40206 王文素《算學寶鑒》幻圖的組合意義

摘要: 明代王文素的《算學寶鑒》(1524)中繪有輻輳、花王字、古珞錢、連環、瓔珞和三同六變共 6 種幻圖。 本文重繪這些圖, 將其共同特點用統一的代數符號表示, 分析其各集合的構造方法, 推廣為一般組合計數和設計問題; 提出「王文素問題」, 沿著他的思路, 求出原著條件下三類問題的解。 關鍵字: 明代數學家王文素, 《算學寶鑒》, 幻圖, 組合計數, 區組設計。

1. 明代珠算大師王文素和《算學寶鑒》

王文素, 字尚彬, 山西汾州 (今汾陽市)人, 約於 1465 年出生於一位晉商的家庭中。 「自幼穎悟, 涉獵書史, 諸子百家, 無不知者, 尤長於演算法, 留心通證」(寶朝珍語)。 他也說自己「留心算學, 手不釋卷, 三十餘年, 頗諳乘除之路。 嘗取諸家算書讀之」, 成為那個時代成就最突出的算家。 自古晉地多儒商, 對計算數學和珠算的發展, 殊多貢獻。 明成化 (1465$\sim$1487)年間, 他隨父到河北饒陽經商, 遂定居。 王文素正德八年(1513)著成《通證古今算學寶鑒》30多卷, 有寶朝珍序。 嘉靖三年 (1524) 完成巨著《新集通證古今算學寶鑒》12 本 42 卷, 近 50 萬字, 通稱《算學寶鑒》。 該書努力修正刻本的舛訛, 「誤者改之, 繁者刪之, 闕者補之, 亂者理之, 斷者續之」, 克紹其裘, 筆耕不輟, 「鐵硯磨穿三兩個, 毛錐乏盡幾千根」, 將 1234 個問題厘為 42 卷, 終於撰成此煌煌巨著。

但遺憾的是, 兩種稿本均未出版, 正如他在詩中所寫 :「有意刊傳財力寡, 無人成就恨嗟多」, 對於明代數學的發展, 亦是一重大損失。 此後四百年間未見各收藏家及公私書目著錄, 民國年間由北京圖書館於舊書肆中發現一藍格抄本而得以入藏。 1993 年王文素《算學寶鑒》書稿影印版由《中國科學技術典籍通匯·數學卷》刊出$^{1}$, 2008 年《算學寶鑒校注》由科學出版社出版$^{{2}}$。 數學史、珠算史家李培業認為王文素是明代最傑出的數學家, 《算學寶鑒》是中算史上第一部珠算著作$^{{3}}$, 得到學界認可。 由於傳統數學的離散傳統, 加以珠算同計數密切相關, 該書中也有不少屬於組合數學史的內容, 即如以下縱橫圖中 5 種幻圖和「三同六變」問題。

2. 王文素構造的 5種花形幻圖

《算學寶鑒》卷首圖錄共有20幅圖: 除前 10 幅河洛、六觚、方圓、度量衡、五辰、五音、律呂之外, 還有後 10 幅縱橫圖: 洛書均數、花十六、求等、方勝、輻輳、花王字、古珞錢、連環、瓔珞和三同六異。 前 4 幅方形圖歸為幻方類; 後6幅花形圖可稱為幻圖類, 兩者的構造同屬縱橫圖模式, 而條件和方法多變。 輻輳圖與楊輝《續古摘奇算法》攢九圖相似而不同, 排法較簡; 連環圖楊輝用 72 數排成 9 環, 王文素用 120 數排成25環, 更為複雜。 後 6 圖表達了複雜的設計思想和計數方法。 末幅「三同六變」是王文素問題的代表, 辟為一節專題分析。王文素將設計縱橫圖總的原則寫成「求等口訣」:

「求寄如條首1 1 諸本將原稿中字解作「鼠」, 但其意義為「首」, 如二十三卷「首尾差分」, 可證首尾非「鼠尾」。 尾繩, 根梢搭配便相停, 往還盤折2 2 諸本將原稿中字解作「巧」, 實應為「折」, 系原稿書誤。 橫先等, 對換編排豎3 3 訣中「橫」、「豎」意義明確, 對仗工整, 原稿將「豎」字誤書為「登」。 亦同」。

原稿「」意為「首」, 多種寫法, 後錯抄為「鼠」; 常與「尾」連用, 並非「鼠尾」。 上訣首句意為將經配置的連續自然數首尾兩數位置對換, 在構造幻方中經常用到。 該訣可以概括為十六字:「首尾對調, 根梢搭配, 往還盤折, 對換編排」, 體現了均衡配置的思想。

幻圖該如何解讀? 屬於數學的哪一類? 如將其設計數據代數化, 問題一般便成為: (a) 從 $m=2nk$ 個連續自然數 (一般從 1 開始) 中選擇 $k$ ($k\ge 2$) 個不同的數聚為 1 組 (group), 使得每組之和皆等於 $p$, 共能聚成多少 (設為 $S$) 組? (b) 從 $S$ 組中選擇 $n$ ($n\ge 2$) 個互不重複的組構成 1 局 (block), 每局任兩組間可有 $j=0$, 1 個元重複, 共能構成多少 (設為 $T$) 局?

這應是在計數基礎上的一個設計 (block design) 問題。 原著雖未提出, 但存在求 $S$ 和 $T$ 的要求, 形式紛繁複雜, 十分難解, 可稱為「王文素問題」, 具有組合學意義。 另外, 如何構圖亦不易, 原著未給出構造法, 潘紅麗「王文素《算學寶鑒》縱橫圖初探」[4] (簡稱「初探」) 已做初步解釋。 本文試圖從計數和設計的角度參加這一討論。

圖1: 王文素的輻輳圖

2.1. 輻輳圖

輻輳圖(圖1)將從 1 開始的 $m=33$ 個連續自然數配置在呈米字形交叉的 $n=4$ 條線段上, 每線包含 $2k+1=9$ 個數, 均含共用的中心 33, 其和皆為 $p=33\times 4+33=165$。 除中心外每線上的 8 數, 按「根梢搭配」, 均可兩兩結合成 33 : $32+1=31+2=\cdots =17+16$, 恰等於中心, 王文素興趣在此。 視數對為 1 元, 則有不同的 16 元。 從中選取 $k=4$ 元, 均衡配置於 4 線中, 即得輻輳圖, 其構造法「初探」已詳述, 不贅。

此術已見於《續古摘奇演算法》攢九圖(圖 2), 楊輝置 9 為中心, $m=33$, 不僅將 $2k+1=9$ 個數配置於 4 條線上, 其和皆為 $p=69\times 2+9=147$, 而且構成的 4 圓上(包括中心) 的 9 數之和也等於 147, 因此 $n=8$。

圖2: 楊輝的攢九圖

分析攢九圖的結合法。 設 $a=69/2=34.5$, 大元 $b\gt a$, 小元 $c\lt a$, 圖中有 6 組 (除中心外) 兩數兩數配成 4 元, 與中心聚成 1 組, 屬於 $b+c=2a$ 型, 例如豎線組即為 $(36+33)+ (31+38)=(b_1+c_1)+(c_2+b_2)=4a$; 僅橫線組屬 $3b+c=4a$ 型, 內圓組屬 $b+3c=4a$ 型。 王文素熟知楊輝演算法, 輻輳每元的結合法較攢九為簡, 不能應用於 4 圓, 故改名為「輻輳」。

圖3: 《算學寶鑒》花王字圖
圖4: 《算學寶鑒》古珞錢圖
2.2. 花王字圖

花王字圖(圖3)將從 1 開始的 $m=104$ 個連續自然數巧妙配置, 構成 $n=17$ 個圓, 每環包含 $2k=8$ 個數, 其和皆為 $p=105\times 4=420$。 將和等於 105 的兩數視為 1 元, 利用上述十六字訣「根梢搭配」, 易知不同的元共有 52 個。 王文素用左右對稱、兼顧上下、「往還盤折, 對換編排」的方法, 將各元均衡配置到 17 圓中, 每 1 環含 $k=4$ 元。 具體做法較為複雜, 「初探」也未涉及, 此不盡述。

全圖中兩圓的交集為共用元, 即在該局相交兩組中僅有 1 元重複, 而 1 圓可與 1, 2, 3, 4 圓相交。 同樣利用這 104 個自然數, 改變各數的位置, 別的條件不變, 其他花王字圖是否存在、如何構造?

2.3. 古珞錢圖

古珞錢圖(圖4)將從 1 開始的 $m=120$ 個連續自然數順序配置, 構成環環相套的 $n=25$ 個圓, 每環包含 $k=8$ 個數, 其和皆為 $p=121\times 4=484$。 構造該圖時, 利用十六字訣, 自然數的連續性比較明顯。 將和等於 121 的兩數視為 1 元, 共有不同的 60 元, 只須追蹤 1$\sim$60 在圖中的分佈就一目了然。 構造法 : 將前 30 元橫向左右連續盤折往還,

後 30 元縱向從下向上分段編排, 縱橫交織成圖, 使得每枚古錢所含數目皆相等。 易知任兩圓如相交僅交於 1 元, 且任 1 元僅能成為兩圓交集, 但任 1 圓可與 2, 3, 4 圓相交, 構造之難, 遠超出益智圖, 自然會引起興趣: 是否還存在類似的排法? 令人吃驚的是, 王文素變換圖形, 給出了新的答案。

圖5: 《算學寶鑒》連環圖
圖6: 瓔珞圖
2.4. 連環圖

連環圖(圖5)與古珞錢圖都是把從 1 開始的 $m=128$ 個連續自然數順序配置, 構成環環相套的 $n=25$ 個圓, 每環包含 $2k=8$ 個數, 但其配置的方式不同, 每個圓的和皆為 $p=129\times 4=516$。 原著每個數都用小圓圈套住, 本文為便於觀察計算, 將其省去, 而把每 8 個數所在的圓繪出, 這正是原圖本意, 而且與花王字、古珞錢圖畫法保持一致。

將和等於 129 的兩數視為 1 元, 共有不同的 64 元, 1$\sim$64 可作為每元的標號。 該圖自然數的連續性比較明顯, 只須看 1$\sim$64 的分佈就可以了。 構造法: 將前 32 元左斜、 後 32 元右斜編排, 交叉成圖, 使得每圓所含 $k=4$ 元皆相等: 如右上第 1 環 $1+128=2+127=52+77= 51+78$。 任 1 圓可與 2, 3, 4 圓相交, 任兩圓僅交於 1 元, 且任 1 元僅能成為兩圓交集。

2.5. 瓔珞圖

瓔珞圖(圖6)將從 1 開始的 $m=42$ 個連續自然數巧妙配置, 構成環環疊加的 $n=13$ 個圓, 每環包含 $2k=6$ 個數, 其和皆為 $p=43\times 3=129$。 此圖妙在外 7 圓之內, 又形成內 7 圓(中心之圓重複), 每圓利用劃在內部的 6 數, 其和也恰為 129。

將和接近或等於 43 的兩數視為 1 元, $b\gt 43$ 為大元, $a=43$, $c\lt 43$ 為小元。 每圓各有 $k=3$ 元, 從結合法看, 除中央 1 圓 3 元為 $3a=43\times 3$ 外, 其餘 12 圓就是和為 $3a$ 的 $a+b+c$, $b+2c$, $2b+c$ 三種類型。 例如圖中最上 1 圓: $b=35+9$, $a=32+11$, $c=36+6$, 屬於 $a+b+c$ 型。

瓔珞圖的結合法較為複雜, 這是王文素排列配置的結果。 分析各元的結合法有便於認識任一圓何以能夠滿足其和皆為 129 的條件。 事實上結合法越複雜, 圖的功能越特異。

1$\sim$21 可作為每元的標號, 追蹤其在圖中的分佈。 原著的配置方法「初探」已有解析。 設計出新的瓔珞圖需要極高數字悟性, 親自試驗一下, 就會對王文素的構造技巧讚歎不已。

當然, 王文素並不是從組合論角度考慮的, 但構造這樣複雜的幻圖也並非就是為了消遣。 這些圖具有的數學意義需要深入發掘, 不獨是數學史的任務。 作為縱橫圖的分支, 幻方已隨數學投入的增多而逐漸被學界接受, 幻圖研究也會因認識深化而找到更多的應用。

圖7: 王文素《算學寶鑒》圖錄「三同六變」圖文}

3. 王文素問題「三同六變」

3.1. 王文素問題的提出

《算學寶鑒》卷首圖錄的最後一個問題是「三同六變」:

「假令二十四老人, 長者壽高一百, 次者遞減一歲, 止於七十七。 共積總壽二千一百二十有四。 卜4 4 卜:通過占卜, 確定地址。 會三社, 八老相令(會)七百八歲, 蓋因人情逸順, 散而復令(會), 更換六次, (其換六次, 衍文)其積仍均七百有八, 此見連用之道。」

該題意即: 有 $m=2nk=24$ 位老人聚會, 年齡從 100 歲到 77 歲, 依次相差 1 歲, 共 2124 歲。 $2k=8$ 人分到 1 「社」(組), 共有 $n=3$ 組, 每組年齡和皆 $p=708$ 歲; 3 組為 1 變局。 問能編成多少不同組($S$)? 能構成多少相異局($T$)?

原著的 6 種答案已在圖 7 中, 最後他說 : 「其變尤多, 不及備載」。 即他已明確認識到求變局數很難 : 這就提出了「王文素問題」, 須找出共有多少種答案。

圖8: 王文素「三同六變」:每組和為 708 歲的 3 組構成 77$\sim$100 歲的滿員 6 局。

這是一種複雜約束條件下的組合問題, 李培業較早認識到它的組合性質, 但迄今研究者不多。 李珍給出了 4 種解析途徑, 多次列表, 重點在尋找答案總數。 需要用到新提出的「正排列」、「反排列」概念, 並且將元素的位置也編號$^{{5}}$。 作者認為, 尋找共有多少合適的方案較難, 關鍵在明確條件, 分類考察其選擇方法。 本文據原著給出的條件和結果, 探討王文素創設此題的組合意義, 利用現有的組合工具, 嘗試從另一途徑來考慮這一問題。

3.2. 王文素問題的分類

首先分析原文, 修正疏誤。 將圖 7 中 18 組數先從上向下、 再從右向左按「六變」循序編號, 得到圖 8, 18 組已改為從左向右排列。 圖 8 中在 6 框內共形成 6 變局, 每局從 77 到 100, 既不缺少, 也無重複, 本文稱為「滿員局」。 須說明圖 7 中:組 (9) 和 701, 錯; 左下之數原文 90, 非, 系筆誤, 應是 97。 組 (18) 之和 704, 錯; 左上之數原文 90, 非, 系筆誤, 應是 94。 另外, 圖 7 中有 16 組各數均從小到大排列, 圖 8 中組 (12) 和 (15) 各數也改為從小到大的順序, 繪成了數字方圖 (其實也可繪為圓圖)。

在圖 7 中, 每個方形數位圖取數順序從上向下、從右向左。 應把視點聚焦於「元」 --- 即整數對, 每一數都有另一數與之搭配, 合成 $a=177$, 大元 $b\gt 177$, 小元 $c\lt 177$, $b+c=2a$。 圖 8 中線段相連的兩數即為 1 元, 每組均有 $k=4$ 元; 每局 $n=3$ 組, 共有 $nk=12$ 元。

然後討論王文素選擇每組各數的方法, 這是構造的關鍵。 他雖未詳論, 而 6 變 18 組數據提供了他的思路, 據此可歸結為「王文素問題」的三類子問題, 以及有待解決的問題。

圖9: 以 24 個連續自然數構成首局的往還盤折法

(a) 圖 8 的組 (1)$\sim$(3) 之所以處於首局, 這不是隨意的:將選定的 $m=2nk=24$ 個連續自然數按照「往還盤折」法均衡配置 (圖9), 可獲得每組 $2k=8$ 個數的 $n=3$ 組, 稱為 1 變局, 各組之和皆 $p=708$, 試問可編多少不同的組($S$)? 有多少種相異的變局($T$)? 各組間無交集($j=0$), 全覆蓋, 數學特點鮮明, 這構成第一類問題。

(b) 圖 8 的組 (5) 和組 (11) 所選 8 數皆為偶數, 此非偶然, 說明王文素已發現從 24 數中選擇 8 偶數能滿足編組條件。 注意到, 該兩偶數組中無元重複($j=0$)。 須求從此 12 偶數中共能編成多少偶數組($S$)。 $m=12$ 時每組 8 人分 3 組顯然不能構成每人只出現一次的滿員局, 那麼縮小為 4 人 1 組、能構成的滿員局數($T$)應是多少? 這裡將此稱為第二類問題。

(c) 圖 8 的組 (4) 和組 (10) 所選 8 數皆為奇數, 與上述偶數組情況類似, 從 12 奇數中選擇 8 個能夠滿足編組的條件, 該兩奇數組中也無元重複($j=0$), 人們要問: 從此 12 奇數中共能編成多少奇數組($S$)? 王文素舉出了組 (4) 和組 (10) 的兩例。 在縮小為 4 人 1 組即 $k=2$ 元時這些數組能夠構成多少局 ($T$)? 這裡將此稱為第三類問題。

3.3. 三類王文素問題的解

分別討論 $j=0$ 的選擇方法、構造方案和計算結果。 王文素給出了樣板, 但未解釋。 有必要沿著他的思路繼續做分析, 屬於受到歷史啟發的拓展研究。

首先明確王文素問題的條件:

(a)同組人各不同, 即無重複的元。

(b)每組各人位置不固定, 即變換序號仍視為同組。

(c)每局各組位置不固定, 即變換序號仍視為同局。

(d)人數一定是偶數, 且可被 $n$ 整除, 即 $m=2nk$, 這時 $k$ 為元數, $2k$ 為每組人數。

第一類問題: 連續數的滿員局。 原題每組年齡均值為 88.5 歲, 所設 24 個連續自然數中, 首尾相加, 一奇一偶, 其和均為 1 元 $a=177$: $100+77=99+78=\cdots=89+88$。 不同元數 $k=12$; 從中任取 4 元即得相異組總數 $S={12\choose 4}=495$。 須求出可能的變局數 $T$。 本題兩條件: (a) 任一局所選 3 組必須覆蓋全部 12 元, 即「滿員局」; (b) 所有局必須無重複。

求 $T$ 第一法: 從 $S$ 中取 3 組構成 2 千多萬局, 以下可證其中 99.97% 不符合兩條件。

求 $T$ 第二法: 為保證所有局為滿員局, 從 12 元中任取 4 元構成第 1 組, 再從所餘 8 元中任取 4 元構成第 2 組, 最後所餘 4 元構成第 3 組, 共有組合: ${12\choose 4}{8\choose 4}{4\choose 4}=495\times 70\times 1=34650$。 但此非所求 $T$, 因其中有大量局重複, 須將其除去。

在以下求解過程中需要用到一個恒等式: $\frac 1n{nk\choose k}={nk-1\choose k-1}$, 證明如下: \begin{eqnarray} \frac 1n{nk\choose k}&=&\frac{nk(nk-1)\cdots(nk-k+1)}{n\cdot k\cdot (k-1)!}\nonumber\\ &=&\frac{(nk-1)(nk-2)\cdots[(nk-1)-(k-1)+1]}{(k-1)!}={nk-1\choose k-1} \label{1} \end{eqnarray}

求 $T$ 第三法:

(a) 先構造 $T$ 局的第 1 組: 任選 1 元後, 從其他 11 元中任選 3 元與之相配, 共可配成滿足涵蓋各元且相異的 ${11\choose 3}=165$ 組; 由恒等式知 ${11\choose 3}$ 僅占 ${12\choose 4}=495$ 的三分之一。 已包含所有元, 對任意元皆成立, 因此入局第 1 組有且僅有此 165 組。

(b) 其次構造 $T$ 局的第 2 組:從 8 元中任選 1 元後, 從其他 7 元中任選 3 元與之相配, 共可配成滿足涵蓋其餘且相異的 ${7\choose 3} =35$ 組; 由恒等式 \( \eqref{1} \) 知 ${7\choose 3}$ 僅占 ${8\choose 4}=70$ 的二分之一。 因此入局第 2 組與第 1 組相異的有且僅有此 35 組。 1、2 組相配, 個數相乘, 擴大變局數值。

(c) 所餘 4 元, 填補前兩組所缺, 自然成為 $T$ 局的第 3 組, 不影響前兩次選項乘得的結果。 最後得到合格的 $T$ 局數: $T={11\choose 3}{7\choose 3}{3\choose 3} =165\times 35\times 1=5775$。 用表示成 $n=3$ 時的公式: \begin{equation} T=\frac 1{3!}{3k\choose k}{2k\choose k}{k\choose k} \label{2} \end{equation}

由此可知求 $T$ 的第二法錯誤, 包含的重複局數占 34650 的六分之五。 第二類問題:偶數組的構造。 始自 78 止於 100 的 $m=12$ 個偶數, 從中任選互異的 $2k=8$ 數聚為 1 組, 其和 $p=708$, 不同的組 $S$ 共有多少? 任意 $n=3$ 組構成 1 變局, 求此總局數 $T$。

兩偶數之和不等於 $177=a$, 而 4 偶數之和可等於 $354=2a$, 選 $178+176$ 一大一小兩元相配 $b+c=2a$, 兩大兩小配成的 4 元即為所求 1 組。

構造偶數組的方法: 選擇兩偶數使其和為 $178=b$, 共有 6 種, 記作 $b_1=78+100$, $b_2=80+98$, $b_3=82+96$, $b_4=84+94$, $b_5=86+92$, $b_6=88+90$; 選擇兩偶數使其和為 $176=c$, 共有 5 種, 記作 $c_1=78+98$, $c_2=80+96$, $c_3=82+94$, $c_4=84+92$, $c_5=86+90$。 使 $2b+2c$ 相搭配, 聚成符合條件的 4 元組。 但為求 $S$, 不可簡單地從 $6b$ 中取

圖10: 虛線所連兩元相斥, 內有相同的數, 不能結合成一組

2 元, 再與從 $5c$ 中取 2 元相配合: ${6\choose 2}{5\choose 2}=150$, 其中既有不少組含重複的元, 又有許多重複的組。 以下的求法, 可證明其不合格率占 88%。

為除去這些重複, 須標記不能搭配的元, 涉及到相容組合計數。 如圖 10 所示, 用虛線連接的 $b, c$ 表示兩元相斥, 因為內有相同的數, 聚為 1 組則造成重複; 而未連接的各 $b, c$ 間均可結合, 謂之兩元相容。 由此可知:首尾 $b_1$, $b_6$ 各與 1 元相斥; 其餘各元均與兩元相斥。 分以下 4 種情況討論遍選 $2b$ 再定 $2c$ 的組合法, 可稱為相容組合計數。

(a)]選 $b_1, b_6$: 相斥之 $c$ 共有 2 個, 從 5$-$2 個 $c$ 中選 $2c:{3\choose 2}=3$, 即可聚成 3 組: $b_1b_6c_2c_3$, $b_1b_6c_2c_4$, $b_1b_6c_3c_4$。

(b) 選 $b_1$, $b_2$: 相斥之 $c$ 共有 2 個, 即從 $3c$ 中選 $2c$, 同上可聚成 3 組: $b_1b_2c_3c_4$, $b_1b_2c_3c_5$, $b_1b_2c_4c_5$。

同理, 選 $b_5$, $b_6$ 也可聚為 3 組: $b_5b_6c_1c_2$, $b_5b_6c_1c_3$, $b_5b_6c_2c_3$。

(c) 在選 $b_1$, $b_3$ (以及 $b_1$, $b_4$ 或 $b_1, b_5$)時, 相斥之 $c$ 有 3 個; 從 5$-$3 個 $c$ 中選 $2c$, 選法唯一, 即在此 3 種情況下, 各可聚為 1 組: $b_1b_3c_4c_5$, $b_1b_4c_2c_5$, $b_1b_5c_2c_3$。

同理, 在選 $b_2$, $b_6$ (以及 $b_3$, $b_6$ 或 $b_4$, $b_6$)時, 亦可得 3 組: $b_2b_6c_3c_4$, $b_3b_5c_1c_4$, $b_4b_6c_1c_2$。

(d) 在選 $b_2$, $b_3$ (以及 $b_3$, $b_4$ 或 $b_4$, $b_5$)時, 相斥之 $c$ 有 3 個; 從 2 個 $c$ 中選 $2c$, 選法唯一, 同上各可聚為 1 組: $b_2b_3c_4c_5$, $b_3b_4c_1c_5$, $b_4b_5c_1c_2$。 另外, 在選 $b_2$, $b_4$ (以及 $b_2$, $b_5$ 或 $b_3$, $b_5$)時, 相斥之 $c$ 有 4 個; 從 5$-$4 個 $c$ 中選 $2c$, 不足, 故不能構成 1 組。

綜上, 可得 18 組符合要求的偶數組。 按照以上討論中出現的先後順序排組, 可得圖 11:

  組(1):{78, 80, 82, 88, 90, 94, 96, 100}    組(10):{78, 82, 84, 86, 90, 92, 96, 100}
⊙組(2):{78, 80, 84, 88, 90, 92, 96, 100}    組(11):{78, 80, 84, 86, 90, 94, 96, 100}
  組(3):{78, 82, 84, 88, 90, 92, 94, 100}    組(12):{78, 80, 82, 86, 92, 94, 96, 100}
  組(4):{78, 80, 82, 84, 92, 94, 98, 100}    組(13):{80, 82, 84, 88, 90, 92, 94, 98}
  組(5):{78, 80, 82, 86, 90, 94, 98, 100}    組(14):{78, 82, 84, 88, 90, 92, 96, 98}
  組(6):{78, 80, 84, 86, 90, 92, 98, 100}    組(15):{78, 80, 84, 88, 90, 94, 96, 98}
  組(7):{78, 80, 86, 88, 90, 92, 96, 98}     組(16):{80, 82, 84, 86, 90, 92, 96, 98}
  組(8):{78, 82, 86, 88, 90, 92, 94, 98}   ⊙組(17):{78, 82, 84, 86, 90, 94, 96, 98}
  組(9):{80, 82, 86, 88, 90, 92, 94, 96}     組(18):{78, 80, 84, 86, 92, 94, 96, 98}

圖11: 據「三同六變」兩示範偶數組所獲在王文素條件下全部 18 個相異偶數組

以上得到互異的偶數組共有且僅有 $S=18$ 組。 原著圖 8 組 (5) 和組 (11) 必在其中: 即圖11的組 (2) 和組 (17), 用 $\odot$ 標出。 王文素將圖 8 組 (5) 和組 (11) 置於兩局之中, 圖 11 除組 (2) 和組 (17) 外其餘 16 組必可置於另相異的 16 局中, 怎樣求出, 是第二類問題中尚未解決的。

圖 11 這 18 組非「三同六變」, 因不可能構成滿員局。 偶數組 $m=2nk=12$, $n=3$ 時, $k=2$, 意即: 總人數減半, 每組人數相應減半。 由此看來, ${6\choose 2}$ 即 ${nk\choose k}$, ${5\choose 2}$ 即 ${nk-1\choose k}$; ${5-2\choose 2}$ 即 ${3k-k-1\choose k}$, 有 3 項; ${5-3\choose 2}$ 即 ${3k-k-2\choose k}$, 有 2 項。 這樣, 求 $n=3$ 時相異的偶數組數 $S$, 對於 $k$ 一般有: \begin{equation} S=3\cdot 2{3k-k-1\choose k}{3k-k-2\choose k}=6{2k-1\choose k}{2k-2\choose k} \label{3} \end{equation} 當 $k=2$ 時 $S=18$。 再求局數 $T$: 將和為 1068 的 12 個偶數分成 3 組, 每組 $178\times 2$, 即從圖 10 的 6 個 $b$ 中任選 2 元構成 $T$ 局的第 1 組: 這與第一類問題相同, 故由式(2)知為 $T=15$。

這個問題源於 500 年前的歷史。 從組合數學看來, 應當屬於與通常約束條件不同的一類平衡不完全區組設計 BIBD (balanced incomplete block design)。

第三類問題:奇數組的構造。 始自 77 止於 99 的 $m=12$ 個奇數, 從中任選互異 $2k=8$ 數聚為 1 組, 其和皆 $p=708$, 相異組 $S$ 共有多少? $2k=4$ 人, $n=3$ 組構成 1 局, 求滿員局數 $T$。

圖12: 虛線所連兩元相斥, 內有相同的數, 不能結合成一組

根據奇偶的對稱性, 對奇數組所求組數應當與偶數組所得組數相同。 再利用以上相容組合計數法, 選擇題設兩奇數使其和為 $178=d$, 共有 5 元; 選擇兩奇數使其和為 $176=e$, 共有 6 元, 如圖 12 所示。 使 $2d+2e$ 搭配, 聚成符合條件的 4 元組。 用虛線連接的 $d, e$ 表示兩元相斥, 未連接的各 $d, e$ 間兩元相容。 首尾 $e_1, e_6$ 各與 1 元相斥; 其餘各元均與兩元相斥。 同上分 4 種情況討論遍選 $2e$ 再定 $2d$ 的相容組合法, 只要將上述偶數組 18 種結果中的 $b, c$ 換為 $e, d$ (而不變足碼順序) 即可獲以下 18 奇數組:

  組(1){77, 81, 83, 87, 89, 95, 97, 99}     組(10){77, 81, 85, 87, 91, 93, 95, 99} 
⊙組(2){77, 81, 85, 87, 89, 93, 97, 99}     組(11){77, 81, 83, 87, 91, 93, 97, 99} 
  組(3){77, 83, 85, 87, 89, 93, 95, 99}     組(12){77, 81, 83, 85, 91, 95, 97, 99} 
  組(4){77, 79, 83, 85, 93, 95, 97, 99}     組(13){79, 83, 85, 87, 89, 93, 95, 97} 
  組(5){77, 79, 83, 87, 91, 95, 97, 99}     組(14){79, 81, 85, 87, 89, 93, 95, 99} 
  組(6){77, 79, 85, 87, 91, 93, 97, 99}     組(15){79, 81, 83, 87, 89, 93, 97, 99} 
  組(7){79, 81, 85, 87, 89, 91, 97, 99}     組(16){79, 81, 85, 87, 91, 93, 95, 97} 
  組(8){79, 83, 85, 87, 89, 91, 95, 99}   ⊙組(17){79, 81, 83, 87, 91, 93, 95, 99} 
  組(9){81, 83, 85, 87, 89, 91, 95, 97}     組(18){79, 81, 83, 85, 91, 93, 97, 99} 

圖13:據「三同六變」兩示範奇數組所獲在王文素條件下全部 18 個相異奇數組

如用十分費時但能檢驗全過程的窮竭法, 或用速度極快但難以驗證的電腦程式設計排組, 均可求出相異的奇數組共有且僅有 $S=18$ 組, 如圖 13 所示。 原著圖 8 所提供的組 (4) 和組 (10) 必在其中: 即圖 13 的組 (2) 和組 (17), 用 $\bigcirc$ 標出。 注意到, 王文素將圖 8 組 (4) 和組 (10) 置於兩局之中, 而且每局還有另 1 偶數組, 做法令人深思: 圖 13 除組 (2) 和組 (17) 其餘 16 組必能與相應偶數組配合, 一同置於另相異的 16 局中, 怎樣構造? 也是第三類問題尚未解決的。

這 18 組不可稱為「三同六變」。 將每組人數從 8 縮小為 4 後方能構成滿員局, 與偶數組相異局數求法一樣, 在圖 12 的 6 個 $e$ 中選擇, 可利用式 (2), 其結果同為 $T=15$。

4. 結語

數學史上, 有一些組合問題引起長期的興趣, 如約瑟問題, 科克曼女生問題, 夫婦入座問題等; 有的如女生問題, 已經變成世界著名難題。 本文討論的王文素問題產生於 500 年前, 他把一個派生能力很強的數學問題大眾化, 使之普及, 可推衍出形形色色的問題, 極具生活情趣。 例如, 可以把老人赴宴偶數組視為老夫人, 奇數組視為老先生, 等等。

推廣王文素問題, 縮小 $m, n, k, p$ 等後建立小樣本, 便於核對本文證明過程, 如:

某歌舞團 19$\sim$30 歲 12 個演員, 年齡各不相同, 一天分 3 組、每組 4 人演出一次。 團長要求每組年齡之和均等於 98 歲。 試問能夠編出多少不重複的組? 利用這樣一個分組方案, 該團能夠演出多少天? 假如改為一天演出 3 次, 每次 4 人; 任 1 演員可出場第 2、 3次, 則有多少分組方案? 當然數據也可擴大; 改變年齡段, 起名夏令營, 巡邏隊, 旅遊團, 凡此種種, 可衍生出許多王文素問題來。

王文素的 6 局 18 組還暗含很多問題, 例如圖 8 的組 (16) 和組 (17) 的元是從奇數組和偶數組中分別選取的, 配成兩個奇偶組, 置於同局。 由此他指出了一種派生法, 可稱為第四類問題。

還有: 每局 3 組間如有重複 ($j=1$), 例如赴宴並非同時, 第 1 組去一次, 下次除調換 1 元 2 老外, 還是那所余的原班 3 元 6 老人, 第三次也一樣, 共有多少分組? 再如: 聯繫前述 5 種幻圖, 如果認為所示任兩圓(組)間的交集即重複的元($j=1$), 那麼如何解王文素問題將有助於解決構造各類新幻圖的難題。 這些稱為其他各類問題。

據李珍一項研究$^{{6}}$ 將該題稱為「三同八聚」, 即以固定的 $n=3$ 和 $2k=8$ 命名; 又認為「王文素問題的一般形式為『$n$ 同 $k$ 聚』」$^{{7}}$, 並給出一個集合論的定義, 用代數法求解。

本文建議稱其為「王文素問題」, 並認為有必要使用集合論、組合計數和設計的方法。 經上討論, 「$n$ 同 $k$ 聚」 作為一個子問題, 其求變局的一般公式為 ($k$ 為元數, 組人數之半): \begin{equation} T=\frac 1{n!}{nk\choose k}{nk-k\choose k}{nk-2k\choose k}\cdots{k\choose k}\label{4}. \end{equation}

總之, 王文素說 : 「其變尤多, 不及備載」, 他把沒有寫出的變局留給了後代。 王文素問題在中算史及世界數學史中非常特異, 是一大類問題, 還涉及到如何解讀幻圖: 這些幻圖均為連續自然數在不同約束條件下適當配置, 聚為一些等值陣列, 構成若干相異數局, 屬於在組合計數基礎上的區組設計。 幻方又何嘗不是如此, 這就給組合數學史增添了素材, 一旦被認識, 縱橫圖將會引發更多的興趣。

參考文獻

  1. (明)王文素著。 算學寶鑒。 中國科學技術典籍通匯, 郭書春主編, 數學卷(2), 鄭州: 河南教育出版社, 337-971, 1993。
  2. (明)王文素著。 劉五然、郭偉、潘有發校注。 算學寶鑒校注。 北京: 科學出版社。 2008。
  3. 李培業。 我國第一部珠算書 --- 《算學寶鑒》。 中國珠算心算協會主辦 珠算, 102(1), 2-5, 1997。
  4. 潘紅麗, 王文素《算學寶鑒》縱橫圖初探。 珠算, 124(5), 4-5, 2000。
  5. 李珍。 王文素「三同六變」題解。 珠算, 122(3), 2-4, 2000。
  6. 李珍。 王文素「三同六變」題的推廣。 珠算, 123(4), 2-3, 2000。
  7. 李珍。 關於「$n$ 同 $k$ 聚」問題的研究。 珠算, 124(5), 2-3, 2000。

    ---本文作者任教內蒙古師範大學科技史研究院---