41105 回響:橢圓光學性質的向量證明

終極密碼

遊戲規則:本遊戲為猜密碼的遊戲。密碼為0到100之間的其中1個整數,電腦會提示密碼的所在範圍,玩家必須在6次之內猜到密碼才能過關。
★ 終極密碼為0到100之間 ★
您共有六次機會

在數學傳播 158 期「橢圓的曲率公式和萬有引力的平方反比規律」一文第二節中(參考 ), 作者使用平面向量研究曲線上質點運動與曲線的曲率、 曲率半徑的關係, 簡潔易懂, 因此引發筆者的研究興趣。

在本文中, 筆者也將以向量的觀點研究沿著橢圓軌跡運動的一質點, 並證明《橢圓的光學性質》, 以下是對該性質的敘述, 隨後則是筆者的證明:

橢圓的光學性質: 如下圖, 令橢圓長軸長為 $2a$、 焦距為 $c$, 設兩焦點為 $F_1$、 $F_2$。 $P$ 為橢圓上一運動質點, $A$、$B$ 為過 $P$ 的橢圓切線上、位於 $P$ 點不同側的兩點:

圖1

則不論 $P$ 在橢圓上的哪個位置, 均有 $\angle APF_1=\angle BPF_2$。

證明: 令位置向量 $X_1=\overrightarrow {F_1P}$, $X_2=\overrightarrow {F_2P}$, 兩者均以時間 $t$ 為變數, 則根據定義有 \begin{eqnarray} |X_1|+|X_2|&=&2a\label{1}\\ X_1-X_2&=&\overrightarrow {F_1F_2}\label{2} \end{eqnarray} 注意 $\overrightarrow {F_1F_2}$ 是長度為 $2c$ 的常向量。 將 \eqref{2} 式等號兩側對時間 $t$ 微分, 可知 \begin{equation} X'_1-X'_2=(0,0)\Rightarrow X'_1=X'_2\label{3} \end{equation} 又因為位置向量 $X_1$ 對時間 $t$ 微分, 即為圖 1 動點 $P$ 在橢圓上移動的速度向量(切向量), 設其為 $V$, 同理向量 $X_2$ 對 $t$ 的微分也是, 因此由 \eqref{3} 可知 \begin{equation} X'_1=X'_2=V\label{4} \end{equation}在圖 1 中令 $\angle APF_1=\theta_1$, $\angle BPF_2=\theta_2$, 假設 $P$ 沿著橢圓進行逆時針方向運動, 此時圖 1 中點 $P$ 的運動情形可參考下圖:

圖2

一般來說, 求向量 $X(x(t),y(t))$ 的長度 $|X|$ 對時間 $t$ 的導函數時, 將有 \begin{eqnarray*} \frac{d|X|}{dt}&=&\frac{d(\sqrt{x(t)^2+y(t)^2})}{dt}=\frac{2x(t)x'(t)+2y(t)y'(t)}{2\sqrt{x(t)^2+y(t)^2}}\\ &=&\frac{(x(t),y(t))\cdot (x'(t),y'(t))}{|X|}=\frac{X\cdot X'}{|X|} \end{eqnarray*} 因此, 取 \eqref{1} 式兩側對時間 $t$ 的導函數可得 \begin{equation} \frac{X_1\cdot X'_1}{|X_1|}+\frac{X_2\cdot X'_2}{|X_2|}=0\label{5} \end{equation} 由 \eqref{4}, \eqref{5} 式並參考圖 2, 由內積定義可知 \begin{eqnarray*} \frac{X_1\cdot V}{|X_1|}+\frac{X_2\cdot V}{|X_2|}=0&\Rightarrow&\frac{X_2\cdot V}{|X_2|}=\frac{-X_1\cdot V}{|X_1|}\\ &\Rightarrow&\frac{(-X_2)\cdot (-V)}{|-X_2||-V|}=\frac{(-X_1)\cdot V}{|-X_1||V|}\Rightarrow\cos\theta_2=\cos\theta_1\\ &\Rightarrow&\theta_1=\theta_2\quad \hbox{或}\quad \theta_1+\theta_2=2\pi \end{eqnarray*} 但由圖 2 可知 $\angle F_1PF_2\ge 0$, 故 $\theta_1+\theta_2\le \theta_1+\theta_2+\angle F_1PF_2=\pi$, 因此得到 $\theta_1=\theta_2\Rightarrow \angle APF_1=\angle BPF_2$, 這樣就證出了橢圓的光學性質。

值得一提的是, 在 文末的註 5 中, 作者以平面幾何的方法巧妙地證明了橢圓的「焦切距乘積定理」, 證明中也使用了 《橢圓的光學性質》, 因此筆者寫下本文的一點研究心得, 希望也可供對 文有興趣的讀者參考。

參考資料

張海潮, 莊正良。橢圓的曲率公式和萬有引力的平方反比規律。數學傳播季刊, 40(2), 24-34, 2016。

---本文作者任職麥當勞竹南民權中心---

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