40110 數學和古典詩詞的意境

終極密碼

遊戲規則:本遊戲為猜密碼的遊戲。密碼為0到100之間的其中1個整數,電腦會提示密碼的所在範圍,玩家必須在6次之內猜到密碼才能過關。
★ 終極密碼為0到100之間 ★
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蘇意雯教授的「詩情畫意談數學」(《數學傳播》總151期)一文, 將古代的一些中國數學詩收集起來欣賞, 增加了今人學習數學的興趣, 讀後受益良多。 最近, 筆者也注意到在現代數學和中國古詩文之間, 可以在意境上有所溝通。

數字嵌入詩詞, 早已有之。 鄭板橋有詠雪詩:

一片二片三四片, 五片六片七八片;
千片萬片無數片, 飛入梅花總不見。

詩句抒發了詩人對漫天雪舞的感受。 不過, 詩中儘管嵌入了數字, 卻實在和數學沒有什麼關係。

數學和古典人文的連接, 貴在意境。 早年講到數列極限, 總會用「一尺之棰, 日取其半, 萬世不竭」(莊子《天下篇》)與之相聯繫。 後來徐利治先生將之發展到用古詩來描述連續變數的極限。 記得是 1993 年, 在無錫黿頭渚開過一次數學方法論的研討會。 有一天下午, 徐先生作報告。 他說了一個故事。

「我在《數學分析》課堂上, 先在黑板上寫了李白的名詩:

故人西辭黃鶴樓, 煙花三月下揚州。
孤帆遠影碧空盡, 唯見長江天際流。

然後問同學們哪一句可以和極限概念相通? 大家的共同回答是「孤帆遠影碧空盡」, 這說明數學和詩詞是可以溝通的」。 徐先生的演講觸動了我的心弦, 我似乎看到了數學和人文意境互相溝通的隧道, 於是陸續收集了一些例子。

(一) 《道德經》與自然數公理

老子《道德經》裏有名句:

「道生一, 一生二, 二生三, 三生萬物。」

這 13 個字, 簡直是一組中國化的自然數公理。 它透露以下的資訊:

$\bullet$ 自然數是一個接一個地「生」出來的;

$\bullet$ 1 「加 1」, 就能生出 2; 2 再「加1」就能生出 3; 不斷地「加 1」 就能生出萬;

$\bullet$ 自然數裏有 1, 2, $\ldots$ 等等, 多得不得了, 沒完沒了;

$\bullet$ 1 前面還有一個「道」, 在數學上用 0 代表。

一年級小學生, 不妨把它背下來。這既不困難, 也不囉嗦。其中有熟悉的一、二、三、萬等數字, 又有「生」這個極為生動傳神的動詞, 容易領會。

(二) 《道德經》與數學歸納法

眾所周知, 數學歸納法原理是和自然數公理等價的。 一生二, 二生三, 相當於數學歸納法中 $n=1,2$ 時, 命題成立的要求。 關鍵是要獲得「三生萬物」的結果。 然而, 要「生」出萬物 (自然數全體) 來, 必須要每個與 $n$ 有關的命題都能「生」出 與 $n+1$ 有關的命題。 這是數學歸納法原理的精髓。

現在中學數學課堂裏常用多米諾骨牌來比喻數學歸納法。 但多米諾骨牌畢竟是有限的。 到頭來就是因為總有第 $n$ 塊倒下卻不能讓第 $n+1$ 塊倒下, 因而不得不終止。 說白了, 就是 $n$ 命題「生」不出 $n+1$ 命題來。

因此, 為了要三生萬物, 就必須生生不息, 即保證每個 $n$ 命題不僅自己成立, 還必須會「生」, 保證能夠生出 $n+1$ 命題來。 數學歸納法後半部分要做的不在於檢驗「$n$ 命題」是不是正確, 要做的事情是 $n$ 命題能不能「生」的問題。 強調一個「生」的動詞, 保證每個 $n$ 命題都能「生」, 正是《道德經》告訴我們的數學歸納法。

(三) 《登幽州台歌》與愛因斯坦的四維時空

初唐陳子昂有一首劃時代的《登幽州台歌》:

前不見古人, 後不見來者;
念天地之悠悠, 獨愴然而涕下。

一般的語文解釋說:前兩句俯仰古今, 寫出時間綿長; 第三句登樓眺望, 寫出空間遼闊。 第四句描繪了詩人孤單寂寞悲哀苦悶的情緒, 兩相映照, 分外動人。 然而, 從數學上看來, 這是一首闡發時間和空間感知的佳句。 前兩句表示時間可以看成是一條直線(一維空間)。 陳老先生以自己為原點, 前不見古人指時間可以延伸到負無窮大, 後不見來者則意味著未來的時間是正無窮大。 後兩句則描寫三維的現實空間: 天是平面, 地是平面, 悠悠地張成三維的立體幾何環境。 全詩將時間和空間放在一起思考, 感到自然之偉大, 產生了敬畏之心, 以至愴然涕下。 這樣的意境, 數學家和文學家可以共有。 尤其是, 把時間和空間放在一起思考, 可以說也在意境上與愛因斯坦的四維時空學說相銜接。

(四) 葉紹翁《遊園不值》與無界變數

宋朝葉紹翁有詩云:

應憐屐齒印蒼苔, 小扣柴扉久不開。
春色滿園關不住, 一枝紅杏出牆來。

貴州六盤水師專的楊光強老師對我說, 他在講無限大和無界變數時都會引用此詩, 學生每每會意而笑。 實際上, 無界變數是說, 無論你設置怎樣大的正數 $M$, 變數總要超出你的範圍, 即有一個變數的絕對值會超過 $M$。 於是, $M$ 可以比喻成無論怎樣大的園子, 變數相當於紅杏。 無界變數相當於無論怎麼大的園子, 總至少有一支紅杏會越出園子的範圍。 詩和數學的意境如此切合, 竟把枯燥的數學語言形象化了。

(五) 杜甫的名詩《登高》與實無限、潛無限

《登高》詩云:

風急天高猿嘯哀, 渚清沙白鳥飛回。
無邊落木蕭蕭下, 不盡長江滾滾來。
萬里悲秋常作客, 百年多病獨登臺。
艱難苦恨滿霜鬢, 潦倒新停濁酒杯。

我們關注的是其中的第三、第四兩句 : 「無邊落木蕭蕭下, 不盡長江滾滾來」。前句指的是「實無限」, 即實實在在全部完成了無限過程的結果。 例如區間 $[a,b]$ 中具有無限多個點, 就是一種實無限。 杜甫所說的「無邊落木」是指「所有的落木」, 那是一個已被我們一覽無餘的實無限集合。 後一句則是指所謂的潛無限了。 儘管到現在為止, 長江水還是有限的, 卻永遠不會停止。 它沒完沒了, 不斷地「滾滾」而來。 數學的無限顯示出「冰冷的美麗」, 杜甫詩句中的「無限」則體現出悲壯的人文情懷, 但是在意境上, 彼此是溝通的。

(六) 賈島的《尋隱者不遇》與純粹存在性定理

賈島有一首五言絕句云:

松下問童子, 言師採藥去。
只在此山中, 雲深不知處。

這首小詩在人文意境上和數學存在性定理彼此相通。 事實上, 這種只知其「有」, 卻並不知道具體是「誰」的數學存在性定理很多。 如在小學裏就有抽屜原理出現。 $M$ 個蘋果放到 $N$ 個抽屜裏 ($M \gt N$), 那麼必有一個抽屜裏的蘋果至少為兩個, 但是究竟是哪一個抽屜? 裏面確切的蘋果數目是多少, 我們並不知道。 其餘如代數基本定理, 微積分裏有連續函數的介值性定理, 以及微分中值定理等等, 都是只知根或某個介值、 中值的存在, 但是不知道它們究竟在哪裡。 賈島的詩句斷定隱者「只在此山中」, 卻 「雲深不知處」。這與數學的意境何等契合! 如果說文學家欣賞「雲深不知處」的蒼茫意境, 而數學家則會關注難以名狀的一種不確定性。

(七) 蘇軾的《琴詩》與反證法

蘇軾有一首哲理詩云

若言琴上有琴聲, 放在匣中何不鳴?
若言聲在指頭上, 何不於君指上聽?

數學上常用反證法。 %你要駁倒一個論點, 你只要將此論點「假定」為正確, 然後據此推出明顯錯誤的結論, 就可以推翻原論點。 要證明一個命題, 只要先將此命題的反面假定為正確, 然後據此推出明顯錯誤的結論, 就可以從反面證明原命題的正確性。

《琴詩》的意境與此相通。

命題: 琴聲不在琴上。

證明: 用反證法。 假設「琴上有琴聲」, 那麼琴放在匣中應該「鳴」。 這和琴放在匣中不鳴的事實矛盾, %這和琴放在匣中的事實矛盾。 因此假設「琴上有琴聲」是錯的。 原命題正確。   證畢

由此可見, 人文的論辯和數學的證明, 都需要遵循邏輯規則。

(八) 李商隱的詩句 : 「相見時難別亦難」與因式分解

因式分解課上, 說說唐詩宋詞, 別有一番風味。 初中學習「因式分解」內容, 沒有什麼實際背景可以依靠, 學生學起來很枯燥。 如果我們把兩個因式的相乘和分解, 用兩個人的「相見」和「分別」作「擬人化」的比喻, 那麼就有許多詩句可以聯想了。 李煜詞有 : 「無限江山, 別時容易見時難」。 李商隱的詩句有 : 「相見時難別亦難」。 這樣一來, 我們不妨說「相乘容易分解難」。 事實上, 兩個因式相乘有演算法規則可循, 依次去做就是了。 比較容易。 但是給一個多項式, 要拆成兩個因式, 卻並非一定有章可循, 往往要動腦筋, 使用技巧才能解比較困難。 更進一步, 聯想到當今的密碼技術與大素數的分拆困難有關, 正是相乘容易而分解難, 在意境上可以有所借鑒。

(九) 古詩的對仗與數學的對稱:變化中的不變

中國古詩講究對仗。 這是指上句變為下句之後, 雖然位置變了, 可是許多性質不能變。 例如王維《山居秋暝》中的名句:

明月松間照, 清泉石上流。

其中的上句雖然變為下句, 但是, 字數不變, 名詞對名詞, 動詞對動詞, 形容詞對形容詞, 意義上相通, 都是自然景色。 存在著許多不變性。 聯想到數學的軸對稱, 對稱軸的左右兩邊, 翻折過去。圖形位置是變了, 但是大小形狀都沒有變, 由此看來, 數學的對稱和文學的對仗, 可以說是異曲同工。

對聯和對仗, 是漢字獨有的文化現象, 現在居然和西方數學有如此的關聯, 令人叫絕。

(十) 蘇軾《題西林壁》詩與勒貝格積分

蘇軾有名句云

橫看成嶺側成峰, 遠近高低各不同。
不識廬山真面目, 只緣身在此山中。

如果將前兩句比喻黎曼積分和勒貝格積分的關係, 相當有趣。 蘇軾詩意是 : 同是一座廬山, 橫看和側看各不相同。 勒貝格則說, 比如數一堆摞好了的硬幣, 你可以一疊疊地豎著數, 也可以一層層橫著數, 同是這些硬幣, 計算的思想方法卻差異很大。 從數學上看, 同是函數 $y=f(x)$ 形成的曲邊梯形面積 $M$, 也是橫看和側看不相同。 實際上, 如果分割函數 $y=f(x)$ 的定義域 $[a,b]$ 然後作和 $\sum\limits_{i=1}^n f(\xi_i)\Delta x_i$ 用以近似 $M$, 那是黎曼積分的思想, 而分割值域 $[m,n]$ 作和 $\sum\limits_{i=1}^n y_imE(x,y_{i-1}\le f(x)\le y_i)$ 近似表示 $M$, 則是勒貝格積分的思想 (這裏的 $m$ 是勒貝格測度)。

同是橫看和側看, 數學意境和人文意境竟可以相隔時空得到共鳴, 發人深思。

(十一) 韓愈名詩《早春》與數學中的「大範圍」

韓愈有詩句云

天街小雨潤如酥, 草色遙看近卻無。

突然想到, 詩的第二句當是拓撲學上局部和整體的一種文學意境描寫。 就曲面來說, 遠看可以有整體的區分, 例如球面和環面彼此不同。 但是, 近看卻都差不多, 都是一個「圓片」 : 二維的歐氏平面的局部。 這正如整體的草色只能「遙看」, 一旦近了, 到局部狀態, 那種「草色」就「近看無」了。

除了以上的十一例之外, 數學活動中的人文意境, 還會有許多其他的方面。 例如王國維用宋詞來描述做學問的三重意境 :

昨夜西風凋碧樹, 獨上高樓, 望盡天涯路。        《蝶戀花》晏殊
衣帶漸寬終不悔, 為伊消得人憔悴。            《蝶戀花》柳永
眾裏尋他千百度, 驀然回首, 那人卻在燈火闌珊處。    《青玉案》辛棄疾

這同樣適用於數學學習。 確實, 一個學生如果沒有經歷過這樣的數學解題意境, 數學大概是學不好的了。

---本文作者任教華東師範大學數學系---

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