40311 一道不等式的再證

終極密碼

遊戲規則:本遊戲為猜密碼的遊戲。密碼為0到100之間的其中1個整數,電腦會提示密碼的所在範圍,玩家必須在6次之內猜到密碼才能過關。
★ 終極密碼為0到100之間 ★
您共有六次機會

命題: 若 $a_1,a_2,\ldots,a_n$ 為滿足 $\sum\limits_{i=1}^n a_i=1$ 的正數, $\lambda\ge \dfrac 1{n^2}$, 則 $$\Big(a_1+\frac{\lambda}{a_1}\Big)\Big(a_2+\frac{\lambda}{a_2}\Big)\cdots\Big(a_n+\frac{\lambda}{a_n}\Big)\ge \Big(\frac 1 n +n{\lambda}\Big)^n.$$

在 142 期的 $[從 Cauchy 不等式的一種證法談起]$ 和 151 期的 $[回響 : 一道不等式的另一種證法]$ 兩文中, 作者給出了兩種不同的證法, 這裡筆者採用 「以直代曲」的思想, 給出一種新的證法。

證明: 首先證明, 當 $t\gt 0$, $\lambda\ge \dfrac 1{n^2}$ 時, 有 $$\ln\Big(t+\frac \lambda t\Big)\ge \frac{n-\lambda n^3}{1+\lambda n^2}\Big(t-\frac 1n\Big)+\ln\Big(\frac 1n+n\lambda\Big).$$ 構造函數 $F(t)=\ln\Big(t+\dfrac \lambda t\Big)-\dfrac{n-\lambda n^3}{1+\lambda n^2}\Big(t-\dfrac 1n\Big)-\ln\Big(\dfrac 1n+n\lambda\Big)\ (t\gt 0)$, 則 $$F'(t)=\frac{t^2-\lambda}{t^3+\lambda t}-\frac{n-\lambda n^3}{1+\lambda n^2}= \frac{n(\lambda n^2-1)t^3+(\lambda n^2+1)t^2+\lambda n(\lambda n^2-1)t-\lambda-\lambda^2n^2}{(t^3+\lambda t)(\lambda n^2+1)}.$$ 令 $G(t)=n(\lambda n^2-1)t^3+(\lambda n^2+1)t^2+\lambda n(\lambda n^2-1)t-\lambda-\lambda^2 n^2\ (t\gt 0)$, 則 $$G'(t)=3n(\lambda n^2-1)t^2+2(\lambda n^2+1)t+\lambda n(\lambda n^2-1).$$

由 $t\gt 0$ 和 $\lambda\ge \dfrac 1{n^2}$ 得 $G'(t)\gt 0$, 函數 $G(t)$ 在 $t\in (0,+\infty)$ 上單調遞增。

又 $G\Big(\dfrac 1n\Big)=0$ 可知: 當 $t\in\Big(0,\dfrac 1n\Big)$ 時, $G(t)\lt 0$, $F'(t)\lt 0$, $F(t)$ 在 $t\in\Big(0,\dfrac 1n\Big)$ 上單調遞減; 當 $t\in\Big(\dfrac 1n,+\infty\Big)$ 時, $G(t)\gt 0$, $F'(t)\gt 0$, $F(t)$ 在 $t\in \Big(\dfrac 1n,+\infty\Big)$ 上單調遞增。 從而 $F(t)$ 的最小值 $F_{\rm min}(t)=F\Big(\dfrac 1n\Big)=0$, 進而 $$\ln\Big(t+\dfrac \lambda t\Big)\ge \dfrac{n-\lambda n^3}{1+\lambda n^2}\Big(t-\dfrac 1n\Big)+\ln\Big(\dfrac 1n+n\lambda\Big).$$ 於是 $$\ln\Big(a_1+\dfrac \lambda{a_1}\Big)+\ln\Big(a_2+\dfrac \lambda{a_2}\Big)+\cdots+\ln\Big(a_n+\dfrac \lambda{a_n}\Big) \\ \ge \frac{n-\lambda n^3}{1+\lambda n^2}\Big[\sum_{i=1}^n a_i-1\Big]+n\ln \Big(\dfrac 1n +n \lambda\Big),$$ 則 $$\ln \Big[\Big(a_1+\dfrac \lambda{a_1}\Big)\Big(a_2+\dfrac \lambda{a_2}\Big)\cdots\Big(a_n+\dfrac \lambda{a_n}\Big)\Big] \ge \ln\Big(\dfrac 1n+n\lambda\Big)^n,$$ 故 $$\Big(a_1+\frac{\lambda}{a_1}\Big)\Big(a_2+\frac{\lambda}{a_2}\Big)\cdots\Big(a_n+\frac{\lambda}{a_n}\Big)\ge \Big(\frac 1 n +n{\lambda}\Big)^n.$$

---本文作者任教山東省泰安市甯陽縣第一中學---