40411 三個著名定理的等價證明

終極密碼

遊戲規則:本遊戲為猜密碼的遊戲。密碼為0到100之間的其中1個整數,電腦會提示密碼的所在範圍,玩家必須在6次之內猜到密碼才能過關。
★ 終極密碼為0到100之間 ★
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在幾何學發展的歷史長河中, 人們先後發現許多經久不衰的平面幾何定理, 其中托勒密定理、斯德瓦特定理和西姆松定理尤為著名。

托勒密定理: 圓內接四邊形兩組對邊乘積之和等於兩對角線乘積。

如圖1, 四邊形 $ABCD$ 是 $\odot O$ 的圓內接四邊形, 則 $AB\cdot CD+BC\cdot AD=AC\cdot BD$。

圖1

簡證: 作 $\angle ACB=\angle DCE$。

易證 $\triangle ACB \sim \triangle DCE$, $\triangle ACD \sim\triangle BCE$。 $$\therefore\ \frac{AB}{DE}=\frac{AC}{CD},\qquad \frac{AC}{BC}=\frac{AD}{BE}.~\hskip 5cm~$$ 即 $AB\cdot CD=AC\cdot DE$, $BC\cdot AD=AC\cdot BE$。

$\therefore\ AB\cdot CD+BC\cdot AD=AC(DE+BE)=AC\cdot BD$。

說明: (1) 對於任意凸四邊形 $ABCD$, 必有 $AB\cdot CD+BC\cdot AD\ge AC\cdot BD$, 當且僅當四邊形 $ABCD$ 是圓內接四邊形時等號成立。

(2)托勒密定理有逆定理: 如果一個四邊形兩組對邊乘積之和等於兩對角線乘積, 那麼這個四邊形內接於圓。

斯德瓦特定理: 如圖 2, 點 $P$ 為 $\triangle ABC$ 的 $BC$ 邊上異於 $B$、$C$ 點的任意一點, 連結 $AP$, 則 $AB^2\cdot PC+AC^2\cdot BP=AP^2\cdot BC+BP\cdot PC\cdot BC$。

圖2

簡證: 設 $\angle APB=\theta $, 則 $\angle APC=180^\circ-\theta $。

由餘弦定理, 得

$AB^2=AP^2+BP^2-2AP\cdot BP\cdot \cos\theta$,

$AC^2=AP^2+PC^2+2AP\cdot PC\cdot\cos\theta$。

$\therefore\, AB^2\!\cdot\! PC\!+\!AC^2\!\cdot\! BP\!=\!AP^2(PC\!+\!BP)\!+\!BP\!\cdot\! PC(BP\!+\!CP)\!=\!AP^2\!\cdot\! BC\!+\!BP\!\cdot\! PC\!\cdot\! BC$。

說明: 證明斯德瓦特定理亦可過點 $A$ 作 $BC$ 邊上的高, 利用畢氏定理進行證明。

西姆松定理: 三角形外接圓上任意一點向三邊(或其延長線)所作垂線的垂足共線。

如圖3, 點 $P$ 為 $\triangle ABC$ 的外接圓上任意一點, 過點 $P$ 分別作 $PD\bot AB$ 於 $D$, $PE\bot AC$ 於 $E$, $PF\bot BC$ 於 $F$, 則點 $D$、 $E$、 $F$ 共線。

圖3

簡證: 連結 $BP$、 $CP$。

由 $PD\bot AB$, $PF\bot BC$, 知點 $B$、 $D$、 $F$、 $P$ 四點共圓,

$\therefore\ \angle BFD=\angle BPD$。

由 $PE\bot AC$, $PF\bot BC$, 知點 $E$、 $C$、 $F$、 $P$ 四點共圓,

$\therefore\ \angle CFE=\angle CPE$。

而 $\angle DBP=\angle PCE$, $\therefore\ \angle BPD=\angle CPE$。

$\therefore \angle BFD=\angle CFE$。

$\therefore\ \angle DFC+\angle CFE=\angle DFC+\angle BFD=180^\circ$, 即點 $D$、 $E$、 $F$ 共線。

說明: 西姆松定理亦有逆定理: 從一點向三角形三邊(或其延長線)所作垂線的垂足如果共線, 那麼該點在三角形的外接圓上。

對於上面三個定理, 無論是從定理內容, 還是從定理的證明過程來看, 似乎沒有什麼聯繫。 筆者通過深入研究發現, 三個定理其實是等價的。即托勒密定理 $\Leftrightarrow$ 斯德瓦特定理 $\Leftrightarrow$ 西姆松定理。 下面來證明這三個定理的等價性。

圖4

一、托勒密定理 $\Leftrightarrow$ 斯德瓦特定理

(a) 托勒密定理 $\Rightarrow$ 斯德瓦特定理

已知: 如圖 4, 點 $P$ 為 $\triangle ABC$ 的 $BC$ 邊上異於 $B$、$C$ 點的任意一點, 連結 $AP$, 則 $AB^2\cdot PC+AC^2\cdot BP=AP^2\cdot BC+BP\cdot PC\cdot BC$。

證明: 作 $\triangle ABC$ 的外接圓, 延長 $AP$ 交外接圓於點 $D$。 連結 $BD$、$CD$。

由托勒密定理, 得 \begin{equation} AB\cdot CD+AC\cdot BD=AD\cdot BC.\label{1} \end{equation} 由相交弦定理, 得 \begin{equation} BP\cdot PC=AP\cdot PD. \qquad \therefore PD=\frac{BP\cdot PC}{AP}.\label{2} \end{equation} 易證 $\triangle APC\sim \triangle BPD$, $\triangle APB\sim \triangle CPD$。 \begin{eqnarray} \therefore\ &&\frac{AC}{BD}=\frac{AP}{BP},\qquad \frac{AB}{CD}=\frac{AP}{PC}.\nonumber\\ \therefore\ &&BD=\frac{AC\cdot BP}{AP},\label{3}\\ &&CD=\frac{AB\cdot PC}{AP}.\label{4} \end{eqnarray} 將 \eqref{2}、\eqref{3}、\eqref{4} 代入 \eqref{1}, 得 $$AB\cdot\frac{AB\cdot PC}{AP}+AC\cdot\frac{AC\cdot BP}{AP}=\Big(AP+\frac{BP\cdot PC}{AP}\Big)\cdot BC.$$ 整理, 得 $AB^2\cdot PC+AC^2\cdot BP=AP^2\cdot BC+BP\cdot PC\cdot BC$。

(b) 斯德瓦特定理 $\Rightarrow$ 托勒密定理

將托勒密定理 $\Rightarrow$ 斯德瓦特定理的證明過程一步步逆向推理, 即可由斯德瓦特定理 $\Rightarrow$ 托勒密定理。

由 (a)、 (b) 可知, 托勒密定理 $\Leftrightarrow$ 斯德瓦特定理。

圖5

二、西姆松定理 $\Leftrightarrow$ 托勒密定理

(a) 西姆松定理 $\Rightarrow$ 托勒密定理

如圖5, 四邊形 $ABCD$ 是 $\odot O$ 的內接四邊形, 則 $AB\cdot CD+BC\cdot AD=AC\cdot BD$。

證明: 過點 $D$ 分別作 $DE\bot AB$ 於 $E$, $DF\bot AC$ 於 $F$, $DH\bot BC$ 於 $H$。 連結 $EF$、$FH$、$EH$。 由西姆松定理,

得 \begin{equation} EF+FH=EH.\label{5} \end{equation}

由 $DE\bot AB$, $DF\bot AC$, 知點 $A$、$E$、$F$、$D$ 四點共圓, 且 $AD$ 是該圓的直徑。

在 $\triangle AEF$ 中, 由正弦定理, 得 $\dfrac{EF}{\sin A}=AD$, $\therefore\ EF=AD\cdot \sin A$。

在 $\triangle ABC$ 中, 由正弦定理, 得 $\dfrac{BC}{\sin A}=2R$ ($R$為 $\odot O$ 的半徑), $\therefore\ \sin A=\dfrac{BC}{2R}$。 \begin{eqnarray} \therefore\ EF&=&\frac{AD\cdot BC}{2R}.\label{6}\\ \hbox{同理}\ FH&=&\frac{AB\cdot CD}{2R},\label{7}\\ EH&=&\frac{AC\cdot BD}{2R},\label{8} \end{eqnarray}

將 \eqref{6}、\eqref{7}、\eqref{8} 代入 \eqref{5}, 得 $\dfrac{AD\cdot BC}{2R}+\dfrac{AB\cdot CD}{2R} =\dfrac{AC\cdot BD}{2R}$。

整理, 得 $AB\cdot CD+BC\cdot AD=AC\cdot BD$。

(b) 托勒密定理 $\Rightarrow$ 西姆松定理

將西姆松定理 $\Rightarrow$ 托勒密定理的證明過程一步步逆向推理, 即可由托勒密定理 $\Rightarrow$ 西姆松定理。

由(a)、(b)可知, 托勒密定理 $\Leftrightarrow$ 斯德瓦特定理。

既然托勒密定理 $\Leftrightarrow$ 斯德瓦特定理, 西姆松定理 $\Leftrightarrow$ 托勒密定理, 因此必有斯德瓦特定理 $\Leftrightarrow$ 西姆松定理, 從而托勒密定理 $\Leftrightarrow$ 斯德瓦特定理 $\Leftrightarrow$ 西姆松定理。

以上三個著名的定理雖然是不同國家的數學家在不同年代發現的, 但其等價說明這三個定理只是表達形式不同而已, 其本質是一樣的。 研究定理是否等價, 有利於揭示定理的本質, 以便我們更好地把握定理本身。

---本文作者任教湖北省襄陽市襄州區黃集鎮初級中學---