素之和 $S_6=42$, 有 2 組解。

性質8: 「六邊形」。

六邊形 : 線上 10 元素之和 $S_{10}=70$, 有 3 組解; 線上 9 元素之和 $S_{9}=63$, (3 組解); 線上 7 元素之和 $S_{7}=49$, 有 3 組解; 線上 5 元素之和 $S_{5}=35$, 有 3 組解。

性質9: 「菱形」。 菱形線 線上 4 元素之和 $S_{4}=28$, 有 9 組解。$\\$ 雙菱形 線上, 7 元素之和 $S_{7}=49$, 有 3 組解。

有意思的是, 在圖 9.b 中, 奇數分佈在外層與中心, 偶數都在中間層, 可謂「奇偶分明, 毫不混淆」。

圖 10a.b 分別是 5 階六星圖與 6 階六星圖。

圖10.a
圖10.b

3.2. 球體六星圖

把圖 11 的兩個同值六星圖(外周和中心點上的元素相同, 中間層的元素不同), 沿中間縱線, 粘貼在球體上, 使得外周重合。 在這兩個半球上, 兩個六星圖的基本性質不變。故稱為「球體六星圖」[2]。 圖 11 由 1, 2, $\ldots$, 19 所組成, 各個六星圖上的 $S_3=30$, $S_4=40$, $S_6=60$。

圖 11

3.3. 三層球體六星圖

圖 6 是一個三菱形空心球體六星圖, 由 1, 2, $\ldots$, 25 所組成, 各個六星圖上的 $S_3=39$, $S_4=52$, $S_6=78$。 按箭頭所示方向, 向中心折疊, 令外周元素重合, 在中心位置上可以得到一個「三層的六星圖」。

圖 12

3.4. 七層球體六星圖

圖 13 是一個七層球體六星圖, 由 1, 2, $\ldots$, 49 所組成, 各個六星圖上的 3 個數、 4 個數、 6 個數之和都分別等於不同的定值: $S_3=75$, $S_4=100$, $S_6=150$。 如果把週邊的六個六星圖, 按照箭頭所示方向, 向中心折疊, 令中心點重合, 在中間位置上可以得到一個「七層六星圖」。

圖 13

另外, 介紹一個用「數字三角形」砌塊構成 ------

四、奇妙的 6 階幻方

原來對於 6 階幻方有一種「偏見」, 認為它比較乏味, 並且不容易構造。 上海一家報紙登載過「 6 階幻方變化少」的文章, 一直在腦海裏迴盪, 揮抹不去對 6 階幻方偏見的陰影。 後來仔細鑽研發現有很多奇妙的性質, 今將 1990 年前設計的 6 階幻方晾曬出來, 供幻友「欣賞」。 並且這個幻方中含有 4 個有趣的「王字」 (圖C), 藉以紀念在數學方面有卓越貢獻的明代數學家王文素老先生。

4.1. 三角形砌塊幻方

在構造幻方的方法中, 大多是把正方形, 或者長方形經過「拼湊」、 「疊加」、 「擴展」、 「加框」等方法組成幻方。還沒有見到用三角形堆積起來成為一個幻方的。

圖 A 是一個全部由三角形組成的6階幻方, 我們稱為「三角形砌塊幻方」, 它的幻和 $S_6=111$。 它由 4 個大三角形, 分佈在四隅角(虛線三角形所圍)。 每個大三角形上 6 個元素之和恰巧等於幻和 $S_6=111$;

圖 A            圖 B            圖 C

為了便於敘述我們把圖 A 的 6 階幻方 $H$ 分為 4 個子塊: $$H=\left(\begin{array}{c|c} H_{11}&H_{12}\\\hline H_{21}&H_{22} \end{array}\right)$$ 圖 A 中心的 4 個小三角形(實線所示)之和分別是: $H_{11}$ 小三角形之和等於 67, $H_{12}$ 小三角形之和等於 44 , $H_{21}$ 小三角形之和等於 44, $H_{22}$ 小三角形之和等於 67。 因此, $H_{11}$ 上的小三角形可以與 $H_{12}$ 搭配、 也可與 $H_{21}$ 搭配, 使得兩個小三角形上 6 個數之和等於幻和 $S_6=111$。 它可以上通下達, 左右逢源。 其它 3 個小三角形亦然。

一個小小幻方竟然兼「連橫、合縱」於一「方」, 超過蘇秦加張儀能量的總和, 厲害!

除了這個 6 階幻方我不知道是否還有另外由三角形組成的幻方呢? 因此, 應該摒除對 6 階幻方的偏見。 然而, 這個 6 階幻方的奇妙之處還多著呢!

進一步研究發現了圖 A 的平方和性質 :

第 1 列上 6 個數的平方和與第 6 列上 6 個數的平方和之和等於 3155,

第 2 列上 6 個數的平方和與第 5 列上 6 個數的平方和之和等於 2255,

第 3 列上 6 個數的平方和與第 4 列上 6 個數的平方和之和等於 2693。

我們約定用 $\triangle_6^2$ 表示大三角形上 6 個數的平方和, 用 $\triangle_3^2$ 表示小三角形上 3 個數的平方和。

則: $H_{11}\triangle_6^2=H_{12}\triangle_6^2=2745$; $H_{21}\triangle_6^2=H_{22}\triangle_6^2=3029$;

於是, $H_{11}\triangle_6^2+H_{21}\triangle_6^2$ 或者 $H_{11}\triangle_6^2+H_{22}\triangle_6^2$ 的平方和都等於 $2745+3029$;

同樣, $H_{12}\triangle_6^2+H_{21}\triangle_6^2$ 或者 $H_{11}\triangle_6^2+H_{22}\triangle_6^2$ 的平方和都等於 $2745+3029$;

又及, $H_{11}\triangle_3^2=1649$, $H_{12}\triangle_3^2=798$, $H_{21}\triangle_3^2=680$, $H_{22}\triangle_3^2=1531$, 於是 \begin{eqnarray*} H_{11}\triangle_3^2+H_{21}\triangle_3^2&=&1649+680=2329,\\ H_{12}\triangle_3^2+H_{22}\triangle_3^2&=&798+1531=2329. \end{eqnarray*}

為了深入研究我們根據三角形砌塊幻方的性質, 在三個幻方上畫出不同形狀的折線 (圖B), 其實圖 B 與圖 A 及圖 C 的元素都一模一樣。

這個幻方還具有偉大發明家「富蘭克林幻方」的部分性質, 富蘭克林幻方有很多奇妙的性質, 迄今為止富蘭克林幻方是奇妙性質最多的幻方, 北京大學出版社出版的《有趣的數論》(潘承彪 譯)一書, 稱為「最神奇的幻方」而享譽世界。 富蘭克林幻方開「曲線幻方」研究之先河, 深受幻方愛好者敬仰, 敬佩, 敬慕!

行直通「$\vee$」性質:

從左上角的 1 出發, 向右下方的 14, 20 斜行前進; 再由 17 向右上方的 23 斜行, 到 36 為止, 這 6 個數之和等於 111。 所經過的路線像字母「$\vee$」的形狀, 所以稱為「$\vee$」形性質。 也可以按照翻轉的「$\wedge$」形線前進, 如: 31, 14, 29, 8, 23, 6 這 6 個數之和也等於 111 (圖 B 虛線所示)。 不僅如此, 還可以從 1, 14, 一直到底行的 2; 再經過 35, 直至 23, 到 36, 這 6 個數之和仍然等於 111 (細實線所示)。 也可以選 2 與 35 所在的兩列同一行上任意一對數字, 因為它們是關於 37 互補的元素對, 所以都成立。 這一性質稱為「行直通$\vee$」性質。 遺憾的是不能滿足各列的「$\vee$」形線性質。 細實線所示的圖形像一個美麗的花瓶, 要大要小, 悉聽尊便。 如果顛倒過來, 就像幽默大師卓別林的帽子!

行直通「W」性質:

在圖 B 中, 兩(或三) 行 W 形線上 6 數之和等於 111, 如雙線所示 $30+28+10+27+9+7$, 也可以改變 W 的形狀, 使得這個 W 更加蜿蜒曲折, 例如:

11, 13, 20, 17, 24, 26; 也可以, 1, 28, 29, 8, 9, 36。

也可以把 W 反轉過來, 例如

34, 14, 20, 17, 23, 3; (最多只能取 3 行上的數字)。

當選定左半部 3 數之後, 右半部的數字是關於 37 互補的元素對, 任意兩 (或三) 行都可以, 所以稱為「行直通 W 性質」。

我們還可以在 $H_{11}$ 從新組成一個三角形 1, 32, 31; 那麼與其對應的 $H_{12}$ 中的 5, 6, 36 也一個三角形, 它們 6 個數之和等於 111。

根據左 ($H_{11}$ 與 $H_{21}$)、 右 ($H_{12}$ 與 $H_{22}$)兩邊對稱元素互補的原理:

在 $H_{11}$ 上: 任意選 3 個數, 與 $H_{12}$ 對應的 3 數搭配, 這 6 個數之和都等於 111,

即: 在 $H_{11}$ 和 $H_{12}$ 任意選取 $k$ $(k\le 18)$ 個數, 與 $H_{21}$ 和 $H_{22}$ 對應的 $k$ $(k\le 18)$ 個數搭配, 這 $2k$ 個數之和等於 $37k$。

在圖 C 中:

$H_{11}$ 的「王」字上的 9 個數與 $H_{12}$ 的 9 個數之和等於 $37\times 9=333$.

$H_{11}$ 的「王」字上的 9 個數與 $H_{21}$ 的 9 個數之和等於 $37\times 9=333$.

$H_{21}$ 的「王」字上的 9 個數與 $H_{22}$ 的 9 個數之和等於 $37\times 9=333$.

4.2. 三角形砌塊幻方的淵源

有興趣的讀者, 不妨查看古老的洛書 (下圖), 即可發現其中奧秘:

在 $\bigcirc\hskip -9pt 1$ 中, 三角形內的 3, 4, 5 是享譽國際的勾股弦定理;

在 $\bigcirc\hskip -8.5pt 2$ 中, $1\!+\!5\!+\!6=2\!+\!3\!+\!7$; $1^2\!+\!5^2\!+\!6^2\!=\!2^2\!+\!3^2\!+\!7^2$ 是最小的 3 元等冪和數組, 華羅庚先生錄入《數論導引》;

在 $\bigcirc\hskip -8.5pt 3$ 中, $9^3=8^3+1^3+6^3$。 (九天在上, 以三生萬的磅礴氣勢涵蓋天下萬物)。

無論是偶然巧合, 還是精確計算, 這些了不起的成果都在我國的洛書裏, 並且都是以三角形的圖形出現, 這些奇妙的三角形強烈激發了筆者的極大好奇心。 於是, 萌發了把三角形安置在幻方中的「奇思異想」, 經過無數次地揣摩、變換、對調, $\ldots$, 竟然又一次「天道酬勤」!

還是蘇東坡那句話:「舊書不厭百遍讀, 深思熟慮子自知。」 天下知道「洛書」的人, 從古至今不少於億萬, 很多人感覺「有趣」、 「好玩」而已。有幾人能夠真正用「心」去看、去悟、去作呢? 一位「幻友」看到筆者的「四季數」(數學傳播, 待刊) 感慨的說: 又被你摘取了一個令人「遺憾」的「成果」! 古老的洛書蘊藏著無窮無盡的珍寶, 等待有興趣的人們開發、擷取。

一位朋友看到這個 6 階三角形砌塊幻方深情的说: 『沒見過這類幻方, 是一個新的發現, 這個6階幻方是滿足三角形砌塊幻方的最低階幻方, 也是滿足富蘭克林幻方「行 V 形線」兼「行 W 形線」上 6 個元素之和等於定值的最低階幻方, 是三角形砌塊幻方的先例, 為構造幻方提供了一個新的方法。』

聰明的讀者朋友, 希望造出類似的幻方, 以和其弦! ------ 嚶其鳴矣, 求其友聲!

參考文獻

羅見今。 王文素《算學寶鑒》幻圖的組合意義。數學傳播季刊, 40(2), 45-56, 2016。 李國偉。論保其壽的渾圓圖。 第一屆科學史研討會彙刊, 中央研究院, 台北, 67-79, 1986。 華羅庚。數論導引。科學出版社, 1957。 梁培基, 張航輔。幻方的一種構作方法。雲南大學學報, 1989年四期。 梁培基。偶數階幻方的快速構作。 數學傳播季刊, 20(4), 88-92, 1996。 梁培基, 張忠輔。 雙重數組方程解。 數學通報, 中國數學會, 1993年三期。 張忠輔, 梁培基。一類方程組解的唯一性。 佛山大學學報, 1995 年 12 期。

---本文作者任職中國河南省封丘縣科協---