40309 優化幻方的構作

終極密碼

遊戲規則:本遊戲為猜密碼的遊戲。密碼為0到100之間的其中1個整數,電腦會提示密碼的所在範圍,玩家必須在6次之內猜到密碼才能過關。
★ 終極密碼為0到100之間 ★
您共有六次機會

JavaScript 產生幻方:
奇數階魔幻方陣(3,5,7,9,11,13,15,17)
4n階魔幻方陣 (4,8,12,16)
4n+2階魔幻方陣 (6,10,14,18)

社會在發展, 人類在進化, 幻方也增加了「新品種」。 本文介紹一種「優化幻方」, 爲幻方家族增添更加迷人的斑斕色彩。
本文給出了用「方陣定位法」 構作 $n=3k\pm 1$ ($k=2, 4,\ldots)$、 $n=3k$ ($k\ge 3$ 的奇數)階、 $n=4k$ ($k\ge 2$) 階優化幻方及 $n=4k+2$ ($k=1,2,\ldots$) 階「廣義優化幻方」的方法。

1. 基本定義

定義1: 自然數方陣。把 $n^2$ 個自然數填入 $n$ 行 $n$ 列的正方形中, 這個填滿數字的正方形就叫「自然數方陣」。 簡稱 $Z$ 陣, $Z=(z_{ij})$ $(i,j=1,2, \ldots, n)$。 一個方陣的每行、每列有 $n$個元素就叫 $n$ 階方陣。與幻方中所稱的「階」相同。 在圖 1 中, $Z$ 與 $H$ 分別是 4 階幻方的自然數方陣和全對稱幻方。

$Z$
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 16

$S_4=34$   $H$
1 15 10 8
12 6 3 13
7 9 16 2
14 4 5 11
圖 1

定義2: 幻方。 把連續自然數 $1, 2, \ldots, n^2$ 排成 $n$ 行、 $n$ 列的方陣, 使得這個方陣的每行、 每列及兩條對角線上 $n$ 個元素之和都等於定值, 這個方陣稱為幻方。 古代稱為「洛書」, 又叫「縱橫圖」。 幻方的定值叫「幻和」, $n$ 階幻方的幻和記作 $S_n$。

定義3: 優化方陣。 由 $1,2,\ldots,n$ 各 $n$ 個元素構成的 $n$ 階方陣, 若每行、 每列及每條對角線(包括折斷對角線)上 $n$ 個元素之和都等於定值, 並且關於中心對稱的兩元素之和都相等, 稱爲「優化方陣」。 應當說明的是, 優化方陣的各行、 各列及對角線上允許有相同元素。

定義4: 優化幻方。 在一個幻方中, 同時具有下列兩個性質, 則稱爲「優化幻方」:

在 $n$ 階方陣 $A=(a_{ij})$ 中, 我們分別稱 $$\sum_{j=1}^{n-p} a_{j+p,j}+\sum_{j=n+1-p}^{n} a_{j+p-n,j}\quad \hbox{與}\quad \sum_{j=1}^{n-p} a_{n+1-p-j,j}+\sum_{j=n+1-p}^{n} a_{2n+1-p-j,j}\quad (p=1,2,\ldots)$$ 為 $A$ 的左與右折斷對角線元素和。

  1. 在一個幻方中, 每條對角線(包括折斷對角線)上 $n$ 個元素之和都等於幻和, 稱為「全對稱幻方」
  2. 關於中心對稱的兩個元素之和都相等。

定義5: 正交方陣。 設兩個 $n$ 階方陣 $A=(a_{ij})$ 與 $B=(b_{ij})$、 ($i,j=1, 2, \ldots, n$), 將取自 $A$、 $B$ 相同位置的 $(i,j)$ 處的二元素構作有序偶 $(a_{ij}, b_{ij})$, 若 $n\times n$ 個有序偶 $(a_{ij},b_{ij})$ ($i,j=1,2,\ldots,n$) 兩兩不同, 則稱 $A$ 與 $B$ 相互正交。 在方陣 $A$ 與 $B$ 的各行、 各列及對角線上允許有相同元素。

定義6: 廣義幻方。如果一個幻方的元素不是由連續自然數 $1,2,\ldots,n^2$ 所組成, 就叫「廣義幻方」。 如果一個廣義幻方具有每行、 每列及每條對角線(包括折斷對角線)上 $n$ 個元素之和都等於廣義幻方的定值, 並且關於中心對稱的兩元素之和都相等, 則稱爲「優化廣義幻方」。

定義7: 方陣定位法。 用兩個正交方陣 $A$ 與 $B$ 的有序偶 $(a_{ij},b_{ij})$ 為行、列座標, 來確定幻方 $H$ 陣的元素, 稱為「方陣定位法」。 又叫「座標定位法」。

定義8: 循環方陣。 當設定方陣的第 1 行元素之後, 確定一個 $x$ 列為「循環點」。 以圖 2A 為例, 循環點是每行的第 3 列。 首先把第 1 行的 5,2,4 依次填入第 2 行的第 $1\sim 3$ 列的位置上, 再把循環點前面的 1, 3 依次填入第 $2$ 行第 4, 5 列的位置上。 用上述方法填寫第 $3, 4, \ldots, n$ 行的元素, 完成 $n$ 階方陣。 這個方法是把一行數字看作是一個閉合圓環, 從循環點開始依次填入一行, 循環而生成的, 所以叫「循環方陣」。 圖 2A 就是一個 5 階循環方陣, 循環點是每行的第 3 列。 圖 2B 也是一個循環方陣, 其循環點是每行的第 4 列。 循環方陣在構作奇數階幻方時非常方便

2. 構作方法

對於 $n$ 階幻方, 根據構作方法可劃分為: $n=2k+1$、 $n=4k$、 $n=4k+2$ ($k=1,2,\ldots$) 階, 三種形式。

已經有人證明不存在由連續自然數構成的 $n=4k+2$ ($k=1,2,\ldots)$ 階「全對稱幻方」, 因之, 也不存在由連續自然數構成的 $n=4k+2$ ($k=1,2,\ldots$) 階「優化幻方」。

今將 $2k+1$ ($\ge 1$)、 $4k$ ($k\ge 2$) 階優化幻方及 $4k+2$ ($k\ge 1$) 階「廣義優化幻方」的構作方法分述如下。

我們把奇數階幻方分為 $3k\pm 1$ ($k=2,4,\ldots$) 階與 $3k$ ($k\ge 3$ 的奇數)階來討論:

2.1. $3k\pm 1$ 階優化幻方的構作

當 $n=3k\pm 1$ ($k=2,4,\ldots$) 用方陣定位法構造一個循環方陣 $A$, 循環點是 $(n+1)/2$ 列, 這個方陣符合優化方陣的條件, 再將 $A$ 陣左右旋轉 180 度, 得到 $B$ 陣, $A$ 與 $B$ 是正交方陣,

構成的方陣 $H=(h_{ij})$ 是一個優化幻方。

也可以經過計算得出優化幻方, 令 $h_{ij}=n(a_{ij}-1)+b_{ij}$ ($i,j=1,2, \ldots, n$),則 $H=(h_{ij})$ 是優化幻方。

圖 2 分別是 $n=5$ 的 $A$、 $B$、 $Z$ 與 $H$ 陣。

$A$
1 3 5 2 4
5 2 4 1 3
4 1 3 5 2
3 5 2 4 1
2 4 1 3 5

$B$
4 2 5 3 1
3 1 4 2 5
2 5 3 1 4
1 4 2 5 3
5 3 1 4 2

$Z$
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10
11 12 13 14 15
16 17 18 19 20
21 22 23 24 25

$H$   $S_5=65$
4 12 25 8 16
23 6 19 2 15
17 5 13 21 9
11 24 7 20 3
10 18 1 14 22
圖 2

由於 $B$ 陣是 $A$ 陣的列變換方陣, 所以構造 $A$ 陣是關鍵, $3k\pm 1$ ($k=2,4,\ldots$) 階 $A$ 陣的構造可用兩種方法。

方法一: 按如下步驟進行:

步驟 1. 先作第 1 行, 令 $a_{1,j}=2j-1$ (mod $n$) ($1\le a_{1j}\le n$; $j=1, 2, \ldots, n$)。

步驟 2. 選取 $(n+1)/2$ 列 (又叫「中列」)為循環點, 按照循環方陣的方法, 向第 2 行、 第 3 行, 至第 $n$ 行循環, 完成循環方陣 $A$。

方法二:

先把奇數 $1, 3, \ldots, n$ 直接填入第 1 行的第 1 列至第 $(n+1)/2$ 列(中列), 把偶數 $2, 4, \ldots, n-1$ 填入中列 $+1$ 列至第 $n$ 列, 完成第 1 行。

取第 1 行的「中列」為循環點, 按照循環方陣的方法, 向下循環填寫, 完成循環方陣 $A$。

無論使用方法一或方法二, 都可以得到同樣的結果, 殊途而同歸。 這兩種方法都可以得到任意奇數 ($n=3,5,\ldots$) 階的幻方。只不過, 當 $n$ 是 3 的倍數時, 得到的幻方不能滿足折斷對角線之和等於定值, 只能得到普通幻方而不能滿足優化幻方的性質, 請讀者自己探索。 本構造方法及定理的證明參閱

2.2. 當 $n=3k$ ($k\ge 3$ 的奇數) 階優化幻方的構作

當 $n=3k$ ($k\ge 3$ 的奇數) 時, 用方陣定位法構造出符合「優化方陣」條件的兩個正交方陣 $A=(a_{ij})$ 與 $B=(b_{ij})$ ($i, j=1,2,\ldots,n$)。 圖 3 是 9 階優化幻方的 $A$ 與 $H$, $h_{ij} =n( a_{ij}-1)+ b_{ij}$ ($H$爲幻方, 下同)。

$b_{ij}=a_{i, n-j +1}$ 略。

$A$
1 4 5 6 9 7 8 2 3
9 7 8 2 3 1 4 5 6
3 1 4 5 6 9 7 8 2
6 9 7 8 2 3 1 4 5
2 3 1 4 5 6 9 7 8
5 6 9 7 8 2 3 1 4
8 2 3 1 4 5 6 9 7
4 5 6 9 7 8 2 3 1
7 8 2 3 1 4 5 6 9

$H$   $S_9=369$
3 29 44 52 81 60 68 13 19
78 59 67 10 21 2 35 43 54
20 8 34 45 51 77 58 64 12
50 76 55 66 11 26 7 36 42
17 25 9 33 41 49 73 57 65
40 46 75 56 71 16 27 6 32
70 18 24 5 31 37 48 74 62
28 39 47 80 61 72 15 23 4
63 69 14 22 1 30 38 53 79
圖 3

容易發現, 圖 3 的 $A$ 陣具有優化方陣的性質, 由於$A$ 與 $B$ 是正交方陣, 故得到的 $H$ 是一個優化幻方。 構造 $A$ 陣的關鍵環節在於 $A$ 陣的中間行。 當 $k= 3$ 時, 中間行的元素設計(當然, 有多種設計)爲: $$2,\ 3 ,\ 1,\ 4,\ 5,\ 6,\ 9,\ 7,\ 8$$

在中間行中, 它們的第 1, 4, 7 列、第 2, 5, 8 列及第 3, 6, 9 列上的3個元素之和都等於 15, 並且關於中心對稱的兩元素之和相等。

當 $k\ge 5$ 的奇數時, 把 $1, 2, \ldots, 3k$ 構成一個 3 行 $k$ 列的矩陣 $E =(e_{ij})$ ($i=1,2,3$; $j=1,2, \ldots, k$) $$e_{ij}=\left\{\begin{array}{lcl} i+1,&\qquad&i=1,2,\ j=1.\\ 1,&&i=3,\ j=1.\\ 3(j-1)+i,&&i=1,2,3,\ j=2,4,\ldots,k-1.\\ 3j-i+1,&&i=1,2,3,\ j=3,5,\ldots,k-2.\\ n,&&i=1,\ j=k.\\ n+i-4,&&i=2,3,\ j=k. \end{array}\right.$$

令 $E$ 陣的 $1,2, \ldots, k$ 列上的元素, 依次爲 $A$ 陣中間行的第 $1,2, \ldots, n$ 列上的元素。

這裡給出 $k=3$、 5、 7、 9、 11 的 3 行 $k$ 列 $E$ 陣的實例, 以饗幻友。

k=3
249
357
168

k=5
2491015
3581113
1671214

k=7
24910151621
35811141719
16712131820

k=9
249101516212227
358111417202325
167121318192426

k=11
2491015162122272833
3581114172023262931
1671213181924253032

構造 $E$ 陣的方法是, 首先確定第 1 列和第 $k$ 列上的 3 個元素。 第 1 列的 3 個元素從第 1 行 $\sim$ 第 3 行分別是 2, 3, 1; 第 $k$ 列的 3 個元素從第 1 行 $\sim$ 第 3 行分別是 $n$, $n-2$, $n-1$。

再從第 2 列開始, 按照由小到大、 從上到下的順序排列, 第 2 列與第 3 列兩個相連數字在底部呈 $\cup$ 形連接, 第 3 列與第 4 列兩個相連數字在頂部呈顛倒的「$\cap$」形連接。 這樣輾轉連接的規律是:在同列的 3 個數中, 凡是大偶數在下面的與下一列相連數呈 $\cup$ 形連接, 凡是大奇數在上面的與下一列相連數呈 $\cap$ 形連接, 直到第 $k-1$ 列。 也就是說, 第 $2,4,\ldots, k-1$ 列是按照小數在上、 大數在下的順序排列; 第 $3,5,\ldots,k-2$ 列是按照小數在下、 大數在上的順序排列。 從第 2 列至第 $k-1$ 列 (粗實線所圍部分) 好像一個迴形針一樣, 把「芸芸眾數」上通下達、 左聯右合, 維繫在一起, 雖然經過了蜿蜒曲折的行程, 終究還是組合在一起完成了構造 $E$ 陣的大業。 又像古籍中的「尺蠖之屈」, 也好像我國傳統的「富貴不斷頭」圖案一樣美麗漂亮。 其規律一目了然。

完成了3行、 $k$ 列的 $E$ 陣之後, 再把 $D$ 陣生成 $A$ 陣, 以 $k\!=\!3$ 為例, 按照下列步驟進行;

第一步, 把 $E$ 陣生成 $A$ 陣的中間行:

把 $D$ 陣第一列上的 2、3、1, 依次填入圖 3A 中間行的第 1, 2, 3 列的位置上;

把 $D$ 陣第二列上的 4、5、6,依次填入圖 3A 中間行的第 4, 5, 6,列的位置上;

把 $D$ 陣第三列上的 9、7、8,依次填入圖 3A 中間行的第 7, 8, 9, 列的位置上。

(圖 3A 中間行所示的粗體字)

這個方法好像小朋友玩的「多米諾骨牌」。 不妨把 $D$ 陣每列上的 3 個元素看作是一個豎直的多米諾骨牌, 從後方(右)加力, 使骨牌(列元素)向前(左)傾倒。 把這些平鋪在地面上的數字, 按照從左到右的順序直接填寫到 $A$ 陣中間行的第 $1,2, \ldots, n$ 列的位置上。 當然, 不能重疊。

第二步:由 $A$ 陣的中間行生成完整的 $A$ 陣

(1) 利用循環方陣的方法, 以中間行的「中列」為循環點, 向下循環, 完成中間行以下部分。

(2) 中間行以上部分, 可以用中間行的「中列+1列」為循環點, 從中間行向中間行 $-1$ 行, 中間行 $-2$ 行, $\ldots$, 第 1 行, 逐行向上反循環, 得到 $A$ 陣。 也可以利用關於中心對稱的兩元素之和等於 $n+1$ 的關係, 計算出 $A$ 陣的上部分, 來完成 $A$ 陣。

第三步: 由 $A$ 生成優化幻方 $H$

令 $h_{ij}=n(a_{ij}-1)+ a_{i,n-j+1}$ ($i,j=1,2,\ldots,n$), 則 $H=(h_{ij})$ ($i, j=1,\ldots,n$) 是 $3k$ 階優化幻方。

3. $4k$ 階優化幻方的構作

容易證明不存在 4 階優化幻方。 當 $n=4k$ ($k=2,3,\ldots$)時, 不妨分爲 $k\ge 2$ 的偶數及 $k\ge 3$ 的奇數兩種情形來討論:

3.1. 當 $k\ge 2$ 的偶數時

我們先給出一個 $n=8$ 的實例 (圖4)。

在圖 4 中, 優化幻方H是由 $A$ 陣經過計算得到的, 計算公式為 $h_{ij} =n(a_{ij}-1)+ a_{ji}$ ($i,j=1,2, \ldots, n$)。

$A$
1 7 6 4 4 6 7 1
8 2 3 5 5 3 2 8
1 7 6 4 4 6 7 1
8 2 3 5 5 3 2 8
1 7 6 4 4 6 7 1
8 2 3 5 5 3 2 8
1 7 6 4 4 6 7 1
8 2 3 5 5 3 2 8

$H$   $S_8=260$
1 56 41 32 25 48 49 8
63 10 23 34 39 18 15 58
6 51 46 27 30 43 54 3
60 13 20 37 36 21 12 61
4 53 44 29 28 45 52 5
62 11 22 35 38 19 14 59
7 50 47 26 31 42 55 2
57 16 17 40 33 24 9 64
圖 4

上例表明, 要造出 $A$ 陣, 只需要作出一個 2 行, $2k$ 列的矩陣 $D=(d_{ij})$ ($i=1,2$; $j=1,2,\ldots,2k$) 即可, 並將其排列在 $A$ 陣的第 1 行與第 2 行的第 $1,2,\ldots,2k$ 列的位置上。 $A$ 陣左半部其餘各行($3\sim n$)上的元素是第 1 行與第 2 行上諸元素的重復; 右半部是左半部的反射, 利用這些性質, 可以很快造出 $A$ 陣, 再按照上述計算公式由 $A$ 陣生成優化幻方。

當 $k\ge 2$ 的偶數時, 設 $t=k/2$, $D$ 陣的造法如下: $$d_{ij}=\left\{\begin{array}{lcl} j&\quad~&\left\{\begin{array}{l} i=1,\ j=1,2,\ldots,t;\ 3t+1,3t+2,\ldots,4t\\ i=2,\ j=t+1,t+2,\ldots,3t \end{array} \right.\\ n-j+1&&\left\{\begin{array}{l} i=1,\ j=t+1,t+2,\ldots,3t\\ i=2,\ j=1,2,\ldots,t;\ 3t+1,3t+2,\ldots,4t \end{array} \right. \end{array} \right.$$

又由於 $D$ 陣第 2 行上諸元素與第 1 行相對應的兩個元素關於 $n+1$ 互補, 所以作出 $D$ 陣的第 1 行, 即可生成 $D$ 陣, 再由 $D$ 陣生成 $A$ 陣。

我們給出 $k=2,4,6,8,10$, $D$ 陣的實例:

k=2
1764
8235

k=4
121413121178
16153456109

k=6
123212019181716101112
242322456789151413

k=8
1234282726252423222113141516
323130295678910111220191817

k=10
12345353433323130292827261617181920
403938373667891011121314152524232221

我們觀察這些 $D$ 陣中的大、 小數字 (粗實線所圍) 之排列, 好像兩個碗和盤子, 一仰、一合, 整齊有序。 看到這個圖像, 不禁想起《周易》中的「艮仰盂, 震覆碗」的卦象。 不料想, 八卦的優美圖形竟然在這裡展現, 有趣!

3.2. 當 $k\ge 3$ 的奇數時

$A$ 陣的構作仍然按照 $k\ge 2$ 的偶數的方法進行, 先作出一個 2 行, $2k$ 列的矩陣 $D=(d_{ij})$ ($i=1,2$; $j=1,2,\ldots,2k$), 再由 $D$ 陣生成 $A$ 陣 (方法同上)。

當 $k= 3$ 時, $$D=\left(\begin{array}{cccccc} 1,&11,&3,&9,&8,&7\\ 12,&2,&10,&4,&5,&6 \end{array}\right)$$

當 $k\ge 5$ 的奇數時, $t=(k-3)/2$, $D$ 陣的造法如下 $$d_{ij}=\left\{\begin{array}{lcl} j&\quad~&\left\{\begin{array}{l} i=1,\ j=1,2,\ldots,t;\ 3t+1,\ 3t+2,\ldots,4t+1;4t+3.\\ i=2,\ j=t+1,t+2,\ldots,3t;\ 4t+2,\ 4t+4,\ 4t+5,\ 4t+6. \end{array} \right.\\ n-j+1&&\left\{\begin{array}{l} i=1,\ j=t+1,t+2,\ldots,3t;\ 4t+2,\ 4t+4,\ 4t+5,\ 4t+6.\\ i=2,\ j=1,2,\ldots,t;\ 3t+1,3t+2,\ldots,4t+1;\ 4t+3. \end{array} \right. \end{array} \right.$$

當 $k\ge 3$ 的奇數時, $k=3,5,7,9$ 的 $D$ 陣實例如下:

k=3
1113987
12210456

k=5
1191845157131211
202317166148910

k=7
12262524237891011171615
282734562221291018121314

k=9
123333231302928101112132315212019
363534456789272625241422161718
-->

這些 $D$ 陣的特點是, 前部分的大、 小數, 像「艮仰盂, 震覆碗」的圖像; 後部分(粗實線所圍的長方形)的 6 列是 $k=3$ 的傳承, 當 $k\gt 3$ 時, 後邊的 6 列只是在 $k=3$ 的基礎上依次加 4 所得。

4. $4k+2$ 階廣義優化幻方的構作

  $4k+2$ 階廣義優化幻方的構作, 仍然按分爲兩種情形討論:

4.1. 當 $k$ 爲奇數時

如果把 $1,2, \ldots, 4k+2$ 分爲其和相等的兩組, 顯然是不可能的。 但, 我們可以用擴大元素值的方法, 將 $1,2, \ldots, 2k+1$ 與 $2k+3,2k+4, \ldots, 4k+3$ 分爲其和相等的兩組。

$k=1$ 的例:

    把 $\left(\begin{array}{ccc} 1 ,& 2,& 3\\ 7,& 6,&5\end{array}\right)$   變換爲  $\left(\begin{array}{ccc} 1 ,& 6,& 5\\ 7,& 2,&3\end{array}\right)$ 即可。

圖 5 是 $n=6$ 的例, $H=(h_{ij})$ ($i,j=1,2,\ldots,n$). $h_{ij}=(a_{ij}-1)*(n+1)+a_{ji}$ ($i,j=1,2,\ldots,n$)。

$A$
1 6 5 5 6 1
7 2 3 3 2 7
1 6 5 5 6 1
7 2 3 3 2 7
1 6 5 5 6 1
7 2 3 3 2 7

$H$   $S_6=150$
1 42 29 35 36 7
48 9 20 16 13 44
5 38 33 31 40 3
47 10 19 17 12 45
6 37 34 30 41 2
43 14 15 21 8 49
圖 5

當 $n\ge 3$ 的奇數時, 仍然可構造一個 2 行, $2k$ 列的矩陣 $D=(d_{ij})$ ($i=1,2; j=1,2,\ldots,2k$), 設 $t=(k-1)/2$, $D$ 陣的造法如下: $$d_{ij}=\left\{\begin{array}{lcl} j&\quad~&\left\{\begin{array}{l} i=1,\ j=1,2,\ldots,t;\ 3t+1,\ 3t+2,\ldots,4t+1.\\ i=2,\ j=t+1,t+2,\ldots,3t;\ 4t+2,\ 4t+3. \end{array} \right.\\ n-j+2&&\left\{\begin{array}{l} i=1,\ j=t+1,t+2,\ldots,3t;\ 4t+2,\ 4t+3.\\ i=2,\ j=1,2,\ldots,t;\ 3t+1,\ 3t+2,\ldots,4t+1. \end{array} \right. \end{array} \right.$$ 當 $n=4k+2$ ($k=1,3,5,7$) 時, $D$ 陣的實例如下:

k=1
165
723

k=3
1141345109
1523121167

k=5
12212019187891413
232234561716151011

k=7
123282726252423101112131817
313029456789222120191415

這些 $D$ 陣的前部分的大、 小數仍然是「艮仰盂, 震覆碗」的圖像,可說是「以不變應萬變」; 後部分(粗實線所圍) 3 列是 $k=1$ 的傳承, 當 $k\gt 1$ 時, 後邊的 3 列, 只是在 $k=1$ 的基礎上依次加 4 所得。

4.2. 當 $k$ 爲偶數時

圖 6 是 $k=2$, $n=10$ 階的 $A$ 陣與 $H$ 陣:

$A$
1 12 3 10 9 9 10 3 12 1
13 2 11 4 5 5 4 11 2 13
1 12 3 10 9 9 10 3 12 1
13 2 11 4 5 5 4 11 2 13
1 12 3 10 9 9 10 3 12 1
13 2 11 4 5 5 4 11 2 13
1 12 3 10 9 9 10 3 12 1
13 2 11 4 5 5 4 11 2 13
1 12 3 10 9 9 10 3 12 1
13 2 11 4 5 5 4 11 2 13

$H$   $S_{10}=850$
1 156 27 130 105 117 118 39 144 13
168 15 142 41 64 54 51 132 25 158
3 154 29 128 107 115 120 37 146 11
166 17 140 43 62 56 49 134 23 160
9 148 35 122 113 109 126 31 152 5
165 18 139 44 61 57 48 135 22 161
10 147 36 121 114 108 127 30 153 4
159 24 133 50 55 63 42 141 16 167
12 145 38 119 116 106 129 28 155 2
157 26 131 52 53 65 40 143 14 169
圖 6

在圖 6 中, $H=(h_{ij})$ ($i,j=1,2,\ldots,n$), $h_{ij} =(a_{ij}-1 )*(n+3)+a_{ji}$ ($i,j=1,2,\ldots,n$)。

其 $A$ 陣仍然由 2 行、 $2k$ 列的 $D$ 陣生成。

當 $k\ge 4$ 的偶數時, 設 $t=(k-1)/2$, $D$ 陣的造法如下:    $$d_{ij}=\left\{\begin{array}{lcl} j&\quad~&\left\{\begin{array}{l} i=1,\ j=1,2,\ldots,t;\ 3t+1,\ 3t+2,\ldots,4t+1;\ 4t+3.\\ i=2,\ j=t+1,t+2,\ldots,3t;\ 4t+2,\ 4t+4,\ 4t+5. \end{array} \right.\\ n-j+4&&\left\{\begin{array}{l} i=1,\ j=t+1,t+2,\ldots,3t;\ 4t+2,\ 4t+4,\ 4t+5.\\ i=2,\ j=1,2,\ldots,t;\ 3t+1,\ 3t+2,\ldots,4t+1;\ 4t+3. \end{array} \right. \end{array} \right.$$ 當 $k\ge 2$ 的偶數時, $k=2,4,6,8$, $D$ 陣的例子如下:

k=2
1123109
1321145

k=4
12019451671413
2123181761589

k=6
122726252478920111817
2928345623222110191213

k=8
1233433323130291011121324152221
3736354567892827262514231617

這些 $D$ 陣的特點是, 前部分大、 小數仍然像「艮仰盂, 震覆碗」; 後部分(粗實線所圍)是 $k=2$ 的傳承, 當 $k\gt 2$ 時, 後邊的 5 列, 只是在 $k=2$ 的基礎上依次加 4 所得。 真是一如既往的 $D$ 陣!

完成 $D$ 陣之後, 按照前面所提供的方法, 可以作出 $A$ 陣, 再由 $A$ 陣作出廣義優化幻方, 就易如反掌了。

利用電腦構作幻方, 更是「唾手可得」。

另外, 介紹一個 25 階優化幻方, 並且它還是一個平方幻方。 有興趣的讀者不妨「解剖」一下, 得出這個幻方的 $A$ 陣與 $B$ 陣, 它可以使你解決 $n\times n$ ($n\ge 3$) 的奇數階平方幻方以及雙重幻方。 引玉之磚如下: 幻和 $S_{25}=7825$; 平方幻方 $S^2_{25}=3263025$。

446 459 492 380 413 552 590 623 506 544 58 91 104 12 50 189 222 235 143 151 320 328 361 274 282
570 578 611 524 532 71 84 117 5 38 177 215 248 131 169 308 341 354 262 300 439 472 485 393 401
64 97 110 18 26 195 203 236 149 157 321 334 367 255 288 427 465 498 381 419 558 591 604 512 550
183 216 229 137 175 314 347 360 268 276 445 453 486 399 407 571 584 617 505 538 52 90 123 6 44
302 340 373 256 294 433 466 479 387 425 564 597 610 518 526 70 78 111 24 32 196 209 242 130 163
409 442 455 488 396 540 573 581 619 502 41 54 87 125 8 172 185 218 226 139 278 311 349 357 270
528 561 599 607 520 34 67 80 113 21 165 198 206 244 127 291 304 337 375 258 422 435 468 476 389
47 60 93 101 14 153 186 224 232 145 284 317 330 363 271 415 448 456 494 377 541 554 587 625 508
166 179 212 250 133 297 310 343 351 264 403 436 474 482 395 534 567 580 613 521 40 73 81 119 2
290 323 331 369 252 416 429 462 500 383 547 560 593 601 514 28 61 99 107 20 159 192 205 238 146
392 405 438 471 484 523 531 569 577 615 4 37 75 83 116 135 168 176 214 247 261 299 307 345 353
511 549 557 595 603 17 30 63 96 109 148 156 194 202 240 254 287 325 333 366 385 418 426 464 497
10 43 51 89 122 136 174 182 220 228 267 280 313 346 359 398 406 444 452 490 504 537 575 583 616
129 162 200 208 241 260 293 301 339 372 386 424 432 470 478 517 530 563 596 609 23 31 69 77 115
273 281 319 327 365 379 412 450 458 491 510 543 551 589 622 11 49 57 95 103 142 155 188 221 234
480 388 421 434 467 606 519 527 565 598 112 25 33 66 79 243 126 164 197 210 374 257 295 303 336
624 507 545 553 586 105 13 46 59 92 231 144 152 190 223 362 275 283 316 329 493 376 414 447 460
118 1 39 72 85 249 132 170 178 211 355 263 296 309 342 481 394 402 440 473 612 525 533 566 579
237 150 158 191 204 368 251 289 322 335 499 382 420 428 461 605 513 546 559 592 106 19 27 65 98
356 269 277 315 348 487 400 408 441 454 618 501 539 572 585 124 7 45 53 86 230 138 171 184 217
463 496 384 417 430 594 602 515 548 556 100 108 16 29 62 201 239 147 160 193 332 370 253 286 324
582 620 503 536 574 88 121 9 42 55 219 227 140 173 181 350 358 266 279 312 451 489 397 410 443
76 114 22 35 68 207 245 128 161 199 338 371 259 292 305 469 477 390 423 431 600 608 516 529 562
225 233 141 154 187 326 364 272 285 318 457 495 378 411 449 588 621 509 542 555 94 102 15 48 56
344 352 265 298 306 475 483 391 404 437 576 614 522 535 568 82 120 3 36 74 213 246 134 167 180

參考資料

梁培基, 張航輔, 張俠輔。 幻方的一種構作方法。 雲南大學學報,4(1989)。 梁培基,張航輔。 $4k$ 階全對稱幻方的一種快速構作方法。 數學傳播季刊, 17(4), 87-92, 1993. 孫榮國。 關於全幻方的存在性。 全國第三屆組合數學學術會議, 1987. 5.

---本文作者任職河南省封丘縣科協---